电动力学 期末考试试题库 本

第一章 电磁现象的普遍规律1） 麦克斯韦方程组是整个电动力学理论的完全描述。

1-1) 在介质中微分形式为D ρ∇•=r来自库仑定律，说明电荷是电场的源，电场是有源场。

0B ∇•=r来自毕—萨定律，说明磁场是无源场。

B E t ∂∇⨯=-∂r r 来自法拉第电磁感应定律，说明变化的磁场B t ∂∂r 能产生电场。

D H J t ∂∇⨯=+∂r r r 来自位移电流假说，说明变化的电场D t∂∂r 能产生磁场。

1-2) 在介质中积分形式为L S d E dl B dS dt =-⎰⎰r r r r g g Ñ, f L S dH dl I D dS dt =+⎰⎰r r r r g g Ñ, f S D dl Q =⎰r r g Ñ, 0S B dl =⎰r r g Ñ。

2）电位移矢量D r 和磁场强度H r并不是明确的物理量，电场强E r 度和磁感应强度B r ，两者在实验上都能被测定。

D r 和H r不能被实验所测定，引入两个符号是为了简洁的表示电磁规律。

3）电荷守恒定律的微分形式为0J tρ∂∇+=∂rg 。

4）麦克斯韦方程组的积分形式可以求得边值关系，矢量形式为()210n e E E ⨯-=r r r ，()21n e H H α⨯-=r r r r ，()21n e D D σ•-=r r r ，()210n e B B •-=r r r具体写出是标量关系21t t E E =，21t t H H α-=，21n n D D σ-=，21n n B B =矢量比标量更广泛，所以教材用矢量来表示边值关系。

例题（28页）无穷大平行板电容器内有两层线性介质，极板上面电荷密度为f σ±，求电场和束缚电荷分布。

解：在介质1ε和下极板f σ+界面上，根据边值关系1f D D σ+-=和极板内电场为0，0D +=r得1f D σ=。

同理得2f D σ=。

由于是线性介质，有D E ε=r r，得1111f D E σεε==，2222fD E σεε==。

在两个介质表面上，由于没有自由电荷，由()021n n p f E E εσσ-=+得()0002121p fE E εεσεσεε⎛⎫=-=-⎪⎝⎭ 介质1和下表面分界处，有00111p f f E εσσεσε⎛⎫'=-+=--⎪⎝⎭介质2和上表面分界处，有00221p f f E εσσεσε⎛⎫''=-=-⎪⎝⎭5）在电磁场中, 能流密度S r 为S E H =⨯r r r , 能量密度变化率w t∂∂为wD BE H t t t ∂∂∂=+∂∂∂r rr r g g 。

在真空中, 能流密度S r 为01S E B μ=⨯r r r 。

能量密度w 为2200112w E B εμ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭。

6) 在电路中，电磁场分布在导线和负载周围的空间。

负载和导线上的消耗的功率完全是在电磁场中传输的，而不是由导线传送的。

例（32页）同轴传输线内导线半径为a ，外导线半径为b ，两导线间为均匀绝缘介质(如图所示)．导线载有电流I ，两导线间的电压为U 。

忽略导线的电阻，计算介质中的能流S ρ和传输功率P 。

解：以距对称轴为r 的半径作一圆周()a r b <<，应用安培定律得2rH I φπ=，有2IH r φπ=。

设导线电荷线密度为τ，应用高斯定理得2r rE τπε=，有2r E r τπε=。

能流密度为224r z z I S E H E H e e r φτπε=⨯==r r r rr 。

设导线间电压为ln 2b r a b U E dr a τπε==⎰，有212lnzUI S e b r aπ=r r。

传输功率为b aP S ds UI =•=⎰r r 。

第二章 静电场1）在静电场时，电场不变化导致磁场不变化，有0B Dtt ∂∂==∂∂r r。

麦氏方程变为0E ∇⨯=r 和D ρ∇•=r 。

由于E r的无旋性，就引入了电势ϕ，即E ϕ=-∇r 。

这样，求解静电场问题就变为简单：电场量满足（1）泊松方程2ρϕε∇=-；（2）边值关系；（3）边界条件（介质或导体）。

2) 对电荷分布不随时间变化的体密度ρ, 在介质为ε的空间中, 其电场总能量为()()18x x W dV dV rρρπε''=⎰⎰r r。

例题 (41页) 求均匀电场0E r的势。

解: 选空间任意一点为原点，设该点的电势为0ϕ，则任意点P 处的电势为()00000PP E dl E x ϕϕϕ=-=-⎰r r r rg g由于0E r可以看为无限大平行板电容产生，因此不能选()0ϕ∞=。

选00ϕ=，择有()0P E x ϕ=-r rg例题（46页）两同心导体求壳之间充满良种介质，左半球电容率为1ε，有半球电容率为2ε（如图）。

设内球带电荷Q ，外球壳接地，求电场分布。

解：在两介质分界面上有边值关系21t t E E =，21n n D D =。

内导体球壳电荷为Q ，边界条件为121122S S S D dS E dS E dS Q εε•=•+•=⎰⎰⎰r r r r r r Ñ。

设左半部电场为13A E r r=r r ，右半部电场为23A E r r=r r。

两个电场满足边值关系。

带入边界条件，有()122A Q πεε+=。

解得()122Q A πεε=+。

左半部电场为()13122Qr E r πεε=+r r ，右半部电场为()23122QrE r πεε=+r r 。

例题（54页）距接地无限大导体平行板a 处有一点电荷Q ，求空间的电场。

解：空间z x ae '=r r处有一点电荷Q ，在上半平面()0Z ≥内有泊松方程为()2Q x x δϕε'-∇=-r r 。

在导体表面上，电场与表面正交，边值关系为00tz E ==r。

导体是等势体，边界条件为0z ϕ==常数。

用镜像法，假想在点()0,0,a -有一点电荷Q -。

两个点电荷在空间产生的电势为()()()2222220,,4Q x y z x y z a x y z a ϕπε⎡⎤=++-+++。

经验证，电势满足泊松方程，边值关系，边界条件，根据唯一性定理，解是正确唯一的。

3）求解静电场的方法大致有，分离变量法，镜像法，格林函数法。

第三章 静磁场1）由于磁场的无源性0B ∇=rg ，可引入一个矢量A r ，使得B A =∇⨯r r 。

则A r 称为矢势。

2）矢势A r的物理意义是它沿任一闭合回路的环量代表通过以该回路为界的任一曲面的磁通量。

即：LSA dlB dS =⎰⎰r r r r g g Ñ。

3）阿哈罗诺夫—波姆效应（A —B 效应）说明：能够完全恰当描述磁场的物理量是相因子。

4）超导体最重要的两个宏观性质是超导电性和抗磁性。

5）伦敦第一方程说明：在恒定电流下，超导体内的电流全部来自超导电子，没有电阻效应。

6）伦敦第二方程说明：超导电流可视为分布于超导体表面。

第四章 电磁波的传播1）电磁场的波动方程推导过程如下：在0ρ=，0J =r 时，麦氏方程为：BE t ∂∇⨯=-∂r r ，D H t∂∇⨯=∂rr ，0D ∇•=r ，0B ∇•=r 。

于是有()2002E E B t t με∂∂∇⨯∇⨯=-∇⨯=-∂∂r r r ，()()22E E E E ∇⨯∇⨯=∇∇•-∇=-∇r r r r 。

可得222210E E c t∂∇-=∂r r ，其中2001c με=。

同理得2 2221BBc t∂∇-=∂rr。

2）电容率ε和磁导率μ随电磁波频率而变的现象称为介质的色散。

3）以一定频率作正弦振荡的波称为时谐电磁波。

（单色波）4）在时谐电磁波时，麦克斯韦方程化为亥姆霍兹方程，220E k E∇+=r r，0E∇•=r，kωμε=，iB Eω=-∇⨯r r。

5）平面电磁波的特征如下：（1）电磁波为横波，Er和Br都与传播方向垂直；（2）Er和Br互相垂直，E B⨯r r沿波矢kr方向；（3）Er和Br同相，振幅比为v。

6）对于高频电磁波，电磁场和高频电流仅集中于表面很薄一层内，这种现象称为趋肤效应。

7）在金属导体中，电磁波的能量主要是磁场能量。

例题（129页）证明两平行无穷大导体平面之间可以传播一种偏振的TEM电磁波。

解：取平面电磁波传播方向为zk ke=r r，平面电磁波的Er和Hr垂直传播方向，有z zE H==。

XOZ平面为切向平面，电场切向分量为0，边值关系要求0xE=。

所以电场必须有0yE≠，否者0E≡r无意义。

边界条件要求0yEy∂=∂。

因此，设y yE E e=r r，由平面电磁波性质E H k⨯rr r:，得x xH H e=-r r。

8）谐振腔特征：对于[]10,x L∈，[]20,y L∈，[]30,z L∈的谐振腔，其内部可以传播的电场量为1cos sin sinx x y zE A k x k y k z=，2sin cos siny x y zE A k x k y k z=，3sin sin cosz x y zE A k x k y k z=。

其中1xmkLπ=，2ynkLπ=，3zpkLπ=，(),,0,1,2m n p=L。

常数满足123x y zk A k A k A++=。

若有123L L L≥≥，则最低频率的谐振波模为()1,1,0，其谐振频率为110f =9）在波导内传播的电磁波的特点为：电场和磁场不能同时为横波。

10）对于矩形波导管()a b >，在其内能传播的最大波长为2a 。

第五章 电磁波的辐射1）在一般情况下，用势描述电磁场为B A =∇⨯r r 和AE tϕ∂=-∇-∂rr 。

说明在变化场中，必须把矢势和标势作为一个整体来描述电磁场。

2）由于电磁场的规范不变性，一般采用两种规范，库伦规范和洛伦兹规范。

3）库伦规范辅助条件为0A ∇•=r ，洛伦兹规范辅助条件是210A c tϕ∂∇•+=∂r 。

4）在洛伦兹规范下，麦氏方程变为达朗贝尔方程220221A A J c t μ∂∇•-=-∂r r r ，222201c t ϕρϕε∂∇•-=-∂，210A c t ϕ∂⎛⎫∇•+= ⎪∂⎝⎭r例题（157）求在洛伦兹规范下平面电磁波的势和场量。

解：平面电磁波在空间传播，没有电荷和电流分布，有0J ρ==r。

所以达朗贝尔方程为222210A A c t ∂∇•-=∂r r ，222210c t ϕϕ∂∇•-=∂，210A c t ϕ∂⎛⎫∇•+= ⎪∂⎝⎭r 。

方程平面波解为()0i k x t A A e ω•-=r r r r ，()0i k x t e ωϕϕ•-=r r 。