Black-Scholes模型综述

( j !(n j)!) p (1 p)
j j 0
n
n!
n j
max[0, u j d n jS K ]] / r n
a na
假设存在最小的 a,使得当股票价格上涨次数为 a,而下跌次数为 n-a 时， u d
n
S K >0 成立。可以解出
a 是大于 log(K/ Sd ) / log(u/ d) 的最小整数。接下来我们可以改写定价公式为：
X t X 0e
1 (r 2 ) t Bt 2
，注意到 Bt / t 是正态分布，那么可以改写④为：
1 (r 2 )(T t) BT t 2
C (X, t) E[e
r (T t)
g(xe
)] e
r (T t)



g (xe
1 (r 2 )(T t) T t z 2

Cu Cd ， (u d)S
B
uCd dCu ⑥ ( u d ) r
由无套利条件，该组合与期权 C 在期末价值相同，则期初价值也应该相同，即 C=ΔS+B。把⑥代入，得
r d ur ) Cu ( ) Cd ] / r ud ud r d 简记为 C [ p Cu (1 p) Cd ] / r ，其中 p 。 ud C [(
一、 B-S 模型简介
首先，在建立 Black-Scholes 模型时，我们用到了如下假设： 资产价格遵从随机微分方程： 不限制卖空。 无交易费用和税收。 不存在套利机会。 证券交易为连续进行。 短期无风险利率 r 是常数。 在期权期限内，股票不支付股息。
dSt dt dB(t) ，其中 和 为常数。 St
令
p ' ( u / r )1 p p' (d/ r)(1 p)
则可以得到两部分前后两项分别包含一个二项分布的概率形式，抽象为：
C S [a;n, p'] Kr n [a;n, p]
⑧
其中 p (r d) / (u d) ， P' (u/ r) / p 与 B-S 公式比较，我们接下来需要证明的就是 [a;n, p'] 趋向于 N(x)且 [a;n, p] 趋向于 N(x- t )，两 个问题证明方法相同，故我们此处只看后面的一个。 由⑧式的导出我们可以得到 [a;n, p] 实际上是一个以 p 为概率的二项分布求和值大于或等于 a 的概率。 则有
将以上分析合并之后⑨式便可以变形为：
1 [a; n, p] P[
p n
1 2

p n
]
⑩
可以验证当 n 趋向于无穷时，以上概率计算满足中心极限定理，且有：
p n (logr 2 ) t ， p n t ， log(u/ d) 0
故
1 [a; n, p] N[
log(Kr t / S) 1 t] 2 t
即
[a; n, p] N[
log(S/ Kr t ) 1 t] 2 t
与 B-S 公式等价。 用如上方法我们便证明了当时间划分趋向无穷，即分散时间趋向连续状态时，CRR 模型其实是与 B-S 模 型等价的。
三、 扩展
1、 期权定价的 Cox-Ross-Rubinstein 模型（二项定价模型） B-S 模型是建立在股价连续变动基础之上的，并非所有人都对这一点保持认同。1979 年，Cox、Ross 和 Rubinstein 提出了新的股票价格遵循跳跃过程的模型，被称为 Cox-Ross-Rubinstein（CRR）模型，也就是我们 通常说的二叉树模型。 该模型建立在离散时间上，假设目前股价为 S 的股票价格在下一个时点有概率 q 变为 uS，有概率 1-q 变为 dS，且 u 和 d 互为倒数。则一个建立在该股票上，目前价值为 C 的股票变化如下右图所示：
Black-Scholes 模型文献综述
摘要：
20 世纪 70 年代初，费希尔·布莱克，迈伦·斯科尔斯·莫顿在期权定价领域内取得了重大突破，他们 建立了被称为“布莱克-斯科尔斯”（Black-Scholes)或“布莱克-斯科尔斯-默顿"（Black-Scholes-Merton) 的模型。该模型对于期权定价与对冲产生了重大影响，并且对于近年来金融工程领域的发展与成功起到决 定性的作用。1997 年斯科尔斯及莫顿荣获诺贝尔经济学奖，这充分说明了这一模型的重要性。该阅读报告 将总结共七篇，参考共十篇国内外具有代表性的文献，从简介、证明、扩展及应用四个方面全面回顾介绍 B-S 模型。 关键词：Black-Scholes 模型，二叉树模型，Feynman-Kac 方程，matlab
(S K) , (看涨期权) 接下来要做的就是利用一定的方法来求解满足终值条件 V |t T ③ 的微分 + (K S) , (看跌期权)
方程②。原文中二人应用了热传导中的柯西问题原理来进行推导，变化较为复杂对于数学和物理基础不 足的人相对比较困难。 2、 用 Feynman–Kac 方法求解微分方程 我们也可以用 Feynman–Kac 公式来求解①②的微分方程。首先我们来看 Feynman-Kac 方程：
uS，以概率q S dS，以概率1-q
C u =max[0,uS-K]，以概率q C Cd =max[0,dS-K]，以概率1-q
假设我们构造投资组合：Δ份股票和 B 数目的现金。到期末总价值为：q 的可能ΔuS+rB，1-q 的可能 为ΔdS+rB。令它们分别于 Cu 和 Cd 相等，我们可以解出：
S0e^(rt)，另有看涨期权在今天的价格为：max(S0-Ke^(-rt),0)。接下来我们看 B-S 公式得到的价格：首先当 S0>Ke^(-rt)，则波动率趋向于 0 时，d1 和 d2 均趋向于正无穷，故 N(d1)和 N(d2)接近于 1，得 c= S0-Ke^(-rt)； 同理可得当 S0<Ke^(-rt)时，期权价格为 0。 因此在如上两种情况下，我们简单验证了 B-S 公式是符合直觉的。接下来我们将关注 B-S 公式的几种证 明方法。
⑦
以上即为 CRR 定价方法的基本内容。 2、 连续支付红利的 B-S 模型 对模型的基本假设作如下推广：
1 资产价格适合随机微分方程： 2 无风险利率 r=r(t); 3 原资产连续支付股息（红利） ，红利率是 q(t); ，选取△使得该组合在[t,t+dt]内是无风险的。
1 [a; n, p] P[j a 1] P[
j np a 1 np ] ⑨ np(1 p) np(1 p)
另外我们有 log(S*/ S) jlog(u/ d) nlogd ，其中 S*是期末价格，S 是股票的期初价格。 所以可得股票的收益率的期望和方差分别为： p p log(u / d) logd ， p 2 p(1 p)[log(u/ d)]2 于是
二、 证明
1、 布莱克和斯科尔斯原文的推导方法 首先来导出 B-S 方程：用△对冲的方法，构造投资组合： V S ，即买入一份期权，同时卖 出△份股票，我们试图选取△使得该组合在[t,t+dt]内是无风险的。 由无套利条件， t 时刻该资产的收益率应为无风险利率， 即 dVt t dSt rt dt ， 由于 Vt V (St , t) ， 由 Ito 公式可得： dVt (
1 z2 ) e dz 2
2
⑤
x K (x K)2 对 g 取满足建设条件的近似可微函数，即 g (x) ，且 趋向于零，⑤式积分结 2
果即为 B-S 期权定价公式。 3、 通过 Cox-Ross-Rubinstein 模型 该方法的核心建立在 CRR 模型上，由 Cox、Ross、Rubinstein 在其原文中给出。它事实上是当 CRR 模型 中的时段划分趋向于无穷时，离散模型向连续模型的一种逼近。关于 CRR 模型的介绍在下一模块扩展中详 细给出，此处我们直接运用该思想导出 B-S 公式。 首先我们来关注二项定价模型的最终公式：
C [ (
j a
n
n! ) p j (1 p)n j (u j d n jS K )] / r n j !(n j )!
分成两个部分也就是：
C S [ (
j a
n
n n! n! ) p j (1 p)n j (u j d n j / r n )] Kr n [ ( ) p j (1 p) n j ] j !(n j )! j !(n j )! j a
我们注意到其实 q 和 p 是相等的 （q(uS)+(1-q)dS=rS） 。 故 p 其实即为风险中性下股票上涨或下跌的概率。 将上述过程推广到两步的情形：
用同样方法可以求解得到：
类似的我们可以推广到 n 步的情形，最终可得在 n 个时段的情况下，期权价格为：
C [ (
j 0
n
n! ) p j (1 p)n j [u j d n jS K ]] / r n j !(n j )!
由于等式右端是无风险的，故等式右端随机项 dWt 的系数一定为 0，故可得： 消去 dt 后我们得到：
V ，带入①式 S
V 1 2 S S
②
②式即为注明的刻画期权价格的偏微分方程——Black-Scholes 方程。
在如上假设前提下，最终 B-S 期权定价公式形式如下（c 是欧式看涨期权的价格，p 是欧式看跌期权的 价格） ：
c S0 N (d1 ) Ke rT N (d 2 ) p Ke rT N ( d 2 ) S0 N( d1 )
其中：S0 指股票在期初的价格，K 为期权执行价格，T 为期限，r 为无风险利率，N 是正态分布。且，