2019-2020学年高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1.doc
北师大版高中数学选修2-1《由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质》教学设计
由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质一、教学目标：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 二、教学重难点：1.初步掌握求曲线的方程的方法；2.能利用方程讨论曲线的简单性质 三、教学方法：探析归纳，讲练结合 四、教学过程（一）、复习：曲线的方程，方程的曲线的概念 （二）、探究新课1、求解曲线方程的一般步骤.例1、设A 、B 两点的坐标是（－1，－1），（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解：设M （x,y ）是线段AB 的垂直平分线上任意一点，也就是点M 属于集合{}|||| MB MA M P ==.由两点间的距离公式，点M 所适合条件可表示为：2222)7()3()1()1(-+-=+++y x y x将上式两边平方，整理得：x +2y －7=0 ① 我们证明方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.（1）由求方程的过程可知，垂直平分线上每一点的坐标都是方程①解； （2）设点M 1的坐标（x 1,y 1）是方程①的解，即x +2y 1－7=0 x 1=7－2y 1点M 1到A 、B 的距离分别是;)136(5 )1()28( )1()1(121212121211+-=++-=+++=y y y y y x A M ,)136(5 )7()24( )7()3(11121212121211B M A M y y y y y x B M =∴+-=-+-=-+-=即点M 1在线段AB 的垂直平分线上.由（1）、（2）可知方程①是线段AB 的垂直平分线的方程.由上面的例子可以看出，求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x,y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f (x,y )=0; （4）化方程f (x,y )=0为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点.说明：一般情况下，化简前后方程的解集是相同的，步骤（5）可以省略不写，如有特殊情况，可适当予以说明.另外，根据情况，也可以省略步骤（2），直接列出曲线方程. 例2、长为2a (a 是正常数)的线段AB 的两端点,A B 分别在相互垂直的两条直线上滑动，求线段AB 中点M 的轨迹．解：分别以两条互相垂直的直线为坐标轴，建立如图所示的直角坐标系xOy ，设M 的坐标为(,)x y ，∵ABC ∆是直角三角形，M 为斜边AB 的中点，所以12OM AB a ==即a =两边平方，得222x y a +=所以，动点M 的轨迹是以原点为圆心，a 为半径的圆．例3、求平面内到两定点,A B 的距离之比等于2的动点M 的轨迹方程． 解：以,A B 所在的直线为x 轴，线段AB 的垂直平分线为y 轴，建立（如图）直角坐标系x O y ，令2A B a =，则,A B 两点的坐标分别为(,0),(,0)a a -．设M 点坐标为(,)x y ，依据题意，点M 满足2MAMB=由MA MB ==2=，化简整理，得222331030x y ax a +-+=．所以，动点M 的轨迹方程为222331030x y ax a +-+=． 2、利用方程研究曲线的性质：【例4见教材第85页例题】（三）小结：本节课我们学习了求曲线的方程的方法以及利用方程讨论曲线的简单性质。
2019-2020学年高中数学北师大版选修2-1同步配套教学案：第三章 3.2 抛物线
_物_线2．1 抛物线及其标准方程[对应学生用书P49]如图，我们在黑板上画一条直线EF，然后取一个三角板，将一条拉链AB固定在三角板的一条直角边上，并将拉链下边一半的一端固定在C点，将三角板的另一条直角边贴在直线EF上，在拉锁D处放置一支粉笔，上下拖动三角板，粉笔会画出一条曲线．问题1：曲线上点D到直线EF的距离是什么？提示：线段DA的长．问题2：曲线上点D到定点C的距离是什么？提示：线段DC的长．问题3：曲线上的点到直线EF和定点C之间的距离有何关系？提示：相等．抛物线的定义已知某定点和定直线l(定点不在定直线l上)，且定点到l的距离为6，曲线上的点到定点距离与到定直线l 的距离相等．在推导曲线的方程的过程中，由建系的不同，有以下点和直线．A(3,0)，B(－3,0)，C(0,3)，D(0，－3)；l1：x＝－3，l2：x＝3，l3：y＝－3，l4：y＝3.问题1：到定点A和定直线l1距离相等的点的轨迹方程是什么？并指出曲线开口方向．提示：y 2＝12x . 向右．问题2：到定点B 和定直线l 2距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：y 2＝－12x . 向左．问题3：到定点C 和定直线l 3距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝12y . 向上．问题4：到定点D 和定直线l 4距离相等的点的轨迹方程是什么？曲线开口向哪？ 提示：x 2＝－12y . 向下．抛物线的标准方程1．平面内与一定点F 和一定直线l 距离相等的点的集合是抛物线，定点F 不在定直线上，否则点的轨迹是过点F 垂直于直线l 的直线．2．抛物线的标准方程有四种形式，顶点都在坐标原点，焦点在坐标轴上．[对应学生用书P50][例1] (1)y ＝14x 2；(2)x ＝ay 2(a ≠0)．[思路点拨] 首先根据抛物线的方程确定抛物线是哪一种类型，求出p .再写出焦点坐标和准线方程． [精解详析] (1)抛物线y ＝14x 2的标准形式为x 2＝4y ，∴p ＝2，∴焦点坐标是(0,1)，准线方程是y ＝－1.抛物线开口向上． (2)抛物线方程的标准形式为y 2＝1ax ，∴2p ＝1|a|.①当a >0时，p 2＝14a，抛物线开口向右，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a ；②当a <0时，p 2＝－14a，抛物线开口向左，∴焦点坐标是⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程是x ＝－14a .综合上述，当a ≠0时，抛物线x ＝ay 2的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫14a ，0，准线方程为x ＝－14a .a >0时，开口向右；a <0时，开口向左．[一点通]1．先将抛物线方程化成标准形式，再判断开口方向、焦点位置，准确地求出p 值．2．抛物线y 2＝2ax (a ≠0)的焦点坐标⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0，准线x ＝－a2，不必讨论a 的正负．1．抛物线x 2＝8y 的焦点坐标是( ) A ．(0,2) B ．(0，－2) C ．(4,0)D ．(－4,0)解析：由抛物线的方程为x 2＝8y 知，抛物线的焦点在y 轴上，所以2p ＝8，p2＝2，所以焦点坐标为(0,2)，故选A.答案：A2．(北京高考)若抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，则p ＝________，准线方程为________．解析：因为抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准线方程为x ＝－p2，抛物线y 2＝2px 的焦点坐标为(1,0)，所以p ＝2，准线方程为x ＝－1.答案：2 x ＝－1[例2] (1)过点(－3,2)；(2)焦点在直线x －2y －4＝0上；(3)已知抛物线焦点在y 轴上，焦点到准线的距离为3.[思路点拨] 确定p 的值和抛物线的开口方向，写出标准方程．[精解详析] (1)设所求的抛物线方程为y 2＝－2p 1x (p 1>0)或x 2＝2p 2y (p 2>0)，∵过点(－3,2)， ∴4＝－2p 1(－3)或9＝2p 2·2. ∴p 1＝23或p 2＝94.故所求的抛物线方程为y 2＝－43x 或x 2＝92y .(2)令x ＝0得y ＝－2，令y ＝0得x ＝4， ∴抛物线的焦点为(4,0)或(0，－2)． 当焦点为(4,0)时，p2＝4，∴p ＝8，此时抛物线方程y 2＝16x ； 当焦点为(0，－2)时，p2＝|－2|，∴p ＝4，此时抛物线方程为x 2＝－8y . 故所求的抛物线的方程为y 2＝16x 或x 2＝－8y .(3)由题意知，抛物线标准方程为x 2＝2py (p >0)或x 2＝－2py (p >0)且p ＝3，∴抛物线标准方程为x 2＝6y 或x 2＝－6y .[一点通]求抛物线标准方程的方法有：(1)定义法，求出焦点到准线的距离p ，写出方程．(2)待定系数法，若已知抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出p 值即可，若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论．另外，焦点在x 轴上的抛物线方程可统一设成y 2＝ax (a ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线方程可统一设成x 2＝ay (a ≠0)．3．(陕西高考)设拋物线的顶点在原点，准线方程为x ＝－2，则拋物线的方程是( ) A ．y 2＝－8x B ．y 2＝8x C ．y 2＝－4x D ．y 2＝4x解析：由准线方程x ＝－2，可知拋物线为焦点在x 轴正半轴上的标准方程，同时得p ＝4，所以标准方程为y 2＝2px ＝8x .答案：B4．抛物线的顶点在原点，对称轴是x 轴，抛物线上一点(－5,25)到焦点的距离是6，则抛物线的方程是________．解析：因为点(－5,25)在第二象限，且以原点为顶点，x 轴为对称轴，故抛物线开口向左，设其方程为y 2＝－2px ，把(－5,25)代入得p ＝2，故所求方程为y 2＝－4x .答案：y 2＝－4x5．已知焦点在x 轴上，且抛物线上横坐标为3的点A 到焦点的距离为5，求抛物线的标准方程． 解：由题意，设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，其准线为x ＝－p2.∵A 到焦点的距离为5，∴A 到准线的距离也是5，即3－⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2＝5，解得p ＝4.故所求的抛物线标准方程为y 2＝8x .[例3]某隧道横断面由抛物线和矩形的三边组成，尺寸如图所示，某卡车载一集装箱，箱宽3 m ，车与箱共高4m ，此车能否通过此隧道？请说明理由．[思路点拨] 可先建立坐标系并把图中的相关数据转化为曲线上点的坐标，求出抛物线方程，然后比较当车辆从正中通过时，1.5 m 处的抛物线距地面高度与车辆高度的大小进行判断．[精解详析] 建立如图所示的平面直角坐标系．设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，当x ＝3时，y ＝－3，即点(3，－3)在抛物线上． 代入得2p ＝3，故抛物线方程为x 2＝－3y . 已知集装箱的宽为3 m ，当x ＝32时，y ＝－34，而桥高为5 m ，所以5－34＝414>4.故卡车可通过此隧道． [一点通]1．本题的解题关键是把实际问题转化为数学问题，利用数学模型，通过数学语言(文字、符号、图形、字母等)表达、分析、解决问题．2．在建立抛物线的标准方程时，以抛物线的顶点为坐标原点，对称轴为一条坐标轴建立坐标系．这样可使得方程的形式更为简单，便于计算．6．某河上有抛物线形拱桥，当水面距拱顶6 m 时，水面宽10 m ，抛物线的方程可能是( ) A ．x 2＝－256yB ．x 2＝－2512yC ．x 2＝－365yD ．x 2＝－2524y解析：建立直角坐标系如图，设抛物线方程为x 2＝－2py (p >0)，则P (5，－6)在抛物线上．∴25＝－2p (－6)，∴p ＝2512.∴抛物线方程为x 2＝－256y .答案：A7．某抛物线形拱桥跨度是20米，拱桥高度是4米，在建桥时，每4米需用一根支柱支撑，求其中最长支柱的长．解：如图，建立平面直角坐标系，设抛物线方程为x 2＝－2py (p ＞0)．依题意知，点P (10，－4)在抛物线上， ∴100＝－2p ×(－4)，2p ＝25. 即抛物线方程为x 2＝－25y . ∵每4米需用一根支柱支撑， ∴支柱横坐标分别为－6，－2,2,6.由图知，AB 是最长的支柱之一，点B 的坐标为(2，y B )，代入x 2＝－25y ，得y B ＝－425.∴|AB |＝4－425＝3.84，即最长支柱的长为3.84米．1．确定抛物线的标准方程，只需求一个参数p ，但由于标准方程有四种类型，因此，还应确定开口方向，当开口方向不确定时，应进行分类讨论．有时也可设标准方程的统一形式，避免讨论，如焦点在x 轴上的抛物线标准方程可设为y 2＝2mx (m ≠0)，焦点在y 轴上的抛物线标准方程可设为x 2＝2my (m ≠0)．2．求抛物线标准方程的方法：特别注意在设标准方程时，若焦点位置不确定，要分类讨论．错误!1．抛物线y ＝－18x 2的焦点坐标是( )A ．(0，－4)B ．(0，－2)C ．(－12，0)D ．(－132，0)解析：抛物线方程可化成x 2＝－8y ，所以焦点坐标为(0，－2)，故选B. 答案：B2．若抛物线y 2＝2px 的焦点与椭圆x26＋y22＝1的右焦点重合，则p 的值为( )A ．4B ．2C ．6D ．8解析：∵a 2＝6，b 2＝2， ∴c 2＝a 2－b 2＝4，c ＝2.椭圆的右焦点为(2,0)，∴p2＝2，p ＝4.答案：A3．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝2，则a 的值为( ) A.18 B ．－18C ．8D ．－8解析：由y ＝ax 2，得x 2＝1a y ，14a ＝－2，a ＝－18.答案：B4．若动圆与圆(x －2)2＋y 2＝1外切，又与直线x ＋1＝0相切，则动圆圆心的轨迹方程是( ) A ．y 2＝8x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝4xD ．y 2＝－4x解析：设动圆的半径为r ，圆心O ′(x ，y )，且O ′到点(2,0)的距离为r ＋1，O ′到直线x ＝－1的距离为r ，所以O ′到(2,0)的距离与到直线x ＝－2的距离相等，由抛物线的定义知y 2＝8x .答案：A5．抛物线y 2＝2px 过点M (2,2)，则点M 到抛物线准线的距离为________．解析：因为y 2＝2px 过点M (2,2)，于是p ＝1，所以点M 到抛物线准线的距离为2＋p 2＝52.答案：526．已知点P (6，y )在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，若点P 到抛物线焦点F 的距离等于8，则焦点F 到抛物线准线的距离等于________．解析：抛物线y 2＝2px (p ＞0)的准线为x ＝－p2，因为P (6，y )为抛物线上的点，所以P 到焦点F 的距离等于它到准线的距离，所以6＋p2＝8，所以p ＝4，故焦点F 到抛物线准线的距离等于4.答案：47．由条件解下列各题的标准方程及准线方程．(1)求焦点在直线2x －y ＋5＝0上的抛物线的标准方程及其准线方程． (2)已知抛物线方程为2x 2＋5y ＝0，求其焦点和准线方程． (3)已知抛物线方程为y ＝mx 2(m ≠0)，求其焦点坐标及准线方程．解：(1)直线2x －y ＋5＝0与坐标轴的交点为⎝ ⎛⎭⎪⎫－52，0，(0,5)，以此两点为焦点的抛物线方程分别为y 2＝－10x ，x 2＝20y .其对应准线方程分别是x ＝52，y ＝－5.(2)抛物线方程即为x 2＝－52y ，焦点为⎝⎛⎭⎪⎫0，－58，准线方程：y ＝58.(3)抛物线方程即为x 2＝1m y (m ≠0)，焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，14m ，准线方程y ＝－14m .8.如图，已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点为F ，A 是抛物线上横坐标为4，且位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5，过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B ，OB 的中点为M .(1)求抛物线方程；(2)过M 作MN ⊥F A ，垂足为N ，求点N 的坐标． 解：(1)抛物线y 2＝2px 的准线为x ＝－p2，于是，4＋p2＝5，p ＝2.所以抛物线方程为y 2＝4x . (2)因为点A 的坐标是(4,4)， 由题意得B (0,4)，M (0,2)． 又F (1,0)，所以k AF ＝43.因为MN ⊥F A ，所以k MN ＝－34.则F A 的方程为y ＝43(x －1)，MN 的方程为y ＝－34x ＋2.解方程组错误!得错误!所以N ⎝ ⎛⎭⎪⎫85，45.2.2 抛物线的简单性质[对应学生用书P52]太阳能是最清洁的能源．太阳能灶是日常生活中应用太阳能的典型例子．太阳能灶接受面是抛物线一部分绕其对称轴旋转一周形成的曲面．它的原理是太阳光线(平行光束)射到抛物镜面上，经镜面反射后，反射光线都经过抛物线的焦点，这就是太阳能灶把光能转化为热能的理论依据．问题1：抛物线有几个焦点？提示：一个．问题2：抛物线的顶点与椭圆有什么不同？提示：椭圆有四个顶点，抛物线只有一个顶点．问题3：抛物线有对称中心吗？提示：没有．问题4：抛物线有对称轴吗？若有对称轴，有几条？提示：有；1条．抛物线的简单性质1．抛物线只有一条对称轴，没有对称中心； 2．抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线； 3．抛物线的离心率是确定的，e ＝1；4．抛物线的焦点和准线分别在顶点的两侧，且它们到顶点的距离相等，均为p2.[对应学生用书P53][1]已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x 轴，且与圆x 2＋y 2＝4相交的公共弦长等于23，求这条抛物线的方程．[思路点拨] 因为圆和抛物线都关于x 轴对称，所以它们的交点也关于x 轴对称，即公共弦被x 轴垂直平分，于是由弦长等于23，可知交点纵坐标为±3.[精解详析]如图，设所求抛物线的方程为y 2＝2px (p >0)或y 2＝－2px (p >0)，设交点A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)(y 1>0，y 2<0)， 则|y 1|＋|y 2|＝23， 即y 1－y 2＝23.由对称性知y 2＝－y 1，∴y 1＝3.将y 1＝3代入x 2＋y 2＝4得x ＝±1， ∴点(1，3)，(－1，3)分别在抛物线y 2＝2px ，y 2＝－2px 上．∴3＝2p 或3＝(－2p )×(－1)，p ＝32.故所求抛物线的方程为y 2＝3x 或y 2＝－3x . [一点通]由抛物线的性质求抛物线的标准方程时，关键是确定抛物线的焦点位置，并结合其性质求解p 的值，其主要步骤为：1．顶点在原点，对称轴是y 轴，并且顶点与焦点的距离等于3的抛物线的标准方程为( ) A ．x 2＝±3y B ．y 2＝±6x C ．x 2＝±12yD ．x 2＝±6y解析：由顶点与焦点的距离等于3，所以p2＝3，p ＝6.又因为对称轴是y 轴，所以抛物线标准方程为x 2＝±12y .答案：C2．边长为1的等边三角形AOB ，O 为原点，AB ⊥x 轴，以O 为顶点且过A ，B 的抛物线方程是( ) A ．y 2＝36x B ．y 2＝－36xC ．y 2＝±36x D ．y 2＝±33x解析：当抛物线焦点在x 轴正半轴上时，如图所示，∵△OAB 为等边三角形，且边长为1.∴A ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫32，12.设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)， ∴14＝2p ·32，∴p ＝312， ∴抛物线方程为y 2＝36x ，同理，当抛物线的焦点在x 轴负半轴上时，方程为y 2＝－36x .答案：C3．已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，有一个内接直角三角形，直角顶点在原点，斜边长为213，一直角边所在的直线方程是y ＝2x ，求此抛物线的方程．解：由题意得另一直角边所在的直线方程是y ＝－12x .由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝2x得三角形的一顶点为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，p ， 由⎩⎪⎨⎪⎧y2＝2px ，y ＝－12x 得三角形的另一个顶点为(8p ，－4p )，由已知，得⎝⎛⎭⎪⎫8p －p 22＋(－4p －p )2＝(213)2.解得p ＝45.故所求抛物线的方程为y 2＝85x .[例2] 若动点M[思路点拨] “点M 与点F 的距离比它到直线l ：x ＋5＝0的距离小1”，就是“点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离”，由此可知点M 的轨迹是以F 为焦点，直线x ＋4＝0为准线的抛物线．[精解详析] 如图，设点M 的坐标为(x ，y )．由已知条件可知，点M 与点F 的距离等于它到直线x ＋4＝0的距离．根据抛物线的定义，点M 的轨迹是以F (4,0)为焦点的抛物线，且p2＝4，即p ＝8.因为焦点在x 轴的正半轴上，所以点M 的轨迹方程为：y 2＝16x . [一点通]由于抛物线上的点到焦点距离与到准线距离相等，所以常把抛物线上点到焦点距离转化为到准线距离处理．即：若p (x 0，y 0)是抛物线y 2＝2px 上任意一点，则p 到焦点F 的距离为|PF |＝x 0＋p2(称为焦半径)．4．平面上点P 到定点(0，－1)的距离比它到y ＝2的距离小1，则点P 轨迹方程为________．解析：由题意，即点P 到(0，－1)距离与它到y ＝1距离相等，即点P 是以(0，－1)为焦点的抛物线，方程为x 2＝－4y .答案：x 2＝－4y5．已知抛物线y 2＝2x 的焦点是F ，点P 是抛物线上的动点，又有点A (3,2)，求|P A |＋|PF |的最小值，并求出取最小值时P 点坐标．解：将x ＝3代入抛物线方程y 2＝2x ，得y ＝±6. ∵6>2，∴A 在抛物线内部．设抛物线上点P 到准线l ：x ＝－12的距离为d ，由定义知|P A |＋|PF |＝|P A |＋d ，由图可知，当P A ⊥l 时，|P A |＋d 最小，最小值为72，设P (x 0，y 0)，则y 0＝2， ∴x 0＝2.故P 点坐标为(2,2)．[例3] 已知抛物线y 2＝2px (p >0)，直线l 过抛物线焦点F ⎝ ⎭⎪p 2，0与抛物线交于A ，B 两点．求证：以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切．[思路点拨] 解答本题可设出A ，B 两点坐标，并用A ，B 的坐标表示圆心坐标，然后证明圆心到准线的距离为圆的半径．[精解详析] 设直线l 与抛物线两交点A ，B 坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则中点M ⎝⎛⎭⎪⎫x1＋x22，y1＋y22. 而|AB |＝|AF |＋|BF |＝x 1＋p2＋x 2＋p2＝x 1＋x 2＋p .设圆心M 到准线x ＝－p2的距离为d ，则d ＝x1＋x22＋p 2＝x1＋x2＋p 2，∴d ＝|AB|2，即圆心到准线x ＝－p2的距离等于圆的半径．∴以AB 为直径的圆与抛物线的准线相切． [一点通]1．涉及抛物线的焦半径、焦点弦长问题可以优先考虑利用定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离．2．设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，若AB 是抛物线y 2＝2px (p >0)过焦点F 的一条弦，则①|AB |＝x 1＋x 2＋p ，②x 1·x 2＝p24，y 1y 2＝－p 2.6．过抛物线y 2＝4x 的焦点作直线交抛物线于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，若x 1＋x 2＝6，则|AB |的值为( )A ．10B ．8C ．6D ．4解析：∵y 2＝4x ，∴2p ＝4，p ＝2. ∴由抛物线定义知： |AF |＝x 1＋1，|BF |＝x 2＋1， ∴|AB |＝|AF |＋|BF |＝ x 1＋x 2＋2＝6＋2＝8. 答案：B 7．(江西高考)已知点A (2,0)，抛物线C ：x 2＝4y 的焦点为F ，射线F A 与抛物线C 相交于点M ，与其准线相交于点N ，则|FM |∶|MN |＝( )A ．2∶5B ．1∶2C ．1∶5D ．1∶3解析：如图，直线MF 的方程为x2＋y1＝1，即x ＋2y －2＝0.设直线MF 的倾斜角为α，则tan α＝－12.由抛物线的定义得|MF |＝|MQ |.所以|MF||MN|＝|MQ||MN|＝sin α＝15.答案：C1．抛物线y 2＝2px 上的点P (x 0，y 0)到焦点F 的距离(焦半径)：|PF |＝x 0＋p2.2．若过抛物线y 2＝2px 的焦点的直线与抛物线相交于A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)两点，则|AB |＝x 1＋x 2＋p (焦点弦公式)．当AB ⊥x 轴时，AB 为通径且|AB |＝2p .3．解决与焦点弦有关的问题：一是注意运用焦点弦所在直线方程和抛物线方程联立方程组，再结合根与系数的关系解题；二是注意焦点弦、焦半径公式的应用，注意整体思想的运用．错误!1．设抛物线的顶点在原点，焦点F 在y 轴上，抛物线上的点(k ，－2)与F 的距离为4，则k 的值为( ) A ．4 B ．－2 C ．4或－4D ．2或－2解析：由题意知抛物线方程可设为x 2＝－2py (p ＞0)，则p2＋2＝4，∴p ＝4，∴x 2＝－8y ，将(k ，－2)代入得k ＝±4. 答案：C2．已知F 是抛物线y 2＝x 的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，|AF |＋|BF |＝3，则线段AB 的中点到y 轴的距离为( )A.34B ．1 C.54D.74解析：根据抛物线定义与梯形中位线定理，得线段AB 中点到y 轴的距离为：12(|AF |＋|BF |)－14＝32－14＝54.答案：C 3．(新课标全国卷Ⅰ)O 为坐标原点，F 为抛物线C ：y 2＝42x 的焦点，P 为C 上的一点，若|PF |＝42，则△POF 的面积为( )A ．2B ．22C ．23D ．4解析：如图，设点P 的坐标为(x 0，y 0)，由|PF |＝x 0＋2＝42，得x 0＝32，代入抛物线方程得，y 20＝42×32＝24，所以|y 0|＝26，所以S △POF ＝12|OF ||y 0|＝12×2×26＝23.答案：C4．设抛物线y 2＝8x 的焦点为F ，准线为l ，P 为抛物线上一点，P A ⊥l ，A 为垂足．如果直线AF 的斜率为－3，那么|PF |＝( )A ．43B ．8C ．83D ．16解析：由抛物线的定义得，|PF |＝|P A |，又由直线AF 的斜率为－3，可知∠P AF ＝60°.△P AF 是等边三角形，∴|PF |＝|AF |＝4cos 60°＝8.答案：B5．顶点在原点，焦点在x 轴上且通径长为6的抛物线方程是________．解析：设抛物线的方程为y 2＝2ax ，则F ⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2，0.∴|y |＝2a×a 2＝a2＝|a |.由于通径长为6，即2|a |＝6， ∴a ＝±3.∴抛物线方程为y 2＝±6x . 答案：y 2＝±6x6．对于顶点在原点的抛物线，给出下列条件： ①焦点在y 轴上； ②焦点在x 轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6； ④抛物线的通径的长为5；⑤由原点向过焦点的某条直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．则使抛物线方程为y 2＝10x 的必要条件是________(要求填写合适条件的序号)． 解析：由抛物线方程y 2＝10x ，知它的焦点在x 轴上，所以②适合．又∵它的焦点坐标为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，原点O (0,0)，设点P (2,1)，可得k PO ·k PF ＝－1，∴⑤也合适．而①显然不合适，通过计算可知③④不合题意．∴应填序号为②⑤. 答案：②⑤7．已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M (2，y 0)．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，求抛物线方程及|OM |的值．解：设抛物线方程为y 2＝2px (p >0)，则焦点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，准抛物线方程为x ＝－p2.∵M 在抛物线上，∴M 到焦点的距离等于到准线的距离，即 ∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2－p 22＋y20＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋p 22＝3. 解得：p ＝1，y 0＝±22，∴抛物线方程为y 2＝2x . ∴点M (2，±22)，根据两点间距离公式有：|OM |＝错误!＝2错误!.8．已知y ＝x ＋m 与抛物线y 2＝8x 交于A ，B 两点． (1)若|AB |＝10，求实数m 的值； (2)若OA ⊥OB ，求实数m 的值．解：由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝x ＋m ，y2＝8x得x 2＋(2m －8)x ＋m 2＝0.设A (x 1，y 1)，B (x 2、y 2)，则x 1＋x 2＝8－2m ，x 1·x 2＝m 2，y 1·y 2＝m (x 1＋x 2)＋x 1·x 2＋m 2＝8m . (1)因为|AB |＝1＋k2错误!＝错误!·错误!＝10，所以m ＝错误!.(2)因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝m 2＋8m ＝0，解得m ＝－8，m ＝0(舍去)．故实数m 的值为－8.。
2020-2021学年北师大版数学选修2-1学案：3.4.1 曲线与方程 Word版含解析
§4曲线与方程4．1曲线与方程授课提示：对应学生用书第46页一、方程的曲线与曲线的方程的意义一般地，在平面直角坐标系中，如果某曲线C(看作满足某种条件的点的集合或轨迹)上的点与一个二元方程f(x，y)＝0的实数解建立了如下的关系：1．曲线上点的坐标都是这个方程的解；2．以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．那么，这个方程叫作曲线的方程，这条曲线叫作方程的曲线．二、求曲线方程(直接法)的一般步骤1．建立适当的坐标系，用有序实数对(x，y)表示曲线上任意一点M的坐标；2．写出适合条件的点M的集合P＝{M|p(M)}；3．用坐标表示条件p(M)，列出方程f(x，y)＝0；4．化方程f(x，y)＝0为最简形式；5．说明以化简后的方程的解为坐标的点都在曲线上．一般地，步骤5可以省略不写，如有特殊情况，可以适当说明，另外也可以省略2，直接列出曲线方程．[疑难提示]对曲线与方程的理解曲线是满足条件的图形，方程是曲线的方程，包含对其中未知数的限制．[想一想]1．如果曲线C的方程是f(x，y)＝0，那么点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是什么？提示：若点P在曲线C上，则f(x0，y0)＝0；若f(x0，y0)＝0，则点P在曲线C上，∴点P(x0，y0)在曲线C上的充要条件是f(x0，y0)＝0.[练一练]2．设方程f(x，y)＝0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x，y)＝0的点都在曲线C 上”是不正确的，则下列命题正确的是()A．坐标满足方程f(x，y)＝0的点都不在曲线C上B．曲线C上的点的坐标都不满足方程f(x，y)＝0C．坐标满足方程f(x，y)＝0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D．一定有不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)＝0解析：“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点都在曲线C 上”不正确，即“坐标满足方程f (x ，y )＝0的点不都在曲线C 上”是正确的．“不都在”包括“都不在”和“有的在，有的不在”两种情况，故A 、C 错．B 显然错．答案：D授课提示：对应学生用书第47页探究一 曲线与方程的概念[典例1] 已知方程x 2＋(y －1)2＝10.(1)判断点P (1，－2)，Q (2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M (m 2，－m )在此方程表示的曲线上，求m 的值． [解析] (1)∵12＋(－2－1)2＝10，(2)2＋(3－1)2＝6≠10，∴点P (1，－2)在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，点Q (2，3)不在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上．(2)∵点M (m 2，－m )在方程x 2＋(y －1)2＝10表示的曲线上，∴x ＝m 2，y ＝－m 适合上述方程，即(m 2)2＋(－m －1)2＝10，化简整理得5m 2＋8m －36＝0，解得m ＝2或m ＝－185， ∴m 的值为2或－185.“曲线的方程”和“方程的曲线”是以平面直角坐标系为平台的两个重要概念，两者必须同时具备以下两个条件：(1)曲线上点的坐标都是这个方程的解；(2)以这个方程的解为坐标的点都在曲线上．也就是说，曲线C 是一个点集，以方程f (x ，y )＝0的实数解为坐标的点的集合F ＝{(x ，y )|f (x ，y )＝0}，曲线和方程的概念中的两个条件可以表示为(1)C ⊆F ；(2)F ⊆C .由两个集合相等的概念知C ＝F .所以曲线和方程的概念中的两个条件实际上是两个集合相等，这是判断方程是否为所给曲线的方程，曲线是否为所给方程的曲线的标准．1．下列曲线(含直线)与方程能否建立“曲线的方程”和“方程的曲线”的关系？说明理由．(1)曲线C ：过点A (2,0)且平行于y 轴的直线；方程f (x ，y )＝0：|x |＝2.(2)曲线C ：到两坐标轴的距离的积等于1的点的集合；方程f (x ，y )＝0：xy ＝1.解析：(1)过点A (2,0)且平行于y 轴的直线上的点的坐标x ＝2都是方程|x |＝2的解；而以方程|x |＝2的解为坐标的点不都在这条直线上．也就是说，曲线与方程只满足关系(1)而不满足关系(2)，故该曲线C 的方程为x ＝2，方程|x |＝2表示两条直线．(2)到两坐标轴的距离的积等于1的点的坐标不都是方程xy ＝1的解，如点(1，－1)，而以方程xy ＝1的解为坐标的点都在曲线C 上．也就是说，曲线与方程只满足关系(2)而不满足关系(1)，故该曲线C 的方程为xy ＝±1，方程xy ＝1表示位于一、三象限的双曲线．2．(1)判断点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)是否在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；(2)方程x 2(x 2－1)＝y 2(y 2－1)所表示的曲线是C ，若点M (m ，2)与点N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，求m ，n 的值．解析：(1)把点A (－4,3)的坐标代入方程x 2＋y 2＝25中，满足方程，且点A 的横坐标满足x ≤0，则点A 在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点B (－32，－4)的坐标代入x 2＋y 2＝25， 因为(－32)2＋(－4)2＝34≠25，所以点B 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上；把点C (5，25)的坐标代入x 2＋y 2＝25，得(5)2＋(25)2＝25，满足方程，但因为横坐标5不满足x ≤0的条件，所以点C 不在方程x 2＋y 2＝25(x ≤0)所表示的曲线上．(2)因为点M (m ，2)，N ⎝⎛⎭⎫32，n 在曲线C 上，所以它们的坐标都是方程的解，所以m 2(m 2－1)＝2×1，34×⎝⎛⎭⎫－14＝n 2(n 2－1)，解得m ＝±2，n ＝±12或±32.探究二 根据方程研究曲线[典例2] 方程y ＝|x |x2所表示的图形是( )[解析] 方程y ＝|x |x 2＝⎩⎨⎧ 1x ，x ＞0，－1x ，x ＜0，结合各选项的图形可得正确的图形为 B.[答案] B判断方程表示什么曲线的问题，一般的解题方法是对方程进行同解变形，此时可将方程视为函数，研究其定义域，从而把方程变形到易于判断或熟知的方程为止．对于复杂的方程，需进行因式分解，得到每个简单方程表示的曲线，此时，原方程表示的曲线即为上述各曲线．3．方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是( )A ．两条直线B ．两条射线C ．两条线段D ．一条直线和一条射线解析：由(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0，得2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x －3－1＝0，即2x ＋3y －1＝0(x ≥3)或x ＝4，所以方程(2x ＋3y －1)(x －3－1)＝0表示的曲线是一条直线和一条射线．故选D.答案：D4．(1)方程(x ＋y －1)x －1＝0表示什么曲线？(2)方程2x 2＋y 2－4x ＋2y ＋3＝0表示什么曲线？解析：(1)由方程(x ＋y －1)x －1＝0可得：⎩⎪⎨⎪⎧x －1≥0，x ＋y －1＝0，或x －1＝0， 即x ＋y －1＝0(x ≥1)或x ＝1，∴方程表示直线x ＝1和射线x ＋y －1＝0(x ≥1)，(2)方程的左边配方得2(x －1)2＋(y ＋1)2＝0，而2(x －1)2≥0，(y ＋1)2≥0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 2(x －1)2＝0，(y ＋1)2＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝－1， ∴方程表示的图形为点A (1，－1)．探究三 求曲线的方程求曲线方程的常用方法—⎪⎪⎪⎪ —直接法—定义法—代入法—参数法5．已知A (0,4)，点B 是曲线2x 2＋1－y ＝0上任意一点，且M 是线段AB 的中点，求动点M 的轨迹方程．解析：设B (x 1，y 1)，M (x ，y )，由M 是线段AB 的中点，得⎩⎨⎧x ＝x 12y ＝y 1＋42，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x y 1＝2y －4. 又点B 在曲线2x 2＋1－y ＝0上，∴2x 21＋1－y 1＝0，∴2×(2x )2＋1－(2y －4)＝0，即8x 2－2y ＋5＝0，∴动点M 的轨迹方程是8x 2－2y ＋5＝0.6．已知两圆C 1：(x －4)2＋y 2＝169，C 2：(x ＋4)2＋y 2＝9，动圆在⊙C 1的内部，且和⊙C 1内切，和⊙C 2外切，求动圆圆心的轨迹方程．解析：由已知可得圆C 1与C 2的圆心坐标分别为C 1(4,0)，C 2(－4，0)，其半径分别为r 1＝13，r 2＝3.设动圆的圆心为C ，其坐标为(x ，y )，动圆的半径为r .由于圆C 1与圆C 相内切，依据两圆内切的充要条件，可得|C 1C |＝r 1－r .①由于圆C 2与圆C 相外切，依据两圆外切的充要条件，可得|C 2C |＝r 2＋r .②由①＋②可得|CC 1|＋|CC 2|＝r 1＋r 2＝13＋3＝16，即点C 到两定点C 1与C 2的距离之和为16，且|C 1C 2|＝8，可知动点C 的轨迹是以C 1与C 2为焦点的椭圆．由题意，得c ＝4，a ＝8，∴b 2＝a 2－c 2＝64－16＝48.即动圆圆心的轨迹为焦点在x 轴上的椭圆，其方程为x 264＋y 248＝1. 7．已知A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，|BC |＝4，点A 到直线l 的距离为3，求△ABC 外心的轨迹方程．解析：建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，点A 在y 轴上(如图所示)，则A (0,3)． 设△ABC 的外心为P (x ，y )，因为点P 在线段BC 的垂直平分线上，所以不妨令B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．连接AP ，BP .因为点P 在线段AB 的垂直平分线上，所以|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简得x 2－6y ＋5＝0.于是△ABC 外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.8．A 为定点，线段BC 在定直线l 上滑动，已知|BC |＝4，A 到l 的距离为3，求△ABC 的外心的轨迹方程．解析：解法一(直接法) 建立平面直角坐标系，使x 轴与l 重合，A 点在y 轴上(如图所示)，则A (0，3)．设外心P 的坐标为(x ，y )，∵P 在BC 的垂直平分线上，∴B (x ＋2,0)，C (x －2,0)．∵P 也在AB 的垂直平分线上，∴|P A |＝|PB |，即x 2＋(y －3)2＝22＋y 2，化简，得x 2－6y ＋5＝0.即△ABC 的外心的轨迹方程为x 2－6y ＋5＝0.解法二(参数法) 建立坐标系(同解法一)，得A (0,3)．设BC 边的垂直平分线的方程为x ＝t ，①则点B 的坐标为(t ＋2,0)，于是AB 的中点是⎝⎛⎭⎫t ＋22，32，从而AB 的垂直平分线方程为y －32＝t ＋23⎝⎛⎭⎫x －t ＋22.② 由①②式消去t ，得x 2－6y ＋5＝0，即为所求．转化思想在求解有关轨迹方程问题中的应用[典例] 已知点Q (2,0)和圆x 2＋y 2＝1，动点M 到圆O 的切线长等于圆O 的半径与|MQ |的和，求动点M 的轨迹方程．[解析] 如图，过M 作圆的切线MN ，N 为切点，设M (x ，y )．由题意知|MN |＝|MQ |＋|ON |，由于|MN |＝|OM |2－|ON |2＝x 2＋y 2－1， |MQ |＝ (x －2)2＋y 2，|ON |＝1， 所以x 2＋y 2－1＝(x －2)2＋y 2＋1两边平方整理得2x －3＝(x －2)2＋y 2，再两边平方整理得3x 2－y 2－8x ＋5＝0.即：9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1.因为2x －3＝(x －2)2＋y 2中2x －3≥0，所以x ≥32.所以动点M 的轨迹方程为9⎝⎛⎭⎫x －432－3y 2＝1⎝⎛⎭⎫x ≥32. [感悟提高] (1)对方程的化简及自变量的取值是重难点．(2)求曲线方程要注意两个等价：一是所列方程与题目要求是否等价；二是对方程化简变形是否等价．莘莘学子，最重要的就是不要去看远方模糊的，而要做手边清楚的事。
3.4.1曲线与方程 教案(北师大版选修2-1)
§4 曲线与方程4.1曲线与方程●三维目标1．知识与技能(1)了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系．(2)初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．(3)学会根据已有的情景资料找规律，培养学生分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法．2．过程与方法(1)通过直线方程的复习引入，加强学生对方程的解和曲线上的点的一一对应关系的直观认识．(2)在形成曲线和方程概念的过程中，学生经历观察、分析、讨论等数学活动过程，探索出结论并能有条理的阐述自己的观点．(3)能用所学知识理解新的概念，并能运用概念解决实际问题，从中体会转化化归的思想方法，提高思维品质，发展应用意识．3．情感、态度与价值观(1)通过概念的复习引入，从特殊到一般，让学生感受事物的发展规律．(2)通过本节课的学习，学生能够体验几何问题可以转化成代数问题来研究，真正认识到数学是解决实际问题的重要工具．(3)学生通过观察、分析、推断可以获得数学猜想，体验到数学活动充满着探索性和创造性．●重点难点重点：“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念．难点：利用定义验证曲线是方程的曲线，方程是曲线的方程．本节课，学生容易对定义中为什么要规定两个关系产生困惑，可通过反例揭示两者缺一不可的关系．为了强化认识，可用集合相等的概念来解释曲线和方程的对应关系，这将有助于学生的理解．通常在由已知曲线建立方程的时候，不验证以方程的解为坐标的点是否在曲线上，就认为所求的是曲线方程．为了突破这个难点，可设计不同层次的问题，通过这些问题让学生进一步领会二者缺一不可．●教学建议本节课，学生已有了用方程表示曲线的感性认识(二元一次方程表示直线)，现在要进一步研究平面内的曲线和含有二元方程之间的关系，是由直观上升到抽象的过程．所以本节课可采用复习引入课题、从特殊到一般的方法让学生易于接受．教学方法上，可采用启发探究式，以问题的提出、问题的解决为主线进行教学．在教学中，通过探究发现、合作交流、归纳反思等数学活动，倡导学生主动参与，让学习过程成为主动认知过程．在教学中，要循善诱，精心启发，创造思维情景让学生去观察、去探索、去发现问题、去解决问题，进而培养学生的创造性思维．●教学流程设置情境导入新课.――→探究通过例子探究定义中两个条件缺一不可――→概括归纳曲线与方程的定义――→探究求曲线方程的方法―→训练反馈―→归纳提升1．如果曲线与方程仅满足“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”，会出现什么情况？举例说明．【提示】 方程y ＝1－x 2表示的曲线是半圆，而非整圆．2．轨迹与轨迹方程这两个概念相同吗？。
2019-2020学年高二数学北师大版选修2-1教师用书：第3章 3.1 双曲线及其标准方程 Word版含答案
§3 双曲线3．1 双曲线及其标准方程1．掌握双曲线的定义及其应用．(重点) 2．掌握双曲线的标准方程及其推导过程．(难点) 3．会求双曲线的标准方程．(易混点)教材整理1 双曲线的定义阅读教材P 78“动手实践”以下的部分，完成下列问题．我们把平面内到两定点F 1、F 2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F 1F 2|)的点的集合叫作双曲线．定点F 1、F 2叫作双曲线的焦点，两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距．1．双曲线x225－y29＝1的两个焦点分别是F 1，F 2，双曲线上一点P 到F 1的距离是12，则P 到F 2的距离是( )A ．17B ．7C ．7或17D ．2或22【解析】 由双曲线定义知||PF 1|－|PF 2||＝10，即|12－|PF 2||＝10.解得|PF 2|＝2或|PF 2|＝22. 【答案】 D2．设F 1，F 2是双曲线x216－y220＝1的焦点，点P 在双曲线上，若点P 到焦点F 1的距离等于9，求点P 到焦点F 2的距离．【解】 因为a ＝4，所以2a ＝8，由双曲线的定义得||PF 1|－|PF 2||＝8，所以|9－|PF 2||＝8，所以|PF 2|＝1或17.因为c 2＝a 2＋b 2＝36，所以|F 1F 2|＝12，当|PF 2|＝1时，|PF 1|＋|PF 2|＝10＜|F 1F 2|，不符合“两点之间线段最短”，应舍去，所以|PF 2|＝17.教材整理2 双曲线的标准方程阅读教材P 79“例1”以上的部分，完成下列问题．1．双曲线x24－y216＝1的焦点坐标为________．【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝20，∴c ＝25， ∵焦点在x 轴上，∴焦点坐标为(25，0)，(－25，0)． 【答案】 (25，0)，(－25，0)2．若a ＝3，b ＝4，则双曲线的标准方程是________________．【解析】 当焦点在x 轴上时，双曲线的标准方程为x29－y216＝1；当焦点在y 轴上时，双曲线的标准方程为y29－x216＝1.【答案】x29－y216＝1或y29－x216＝1预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流： 疑问1：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问2：________________________________________________ 解惑：________________________________________________ 疑问3：________________________________________________ 解惑：________________________________________________①已知定点F 1(－1,0)，F 2(1,0)，则满足|PF 1|－|PF 2|＝2的点P 的轨迹为双曲线； ②已知定点F 1(－2,0)，F 2(2,0)，则满足||PF 1|－|PF 2||＝4的点P 的轨迹为两条射线； ③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7的点P 的轨迹为双曲线；④若点P 到定点F 1(－4,0)，F 2(4,0)的距离的差的绝对值等于点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离，则点P 的轨迹为双曲线．【自主解答】 ①2＜2，故点P 的轨迹是双曲线的一支；②因为2a ＝|F 1F 2|＝4，所以点P 的轨迹是分别以F 1，F 2为端点的两条射线；③到定点F 1(－3,0)，F 2(3,0)距离之差的绝对值等于7，而7＞6，故点P 的轨迹不存在；④点M (1,2)到点N (－3，－1)的距离为－3－＋－1－＝5＜8，故点P 的轨迹是以F 1(－4,0)，F 2(4,0)为焦点的双曲线．【答案】 ②④如图331，若F 1，F 2是双曲线x29－y216＝1的两个焦点．图331(1)若双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，求点M 到另一个焦点的距离； (2)若P 是双曲线左支上的点，且|PF 1|·|PF 2|＝32，试求△F 1PF 2的面积． 【精彩点拨】 (1)利用双曲线的定义求解．(2)欲求△F 1PF 2的面积，可考虑用12|PF 1||PF 2|sin ∠F 1PF 2求解，只要求出∠F 1PF 2的正弦值即可．而△F 1PF 2的三边中，|PF 1|－|PF 2|＝±6，|F 1F 2|＝10，故可考虑用余弦定理求解．【自主解答】 双曲线的标准方程为x29－y216＝1，故a ＝3，b ＝4，c ＝a2＋b2＝5.(1)由双曲线的定义得||MF 1|－|MF 2||＝2a ＝6，又双曲线上一点M 到它的一个焦点的距离等于16，假设点M 到另一个焦点的距离等于x ，则|16－x |＝6，解得x ＝10或x ＝22.故点M 到另一个焦点的距离为10或22.(2)将||PF 2|－|PF 1||＝2a ＝6，两边平方得|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|＝36，∴|PF 1|2＋|PF 2|2＝36＋2|PF 1|·|PF 2|＝36＋2×32＝100.由△F 1PF 2中，由余弦定理得cos ∠F 1PF 2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1|·|PF2|＝100－1002|PF1|·|PF2|＝0，∴∠F 1PF 2＝90°，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|＝12×32＝16.1．求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据||PF 1|－|PF 2||＝2a 求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于c －a )．2．在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件||PF 1|－|PF 2||＝2a 的应用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面积公式等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．1．已知双曲线x29－y216＝1的左、右焦点分别是F 1、F 2，若双曲线上一点P 使得∠F 1PF 2＝60°，求△F 1PF 2的面积．【导学号：32550081】【解】 由x29－y216＝1，得a ＝3，b ＝4，c ＝5.由定义和余弦定理得|PF 1|－|PF 2|＝±6， |F 1F 2|2＝|PF 1|2＋|PF 2|2－2|PF 1|·|PF 2|cos 60°， 所以102＝(|PF 1|－|PF 2|)2＋|PF 1|·|PF 2|， 所以|PF 1|·|PF 2|＝64，∴S △F 1PF 2＝12|PF 1|·|PF 2|·sin∠F 1PF 2＝12×64×32＝16 3.(1)求以椭圆x216＋y29＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A (4，－5)的双曲线的标准方程；(2)已知双曲线通过M (1,1)，N (－2,5)两点，求双曲线的标准方程．【精彩点拨】 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．【自主解答】 (1)法一：(待定系数法) 由题意知双曲线的两焦点F 1(0，－3)，F 2(0,3)． 设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，将点A (4，－5)代入双曲线方程得 25a2－16b2＝1，又a 2＋b 2＝9， 解得a 2＝5，b 2＝4.∴双曲线的标准方程为y25－x24＝1.法二：(定义法)由题意知双曲线的两个焦点分别为F 1(0，－3)，F 2(0,3)且A (4，－5)在双曲线上， 则2a ＝||AF 1|－|AF 2||＝|20－80|＝25， ∴a ＝5，∴b 2＝c 2－a 2＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为y25－x24＝1.(2)法一：若焦点在x 轴上，设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．因为M (1,1)，N (－2,5)在双曲线上， 所以⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，－a2－52b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝78，b2＝7.若焦点在y 轴上，设双曲线的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．同理有⎩⎪⎨⎪⎧1a2－1b2＝1，52a2－－b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝－7，b2＝－78(不合题意，舍去)．所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.法二：设所求双曲线的方程为mx 2＋ny 2＝1(mn ＜0)． 将点M (1,1)，N (－2,5)代入上述方程，得⎩⎪⎨⎪⎧m ＋n ＝1，4m ＋25n ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝87，n ＝－17.所以所求双曲线的标准方程为x278－y27＝1.求双曲线标准方程的常用方法：(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程． (2)用待定系数法，具体步骤如下：2．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)焦点在x 轴上，经过点(4，－2)和(26，22)； (2)a ＝25，经过点A (2，－5)，焦点在y 轴上．【解】 (1)因为焦点在x 轴上，所以设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)，因为点(4，－2)和(26，22)在双曲线上，所以⎩⎪⎨⎪⎧16a2－4b2＝124a2－8b2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a2＝8b2＝4.故所求双曲线的标准方程是x28－y24＝1.(2)因为焦点在y 轴上，所以双曲线的标准方程可设为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．由a ＝25，且点A (2，－5)在双曲线上，可得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2525a2－4b2＝1，解得b 2＝16.因此，所求双曲线的标准方程为y220－x216＝1.已知动圆M 12内切，求动圆圆心M 的轨迹方程．【导学号：32550082】【精彩点拨】 利用两圆内、外切的充要条件找出M 点满足的几何条件，结合双曲线定义求解．【自主解答】 如图，设动圆M 的半径为r ，则由已知|MC 1|＝r ＋2，|MC 2|＝r －2，∴|MC 1|－|MC 2|＝2 2. 又C 1(－4,0)，C 2(4,0)， ∴|C 1C 2|＝8， ∵22＜|C 1C 2|.根据双曲线定义知，点M 的轨迹是以C 1(－4,0)、C 2(4，0)为焦点的双曲线的右支． ∵a ＝2，c ＝4，∴b 2＝c 2－a 2＝14， ∴点M 的轨迹方程是x22－y214＝1(x ≥2)．1．本题易忽略|MC 1|－|MC 2|＝22没有“绝对值”，故忘加“x ≥2”这一条件．2．求曲线的轨迹方程时，应尽量利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，需用变量的范围确定．3．在△ABC 中，B (4,0)，C (－4,0)，动点A 满足sin B －sin C ＝12sin A ．求点A 的轨迹．【解】 在△ABC 中，sin B －sin C ＝12sin A ，∴|AC |－|AB |＝12|BC |.又∵B (4,0)，C (－4,0)，∴|BC |＝8.∴|AC |－|AB |＝4＜|BC |.∴点A 的轨迹是以B ，C 为焦点的双曲线的右支(除去与B ，C 共线的一点)．其方程为x24－y212＝1(x ＞2)．探究1 【提示】 双曲线的定义中若没有“的绝对值”，则点的轨迹就是双曲线的一支，而双曲线是由两个分支组成的，故定义中的“的绝对值”不能去掉．当P 满足0<|PF 1|－|PF 2|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的一支；当0<|PF 2|－|PF 1|<|F 1F 2|时，点P 的轨迹是双曲线的另一支；当|PF 1|－|PF 2|＝±|F 1F 2|时，点P 的轨迹是两条射线，||PF 1|－|PF 2||不可能大于|F 1F 2|.探究2 设点M 是双曲线上的任意一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，如何确定|MF 1|－|MF 2|的符号？【提示】 若点M 在双曲线的右支上，则|MF 1|＞|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝2a ；若点M 在双曲线的左支上，则|MF 1|＜|MF 2|，故|MF 1|－|MF 2|＝－2a ，综上得|MF 1|－|MF 2|＝±2a ，这是与椭圆不同的地方．探究1 双曲线的标准方程a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)和a2－b2＝1(a ＞0，b ＞0)有何异同点？【提示】 相同点：它们的形状、大小都相同，都有a ＞0，b ＞0和c 2＝a 2＋b 2. 不同点：它们的位置不同，焦点坐标不同．探究2 椭圆、双曲线的定义及标准方程之间有什么区别？ 【提示】设双曲线与椭圆27＋36＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A 的纵坐标为4，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550083】【精彩点拨】 常规解法易想到，但需解方程组，解方程时易错，而巧妙解法利用曲线系方程求解，将方程设为x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)求解．可以减少计算量．【自主解答】 由题意设双曲线方程为：x227－λ＋y236－λ＝1(27＜λ＜36)，将A (±15，4)代入得λ＝32，λ＝0(舍)，所以所求双曲线方程为y24－x25＝1.【答案】 y24－x25＝14．已知某双曲线与x216－y24＝1共焦点，且过点(32，2)，则此双曲线的标准方程为________．【导学号：32550084】【解析】 设双曲线的方程为x216－k －y24＋k＝1(－4＜k ＜16)． 将点(32，2)代入得k ＝4， 所以双曲线的标准方程为x212－y28＝1.【答案】x212－y28＝11．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)平面内到两定点的距离的差等于非零常数(小于两定点间距离)的点的轨迹是双曲线．( ) (2)在双曲线标准方程x2a2－y2b2＝1中，a ＞0，b ＞0且a ≠b .( )(3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系是a ＞b .( ) 【解析】 (1)注意双曲线定义中是“差的绝对值”． (2)x2a2－y2b2＝1中，a ＜0，b ＜0也可以． (3)双曲线标准方程中，a ，b 的大小关系不确定． 【答案】 (1)× (2)× (3)×2．双曲线x29－y27＝1的焦距为( )A. 2 B ．2 2 C. 4D ．8【解析】 c 2＝a 2＋b 2＝9＋7＝16， ∴c ＝4，∵焦距为2c ＝8， 【答案】 D3．已知点F 1，F 2是双曲线x2a2－y2b2＝1(a ＞0，b ＞0)的左、右焦点，点P 是双曲线上的一点，且PF1→·PF2→＝0，则△PF 1F 2的面积为( )A ．abB ．12abC ．b 2D ．a 2【解析】 由题意知|||PF1|－|PF2|＝2a .① |PF 1|2＋|PF 2|2＝4c 2.② ②－①2，得|PF 1||PF 2|＝2b 2， ∴S △PF 1F 2＝12|PF 1||PF 2|＝b 2.【答案】 C4．双曲线的焦点在x 轴上，且a ＋c ＝9，b ＝3，则双曲线的标准方程为________． 【解析】 由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋c ＝9b ＝3c2＝a2＋b2，得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4c ＝5，∵焦点在x 轴上，∴双曲线标准方程为x216－y29＝1.【答案】x216－b29＝1 5．求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)已知焦点F 1(0，－6)，F 2(0,6)，双曲线上的一点P 到F 1，F 2的距离差的绝对值等于8； (2)c ＝6，经过点A (－5,2)，焦点在x 轴上． 【解】 (1)∵双曲线的焦点在y 轴上， ∴设它的标准方程为y2a2－x2b2＝1(a ＞0，b ＞0)．∵2a ＝8,2c ＝12，∴a ＝4，c ＝6，∴b 2＝62－42＝20. ∴所求双曲线的标准方程为y216－x220＝1.(2)设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1. ∵c ＝6，∴b 2＝c 2－a 2＝6－a 2.由题意知25a2－4b2＝1，∴25a2－46－a2＝1，解得a 2＝5或a 2＝30(舍去)．∴b 2＝1. ∴双曲线的标准方程为x25－y 2＝1.我还有这些不足：(1)________________________________________________(2)________________________________________________我的课下提升方案：(1)________________________________________________(2)________________________________________________。
北师大版选修21高中数学3.4.1曲线与方程word导学案
课题学习目标 ：1.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.2.了解数与形结合的基本思想．3.通过直线与方程、圆与方程理解曲线与方程的关系；利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关系．学习重点：.结合已知的曲线及其方程实例，了解曲线与方程的对应关系.学习难点：利用数形结合，直观体会曲线上点的坐标与方程解的关系．学习方法：以讲学稿为依托的探究式教学方法。
学习过程一、课前预习指导：1.曲线的方程、方程的曲线一般地，在直角坐标系中，如果某曲线C(看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点与一个二元方程f(x ，y)＝0的实数解建立了如下的关系：(1) ；(2) ．那么，这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线．二、新课学习问题探究一 曲线的方程与方程的曲线1 在直角坐标系中，平分一、三象限的直线和方程x －y ＝0有什么关系？2 以(a ，b )为圆心，r 为半径的圆和方程(x －a )2＋(y －b )2＝r 2有什么关系？3 曲线C 上的点的坐标都是方程f (x ，y )＝0的解，能否说f (x ，y )＝0是曲线C 的方程？4 曲线的方程与方程的曲线有什么区别？例1 证明圆心为M （3,4），半径等于5的圆的方程是25)4()3(22=-+-y x ，并判断点O(0,0),A(-1,0),B(1,2)是否在这个圆上。
学后检测1 判断下列命题是否正确．(1)过点P (0,3)的直线l 与x 轴平行，则直线l 的方程为|y |＝3.(2)以坐标原点为圆心，半径为r 的圆的方程是y ＝r 2－x 2.(3)方程(x ＋y －1)·x 2＋y 2－4＝0表示的曲线是圆或直线．(4)点A (－4,3)，B (－32，－4)，C (5，25)都在方程x 2＋y 2＝25 (x ≤0)所表示的曲线上．问题探究二 点和曲线的关系若点P 在曲线C 上，点的坐标和曲线的方程有什么关系？例2 已知方程10)1(22=-+y x(1)判断点P(1，－2)，Q(2，3)是否在此方程表示的曲线上；(2)若点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2，－m 在此方程表示的曲线上，求m 的值． 学后检测2(1)已知方程(x －a )2＋(y －b )2＝36表示的曲线经过点O (0,0)和点A (0，－12)，求a 、b 的值；(2)若曲线y 2－xy ＋2x ＋k ＝0过点(a ，－a ) (a ∈R)，求k 的取值范围．三、当堂检测1．曲线C 的方程为y ＝x (1≤x ≤5)，则下列四点中在曲线C 上的是( ) A ．(0,0) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫15，15 C ．(1,5) D ．(4,4) 2．已知坐标满足方程f(x ，y)＝0的点都在曲线C 上，那么( )A ．曲线C 上的点的坐标都适合方程f(x ，y)＝0B ．凡坐标不适合f(x ，y)＝0的点都不在C 上C ．不在C 上的点的坐标必不适合f(x ，y)＝0D ．不在C 上的点的坐标有些适合f(x ，y)＝0，有些不适合f(x ，y)＝03．下列四个图形中，图形下面的方程是图形中曲线的方程的是( )4．下列各对方程中，表示相同曲线的一对方程是 ( )A ．y ＝x 与y2＝xB ．y ＝x 与x y＝1 C ．y 2－x 2＝0与|y|＝|x| D ．y ＝lg x 2与y ＝2lg x 四、课堂小结五、课后作业六．板书设计七．教（学）后反思。
2019北师大版高中数学选修2-1课件：3.4.1 曲线与方程
新课导入
[导入一] 情景引入 幻灯片展示：现实生活中飞逝的流星，雨后的彩虹，古代的石拱桥和现代繁华都市 的立交桥的图片． [导入二] 点的问题解决了，我们下面来研究曲线，由于点运动成为线，因此我们需要找到一 个曲线上所有点的坐标都满足的一个方程，从而用方程来代替曲线，研究方程的性 质，就等同于研究曲线的性质．但满足什么样的条件时，曲线与方程才能够相互代 替呢？ 学完这节课，我们就知道问题的答案了.
考点类析
考点四 定义法求动点轨迹
[答案] (1)D
考点类析
考点类析
【变式】 已知圆C:x2+(y3)2= 9,过原点作圆C的弦OP,求OP 的中点Q的轨迹方程.
[小结]如果所给几何条件恰好符合已学曲线的定义, 则可直接利用这些已学曲线的方程写出动点的轨 迹方程.
备课素材
1．概念法
在判断曲线与方程时，常常利用曲线与方程的概念．
考点类析
例3 (2)设不等边三角形 ABC的外心与重心分别为 M,G,若A(-1,0),B(1,0)且 MG∥AB,求△ABC的顶点C 的轨迹方程.
考点类析
【变式】 已知△ABC的两顶点A,B的坐标分别为A(0,0),B(6,0),顶点C在曲线y=x2+3 上运动,求△ABC重心的轨迹方程.
[小结] 利用代入法求轨迹方程是一种常见题型,难度适中.代入法(或相关点法)适 用于已知一动点的轨迹方程,求另一动点的轨迹方程的问题.
[答案] (1)D [解析]设到x轴、y轴的距离之积等于 常数k(k>0)的点为P(x,y),则|x||y|=k,所 以点P的轨迹在第一、二、三、四象 限.
考点类析
例2 (2)已知两定点 A,B,动点P到A与B的距 离的比值为正数λ,求点 P的轨迹方程,并说明点 P的轨迹是什么曲线.
高中数学(北师大版)选修2-1教案：第3章 曲线与方程 第一课时参考教案
3.4.1 曲线与方程一、教学目标：1．了解平面直角坐标中“曲线的方程”和“方程的曲线”的含义及其对应关系，感受数形结合的基本思想；2．根据曲线方程的概念解决一些简单问题．二、教学重点，难点：教学重点：曲线方程的概念 ；教学难点：曲线方程概念的理解．三、教学方法：探析归纳，讲练结合四、教学过程（一）．问题情境1．情境： 在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．2．问题： 怎样理解这个表述？（二）．学生活动在学习圆的方程时，有这样的叙述：“以(,)C a b 为圆心，r 为半径的圆的方程是222()()x a y b r -+-=”．这句话的含义是，圆C 上的点的坐标(,)x y 都是方程222()()x a y b r -+-=的解，且以方程222()()x a y b r -+-=的解为坐标的点都在圆C 上．（三）．新知探究1、圆的方程及其意义2、两坐标轴所成的角位于第一、三象限的平分线的方程是x －y =0.这就是说，如果点M （x 0,y 0）是这条直线上的任意一点，它到两坐标轴的距离一定相等，即x 0=y 0，那么它的坐标（x 0,y 0）是方程x －y=0的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程x －y =0的解，即x 0=y 0，那么以这个解为坐标的点到两轴的距离相等，它一定在这条平分线上.3、函数y =x 2的图象是关于y 轴对称的抛物线.这条抛物线是所有以方程y =x 2的解为坐标的点组成的.这就是说，如果M （x 0,y 0）是抛物线上的点，那么（x 0,y 0）一定是这个方程的解；反过来，如果（x 0,y 0）是方程y =x 2的解，那么以它为坐标的点一定在这条抛物线上，这样，我们就说y =x 2是这条抛物线的方程.4、在直角坐标系中，如果其曲线c 上的点与一个方程F (x ,y )=0的实数解建立了如下的关系：（1）曲线c 上的点的坐标都是方程F (x ,y )=0的解；（2）以方程F (x ,y )=0的解为坐标的点都是曲线c 上的点那么，方程F (x ,y )=0叫做曲线c 的方程；曲线c 叫做方程F (x ,y )=0的曲线.5．从集合的角度看，曲线c 上所有点组成的集合记作A ；B 是所有以方程F (x ,y )=0的实数解为坐标的点组成的集合关系(1)指集合A 是集合B 的子集，关系(2)指集合B 是集合A 的子集．这样根据集合的性质，可以用集合相等的概念来定义“曲线的方程”与“方程的曲线”，即：B A A B B A =⇔⎭⎬⎫⊆⊆)2()1( 一般地，如果曲线C 上点的坐标(,)x y 都是方程(,)0f x y =的解且以方程(,)0f x y =的解(,)x y 为坐标的点都在曲线C 上，那么方程(,)0f x y =叫做曲线C 的方程，曲线C 叫做方程(,)0f x y =的曲线．（四）．知识运用例1．判断点(2,，(3,1)是否是圆2216x y +=上．分析：判断点是否在曲线上，就看该点的坐标是否是这个曲线方程的解，即点坐标是否满足曲线方程．解：∵22241216+=+=，即点(2,的坐标是方程2216x y +=的解， 所以该点在圆上．∵22311016+=≠，即点(3,1)的坐标不是圆方程2216x y +=的解，所以该点不在这个圆上．例2．已知一座圆拱桥的跨度是36m ，圆拱高为6m ，以圆拱所对的弦AB 所在的直线为x 轴，AB 的垂直平分线为y 轴，建立直角坐标系xOy （如图所示），求圆拱的方程．解：依据题意，圆拱桥所在圆的圆心在y 轴上，可设为1(0,)O b ，设圆拱所在圆的半径为r ，那么圆上任意一点(,)P x y 应满足1O P r =，即 22(0)()x y b r -+-=即222(0)()x y b r -+-=∵点(18,0),(0,6)B C 的圆上， ∴222222(180)(0)(00)(6)b r b r⎧-+-=⎪⎨-+-=⎪⎩解得2430b r =-⎧⎨=⎩ 由于圆拱只是它所在的圆位于x 轴上方的一部分（包括x 轴上的点），所以，圆拱的方程是222(24)30(06)x y y ++=≤≤例3．画出方程的曲线：0log log =-x y y x ．解：由0log log =-x y y x ，得：⎪⎩⎪⎨⎧≠≠±=11lg lg y x x y ，即原方程的曲线等价于)1,0(1≠>=x x xy 或)1,0(≠>=x x x y ，（图略）． 说明：（1）围绕曲线的方程和方程的曲线说明；（2）方程的变形要做到同解变形。
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2019-2020学年高中数学 3.4《曲线与方程》教学设计 北师大版选修2-1【教学目标】1.了解曲线上的点与方程的解之间的一一对应关系，并初步领会“曲线的方程”与“方程的曲线”的概念，从而为求已知曲线的方程奠定理论基础.2. 在领会曲线和方程概念的过程中，培养分析、判断、归纳的逻辑思维能力与抽象思维能力，同时强化“形”与“数”一致并相互转化的思想方法.3. 了解用坐标法研究几何问题的初步知识和观点；初步掌握求曲线的方程的方法. 【导入新课】 复习导入复习有关常见的曲线，及其对应的方程.例如我们一起回顾直线和圆的方程有关知识： 1.经过点P(0,b)和斜率为k 的直线l 的方程为y kx b =+， 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的 直线方程是y x = ，3.圆心为C(a,b) ,半径为r 的圆C 的方程 为()()222x a y b r -+-=，4．直线 x-y=0上 点的横坐标与纵坐标相等 x=y （或x- y=0） 即第一、三象限角平分线含有关系：（1） 直线上点的坐标都是方程x-y=0的解 （2）以方程x-y=0的解为坐标的点都在直线x-y=0 上. 新授课阶段1. 曲线的方程和方程的曲线的概念： 我们把满足下面两个条件：（1）曲线C 上的点的坐标都是方程 f （x ，y ）＝0的解；（2）以方程f （x ，y ）＝0的解为坐标的点都在曲线C 上的方程叫做曲线的方程，则该曲线，叫做方程的曲线.例1下列方程中哪一个表示的是如下图所示的直线l ，为什么？（1）x －y =0（2=0（3）x 2－y 2=0 （4）|x |－y =0解析：方程（1）是表示直线l 的方程，而（2）（3）（4）都不是表示直线l 的方程. （2）中直线上的点的坐标不全是方程的解，如（－1，－1）等，即不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论.（3）中虽然“直线l 上的点的坐标都是方程的解”，但以方程x 2－y 2=0的解为坐标的点不全在直线l 上，如点（2，－2）等，即不符合“以方程的解为坐标的点都在直线上”这一结论.（4）中依照（2）（3）的分析方式得出不符合“直线上的点的坐标都是方程的解”这一结论，比如点（－1，1）.点评：理解曲线的方程和方程的曲线的概念，并能对题目作出正确的判定.判定时必须要同时满足（1）直线l 上的点的坐标都是方程的解.（2）以方程的解为坐标的点都在直线上.例2 （1）判断点M 1（3，－4），M 2（－2）是否在方程x 2+y 2=25所表示的曲线上. （2）用曲线方程的定义说明以坐标原点为圆心、半径等于5的圆的方程是x 2+y 2=25. 分析：第（1）问先把点的坐标代入已知的表达式中，满足方程则在曲线上，否则不在曲线上.第（2）问利用圆的定义，结合两点间距离公式化简求解，并进行说明.解析：（1）把点M 1（3，－4），M 2（－2）分别代入到方程中，可知前者满足方程，后者不满足.（2）设圆心坐标为（0，0），半径为r=5，圆上的任意一点P （x ，y ），结合两点间距离公式，我们得到圆上的点满足的方程. 2. 求曲线（图形）的方程，一般有下面几个步骤：（1）建立适当的坐标系，用有序实数对（x ，y ）表示曲线上任意一点M 的坐标； （2）写出适合条件P 的点M 的集合P ={M |P （M ）}； （3）用坐标表示条件P （M ），列出方程f （x ，y ）=0； （4）将方程f （x ，y ）=0化为最简形式；（5）证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线C 上的点.（查漏除杂）. 例3 证明与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程是k xy ±=. 分析：先结合已知条件求解方程，然后运用定义证明.证明：（1）设M （x 0，y 0）是轨迹上的任意一点，因为点M 与x 轴的距离为0y ，与y 轴的距离为0x ，所以 k y x =⋅00即),(00y x 是方程k xy ±=的解.（2）设1M 的坐标),(11y x 是方程k xy ±=的解，那么k y x ±=11即k y x =⋅11，而11,y x 正是点1M 到x 轴，y 轴的距离，因此点1M 到两条坐标轴的距离的积是常数k ，点1M 是曲线上的点.由（1）（2）可知，k xy ±=是与两条坐标轴的距离之积是常数)0(>k k 的点的轨迹方程.例4 设A 、B 两点的坐标是 （－1，－1）、（3，7），求线段AB 的垂直平分线的方程. 解法一：∵7(1)23(1)--==--AB k ，∴所求直线的斜率k=－0.5.又∵线段AB 的中点坐标是1317(,)22-+-+，即（1，3）. ∴线段AB 的垂直平分线的方程为13(1)2y x -=--.即x +2y －7=0. 解法二：设M （x ，y ）是线段AB 的垂直平分线上的任意一点，则|MA|=|MB|.2222x +2x +1+y +2y +1=x -6x +9+y -14y +49∴∴270x y +-=（Ⅰ）（1）由以上过程可知，垂直平分线上任意一点的坐标都是方程270x y +-=的解； （2）设点1M 的坐标11(,)x y 是方程（Ⅰ）的解，即11270x y +-= ∵以上变形过程步步可逆，11M A =M B综上所述，线段AB 的垂直平分线的方程是x +2y -7=0. 3. 求曲线方程的常用方法：（1）直接法：如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系，且这些条件简单明确，易于表述成含有x ，y 的等式，就得到轨迹方程，这种方法称为直接法.用直接法求动点轨迹一般有建系，设点，列式，化简，证明五个步骤，最后的证明可以省略，但要注意“挖”与“补”.（2）定义法：运用解析几何中一些常用定义（例如圆锥曲线的定义），可从曲线的定义出发直接写出轨迹方程，或从曲线的定义出发建立关系式，从而求出轨迹方程.（3）代入法：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （'y ,'x ）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将'y ,'x 表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得出P 的轨迹方程.代入法也称相关点法.（4）参数法：若求轨迹方程的过程中很难直接找到动点的横坐标与纵坐标之间的关系时，则可借助中间变量（参数），使x ，y 之间建立起联系，然后再从所求式子中消去参数，得出动点的轨迹方程.（5）交轨法：求两动曲线交点轨迹时，可由方程直接消去参数（求两动直线的交点时常用此法），也可以引入参数来建立这些动曲线的联系，然后消去参数得到轨迹方程.交轨法可以说是参数法的一种变形.4. 轨迹与轨迹方程是两个不同的概念，轨迹是指曲线，轨迹方程是指曲线的方程.求轨迹方程的本质，就是在给定的坐标系中，求轨迹上任意一点的横坐标与纵坐标之间的关系. 例5 经过原点的直线l 与圆226490x y x y +--+=相交于两个不同点A 、B ，求线段AB 的中点M 的轨迹方程.分析：先设出点的坐标，利用中点公式和圆的方程，OM AB k k =，我们得到所求点与弦端点的坐标关系式，从而求其轨迹方程；或者直接设直线方程，引入参数K ，然后消去参数求轨迹方程.解法一：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩且22111122222264906490x y x y x y x y ⎧+---=⎪⎨+---=⎪⎩①② 由①－②得12121212()()()()x x x x y y y y -++-+12126()4()0x x y y ----= ∵OM AB k k =即1212y y y x x x -=-（易知12x x ≠） ∴22640y yx y x x+⋅--= ∴化简得22320x y x y +--=∴所求轨迹方程为02322=--+y x y x （在已知圆内部一段弧所对应的方程） 解法二：设M (,)x y ，A 11(,)x y ，B 22(,)x y则121222x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩设直线l 的方程为y kx =由方程组226490=⎧⎨+--+=⎩y kxx y x y 消去y 得22(1)(64)90k x k x +-++=121222649,11k x x x x k k ++=⋅=++∴22321321k x k k y k k +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⋅⎪+⎩消去参数k 得22320x y x y +--=点评：若动点所满足的条件不易表述或求出，但形成轨迹的动点P （x ，y ）却随另一动点Q （x’，y’）的运动而有规律的运动，且动点Q 的轨迹为给定的或容易求得的，则可先将x’，y’表示为x ，y 的式子，再代入Q 的轨迹方程，然后整理得P 的轨迹方程.相关点法也称代入法.简单地说：利用所求曲线上的动点与某一已知曲线上的动点的关系，把所求动点转换为已知动点满足的曲线的方程，由此即可求得动点坐标（x ，y ）之间的坐标. 课堂小结曲线的方程和方程的曲线（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解； （2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 那么这个方程叫做曲线的方程；这条曲线叫做方程的曲线 作业见同步练习部分 拓展提升1． 指出下列方程表示的曲线分别是什么？（1）x －2=0（2）（2x+3y －5）（0)13=--x （3）（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x （4）0324222=++-+y x y x2. 已知点M与x轴的距离和点M与点F（0，4）的距离相等，求点M的轨迹方程.3. 已知一条直线l和它上方的一个点F，点F到l的距离是2.一条曲线也在直线l的上方，它上面的每一点到F的距离减去到直线l的距离的差都是2，建立适当的坐标系，求这条曲线的方程.参考答案1.解：（1）表示的曲线为过（2，0）且平行于y 轴的直线；（2）因为 0)13)(532(=---+x y x.4)3(05324)3(0532013030532=≥=-+=≥=-+=--⎩⎨⎧≥-=-+∴x x y x x x y x x x y x 和一条直线线故表示的曲线为一条射或即或故方程表示的曲线为一条射线)3x (05y 3x 2≥=-+和一条直线x=4. （3）因为（3x －4y －12）[0]3)2(log 2=-+y x直线。
线（除去端点）和一条故表示的曲线为一条射或即或82)512(0124303)2(log 02012432=+>=--=-+⎩⎨⎧>+=--∴y x x y x y x y x y x故方程表示的曲线为一条射线⎪⎭⎫⎝⎛>=--512x 012y 4x 3（除去端点）和一条直线x+2y=8.（4）因为0324222=++-+y x y x0)1()1(222=++-∴y x则方程表示的图形为一个点（1，－1）2. 解：设点M 的坐标为（x ，y ）∵点M 与x 轴的距离为y，FM =∴y222816y x y y =+-+∴2816x y =-就是所求的轨迹方程.3. 解：设直线l 为x 轴，过点F 且垂直于直线l 的直线为y 轴，建立坐标系xOy ，设点M（x ，y ）是曲线上任意一点，MB⊥x 轴，垂足是B ，那么2=-MB MF ，把M 点坐标代入上式得：2)2(22=--+y y x ，平方得：222)2()2(+=-+y y x ，化简得：281x y =.因为曲线在x 轴的上方，所以y ＞0， 所以曲线的方程是281x y =)0(≠x .。