向量的实际背景及基本概念
平面向量的实际背景及基本概念
主讲人:王海田老师
北
前言:
西
Ａ 南
东 Ｂ
位置是几何学研究的重要内容之一,几何中常用点表 示位置,研究如何由一点的位置确定另外一点的位置. 如图,如何由A点确定B点的位置? 一种常用的方法是,以A点为参照点,用B点与A点之间 的方位和距离确定B点的位置,如,B点在A点南偏东45度,30 千米处.这样在A点与B点之间,我们可以用有向线段AB表示 . A B , AB B点相对于A点的位置.有向线段AB就是A点与B点之间的 位移.位移简明地表示了位置之间的相对关系.像位移这种 既有大小又有方向的量,加以抽象,就是我们本章将要研究 的向量. 向量是近代数学中重要和基本的概念之一,有深刻的几 何背景,是解决几何问题的有力工具.向量是沟通代数、几 何与三角函数的一种工具，有着极其丰富的实际背景，在 数学和物理学科中具有广泛的应用。 那么你能举出一些这样既有方向，又有大小的量吗？
练习
练习： 练习： （1）下列各量中是向量的是（ B ） ）下列各量中是向量的是（ A．动能 B．重力 ． ． C．质量 D．长度 ． ．
F （2）等腰梯形 ABCD ，对角线 AC BD相交于点腰 AD 、 上， 过点 P且 EF // AB ，则下列等式正 确的是（ 确的是（ D ） A． AD = BC B．AC = BD ． ．
× ×
零向量 零向量
（5）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什 ）若两个向量在同一直线上，
例
的中心， 例2．如图，设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，分别写出图中 ．如图，
OB 、 相等的向量． OC 相等的向量． 与向量OA 、
解： = CB = DO OA OB = DC = EO
平面向量的实际背景与基本概念
如图，a, b, c 是一组平行向量，任作一条与 所分在别直作线出平: O行A旳= 直a 线OlB，=在bl上O任C取= c点O这，则就可是在说l
既有大小，又有方向旳量叫做向量（物理学 中称为矢量） 只有大小，没有方向旳量（如年龄、身高长度 等）叫做数量（物理学中称为标量）
巩固与练习
例1 说说向量与数量旳区别与联络。
主要旳是向量不能够比较大小，而数量能够比 较大小；但是向量旳模是非负数，所以能比较 大小
例3 请同学们思索“向量就是有向线段，有向线段就
任一组平行向量都能够移动到同一条直线上，
所以，平行向量也叫做共线向量。
a
b
c
CO
l BA
巩固与练习
例：如图，D,E ,F分别是等腰Rt△ABC旳各边中点， ∠BAC=90℃。 （1）分别写出图中与向量 DE, FD长度相等旳向量。 （2）分别写出图中与向量 DE,FD 相等旳向量。 （3）分别写出图中与向量 DE, FD 共线旳向量。
是向量”旳说法对吗？
错，有向线段只是向量旳表达，并不是说向量就
是有向线段
next
例2 列物理量不是向量旳是（ ）
① 质量 ② 速度 ③ 位移 ④ 力
⑤ 加速度 ⑥ 旅程 ⑦ 密度
⑧功 next
二、向量旳几何表达
1、数量旳表达：因为实数与数轴上旳点一一相应 所以数量经常用数轴上旳一种点表达。而 且不同旳点表达不同旳数量
向量能够用有向线段表达，于是：
向量AB 旳大小，也就是向量AB 长度（或称模）
人教版高中数学必修42.1平面向量的实际背景及基本概念
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
二、向量的概念
在数学中,把既有大小，又有方向的量叫做向量. 在数学中，把只有大小，没有方向的量叫做数量． 注：向量与数量的区分
①数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比 较大小.
②向量有方向，大小双重属性，而方向是不能比较大小 的，因此向量不能比较大小。
注：我们所学的向量常被称为自由向量.
1、有向线段的三要素：起点、方向、长度
B（终点）
向量就是有向线段么？
2、向量的表示
A（起点）
（1）向量的几何表示：可以用有向线段表示.
（2）向量的符号表示：①
a
,
b
,
c
,
. . .印刷体可
当堂测试
1、下列物理量中， 不能称为向量的是
（）
A．距离 B．加速度 C．力 D．位移
2、下列四个命题正确的是
（）
A．两个单位向量一定相等 B．若与不共线，则与都是非零向量
C．共线的单位向量必相等 D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都 相同
3、下列说法错误的是
（）
A．向量的长度与向量的长度相等 B．零向量与任意非零向量平行
。② 以用黑体表示向量 AB CD ，
模 向量| AB | 的 长度（大小）就是向量 | AB |的模，
注：向量的模是可以比较大小的。
零向量 :长度为0的向量叫做零向量，记作 0.
记作 | AB |
注：零向量也有方向，并且规定零向量的方向是任意的 单位向量 ：长度等于1个单位的向量叫做单位向量.
平面向量的实际背景及基本概念 课件
关系，没有大小之分，“对于向量 、a，b
这种a说法b是错误的.
或a b”
例2．如图设O是正六边形ABCDEF的中心，写出图中
与向量 OA、OB、OC 相等的向量.
解：OA CB DO; OB DC EO; OC AB ED FO.
向量的几何表示
由于实数与数轴上的点一一对应，所以数量常常用数 轴上的一个点表示，而且不同的点表示不同的数量.
对于向量，我们常用带箭头的线段——有向线段来表 示，线段按一定比例（标度）画出，它的长短表示向量 的大小，箭头的指向表示向量的方向.
有向线段：带有方向的线段叫有向线段.（如图）我们在 有向线段的终点处画上箭头表示它的方向.以A为起点、B 为终点的有向线段记作 AB ,起点写在终点的前面.
③用字母 a ，b，c 等表示.
问题1：“向量就是有向线段，有向线段就是向量.”的说 法对吗？
不对，①向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与 起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同 的向量；②有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点 不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段.
向量的长度（或称模）：向量 AB的大小，也就是向量 AB
1:8000000
解： AB表示A地至B地的位移，且
AB 240kmቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
AC 表示A地至C地的位移，且 AC 300km .
相等向量与共线向量 平行向量定义：
a
b c
①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；
②我们规定 0 与任一向量平行.
说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义；
（2）向量 a,b,c平行，记作 a // b // c .
（2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有 向线段来表示，并且与有向线段的起点无关.在平 面上，两个长度相等且指向一致的有向线段表示 同一个向量，因为向量完全由它的方向和模确定.
平面向量的实际背景及基本概念
向量的减法
要点一
性质
向量减法满足反交换律，即 $\overset{\longrightarrow}{a} \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$。同时，向量减法不满 足结合律。
• 意义：数乘向量在实际问题中具有重要意义，如表示平行四边形和梯形的性质、求解物理问题中等。
向量的点乘
• 定义：两个向量之间的点乘运算称为内积或标量积。点乘结 果是一个实数，记作$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b}$。
向量的加法
• 性质：向量加法满足交换律和结合律，即$\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{a}$，$(\overset{\longrightarrow}{a} + \overset{\longrightarrow}{b}) + \overset{\longrightarrow}{c} = \overset{\longrightarrow}{a} + (\overset{\longrightarrow}{b} + \overset{\longrightarrow}{c})$。
向量的点乘
• 性质：点乘满足交换律和分配律，即$\overset{\longrightarrow}{a} \cdot \overset{\longrightarrow}{b} = \overset{\longrightarrow}{b} \cdot \overset{\longrightarrow}{a}$， $(\lambda\mu)\overset{\longrightarrow}{a} = \lambda(\mu\overset{\longrightarrow}{a})$。此外， 点乘还满足正交变换不变性和垂直性质。
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版
《平面向量的实际背景及基本概念》教案全面版一、教学目标：1. 了解平面向量的实际背景，理解向量的概念及物理意义。
2. 掌握平面向量的基本运算，包括加法、减法、数乘和共线定理。
3. 能够运用平面向量的知识解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的实际背景：引入向量的概念，解释向量在物理学、几何学等领域的应用。
2. 向量的概念：定义向量的基本属性，包括大小、方向和起点。
3. 向量的表示：介绍平面向量的几何表示法和坐标表示法。
4. 向量的加法：定义向量加法，讲解平行四边形法则和三角形法则。
5. 向量的减法：定义向量减法，转化为加法运算。
6. 向量的数乘：定义向量的数乘，讲解数乘对向量大小和方向的影响。
7. 向量共线定理：介绍共线定理及其应用。
三、教学方法：1. 采用问题驱动的教学方法，引导学生从实际问题中抽象出向量的概念。
2. 利用几何图形和物理情境，帮助学生直观地理解向量的运算。
3. 运用案例分析和练习题，巩固学生对向量知识的理解和应用。
四、教学评估：1. 通过课堂提问，检查学生对向量概念的理解。
2. 布置课后作业，检验学生掌握向量运算的能力。
3. 进行小组讨论和报告，评估学生对向量应用问题的解决能力。
五、教学资源：1. 教案、PPT课件。
2. 几何图形和物理情境的图片或视频。
3. 练习题和案例分析题。
4. 小组讨论和报告的评价标准。
六、教学重点与难点：1. 教学重点：向量的概念、表示方法、基本运算（加法、减法、数乘）及共线定理。
2. 教学难点：向量加法、减法的几何意义，数乘对向量的影响，共线定理的应用。
七、教学步骤：1. 引入向量的概念：通过实际问题，引导学生认识向量，理解向量表示物体运动和力的作用。
2. 向量的表示：讲解几何表示法和坐标表示法，让学生能用图形和坐标表示向量。
3. 向量加法：讲解平行四边形法则和三角形法则，让学生理解向量加法的几何意义。
4. 向量减法：转化为加法运算，让学生掌握减法与加法的联系。
向量的实际背景和基本概念-宽屏
练习2
判断下列说法是否正确
（1）若a与b都是单位向量，则 a b
（2）a // b且b // c,则a与c共线
（3）0与任意向量都平行
（×） （×） （√）
23
向量可以用有向线段表示，那么 “向量就是有向线段，有向线段就 是向量”这种说法正确吗？
24
例2：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心，分别
a b （没有意义）
a b （有意义）
18
例1.如图，试根据图 中的比例尺以及三地 的位置，在图中分别 用向量表示A地至B、C 两地的位移，并求出A 地至B、C两地的实际 距离（精确到1km）.
AB 216 千米
AC 264 千米
19
说 下图中（正方形的边长为1）向量的方向和大小 一 说
a
b cA
B
C
E
F
D
20
向量间的关系
相等向量 相反向量 平行向量
方向相同，大小相等的向量
记作a b
方向相反，大小相等的向量
记作a -b
方向相同或相反的非零向量
记作a // b
规定： 0 与任一向量平行。
21
只要大小和方向不变，向量可以在平面内任意平移， 与位置无关
结论：平行向量又叫做共线向量
单位向量和零向量都只对大小进行了要求
16
想一想 （1）单位向量唯一吗? （不唯一） （2）在平面上把所有单位向量的
起点平移到同一点，那么它们的 终点的集合组成什么图形？
17
想一想：数量之间有大小关系如 5 4,0 1 ，
那么向量之间有大小关系吗？
结论:向量不能比较大小，只能比较向量的模的大小
2.1 平面向量的实际背景及基本概念
2.1 平面向量的实际背景及基本概念向量：既有大小，又有方向的量． 数量：只有大小，没有方向的量．有向线段的三要素：起点、方向、长度． 零向量：长度为0的向量．单位向量：长度等于1个单位的向量．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行．相等向量：长度相等且方向相同的向量． 与长度相等方向相反的向量叫做的相反向量.课堂训练一、选择题1、下列物理量中， 不能称为向量的是 （ ）A ．距离B ．加速度C ．力D ．位移2、下列四个命题正确的是 （ ）A ．两个单位向量一定相等B ．若与不共线，则与都是非零向量C ．共线的单位向量必相等D ．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同3、下列说法错误的是 （ ）A ．向量OA 的长度与向量AO 的长度相等B ．零向量与任意非零向量平行C ．长度相等方向相反的向量共线D ．方向相反的向量可能相等4、对于以下命题：（1）平行向量一定相等； （2）不相等的向量一定不平行；（3）共线向量一定相等；（4）相等向量一定共线。
其中真命题的个数是 （ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个5、在△ABC 中,AB=AC ,D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则 （ ） A. 与AC 共线 B. 与CB 共线 C. 与相等 D. 与相等6、两个向量共线是两个向量相等的 （ ）A 、 充分不必要条件B 、必要不充分条件C 、充要条件D 、 既不充分也不必要条件二、填空题1、与非零向量平行的单位向量的个数是_______。
2、||||b a =是b a =的___ __条件。
3、已知B ，C 是线段AD 的两个三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出___ __个互不相等的非零向量。
4、已知平面上不共线的四点满足=，则以下四个命题：（1）ABCD 是平行四边形；（2）ACBD 是平行四边形；（3）ADBC 是平行四边形；（4）ACDB 是平行四边形。
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二. 平行向量不是平面几何中的
平行线段的简单类比.
三. 向量的图示，要标上箭头和
始点、终点.
作业
课本77页习题2.1第3，5题
关于向量的大小 :
(1)向量AB 的大小, 也就是向量AB 的长度( 或称模), 记做| AB | ;
Байду номын сангаас
(2)长度为0的向量 叫做零向量, 记做0;
(3)长度等于一个单 位的向量, 叫做单位向 量.
关于平行向量 (共线向量) : (1)方向相同或相反 的非零向量, 称之;
(2)规定: 零向量与任一向量平行即对于 , 任意向量a,都有0//a .
a b
l
C
c
O
B
A
相等向量: 长度相等且方向相同的 向量, 称之.
例1、设O是正六边形ABCDEF的中心, 分 别写出图中与 , OB , OC相等的向量. OA
B A
解： OA CB DO ；
C O F
OB DC EO ； OC AB ED FO
D
E
小结
一. 描述向量的两个指标：模和
§ 2.1 平面向量的实际背 景及基本概念
引入
向量:
数学中, 既有大小, 又有方向的量, 称之.
数学 : 向量 数量 物理 : 矢量 标量
新课
关于有向线段 : (1)带有方向的线段称之; ,
A B
(2)有向线段的三要 : 起点, 素 方向, 长度.
关于向量的表示 :
(1)向量可以用有向 线段表示, AB , CD ; 如 (2)向量也可以用小 写字母表示, a , b . 如