广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题
2019年梅州市高三总复习二检理科数学参考答案(定稿)
梅州市高三总复习质检试题（2019、5）理科数学参考答案与评分意见一、选择题(每小题5分,共60分)二、填空题(每小题5分,共20分) 13.22-14.0.19 15.1- 16.18 三、解答题(共70分) 17.(本小题满分12分)解:(1)由题意得a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ∙2n+1, 所以,222,42132121⨯=+=⨯=a a a 得;62=a ……………………2分由a 1+2a 2+⋯+2n−1a n =n ∙2n+1,所以a 1+2a 2+⋯+2n−2a n−1=(n −1)∙2n (n ≥2),相减得2n−1a n =n ∙2n+1-(n −1)∙2n ， ……………………4分 得a n =2n +2,n =1也满足上式.所以}{n a 的通项公式为a n =2n +2. ……………………6分 (2)数列{a n −kn}的通项公式为,2)2(22+-=-+=-n k kn n kn a n……………………7分是以k -4为首项,公差为k -2的等差数列, ……………………8分 若S n ≤S 4对任意的正整数n 恒成立，等价于当4=n 时,n S 取得最大值, ……………………9分所以⎩⎨⎧≤+-=-≥+-=-.02)2(52,02)2(4254k k a k k a ……………………10分解得.25512≤≤k ……………………11分 所以实数k 的取值范围是].25,512[ ……………………12分 18.(本小题满分12分)(1)证明:⊥AE 平面⊂CD CDE ,平面ADE ,.CD AE ⊥∴ ……………………2分又ABCD 是正方形,,,//,AE AB CD AB AD AB ⊥∴⊥ ……………………4分,A AD AE =⋂⊥∴AB 平面ADE ; ……………………6分(2)由(1)⊥AB 平面⊂DE ADE ,平面.,,DE CD DE AB ADE ⊥∴⊥∴过E 作,//CD Ey 则有.,,Ey ED ED EA Ey EA ⊥⊥⊥ 以E 为原点,分别以EA Ey ED ,,为坐标轴,建立如图的空间直角坐标系. ……………………7分 设.2,0a AD CD a ED EA ==∴>==可得).0,2,(),0,0,(),,2,0(),,0,0(),0,0,0(a a C a D a a B a A E --则).0,2,(),,2,0(),0,0,(a a EC a a EB a ED -=-== ……………………8分 设平面DEB 的一个法向量为),,,(z y x n =则有⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅==⋅=⋅.02),2,0(),,(,0)0,0,(),,(az ay a a z y x EB n ax a z y x ED n令).2,2,0(,2==n y 得 ……………………9分设平面EBC 的一个法向量为),,,(r q p m =⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-⋅=⋅=-=-⋅=⋅.02),2,0(),,(,02)0,2,(),,(ar aq a a r q p EB m aq ap a a r q p EC m 令).2,2,2(,2==m q 得 ……………………10分.5151526106)2,2,2()2,2,0(||||,cos ==⨯⋅=⋅⋅>=<m n m n m n 得……………………11分所以二面角C EB D --的余弦值为.515……………………12分 19. (本小题满分12分)解:(1)由题意,得123450.50.61 1.4 1.73, 1.0455t y ++++++++====, ……………………1分218.853 1.04 3.20.32, 1.040.3230.08.555310b a -⨯⨯∴====-⨯=-⨯ ……………………2分∴回归直线方程为0.320.08.y x =+ ……………………3分又当6t =时,0.3260.082y =⨯+=.所以预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数为2百万. ……………………4分 (2)①由表中的数据,得2006006003002001001.52.53.54.55.56.5 3.5,200020002000200020002000x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=………6分2222222200600600300(1.5 3.5)(2.5 3.5)(3.5 3.5)(4.5 3.5)2000200020002000200100(5.5 3.5)(6.5 3.5) 1.7.20002000s =⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-+⨯-= ……………………8分②由①可知)7.1,5.3(~N X ,且(3.5 1.3 3.5 1.3)0.6826P X -<<+=, 则10.6826( 4.8)0.15872P X ->==, ……………………10分 又3174000.1587,2000000=所以该商品的最低成交价为4.8千元. ……………………12分20.(本小题满分12分)解:(1)圆8)1(:22=++y x M 的圆心为)0,1(-M ,半径为22, ……………………1分设圆P 的半径为R ,由题意知点)0,1(N 在圆M 内.可得,2||22||||,||,22||=>=+∴=-=MN PN PM R PN R PM所以点P 的轨迹是以)0,1(-M ,)0,1(N 为焦点,长轴长为222=a 的椭圆, ……………………3分 得.1,2==b a所以动圆圆心P 的轨迹方程为.1222=+y x……………………4分 (2)显然AB 不与x 轴垂直,设AB 所在直线方程为.b kx y +=可得 .12,22⎪⎩⎪⎨⎧=++=y x b kx y 可得.0)1(24)21(222=-+++b kbx x k ……① ……………………5分设),(),,(2211y x B y x A ,则21,x x 是方程①的两不相等的实根,得.21)1(2,214,0)12(8)1)(21(8162221221222222kb x x k kb x x b k b k b k +-=+-=+>+-=-+-=∆ 得]4))[(1())(1(||1221222122x x x x k x x k AB -++=-+=.)21()12)(1(22]21)1(8)21(16)[1(222222222222k b k k k b k b k k ++-+=+--++=……………………6分 又点O 到直线AB 的距离.1||2kb d +=……………………7分所以OAB ∆的面积.)21()12(21||)21()12)(1(222122222222222k b k b k b k b k k S ++-=+⨯++-+⨯=…………8分 由题意知, ,)21()21(|,|||22222121-+=-+∴=y x y x DB DA……………………9分得,0)1)(())((21212121=-+-++-y y y y x x x x 又,2)(),()(21212121b x x k y y x x k y y ++=+-=-代入上式得,02))(1(212=-+++k kb x x k 得.01220,02)1(214222=++==-+++-b k k k kb k k kb或得(也可直接用垂直平分线过点)21,0(D 得到b k ,关系) ……………………10分当0=k 时, .22]41)21([2)1(22222≤+--=-=b b b S当22±=b 时,S 有最大值.22……………………11分当b k b k 212,012222-=+=++即时,.22]1)1([214)2(2)21()12(2222222222≤++-=--=++-=b b b b b k b k b S当1-=b 时,S 有最大值.22,22±=k 此时 所以OAB ∆面积的最大值为.22……………………12分 21.(本小题满分12分)解:(1),1)(--=ax e x f x ,)(a e x f x-='当0>a 时, ,0)(='x f 得a x ln =. ……………………1分 当a x ln <时, ,0)(<'x f 当a x ln >时, ,0)(>'x f ……………………2分 所以当)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, ………………3分 可得当a x ln =时, )(x f 有极小值.1ln )(ln --=a a a a f ……………………4分 (2)由(1),)(a e x f x-='当0≤a 时, ,0)(>'x f 此时)(x f 单调递增,若)()(21x f x f =,可得21x x =,与1||21≥-x x 矛盾; ……………………5分当0>a 时, 由(1) 知当)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, 同理不存在)ln ,(,21a x x -∞∈或),(ln ,21+∞∈a x x ，使得)()(21x f x f =; ……………………6分 不妨设2021≤<≤x x ,则有,2ln 021<<<≤x a x因为)ln ,(a x -∞∈时,)(x f 单调递减, 当),(ln +∞∈a x 时,)(x f 单调递增, 且)()(21x f x f =,所以当21x x x ≤≤时,),()()(21x f x f x f =≤ ……………………7分 由2021≤<≤x x 且1||21≥-x x ,可得],[121x x ∈,故)()()1(21x f x f f =≤,…………………8分 又)(x f 在)ln ,(a x -∞∈单调递减,且,ln 01a x <≤所以)0()(1f x f ≤,所以)0()1(f f ≤.同理).2()1(f f ≤ ……………………9分 即⎩⎨⎧-≤--≤--.1,012e e a e a e……………………10分解得.12e e a e -<<- ……………………11分 综上所述,命题得证. ……………………12分选做题(本小题满分10分)22.解:（1）将(M 及对应的参数3πϕ=，代入⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x ，（0a b >>，ϕ为参数），得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==3sin 33cos 2ππb a ,得⎩⎨⎧==24b a .……………………2分∴曲线C 的普通方程为221164x y +=. ……………………3分 由,sin cos ⎩⎨⎧==θρθρy x 代入上式得曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=. …………………5分 （2）曲线C 的极坐标方程为2222cos sin 1164ρθρθ+=，由题意可设()1,A ρθ，2,2B πρθ⎛⎫+⎪⎝⎭,代入曲线C 的极坐标方程, ……………………6分得222211cos sin 1164ρθρθ+=，222222sin cos 1164ρθρθ+=,∴221211516ρρ+=. ……………………7分 由|,|||21||||21OB OA AB OM ⋅=⋅ ……………………8分得.554111||||||||2221212121=+=+=⋅=ρρρρρρAB OB OA OM……………………9分所以点M 在以O 为圆心,半径为554的圆上. ……………………10分 23.解:(1)当1=a ，不等式,2|1|2|1|+>--++x a x x即为,21|1|2|1|+>--++x x x 即,3|1|2|1|+>-++x x x ……………………1分 不等式等价于,3311⎩⎨⎧+>--<x x x 或,3311⎩⎨⎧+>-≤≤-x x x 或,3131⎩⎨⎧+>->x x x……………………4分得1-<x 或01<≤-x 或.2>x所求不等式的解集为}.20|{><x x x 或……………………5分 (2)由),2()(+≤x a x f 得),2(|1|2|1|+≤--++x a a x x 即),3(|1|2|1|+≤-++x a x x ……………………6分设⎪⎩⎪⎨⎧>-≤≤---<-=-++=1,1311,31.,31|1|2|1|)(x x x x x x x x x g , ……………………7分如图，.3,21),0,3(-===-BC PD PA k k k P……………………9分 故由题可知3-<a 或.21≥a 即a 的取值范围为),21[)3,(+∞⋃--∞. ……………………10分。
广东梅州中学2019高三下学期第三次重点考试-数学(理)
广东梅州中学2019高三下学期第三次重点考试-数学（理）【一】选择题：此题共8小题，每题5分，总分值40分，每题只有一个答案是正确的.1、02a <<，复数z 的实部为a ，虚部为1，那么z 的取值范围是〔 〕 A 、(15)，B 、(13)，C、D、2、记等差数列{}n a 的前n 项和为nS ，假设112a =，420S =，那么6S =〔 〕A 、16B 、24C 、36D 、483、某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表1，在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19、现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，那么应在三年级抽取的学生人数为〔 〕A 、24B 、18C 、16D 、12 表14、假设变量x y ，满足24025000x y x y x y ⎧+⎪+⎪⎨⎪⎪⎩，，，，≤≤≥≥那么32z x y =+的最大值是〔 〕A 、90B 、80C 、70D 、405、将正三棱柱截去三个角〔如图1所示A B C ，，分别是GHI △三边的中点〕得到几何体如图2，那么该几何体按图2所示方向的侧视图〔或称左视图〕为〔 〕中为真命题的是〔〕A 、()p q ⌝∨B 、p q ∧C 、()()p q ⌝∧⌝D 、()()p q ⌝∨⌝7、设a ∈R ，假设函数3ax y e x =+，x ∈R 有大于零的极值点，那么〔〕A 、3a >-B 、3a <-C 、13a >- D 、13a <-8、在平行四边形ABCD 中，AC 与BD 交于点O E ，是线段OD 的中点，AE 的 延长线与CD 交于点F 、假设AC =a ，BD =b ，那么AF =〔〕A 、1142+a b B 、2133+a b C 、1124+a b D 、1233+a b【二】填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每题5分，总分值30分、一年级 二年级 三年级女生 373 x y 男生 377 370 zE FDIA H GBC EF D AB C侧视 图1图2 BEA ．BEB ． BEC ．BED ．图3〔一〕必做题〔9~12题〕9、阅读图3的程序框图，假设输入4m =，6n =， 那么输出a =，i =.10、26(1)kx +〔k 是正整数〕的展开式中，8x 的系数 小于120，那么k =、11、通过圆2220x x y ++=的圆心C ，且与直线0x y +=垂直的直线方程是、12、函数()(sin cos )sin f x x x x =-，x ∈R ，那么()f x 的最小正周期是、13.设，上的偶函数，对任意的是定义在R x R x f ∈)(都有 ，时，，且当12)(]2,0[)4()(-=∈+=x x f x x f x f 那么方程的实数根的个数为0)2(log )(2=+-x x f .〔二〕选做题〔14—15题，考生只能从中选一题〕 14、〔坐标系与参数方程选做题〕曲线12C C ，的极坐标方程分别为cos 3ρθ=，π4cos 002ρθρθ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，≥≤ 那么曲线1C 与2C 交点的极坐标为、15、〔几何证明选讲选做题〕PA 是圆O 的切线，切点为A ，2PA =、AC 是圆O 的直径，PC 与圆O 交于点B ，1PB =，那么圆O 的半径R =、【三】解答题：本大题共6小题，总分值80分、解答须写必要的出文字说明，证明过程或演算步骤、 16、〔本小题总分值13分〕函数()sin()(00π)f x A x A ϕϕ=+><<，，x ∈R 的最 大值是1，其图像通过点π132M ⎛⎫ ⎪⎝⎭，、〔1〕求()f x 的解析式；〔2〕π02αβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，，且3()5f α=，12()13f β=，求()f αβ-的值、17、〔本小题总分值13分〕随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一等品126件、二等品50件、三等品20件、次品4件、生产1件【一】【二】三等品获得的利润分别为6万元、2万元、1万元，而1件次品亏损2万元、设1件产品的利润〔单位：万元〕为ξ、〔1〕求ξ的分布列；〔2〕求1件产品的平均利润〔即ξ的数学期望〕；〔3〕经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为1%，一等品率提高为70%、假如如今要求1件产品的平均利润不小于4.73万元，那么三等品率最多是多少？图418、〔本小题总分值14分〕设0b >，椭圆方程为222212x y b b+=，抛物线方程为28()x y b =-、如图4所示，过点(02)F b +，作x 轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G ，抛物线在点G 的切线通过椭圆的右焦点1F 、〔1〕求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； 〔2〕设A B ，分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P ，使得ABP △为直角三角形？假设存在，请指出共有几个如此的点？并说明理由〔不必具体求出这些点的坐标〕、 19、〔本小题总分值14分〕设k ∈R ，函数11()x xf x ⎧⎪-=⎨⎪⎩，x ∈R ，试讨论函数()F x 的单调性、20、〔本小题总分值14分〕如图5所示，四棱锥P -为R 的圆的内接四边形，其中BD 是圆的直径，60ABD ∠=，45BDC ∠=，PD垂直底面ABCD ，PD =，E F ，分别是PB CD ，上的点，且PE DF EB FC=，过点E 作BC 的平行线交PC 于G 、 〔1〕求BD 与平面ABP 所成角θ的正弦值；〔2〕证明：EFG △是直角三角形； 〔3〕当12PE EB =时，求EFG △的面积、21、〔本小题总分值12分〕设p q ，为实数，αβ，是方程20x px q -+=的两个实根，数列{}n x 满足1x p =，22x p q =-，12n n n x px qx --=-〔34n =，，…〕、 〔1〕证明：p αβ+=，q αβ=；〔2〕求数列{}nx 的通项公式；〔3〕假设1p =，14q =，求{}n x 的前n 项和n S 、 梅州中学2018年届理科数学热身题答案【一】CDCCADBBF C P GE A B图5D图417.【解析】ξ的所有可能取值有6，2，1，-2；126(6)0.63200P ξ===，50(2)0.25200P ξ===20(1)0.1200P ξ===，4(2)0.02200P ξ=-== 故ξ的分布列为：ξ 6 2 1 -2P 0.630.250.10.02〔2〕60.6320.2510.1(2)0.02 4.34E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=〔3〕设技术革新后的三等品率为x ，那么如今1件产品的平均利润为 ()60.72(10.70.01)(2)0.01 4.76(00.29)E x x x x =⨯+⨯---+-⨯=-≤≤依题意，() 4.73E x ≥，即4.76 4.73x -≥，解得0.03x ≤因此三等品率最多为3% 18.【解析】〔1〕由28()x y b =-得218y x b =+，当2y b =+得4x =±，∴G 点的坐标为(4,2)b +，1'4y x=，4'|1x y ==， 过点G 的切线方程为(2)4y b x -+=-即2y x b =+-，令0y =得2x b =-，1F ∴点的坐标为(2,0)b -，由椭圆方程得1F 点的坐标为(,0)b ， 2b b ∴-=即1b =，即椭圆和抛物线的方程分别为2212x y +=和28(1)x y =-；19.【解析】1,1,1()(),1,kx x xF x f x kx kx x ⎧-<⎪-=-=⎨⎪≥⎩21,1,(1)'(),1,k x x F x k x ⎧-<⎪-⎪=⎨⎪-≥⎪⎩关于1()(1)1F x kx x x=-<-， 当0k ≤时，函数()F x 在(,1)-∞上是增函数； 当0k >时，函数()F x在(,1-∞上是减函数，在(1-上是增函数；关于()(1)F x k x =≥， 当0k ≥时，函数()F x 在[)1,+∞上是减函数；当0k <时，函数()F x 在211,14k ⎡⎫+⎪⎢⎣⎭上是减函数，在211,4k ⎡⎫++∞⎪⎢⎣⎭上是增函数。
2019年广东省梅州市广东省一级中学高三数学理模拟试卷含解析
2019年广东省梅州市广东省一级中学高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若复数为纯虚数(为虚数单位)，则实数的值是( )；A． B．或 C．或 D．参考答案：D2. 已知的导函数，若满足，且，则的解析式可能是（）A．B．C．D．参考答案：C因为，所以舍去B;因为导数为，，舍A;因为导数为，，满足题意;因为导数为，，舍D;综上选C.3. 已知定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是（）A．f（0）f（2）＜0 B．f（1）f（2）＜0 C．f（0）f（3）＜0 D．f（0）f（1）＜0参考答案：C【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f（3）＜0，反之不成立，即可判断出结论．【解答】解：∵在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点，则f（0）f （3）＜0，反之不成立，零点可能∈[2，3），因此定义在R上的单调连续函数f（x）在区间（0，2）上存在零点的一个必要不充分条件是f（0）f（3）＜0．故选：C．4. 定义域为D的函数f(x)同时满足条件①常数a，b满足a<b，区间[a，b]D，②使f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]（k∈N+），那么我们把f(x)叫做[a，b]上的“k 级矩阵”函数，函数f(x)=x3是[a，b]上的“1级矩阵”函数，则满足条件的常数对（a，b）共有A．1对 B．2对 C．3对 D．4对参考答案：C5. 已知数列满足且是函数的两个零点，则等于（）A．24 B．32 C．48 D．64参考答案：略6.设是定义在R上以2为周期的偶函数，已知，则函数在（1，2）上（）A．是增函数，且<0 B．是增函数，且>0C．是减函数，且<0 D．是减函数，且>0参考答案：答案：D7. 若函数在区间内有零点，则实数a的取值范围是（）A． B． C． D．参考答案：D8. 设U=R，集合，则下列结论正确的是（）A． B．C． D．参考答案：C9. 过抛物线：的焦点的直线交抛物线于、两点，且，则弦的长为（）A．B．4 C．D．参考答案：C10. 定义在R上的偶函数，f(x)满足：对任意的x1, x2(x1≠x2), 有(x1-x2)[f(x2)-f(x1)]>0,则当n时，有（）A．f(-n)<f(n-1)<f(n+1) B. f(n-1)<f(-n)<f(n+1)C. f(n+1)<f(-n)<f(n-1)D. f(n+1)<f(n-1)<f(-n)参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. （09南通期末调研）在△ABC中，，D是BC边上任意一点（D与B、C不重合），且，则等于▲．参考答案：答案：12. 函数是幂函数，且在x∈（0，+∞）上是减函数，则实数m= ．参考答案：2【考点】幂函数的性质．【专题】计算题．【分析】根据幂函数的定义，令幂的系数为1，列出方程求出m的值，将m的值代入f （x），判断出f（x）的单调性，选出符和题意的m的值．【解答】解：是幂函数∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1当m=2时，f（x）=x﹣3在x∈（0，+∞）上是减函数，满足题意．当m=﹣1时，f（x）=x0在x∈（0，+∞）上不是减函数，不满足题意．故答案为：2．【点评】解决幂函数有关的问题，常利用幂函数的定义：形如y=xα（α为常数）的为幂函数；幂函数的单调性与指数符号的关系．是基础题．13. 设方程x3﹣3x=k有3个不等的实根，则常数k的取值范围是．参考答案：（﹣2，2）考点：根的存在性及根的个数判断．专题：函数的性质及应用．分析：利用导数，判断出函数的极值点，用极值解决根的存在与个数问题．解答：解：设f（x）=x3﹣3x，对函数求导，f′（x）=3x2﹣3=0，x=﹣1，1．x＜﹣1时，f（x）单调增，﹣1＜x＜1时，单调减，x＞1时，单调增，f（﹣1）=2，f （1）=﹣2，要有三个不等实根，则直线y=k与f（x）的图象有三个交点，∴﹣2＜k＜2故答案为：（﹣2，2）．点评：学会用导数及单调性处理根的存在与个数问题，极值的正负是解决此问题的关键．是中档题．14. 复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），则复数z的虚部为．参考答案：﹣3【考点】复数的基本概念．【专题】计算题；数系的扩充和复数．【分析】根据复数的代数运算法则，求出复数z，即得z的虚部．【解答】解：∵复数z满足z（2+i）=3﹣6i（i为虚数单位），∴z====﹣3i即复数z的虚部为﹣3．故答案为：﹣3．【点评】本题考查了复数的概念与代数运算问题，是基础题目．15. 已知中，边上的高与边的长相等，则的最大值为▲ .参考答案：略16. 一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是；表面积是．参考答案：17. 已知向量，，且，则实数．参考答案：8三、解答题：本大题共5小题，共72分。
2019年广东省梅州市高考数学一模试卷(理科)(解析版)
2019年广东省梅州市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合A＝{x|x＝3n﹣1，n∈N}，B＝{6，8，10，12，14}，则集合A∩B中元素的个数为（）A．2B．3C．4D．52．（5分）已知复数z满足i（2﹣z）＝3+i，则|z|＝（）A．B．5C．D．103．（5分）下列函数为奇函数的是（）A．y＝B．y＝|sin x|C．y＝cos x D．y＝e x﹣e﹣x 4．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足2S3＝a3+a7＝18，则a1＝（）A．1B．2C．3D．45．（5分）某中学2018年的高考考生人数是2015年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2015年和2018年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是（）A．与2015年相比，2018年一本达线人数减少B．与2015年相比，2018年二本达线人数增加了0.5倍C．2015年与2018年艺体达线人数相同D．与2015年相比，2018年不上线的人数有所增加6．（5分）如图在平行四边形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，且＝2，则＝（）A．B．C．D．7．（5分）若变量x，y满足约束条件，则z＝2x﹣y的最小值等于（）A．B．﹣2C．D．28．（5分）一种电子计时器显示时间的方式如图所示，每一个数字都在固定的全等矩形“显示池”中显示，且每个数字都由若干个全等的深色区域“”组成．已知在一个显示数字8的显示池中随机取一点A，点A落在深色区域内的概率为．若在一个显示数字0的显示池中随机取一点B，则点B落在深色区域的概率为（）A．B．C．D．9．（5分）已知双曲线C：＝l（a＞0，b＞0）一个焦点为F（2，0），且F到双曲线C的渐近线的距离为1，则双曲线C的方程为（）A．x2＝1B．＝1C．x2＝1D．＝1 10．（5分）《九章算术》给出求羡除体积的“术”是：“并三广，以深乘之，又以袤乘之，六而一”，其中的“广”指羡除的三条平行侧棱的长，“深”指一条侧棱到另两条侧棱所在平面的距离，“袤”指这两条侧棱所在平行线之间的距离，用现代语言描述：在羡除ABC﹣A1B1C1中，AA1∥BB1∥CC1，AA1＝a，BB1＝b，CC1＝c，两条平行线AA1与BB1间的距离为h，直线CC1到平面AA1B1B的距离为h′，则该羡除的体积为V＝（a+b+c）．已知某羡除的三视图如图所示，则该羡除的体积为（）A．3B．C．D．211．（5分）设点P在曲线y＝lnx上，点Q在曲线y＝1﹣（x＞0）上，点R在直线y＝x 上，则|PR|+|RQ|的最小值为（）A．B．C．D．12．（5分）在等腰直角△ABC中，AB⊥AC，BC＝2，M为BC中点，N为AC中点，D为BC边上一个动点，△ABD沿AD翻折使BD⊥DC，点A在平面BCD上的投影为点O，当点D在BC上运动时，以下说法错误的是（）A．线段NO为定长B．∠AMO+∠ADB＞180°C．线段CO的长|CO|∈[1，）D．点O的轨迹是圆弧二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知数列{a n}的前n项和为S n，首项a1＝1，且满足：2S n＝a n+1﹣1，则a3+a4+a5＝．14．（5分）过定点F（1，0）且与直线x＝﹣1相切的动圆圆心M的轨迹方程为．15．（5分）若将函数f（x）＝sin2x+cos2x的图象向右平移φ个单位后所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值为．16．（5分）某大学安排4名毕业生到某企业的三个部门A，B，C实习，要求每个部门至少安排1人，其中甲大学生不能安排到A部门工作，安排方法有种（用数字作答）．三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
2019-2020学年广东省梅州市高三(上)第一次质检数学试卷1 (含答案解析)
2019-2020学年广东省梅州市高三（上）第一次质检数学试卷1一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若集合A={x｜0<x<6}，B={x｜x2+x−2>0}，则A∪B=()A. {x｜1<x<6}B. {x｜x<−2或x>0}C. {x｜2<x<6}D. {x｜x<−2或x>1}2.已知复数z满足(2−i)z=｜3+4i｜，则z=()A. −2−iB. 2−iC. −2+iD. 2+i3.某校共有学生2000名，各年级男、女人数如下表所示，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到高二女生的概率是0.19，现用分层抽样的方法(按年级分层)在全校学生中抽取64人，则应在高三年级中抽取的学生人数为()A. 12B. 14C. 16D. 184.已知双曲线C：x23−y2=1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M、N.若△OMN为直角三角形，则|MN|=()A. 32B. 3C. 2√3D. 45.已知数列{a n}中，a3=2，a7=1，若{11+a n}是等差数列，则a11等于()A. 12B. 16C. 13D. 06.已知cos(3π14−θ)=13，则sin(2π7+θ)=()A. 13B. −13C. 2√23D. −2√237.如图，在圆O中，AB，CD是圆O互相垂直的两条直径，现分别以OA，OB，OC，OD为直径作四个圆，在圆O内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是()A. 1π B. 12π C. 14−12π D. 12−1π 8. 已知等边△ABC 的边长为2，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 等于( )A. −2B. −103C. 2D. 1039. 若函数f(x)={−x 2+2ax −2a,x ≥1ax +1,x <1是(−∞,+∞)上的减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−2,0)B. [−2,0)C. (−∞,1]D. (−∞,0)10. 已知函数f(x)=ax 3+bx 2+c ，其导函数f′(x)的图象如图，则函数f(x)的极小值为( )A. cB. a +b +cC. 8a +4b +cD. 3a +2b11. 抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，l 与x 轴相交于点E ，过F 且倾斜角等于60°的直线与抛物线在x 轴上方的部分相交于点A ，AB ⊥l ，垂足为B ，则四边形ABEF 的面积为( )A. 3√3B. 6C. 6√3D. 1212. 已知函数f(x)=xe x−1−a ，则下列说法正确的是( )A. 当a <0时，f(x)有两个零点B. 当a =0时，f(x)无零点C. 当0<a <1时，f(x)有小于1的零点D. 当a >1时，f(x)有大于a 的零点二、填空题（本大题共4小题，共20.0分） 13. 若x,y 满足约束条件{x +y −2≤0x −2y +1≤02x −y +2≥0，则z =3x −y 的最小值等于___________． 14. 在长方体ABCD −A 1B 1C 1D 1中，AB =BC =1，AC 1与面BB 1C 1C 所成的角为30°，则AA 1的长度为______． 15. 将函数的图象向左平移π12个单位长度得到y =f(x)的图象，则f(π3)的值为_______．16. 已知数列{a n }中，S n =4n 2−n ，则a 4= ______ ． 三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17. 在锐角三角形ABC 中，ab=√32sinB． (1)求角A 的大小；(2)若a =√7，b =2，求△ABC 的面积．18. 某数学兴趣小组为了研究人的脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：(Ⅰ)请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y 关于x 的线性回归方程；(Ⅱ)若“身高大于175厘米”的为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”的为“大脚”，“脚长小于等于42码”的为“非大脚”.请根据上表数据完成2×2列联表，并根据列联表中数据说明能有多大的把握认为脚的大小与身高之间有关系． 附表及公式：b ^ =n i=1i −x)(y i −y)n i=1i 2，a ^ =y −b ^ x ，K 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)P(K 2≥k)0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001k2×2列联表：高个非高个总计大脚非大脚总计19.在四棱锥P−ABCD中，底面ABCD为菱形，AB=2，∠BCD=60°，侧面PBC为等边三角形，M，N分别为BC，PA的中点．(1)证明：BC⊥PD；(2)若平面PBC⊥平面ABCD，求四面体DPMN的体积．20.已知直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点．(1)若|AF|=4，求点A的坐标；(2)求线段AB 的长的最小值．21. 已知函数f(x)=(a−1)x−x 2−1e x(e 为自然对数的底数)．(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)求证：当a ≥3−e 时，对∀x ∈[0,+∞)，f(x)≥−1．22. 已知过点P(0,−1)的直线l 的参数方程为{x =12ty =−1+√32t(t 为参数)，在以坐标原点O 为极点，x 轴非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)． (Ⅰ)求曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)若直线l 与曲线C 分别交于点M ，N ，且|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a 的值．23.已知函数f(x)=|2x+1|+|2x−5|．(1)求不等式f(x)≤10的解集；(2)a，b均为正实数，若4a +1b为函数f(x)的最小值，求实数a+2b的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：B解析：【分析】本题考查集合的并集运算，考查运算求解能力，属于基础题．【解答】解：因为B={x︱x<−2或x>1}，所以A∪B={x︱x<−2或x>0}．故选B．2.答案：D解析：【分析】本题主要考查了复数的四则运算及复数的模，考查了计算能力，属于基础题．利用复数的运算性质及复数的模即可得出结果．【解答】解：因为z=|3+4i|2−i =52−i=5(2+i)(2−i)·(2+i)=2+i．故选D．3.答案：C解析：依题意，得a=0.19×2000=380，b+c=2000−(385+375+380+360)=500，则应在高三年级中抽取的学生人数为642000×500=16．4.答案：B解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，考查计算能力，属较易题．求出双曲线的渐近线方程，求出直线方程，求出MN的坐标，然后求解|MN|．【解答】解：由双曲线方程知a =√3，b =1，则F(2,0)． 不妨设过点F 的直线垂直渐近线x −√3y =0于M ， 交渐近线x +√3y =0于N ．在Rt △OMF 中，∠MOF =30°，|OF|=2，所以|OM|=√3.在Rt △OMN 中，∠MON =60°，|OM|=√3， 所以|MN|=3． 故选B ．5.答案：A解析： 【分析】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题． 由已知结合等差数列的性质列式计算． 【解答】解：∵数列{11+a n}是等差数列，∴11+a 3+11+a 11=21+a 7，∵a 3=2，a 7=1， ∴21+1=11+2+11+a 11，解得a 11=12．故选A ．6.答案：A解析：解：∵cos(3π14−θ)=13， ∴cos(3π14−θ)=sin(π2−3π14+θ)=sin(2π7+θ)=13．故选：A ．利用诱导公式即可得到sin(2π7+θ)的值．本题考查的知识点是两角和与差的正弦公式，诱导公式，难度不大，属于基础题．7.答案：D解析： 【分析】本题考查了几何概型中的面积型，属中档题．由几何概型中的面积型得：此点取自阴影部分的概率是S 阴S 圆=2π−44π=12−1π，【解答】解：设大圆的半径为2，则S 大圆=4π， 又S 阴=8×(π4−12×1×1)=2π−4，所以在圆O 内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率是S 阴S 圆=2π−44π=12−1π， 故选：D ．8.答案：A解析： 【分析】本题考查了平面向量的运算，数量积的求解，属于中档题．根据题意得出BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，运用数量积求解即可． 【解答】解：等边△ABC 的边长为2，BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3BE ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +BC ⃗⃗⃗⃗⃗ )，AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12(13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−23BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，=12×(13×4−4−23×2×2×12)， =−2． 故选A ．9.答案：B解析： 【分析】本题考查分段函数单调性的应用，属于基础题．根据函数f(x)在(−∞,+∞)单调递减，列出不等式组，进而求解即可． 【解答】解：由题意可得{a ≤1a <0a +1≥−1+2a −2a , 解得a ∈[−2,0)．10.答案：A解析：解：f′(x)=3ax2+2bx，根据导函数的图象，可知0，2是方程3ax2+2bx=0的根，当x<0或x>2时，f′(x)<0，函数为减函数，当0<x<2时，f′(x)>0，函数为增函数，∴x=0时，函数f(x)取得极小值，极小值为f(0)=c，故选：A．根据导函数的图象，确定函数的单调性，从而可得函数f(x)的极小值．本题考查导函数的图象，考查极值的计算，属于基础题．11.答案：C解析：【分析】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题型．先判断△ABF为等边三角形，求出A的坐标，而四边形ABEF为直角梯形，可求出直角梯形的上底边长AB=m+1的值，直角梯形的面积可求．【解答】解：由抛物线的定义可得AF=AB，∵AF的倾斜角等于60°，∵AB⊥l，∴∠FAB=60°，故△ABF为等边三角形．又焦点F(1,0)，AF的方程为y−0=√3(x−1)，设A(m,√3m−√3)，m>1，由AF=AB，得√(m−1)2+(√3m−√3)2=m+1，∴m=3，故等边三角形△ABF的边长AB=m+1=4，△ABF为等边三角形，∴四边形ABEF的面积是12(EF+AB)BE=12(2+4)×4sin60°=6√3．故选C．12.答案：C解析：解：由题意令g(x)=xe x−1，则g′(x)=e x−1+xe x−1，函数g(x)在(−∞,−1)上单调递减，(−1,+∞)上单调递增，g(−1)=−1，且x→−∞时，g(x)→0，∴当0<a<1时，函数g(x)与y=a的交点在(0,1)，即f(x)有小于1的零点，故选：C．【分析】由题意可令g(x)=xe x−1，确定函数的单调性，作出函数的图象，即可得出结论．本题主要考查了函数的求导，考查数形结合的数学思想，正确转化是关键．13.答案：−3解析：【分析】本题主要考查了线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，属于基础题．作出不等式组对应的平面区域，，利用目标函数的几何意义，求目标函数z=3x−y的最小值．【解答】由题意可得可行域如下图所示：令y=3x−z，则z min即为在y轴截距的最大值．也就是过点D(−1,0)时，其截距最大，此时z min=3×(−1)−0=−3．故答案为−3．14.答案：√2解析：【分析】本题考查线段长的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理推论证能力、运算求解能力，是中档题．由AB⊥平面BCC1B1，得到∠AC1B是AC1与面BB1C1C所成的角，从而∠AC1B=30°，进而AC1=2AB= 2，由此能求出AA1的长．【解答】解：在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB=BC=1，AC1与面BB1C1C所成的角为30°，∵AB⊥平面BCC1B1，∴∠AC1B是AC1与面BB1C1C所成的角，∴∠AC1B=30°，∴AC1=2AB=2，∴AA1=√AC12−AC2=√4−2=√2．故答案为√2．15.答案：−√2解析：【分析】本题利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律，求得f(x)的解析式，故可得f(π3)的值．【解答】解：将函数的图象向左平移π12个单位长度得到，故可得，故答案为−√2．16.答案：27解析：【分析】由S n=4n2−n可得a n=8n−5，从而求a4即可．本题考查了由S n求通项公式的应用，属于基础题．【解答】解：∵S n=4n2−n，当n=1时，a1=S1=4−1=3，当n≥2时，a n=S n−S n−1=(4n2−n)−(4(n−1)2−(n−1))=8n−5，当n=1时上式也成立，故a n=8n−5，故a4=8×4−5=27；故答案为：27．17.答案：(1)由正弦定理asinA =bsinB，得2sinAsinB=√3sinB，整理得sinA=√32，因为A为锐角三角形内角所以∠A=π3，(2)余弦定理a2=b2+c2−2b⋅c⋅cosA，得7=22+c2−2×2ccosπ3整理得c2−2c−3=0，解得c=3，c=−1(舍)．所以SΔABC=12b⋅c⋅sinA=12×2×3×√32=3√32．解析：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由正弦定理化简已知可得2sinAsinB=√3sinB，可求sinA=√32，结合A的范围可得结果；(2)由余弦定理可解得c 的值，利用三角形的面积公式即可计算得解．18.答案：(I)“序号为5的倍数”的数据有4组，记：x 1=176，y 1=44；x 2=166，y 2=39；x 3=168，y 3=40；x 4=170，y 4=41，所以x =170，y =41． 计算得b ^ =(n i=1x i −x)(y i −y)∑(x −x)2n =6×3+(−4)×(−2)+(−2)×(−1)+0×062+(−4)2+(−2)2+02=12， a ^ =y −b ^ x =41−12×170=−44，则y 关于x 的线性回归方程为y ^ =12x −44．(II)据题意，列出2×2列联表为：高个 非高个 合计 大脚 5 2 7 非大脚 1 12 13 合计61420假设H ：脚的大小与身高之间没有关系 根据列联表得X 2=20×(5×12−1×2)26×14×7×13≈8.802当H 成立时，X 2>7.789的概率大约为0.005，而这里8.802>7.897 所以有99.5%的可靠性，认为脚的大小与身高之间有关．解析：(I)分别求出x .，y .的值，求出b̂，a ̂的值，代入回归方程即可； (II) 根据高个和大脚的描述，统计出大脚，高个，非大脚和非高个的数据，填入列联表，再在合计的部分填表；19.答案：(1)证明：连结BD ，∵四边形ABCD 为菱形，∠BCD =60°， ∴△BCD 为等边三角形， 又∵M 为BC 中点，∴BC ⊥DM ．又△PBC 为等边三角形， ∴BC ⊥PM ，∵DM ⊂ 平面PDM ，PM ⊂平面PDM ，PM ∩DM =M ， ∴BC ⊥平面PDM ， ∴BC ⊥PD ． (2)解：连结AM ．∵平面PBC ⊥平面ABCD ，交线为BC ，PM ⊂平面PBC ，PM ⊥BC ， ∴PM ⊥平面ABCD ，在等边三角形PBC 中，PB =2，PM =√3， ∵N 为PA 的中点，∴V N−PDM =12V A−PDM =12V P−ADM =12×13·S △ADM ·PM =12．解析：本题考查了线面垂直的判定与性质，面面垂直的性质，几何体的体积的求法，属于中档题． (1)根据四边形ABCD 为含有60°角的菱形，得△BCD 为正三角形，从而得到BC ⊥DM.由△PBC 为等边三角形，得PM ⊥BC ，结合线面垂直的判定定理，证出BC ⊥平面PDM ，最后由线面垂直的性质可得结论．(2)由平面PBC ⊥平面ABCD ，得PM ⊥平面ABCD ，由N 为PA 的中点， V N−PDM =12V A−PDM =12V P−ADM ，能求出四面体DPMN 的体积．20.答案：解：(1)由y 2=4x ，得p =2，其准线方程为x =−1，焦点F(1,0)，设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，由抛物线的定义可知，|AF|=x 1+p2， 从而x 1=4−1=3，代入y 2=4x ，解得y 1=±2√3， ∴点A 的坐标为(3,2√3)或(3,−2√3). (2)由题意，当直线l 的斜率存在时， 设直线l 的方程为y =k(x −1)，k ≠0， 与抛物线方程联立，得{y =k(x −1)y 2=4x , 消去y ，整理得k 2x 2−(2k 2+4)x +k 2=0， 所以Δ>0， ∴x 1+x 2=2+4k 2，由抛物线的定义可知，|AB|=x 1+x 2+p =4+4k 2>4，当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，与抛物线相交于A(1,2)，B(1,−2)，此时|AB|=4；综上，|AB|≥4，所以线段AB的长的最小值为4．解析：本题考查抛物线的性质及几何意义，直线与抛物线的位置关系，考查了计算能力，体现了方程与函数思想，属于中档题．(1)设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由抛物线的定义可知，|AF|=x1+p2，即可求出x1的值，从而求出点A 的坐标；(2)当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y=k(x−1)，和抛物线方程联立，结合韦达定理得到|AB|=x1+x2+p=4+4k2>4；直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=1，此时|AB|=4；即可得到答案．21.答案：解：(1)f′(x)=x2−(a+1x+a)e x =(x−1)(x−a)e x，由f′(x)=0得，x=1或x=a，当a=1时，f′(x)≥0，函数f(x)在(−∞,+∞)单调递增，当a<1时，f′(x)>0，得x<a或x>1，f′(x)<0，得a<x<1，函数f(x)单调增区间为(−∞,a)，(1,+∞)，单调递减区间为(a,1)，当a>1时，f′(x)>0，得x<1或x>a，f′(x)<0，得1<x<a，函数f(x)单调增区间为(−∞,1)，(a,+∞)，单调递减区间为(1,a)；(2)证明：对∀x∈[0,+∞),f(x)≥−1，即证①由(Ⅰ)单调性可知，当a>1，，f(a)=−a−1e a，设g(a)=−a−1e a ,a>1，g′(a)=ae>0，∴g(a)在(1,+∞)单调递增，故g(a)>g(1)=−2e>−1，即f(a)>−1，又∵f(0)=−1，∴f(x)min=−1，②当a=1时，函数f(x)在[0,+∞)时，f(x)min={f(0),f(1)}，f(1)=a−3e ≥(3−e)−3e=−1，设g(a)=−a−1e a ,a>1，g′(a)=ae a>0，又∵f(0)=−1，∴f(x)min=−1，综上，当a≥3−e时，∀x∈[0,+∞),f(x)≥−1．解析：本题考查利用导数研究函数的单调区间，考查了利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立时所取的条件，着重考查了数学转化思想方法，属难题．(1)由导数f′(x)=0得，x =1或x =a ，对a 分类讨论得单调区间； (2)原式即证，由分类讨论求最值得范围．22.答案：解(Ⅰ)曲线C 的方程为2asinθ−ρcos 2θ=0(a >0)．∴2aρsinθ−ρ2cos 2θ=0.即x 2=2ay(a >0)．(Ⅱ)将{x =12ty =−1+√32t代入x 2=2ay ，整理得t 2−4√3at +8a =0， 得{△=(−4√3a)2−4×8a >0t 1+t 2=4√3at 1t 2=8a ①． ∵a >0，∴解①得a >23． ∵|PM|，|MN|，|PN|成等比数列， ∴|MN|2=|PM|⋅|PN|， 即|t 1−t 2|2=t 1t 2，∴(t 1+t 2)2−4t 1t 2=t 1t 2，即(4√3a)2−40a =0， 解得a =0或a =56 ∵a >23， ∴a =56．解析：本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，一元二次方程根与系数的关系的应用．(Ⅰ)直接利用转换关系把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化；(Ⅱ)利用直线和曲线的位置关系，把方程组转换为一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果．23.答案：解：(1)f(x)=|2x +1|+|2x −5|，{x ≤−12,4−4x ≤10或{−12<x <52,6≤10或{x ≥52,4x −4≤10, 解得−32≤x ≤72， 所以解集为[−32,72]；(2)f(x)=|2x +1|+|2x −5|≥|2x +1−(2x −5)|=6． 所以4a +1b =6，所以a +2b =16(a +2b)(4a +1b ) =16(6+8b a+a b )⩾16(6+2√8)=1+2√23， 当且仅当a =2√2b 时等号成立．所以a+2b的范围为．解析：本题考查了解绝对值不等式问题，考查基本不等式以及转化思想，属于中档题．(1)通过讨论x的范围，求出各个区间上的x的范围，取并集即可；(2)利用绝对值的性质求出f(x)的最小值，根据基本不等式求出a+2b的取值范围．。
广东梅州2019高三3月总练习质检试题-数学理
广东梅州2019高三3月总练习质检试题-数学理数学理试题〔2018.3〕【一】选择题〔40分〕1、设i 是虚数单位，复数1i i+对应的点在A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限2、设集合A ＝{x|x 2－2x －3＜0，x ∈R}，集合B ＝{－2,2}，那么A ∩B 为A 、〔－1,2〕B 、〔－2,－1〕C 、〔－2,3〕D 、〔－2,2〕3、以下函数中，在〔0，＋∞〕上单调递增的偶函数是A 、y ＝cosxB 、y ＝x 3C 、y 212log x=D 、y=x x e e -+4、如图是一个几何体的三视图，假设它的体积是，那么a＝AB、CD5、某程序框图如右图所示，假设输出的S ＝57，那么判断框内填A 、k ＞4？B 、k ＞5？C 、k ＞6？D 、k ＞7？6、函数sin()6y x π=+图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍〔纵坐标不变〕，右平移3π个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为A 、4x π=-B 、2x π=-C 、8x π=D 、4x π=7、如下图2X2方格，在每一个方格中填入一个数字，数字能够是1、2、3、4中的任何一个，同意重复，那么填入A 方格的数字大于B 方格的数字的概率为A 、12B 、14C 、34D 、388、假设不等式2222()x xy a x y +≤+关于一切正数x ，y 恒成立，那么实数a 的最小值为A 、2B、32D【二】填空题〔30分〕〔一〕必做题〔9－13题〕9、双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的两条近线的夹角为3π，那么双曲线的离心率为＿＿＿ 10、在2018年8月15日那天，某物价部门对本市的5家商场的某商品的一天销售量价格进行调查，5家商场的售价x 元和销售量y 件之间的一组数据如下表所示：由散点图可知，销售量y 与价格x 之间有较强的线性相关关系，其线性回归直线方程是： 3.240y x =-+，且m ＋n ＝20，那么其中的n ＝＿＿＿＿ 11、92)x-展开式中的常数项为＿＿＿＿ 12、设x ，y 满足24122x y x y x y +≥⎧⎪-≥⎨⎪-≤⎩恒谦那么z ＝x ＋y －3的最小值为＿＿＿＿13、设函数f 〔x 〕的定义域为D ，假设存在非零实数l 使得关于任意x ∈M 〔M ⊆D 〕，有x ＋l ∈D ，且f 〔x ＋l 〕≥f 〔x 〕，那么称f 〔x 〕为M 上的l 高调函数，假如定义域为R 的函数f 〔x 〕是奇函数，当x ≥0时，f 〔x 〕＝22||x a a --，且f 〔x 〕为R 上的8高调函数，那么实数a 的取值范围是＿＿＿＿〔二〕选做题〔14、15题中选做一题〕14、〔坐标系与参数方程选做题〕在极坐标系中，圆ρ＝2上的点到直线sin()6πρθ+＝3的距离的最小值是＿＿＿＿15、〔几何证明选讲选做题〕如图⊙O 的直径AB ＝6cm ，P 是AB 延长线上的一点，过P 点作⊙O 的切线，切点为C ，连接AC ，且∠CPA ＝30°，那么BP ＝＿＿＿＿cm【三】解答题〔80分〕16、〔本小题总分值12分〕△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c21cos cos 2C C C -=。
广东省梅州市梅县高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析
广东省梅州市梅县高级中学2019-2020学年高三数学理模拟试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 曲线在点(1，2)处的切线方程为()A．y＝3x－1 B．y＝－3x＋5 C．y＝3x＋5 D．y＝2x参考答案：2. 复数的共轭复数为( )参考答案：C略3. 设抛物线上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（）A. 4B. 6C. 8D. 12参考答案：试题分析：先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点P到y轴的距离求得点到准线的距离进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，进而求得答案．解：抛物线y2=8x的准线为x=﹣2，∵点P到y轴的距离是4，∴到准线的距离是4+2=6，根据抛物线的定义可知点P到该抛物线焦点的距离是6故选B4. 公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图则输出的值为（）（参考数据：sin15°≈0.2588，sin7.5°≈0.1305）A．6 B．12 C．24 D．48参考答案：C【考点】EF：程序框图．【分析】列出循环过程中S与n的数值，满足判断框的条件即可结束循环．【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°≈12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C．【点评】本题考查循环框图的应用，考查了计算能力，注意判断框的条件的应用，属于基础题．5. 已知长方形ABCD，抛物线以CD的中点E为顶点，经过A、B两点，记拋物线与AB边围成的封闭区域为M.若随机向该长方形内投入一粒豆子，落入区域M的概率为P.则下列结论正确的是（）A．不论边长如何变化，P为定值B．若的值越大，P越大C．当且仅当时，P最大D．当且仅当时，P 最小参考答案：A略6. 函数y=cos2（x﹣）是（）A略7. （09年宜昌一中10月月考理）下列函数中，有反函数的是（）A.B.C.D.参考答案：B8. 已知，则的值为A.-3B. 3C. -3或3D. -1或3参考答案：D9. 在展开式中，含项的系数是（）A．1 B．－1 C．－5 D．5参考答案：B10. 阅读右图所示的程序框图，运行相应的程序，输出的结果是A．123 B.38 C．11 D．3参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 一次研究性课堂上，老师给出函数，甲、乙、丙三位同学在研究此函数的性质时分别给出下列命题：甲：函数为偶函数；乙：函数；丙：若则一定有你认为上述三个命题中正确的个数有个参考答案：212. 若曲线在点处的切线与直线垂直，则____.参考答案：略13. 按如下图所示的程序框图运算，若输出，则输入的取值范围是．参考答案：我们构造数列，为循环过程中x的值，则，所以，所以，要满足输出，则，即，解得，所以输入的取值范围是。
2019-2020学年广东省梅州市高三上学期第一次质检数学试卷
2019-2020学年广东省梅州市高三上学期第一次质检数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤2}，则A∩B=()A. {x|x<3}B. {x|2≤x<3}C. {x|1<x≤2}D. {x|1<x<2}2.已知2i−3是方程2x2+px+q=0的一个根，则实数p，q的值分别为()A. p=12,q=26B. p=26,q=12C. p=−12,q=−26D. p=−26,q=−123.已知a=log0.50.9，b=log0.50.8，c=0.5−0.9，则()A. b<a<cB. a<b<cC. b<c<aD. c<b<a4.函数f(x)=ln x8−x的图象大致为()A. B.C. D.5.已知函数y=cos x(x∈[−π2,π2])的图象与x轴围成的区域记为M，若随机在圆O：x2+y2=π2内任取一点，则该点在区域M内的概率是()A. 4π2B. 4π3C. 2π2D. 2π36.如图程序框图中，输入x=ln2，y=log32，z=12，则输出的结果为()A. ln2B. log32C. 12D. 无法确定7.A. 12B. √22C. 2D. √328.设S n为正项等比数列{a n}的前n项和，a5，3a3，a4成等差数列，则S8S4的值为()A. 116B. 117C. 16D. 179.双曲线C：x24−y22=1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点，若|PO|=|PF|，则△PFO的面积为()A. 3√24B. 3√22C. 2√2D. 3√210.函数f(x)=log21+x1−x是()A. 偶函数B. 奇函数C. 既是奇函数又是偶函数D. 既不是奇函数又不是偶函数11.已知函数f(x)=√32sinx+12cosx，则f(π12)=()A. √22B. √32C. 1D. √212.函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x−1)为偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x12，若g(x)=f(x)−2x−b有三个零点，则实数b的取值范围是()A. (k−18,k+18)，k∈Z B. (2k−18,2k+18)，k∈ZC. (4k−18,4k+18)，k∈Z D. (8k−18,8k+18)，k∈Z二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件{x+y≤4,5x+2y≥11,y≥12x+1,则z=2x−y的最大值为________．14.已知单位向量m⃗⃗⃗ 和n⃗的夹角为π3，则(2n⃗−m⃗⃗⃗ )⋅m⃗⃗⃗ =______ ．15.若函数f(x)=2sinωx+1(ω>0)在区间[−π2,2π3]上为增函数，则ω的取值范围的为______________．16.已知三棱锥S−ABC中，SA⊥面ABC，且SA=6，AB=4，BC=2√3，∠ABC=30°，则该三棱锥的外接球的表面积为___________．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，c=2a，B=120°，且△ABC面积为√32．(1)求b的值；(2)求tan A的值．18.在某个班随机抽取了10名学生的身高数据如下茎叶图所示(单位：cm)，且该组数据的中位数为171，茎叶图中有一个数据被污损，用字母x表示．(1)求x的值，并估计该班学生身高的平均值；(2)为进一步了解学生的身高情况，在身高不低于170cm的这5名学生中随机抽取3名学生，求至少有两名学生的身高低于178cm的概率．19.如图，在四棱锥S−ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AD//BC，侧棱SA⊥底面ABCD，且SA=AB=BC=1，AD=12，E，F分别是SA与CD的中点．(Ⅰ)证明：EF//平面SBC；(Ⅱ)求二面角B−SC−D的大小．20.已知点F为抛物线y2=2px(p>0)的焦点，点M(2,m)在抛物线E上，且|MF|=3．(1)求抛物线E的方程；(2)过x轴正半轴上一点N(a,0)的直线与抛物线E交于A，B两点，若OA⊥OB，求a的值．21.已知函数f(x)=2sinx+tanx−2x．(1)证明：函数f(x)在(−π2,π2)上单调递增；(2)若x∈(0,π2)，f(x)<mx2，求m的取值范围．22.在极坐标系中，设圆C经过点P(√3,π6)，圆心是直线ρsin(π3−θ)=√32与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．23.函数f(x)的图象如图所示，曲线BCD为抛物线的一部分．(Ⅰ)求f(x)解析式；(Ⅱ)若f(x)=1，求x的值；-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：解：∵A ={x|1<x <3}，B ={x|x ≤2}， ∴A ∩B ={x|1<x ≤2}， 故选：C ．根据集合的基本运算，即可求A ∩B ．本题主要考查集合的基本运算，比较基础． 2.答案：A解析：【分析】本题考查复数的运算以及在复数范围内解方程，属于基础题． 【解答】解：由2i −3是方程2x 2+px +q =0的一个根，可得：2(2i −3)2+p (2i −3)+q =0，得(10−3p +q )+(2p −24)i =0 于是，有{10−3p +q =0,2p −24=0,解得p =12，q =26．故答案选A ． 3.答案：B解析：【分析】本题考查指数函数与对数函数的性质，属于基础题． 【解答】，0.5−0.9>0.50=1，a <b <c ．故选B ．4.答案：A解析：【分析】本题考查函数图象的应用．结合函数的值域，利用特值法排除即可． 【解答】解：y =x8−x 在(0,8)上是增函数，由复合函数的单调性，是增函数，排除B 、C 、D ．故选A ． 5.答案：D解析：解：区域M 的面积为∫c π2−π2osxdx =2∫cos π20 xdx =2sin x | π2 0=2，所以点在区域M 内的概率是P =2π×π2=2π3． 故选：D利用定积分求出区域M的面积，再由几何概型的概率公式解答．本题考查了利用定积分求曲边梯形的面积以及几何概型的概率公式的运用，属于基础题目，经常考查．6.答案：A解析：【分析】本题考查程序按框图的判断框应用，为基础题．比较大小，输出三个数中的最大值即可．【解答】，解：利用程序框图：x=ln2，y=log32，z=12由于，直接输出m=ln2，故选：A．7.答案：C解析：解：原式=4cos220°−2(2cos220°−1)=2故选：C由诱导公式和两角和与差的三角函数可得原式，再由二倍角公式化简可得．本题考查三角函数恒等变换和化简，灵活选择并应用公式是解决问题的关键，属中档题．8.答案：D解析：【分析】本题考查等比数列的通项公式和求和公式，等差数列的中项性质，考查方程思想和化简运算能力，属于基础题．设等比数列的公比为q，q>0，运用等差数列的中项性质和等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由等比数列的求和公式，计算可得所求值．【解答】解：正项等比数列{a n}的公比设为q，q>0，a5，3a3，a4成等差数列，可得6a3=a5+a4，即6a1q2=a1q4+a1q3，化为q2+q−6=0，解得q=2(−3舍去)，则S 8S 4=a 11−q (1−q 8)a 11−q(1−q 4) =1−q 81−q 4=1+q 4 =1+16=17． 故选：D ． 9.答案：A解析：【分析】本题考查双曲线的简单性质的应用，是基本知识的考查．求出双曲线的渐近线方程，求出三角形POF 的顶点P 的坐标，然后求解面积即可． 【解答】 解：双曲线C ：x 24−y 22=1的右焦点为F(√6,0)，渐近线方程为：y =±√22x ，不妨设P 在第一象限，可得tan∠POF =√22，P(√62,√32)，所以△PFO 的面积为：12×√6×√32=3√24． 故选A ． 10.答案：B解析：解：函数的定义域是使1+x1−x >0的x 的范围，解得−1<x <1；所以函数定义域(−1,1)关于原点对称； f(−x)=log 21−x 1+x=log 2(1+x 1−x)−1=−log 21+x 1−x=−f(x)；所以函数f(x)=log 21+x1−x 是奇函数；故选：B ．首先求出函数的定义域，判断是否关于原点对称，如果对称，再判断f(−x)与f(x)的关系．本题考查了函数奇偶性的判断；首先必须判断函数的定义域是否关于原点对称，如果对称，再利用定义判断f(−x)与f(x)的关系． 11.答案：A解析：【分析】本题主要考察了两角和与差的正弦函数公式的应用，属于基础题．由两角和的正弦公式化简解析式后代入即可求解． 【解答】解：∵f(x)=√32sinx +12cosx =sin(x +π6)，∴f(π12)=sin(π12+π6)=sin π4=√22， 故选A ．12.答案：C解析：【解答】解：∵函数f(x)是定义在R 上的奇函数，且f(x −1)为偶函数，∴f(−x −1)=f(x −1)=−f(x +1)， 则f(x)=−f(x +2)，则f(x +4)=f(x)，则函数f(x)是周期为4的周期函数且函数f(x −1)关于y 轴对称，即函数f(x)关于x =−1对称，若x ∈[−1,0]，则−x ∈[0,1]时，此时f(−x)=(−x)12=√−x =−f(x)， 则f(x)=−√−x ，x ∈[−1,0]，由g(x)=f(x)−2x −b 有三个零点， 得g(x)=f(x)−2x −b =0，即f(x)=2x +b 有三个根，作出函数f(x)和y =2x +b 的图象如图： 当y =2x +b 与f(x)=x 12在[0,1]内相切时，得f′(x)=2√x ，由f′(x)=2√x =2得√x =14，即x =116，此时y =14，即切点坐标为(116,14)， 此时由2×116+b =14得b =18，当y =2x +b 与f(x)=−√−x 在[−1,0]内相切时， 得f′(x)=12√−x ，由f′(x)=12√−x =2得√−x =14，即−x =116，此时y =−14， 即切点坐标为(−116,−14)，此时由2×(−116)+b =−14得b =−18，此时两个函数有2个交点， 若g(x)=f(x)−2x −b 有三个零点， 则−18<b <18， ∵函数的周期是4，∴4k −18<b <4k +18，k ∈Z ，故选：C 【分析】根据函数奇偶性的性质求出函数周期性和对称性，作出函数的图象，利用函数与方程的关系转化为两个函数的交点问题，求函数的导数，利用曲线相切的性质进行即可．本题主要考查函数零点个数的应用，综合考查函数与方程的转化，根据条件求出函数的周期性，利用函数周期性和奇偶性对称性的性质进行转化是解决本题的关键．综合性较强，难度较大． 13.答案：2解析：【分析】本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键． 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求解即可． 【解答】解：实数x ，y 满足约束条件{x +y ≤4,5x +2y ≥11,y ≥12x +1的可行域如图：z =2x −y 经过点A 时，z 取得最大值， 由{x +y =4y =12x +1可得A(2,2) z =2x −y 的最大值为：4−2=2，故答案为：2． 14.答案：0解析：解：根据已知条件：(2n ⃗ −m ⃗⃗⃗ )⋅m ⃗⃗⃗ =2n ⃗ ⋅m ⃗⃗⃗ −m ⃗⃗⃗ 2=2×12−1=0； 故答案为：0．根据已知条件以及数量积的计算公式即可求出答案． 考查单位向量，向量数量积的计算公式．15.答案：(0,34]解析：【分析】本题主要考查正弦函数的图象与性质，属于较易题． 【解答】解：因为f(x)= 2sinωx +1(ω>0)的包含0的单调增区间为，解得−π2ω≤x ≤π2ω，所以{ω>0−π2≥−π2ω2π3≤π2ω，解得0<ω≤34． 故答案为(0,34]．16.答案：解析：【分析】本题主要考查球的内接多面体，正、余弦定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，利用正弦定理求出r ，然后求解球的半径，即可得到球的表面积．【解答】解：由余弦定理得，，该三棱锥的外接球，即为以△ABC 为底面以SA 为高的直三棱锥的外接球，∵在△ABC 中，设△ABC 的外接圆半径为r ，则AC sin30∘=2r ，∴r =2， 球心到△ABC 的外接圆圆心的距离d =3，∴球的半径R =√9+4=√13，∴该三棱锥的外接球的表面积为． 故答案为．17.答案：解：(1)∵c =2a ，B =120°，△ABC 面积为√32=12acsinB =12·a ·2a ·√32， ∴解得：a =1，c =2．∴由余弦定理可得：b =√a 2+c 2−2accosB=√1+4−2×1×2×(−12)=√7；(2)∵a =1，c =2，b =√7，∴cosA =b 2+c 2−a 22bc=5√714， ∴tanA =√1cos 2A −1=√35．解析：本题主要考查了三角形面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．(1)由已知利用三角形面积公式可求a ，c 的值，进而利用余弦定理可求b 的值；(2)由余弦定理可求cos A 的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求tanA =√1cos 2A −1的值．18.答案：解：(1)把这10个数据按从小到大排列后，位于中间的两个数据中的其中一个为169，另一个为175或者170+x ，又因为该组数据的中位数为171，所以175+1692=171(舍去)或(170+x)+1692=171，解之得x =3；平均值为155+157+169+164+168+177+173+175+179+18310=170(cm)； (2)所有可能的结果列举如下：(177,173，175)，(177,173，179)，(177,173，183)，(177,175，179)，(177,175，183)，(177,179，183)，(173,175，179)，(173,175，183)，(173,179，183)，(175,179，183)，共10种，其中，至少有两名学生的身高低于178cm 的结果列举如下，(177,173，175)，(177,173，179)，(177,173，183)，(177,175，179)，(177,175，183)，(173,175，179)，(173,175，183)，共7种， 至少有两名学生的身高低于178cm 的概率为710．解析：(1)根据该组数据的中位数为171，求x 的值，从而估计该班学生身高的平均值；(2)列举基本事件，利用古典概型概率公式求解即可．本题考查茎叶图，列举出计算基本事件及事件发生的概率，难度不大，属于基础题．19.答案：证明：(Ⅰ)取AB 中点G 连EG ，GF ，在△ASB 中，EG//SB ，在梯形ABCD 中，GF//BC ，∵EG ∩FG =G ，SB ∩BC =B ，EG,FG ⊂平面EGF ，SB,BC ⊂平面SBC ，∴平面EGF//平面SBC ，∵EF ⊂平面EGF ，∴EF//平面SBC ．(Ⅱ)由题设可知SA ，AB ，AD 两两垂直，故可以A 为原点，以BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ，AS⃗⃗⃗⃗⃗ 方向分别为x ，y ，z 轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图所示．A(0,0，0)，B(−1,0，0)，C(−1,1，0)，S(0,0，1)，D(0,12,0)，SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,0，−1)，SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−1,1，−1)，SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,12,−1)， 设平面SBC 的法向量n⃗ =(x,y ，z)， 则{n ⃗ ⋅SB ⃗⃗⃗⃗⃗ =−x −z =0n ⃗ ⋅SC⃗⃗⃗⃗⃗ =−x +y −z =0，取x =1，得n ⃗ =(1,0，−1)， 设平面SCD 的法向量m⃗⃗⃗ =(a,b ，c)， 则{m ⃗⃗⃗ ⋅SC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−a +b −c =0m ⃗⃗⃗ ⋅SD ⃗⃗⃗⃗⃗ =12b −c =0，取a =1，得m ⃗⃗⃗ =(1,2，1)， 设二面角B −SC −D 的大小为θ，则|cosθ|=|m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ ||m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=0， ∴θ=π2， ∴二面角B −SC −D 的大小为π2．解析：本题考查线面平行的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．(Ⅰ)取AB 中点G ，连EG ，GF ，推导出平面EGF//平面SBC ，由此能证明EF//平面SBC ．(Ⅱ)由SA ，SB ，AD 两两垂直，以A 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角B −SC −D 的大小．20.答案：解：(1)由题意，2+p 2=3，∴p =2，∴抛物线E 的方程为y 2=4x ；(2)设直线AB 的方程为x =ty +a.A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2)，联立抛物线方程得y 2−4ty −4a =0，y 1+y 2=4t ，y 1⋅y 2=−4a∵OA ⊥OB ，∴x 1x 2+y 1y 2=0，(ty 1+a)(ty 2+a)+y 1y 2=0，t 2y 1y 2+at(y 1+y 2)+a 2−4a =0，t 2(−4a)+4at 2+a 2−4a =0∴a 2−4a =0∵a >0，∴a =4．解析：(1)利用抛物线的定义，求出p ，即可求抛物线E 的方程；(2)设直线AB 的方程为x =ty +a ，与抛物线方程联立，利用x 1x 2+y 1y 2=0求解即可．本题考查抛物线的标准方程，考查向量知识的运用，考查直线与抛物线的位置关系，考查韦达定理的运用，正确设出直线方程是关键．21.答案：解：(1)证明：f′(x)=cosx +1cos 2x −2，因为x ∈(−π2,π2)，所以cosx ∈(0,1]，于是f′(x)=2cosx +1cos 2x −2≥cos 2x +1cos 2x −2≥0(等号当且仅当x =0时成立)．故函数f(x)在(−π2,π2)上单调递增．(2)由(1)得f(x)在(0,π2)上单调递增，又f(0)=0，所以f(x)>0，(ⅰ)当m ≤0时，f(x)>0≥mx 2成立．(ⅰ)当m >0时，令p(x)=sinx −x ，则p′(x)=cosx −1，当x ∈(0,π2)时，p′(x)<0，p(x)单调递减，又p(0)=0，所以p(x)<0，故x ∈(0,π2)时，sinx <x.(∗)由(∗)式可得f(x)−mx 2=sinx +tanx −2x −mx 2<tanx −x −mx 2，令g(x)=tanx −x −mx 2，则g′(x)=tan 2x −2mx由(∗)式可得g′(x)<x 2cos 2x−2mx =x cos 2x (x −2mcos 2x) 令ℎ(x)=x −2mcos 2x ，得ℎ(x)在(0,π2)上单调递增，又ℎ(0)<0，ℎ(π2)>0，所以存在t ∈(0,π2)使得ℎ(t)=0，即x ∈(0,t)时，ℎ(x)<0，所以x ∈(0,t)时，g′(x)<0，g(x)单调递减，又g(0)=0，所以g(x)<0，即x ∈(0,t)时，f(x)−mx 2<0，与f(x)>mx 2矛盾．综上，满足条件的m 的取值范围是(−∞,0]．解析：(1)求出函数的导数，得到导函数是非负数，求出函数的单调性即可；(2)通过讨论m 的范围，结合函数的单调性求出m 的具体范围即可．本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，是一道综合题．22.答案：解：直线ρsin(π3−θ)=√32，转换为直角坐标方程为：√32x −12y =√32， 即：√3x −y −√3=0，令y =0，解得：x =1，故：圆心的坐标为(1,0)，点P(√3,π6)，转换为直角坐标为：(32,√32)， 所以：圆的半径r =(12)(√32)=1， 故圆的方程为(x −1)2+y 2=1，转换为极坐标方程为ρ=2cosθ．故：圆C 的极坐标方程是ρ=2cos θ．解析：直接利用转换关系，把直线的极坐标方程转换为直角坐标方程，进一步求出圆心和半径，最后求出圆的方程．本题考查的知识要点：参数方程和极坐标方程与直角坐标方程的转化，圆的方程的确定． 23.答案：解：( I)当−1≤x ≤0时，函数图象为直线且过点(−1,0)(0,3)，直线斜率为k =3， 所以y =3x +3；当0<x ≤3时，函数图象为抛物线，设函数解析式为y =a(x −1)(x −3)，当x =0时，y =3a =3，解得a =1，所以y =(x −1)(x −3)=x 2−4x +3，所以y ={3x +3,(−1≤x ≤0)x 2−4x +3,(0<x ≤3)． (II)当x ∈[−1,0]，令3x +3=1，解得x =−23；当x ∈(0,3]，令x 2−4x +3=1，解得x =4±√16−82=2±√2，因为0<x ≤3，所以x =2−√2，所以x =−23或x =2−√2．解析：(1)根据函数图象，显然为分段函数，分成−1≤x ≤0和0<x ≤3两段分别考虑，其中−1≤x ≤0时为直线的一部分，0<x ≤3为抛物线的一部分．分别用待定系数法求解即可．(2)令f(x)=1，分情况讨论即可．本题考查了分段函数，一次函数，二次函数，待定系数法求函数的解析式，主要考查计算能力，分类讨论思想．属于基础题．。
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广东省梅州市2019届高三总复习质检试卷理科数学试题
一、单选题
(★) 1 . 设，集合，则（）
A．B．C．D．
(★) 2 . 若复数满足，则的共轭复数（）
A．B．C．D．
(★★) 3 . 设角的终边过点，则（）
A．B．C．5D．
(★) 4 . 中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（）
A．6B．5C．4D．2
(★) 5 . 若中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率为，则此双曲线的渐近线方程为（）
A．B．C．D．
(★) 6 . 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“盖”的术：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.该术
相当于给出了有圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为（）
A．B．C．D．
(★★) 7 . 函数的图象的大致形状是（）
A．B．
C．D．
(★★) 8 . 已知函数（为常数，，）在处取得最小值，则函数（）
A．是偶函数且它的图象关于点对称B．是奇函数且它的图象关于点对称
C．是偶函数且它的图象关于点对称D．是奇函数且它的图象关于点对称
(★★) 9 . 已知是抛物线上的一动点，则点到直线和抛物线
的准线的距离之和的最小值是（）
A．B．2C．D．
(★★★★) 10 . 如果，，，就称表示的整数部分，
表示的小数部分.已知数列满足，，则等于
（）
A．B．C．D．
(★★★★★) 11 . 已知函数，若方程恰有四个不相等的
实数根，则实数的取值范围是（）
A．B．C．D．
(★★★★) 12 . 设是半径为2 的球面上的四点，且满足，则三个三角形的面积之和的最大值是（）
A．4B．8C．12D．16
二、填空题
(★) 13 . 已知向量，则在方向上的投影为______．
(★) 14 . 在一个装满水的容积为1升的容器中有两个相互独立、自由游弋的草履虫，现在从这
个容器中随机地取出0.1升水，则在取出的水中发现草履虫的概率为______．
(★★) 15 . 若，则
______．
(★★★★) 16 . 在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点，且，则的最小值为______．
三、解答题
(★) 17 . 已知数列满足.
（1）求和的通项公式；
（2）记数列的前项和为，若对任意的正整数恒成立，求实数的取值范围．
(★★) 18 . 如图，正方形所在平面与三角形所在平面相交于，平面.
（1）求证：平面；
（2）当时，求二面角的余弦值.
(★★) 19 . 随着互联网的兴起，越来越多的人选择网上购物.某购物平台为了吸引顾客，提升销售额，每年双十一都会进行某种商品的促销活动.该商品促销活动规则如下：①“价由客定”，即所有参与该商品促销活动的人进行网络报价，每个人并不知晓其他人的报价，也不知道参与该商品促销活动的总人数；②报价时间截止后，系统根据当年双十一该商品数量配额，按照参与该商品促销活动人员的报价从高到低分配名额；③每人限购一件，且参与人员分配到名额时必须购买.某位顾客拟参加2019双十一该商品促销活动，他为了预测该商品最低成交价，根据该购物平台的公告，统计了最近5年双十一参与该商品促销活动的人数（见下表）
年份20142015201620172018
年份编号t 1 2 3 4 5
参与人数（百万人）
0.5
0.6
1
1.4
1.7
（1）由收集数据的散点图发现，可用线性回归模型模拟拟合参与人数 （百万人）与年份编号 之间的相关关系.请用最小二乘法求 关于 的线性回归方程： ，并预测2019年双十一参与该商品促销活动的人数； （2）该购物平台调研部门对2000位拟参与2019年双十一该商品促销活动人员的报价价格进
行了
一
个
抽
样
调
查
，
得到
如
下
的一
份
频
数表
：
报价区间(千元)
频数
200
600
600
300
200
100
①求这2000为参与人员报价 的平均值 和样本方差 （同一区间的报价可用该价格区间的
中
点
值
代
替
）； ②假设所有参与该商品促销活动人员的报价 可视为服从正态分布 ，且 与
可分别
由①中所求的样本平均值 和样本方差
估值.若预计2019年双十一该商品最终销售量为
317400，请你合理预测（需说明理由）该商品的最低成交价.
参考公式即数据（i ）回归方程： ，其中 ，
（ii ）
（iii ）若随机变量 服从正态分布
，则
，
，
(★★★★★) 20 . 已知过定点
的动圆是 与圆
相内切.
（1）求动圆圆心 的轨迹方程；
（2）设动圆圆心的轨迹为曲线，是曲线上的两点，线段的垂直平分线过点，求面积的最大值（是坐标原点）.
(★★★★) 21 . 已知函数，其中为自然对数的底数，.
（1）当时，求的极值；
（2）若存在实数，使得，且，求证：
(★)22 . 在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），且曲线上的点对应的参数，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；
（2）若曲线上的两点满足，过作交于点，求证：点在以
为圆心的定圆上.
(★) 23 . 已知函数
（1）若，求不等式的解集；
（2）若不等式的解集为非空集合，求的取值范围.。