《小波分析概述》PPT课件
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小波分析基础知识PPT课件
10
线性空间
线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
A m n B m n C m n , A m nD m n,
16
线性空间
下面一一验证八条线性运算规律：
( 1 ) a b a b b b a a ; ( 2 ) a b ( ) c ( a ) c ( b a ) c a b ( b c ) (3)R中存在 1,对 零任 a元 R 何 ,素 有
a 1 a 1 a ; (4) a R ,有负 a1 元 R ,使 素
18
线性空间
例７ n个有序实数组成的数组的全体
S n x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n ) T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
a a 1aa 11 ;
17
线性空间
(5)1aa1a;
( 6 ) a a a a a ;
(7 )aa a a a a a a ;
( 8 ) ( a b ) ( a ) a b a b b
a b a b .
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
14
线性空间
s 1 A 1 s x B i 1 n A 1 s x B i 1 n S[x]
Sx是一个线性空间.
一般地
例５ 在区间 [a,b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
线性空间
线性空间的判定方法 （１）一个集合，如果定义的加法和乘数运 算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运 算的封闭性．
例１ 实数域上的全体 m n矩阵，对矩阵的加法
和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 Rmn．
A m n B m n C m n , A m nD m n,
16
线性空间
下面一一验证八条线性运算规律：
( 1 ) a b a b b b a a ; ( 2 ) a b ( ) c ( a ) c ( b a ) c a b ( b c ) (3)R中存在 1,对 零任 a元 R 何 ,素 有
a 1 a 1 a ; (4) a R ,有负 a1 元 R ,使 素
18
线性空间
例７ n个有序实数组成的数组的全体
S n x ( x 1 , x 2 , , x n ) T x 1 , x 2 , , x n R
对于通常的有序数组的加法及如下定义的乘法
(x 1 , ,x n ) T 0 , ,0
不构成线性空间． Sn对运算封.闭
但 1xo, 不满足第五条运算规律.
a a 1aa 11 ;
17
线性空间
(5)1aa1a;
( 6 ) a a a a a ;
(7 )aa a a a a a a ;
( 8 ) ( a b ) ( a ) a b a b b
a b a b .
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
14
线性空间
s 1 A 1 s x B i 1 n A 1 s x B i 1 n S[x]
Sx是一个线性空间.
一般地
例５ 在区间 [a,b]上全体实连续函数，对函数的 加法与数和函数的数量乘法，构成实数域上的线性 空间．
第六章小波分析基础ppt课件
1、多分辨分析(MRA)的概念[5]
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
由母小波按如下方式的伸缩平移可构成L2(R)空间的标准正交基
j
j,k (t) 2 2 (2 j t k)，j, k Z，t R
(3.1)
如何构造母小波呢？1989年，Mallat和Meyer提出了按多分辨分析 的思想来构造母小波，其基本思想是：
现构造一个具有特定性质的层层嵌套的闭子空间序列{Vj}jZ， 这个闭子空间序列充满了整个L2(R)空间。 在V0子空间找一个函数g(t)，其平移{g(t-k)}k Z构成V0子空间的 Riesz基。
如图1所示的LENA图像f(x,y)，假设图像的大小是512x512，量 化级是256，即
0 f (x, y) 255 0 x, y 511
y
x
2、L2(R)空间的正交分解和变换[1] 对 f(t)L2(R) ， 存 在 L2(R) 的 一 组 标 准 正 交 基 gi(t) ， t R ，
一、认识小波
1、预备知识 从数学的角度讲，小波是构造函数空间正交基的基本单元，
是在能量有限空间L2(R) 上满足允许条件的函数，这样认识小波 需要L2(R) 空间的基础知识，特别是内积空间中空间分解、函数 变换等的基础知识。
从信号处理的角度讲，小波(变换)是强有力的时频分析(处理) 工具，是在克服傅立叶变换缺点的基础上发展而来的，所以从信 号处理的角度认识小波，需要傅立叶变换、傅立叶级数、滤波器 等的基础知识。
小波变换有效地克服了傅立叶变换的这一缺点，信号变换到 小波域后，小波不仅能检测到高音与低音，而且还能将高音 与低音发生的位置与原始信号相对应，如图所示。
例2、信号逼近：如图(a)和(b)是原始信号，其余的是逼近信号。
因此我们需要这样一个数学工具：既能在时域很好地刻画信号的局部性，
《小波分析》课件
小波变换与其他数学方法的结合
小波变换与傅里叶分析的结合
小波变换作为傅里叶分析的扩展，能够提供更灵活的时频分析能力，适用于非平稳信号 的处理。
小波变换与数值分析的结合
小波变换在数值分析中可用于函数逼近、数值积分、微分方程求解等领域，提高计算效 率和精度。
小波变换在大数据分析中的应用
特征提取
小波变换能够提取大数据中隐藏的时间或频 率特征，用于分类、聚类和预测等任务。
正则性
小波基的正则性是指其在时频域的连续性和光滑 性，影响信号重构的精度和稳定性。
01
小波变换在信号处 理中的应用
信号的降噪处理
总结词
通过小波变换，可以将信号中的噪声成 分与有用信号分离，从而实现降噪处理 。
VS
详细描述
小波变换具有多尺度分析的特点，能够将 信号在不同尺度上进行分解，从而将噪声 与有用信号分离。在降噪处理中，可以选 择合适的小波基和阈值处理方法，对噪声 进行抑制，保留有用信号。
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
图像的压缩编码
01
通用性强
02
小波变换的通用性强，可以广泛 应用于各种类型的图像压缩，包 括灰度图像、彩色图像、静态图 像和动态图像等。
图像的边缘检测
精确检测
小波变换具有多尺度分析的特性，能 够检测到图像在不同尺度下的边缘信 息，实现更精确的边缘检测。
图像的边缘检测
抗噪能力强
小波变换能够有效地抑制噪声对边缘 检测的影响，提高边缘检测的准确性 和稳定性。
信号的压缩编码
总结词
小波变换可以将信号进行压缩编码，减小存储和传输所需的带宽和空间。
详细描述
小波分析PPT资料
小波分析是当前应用数学和工程学科中一个 迅速发展的新领域，经过近10年的探索研究 ，重要的数学形式化体系已经建立，理论基 础更加扎实。与Fourier变换相比，小波变 换是空间(时间)和频率的局部变换，因而能 有效地从信号中提取信息。通过伸缩和平移 等运算功能可对函数或信号进行多尺度的细 化分析
工程上的应用
原信号的均方根误差越小，信噪比越大，效果越好。 如何选
择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波
去噪结果。
小波分析在信号除燥上的应用
PICTURE
如果一个信号()fn被噪声污染后为()sn，那么基本的噪声模型
就可以表示为 ()()()snfnen
式中：()en为噪声； 为
噪声强度。最简单的情况下()en为高斯白噪声，且 =1。小
的。从统计学的观点看，这个模型是一个随时间推移的回归
模型，也可以看作是在正交基上对函数()fn无参估计。小波
去噪通常通过以下3个步骤予以实现： a)小波分解； b)设定
各层细节的阈值，对得到的小波系数进行阈值处理； c)小波
逆变换重构信号。 小波去噪的结果取决于以下2点： a)去噪
后的信号应该和原信号有同等的光滑性； b)信号经处理后与
择阈值和如何利用阈值来量化小波系数，将直接影响到小波
去噪结果。小波分析Βιβλιοθήκη 信号除燥上的应用PICTURE
如果一个信号()fn被噪声污染后为()sn，那么基本的噪声模型
就可以表示为 ()()()snfnen
式中：()en为噪声； 为
噪声强度。最简单的情况下()en为高斯白噪声，且 =1。小
波变换就是要抑制()en以恢复()fn，从而达到去除噪声的目
后的信号应该和原信号有同等的光滑性； b)信号经处理后与
最新小波分析(讲稿)课件ppt
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis
FFT变换是将信号分解成不同频率的正弦波的叠加和，即把信号
投影到一组正交基 e j.t 上。
一.FFT、STFT到Wavelet
1.Fourier Analysis 存在的主要问题：
（1） 无时域局部化特性。为了求得傅里叶系数，理论上必须知道时域的全部
1.Fourier Analysis 存在的主要问题： （3）傅氏分析采用窗宽固定的窗函数。为了分析提取信号的低频成分，T0应
取较大值，且频率分辩率较高；为了分析提取信号的高频成分，T0应取较小 值，时域分辩率较高，而对频率分辨率要求不高。 但T0固定时，两者不能同 时满足。
2.短时傅里叶变换 STFT（Short-Time Fourier Transform）
主要缺陷：STFT的窗函数一旦确定，就不能再变换。对于频率成分较多 的信号，很难找到一个最合适的窗函数，从而很难获得一个最佳的分析 精度。
2.STFT（Short-Time Fourier Transform）
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
3.Wavelet Analysis
（2） 不能实现时频分析。信号分解转换到频域后，丢失掉了时域的信息， 频域中某频率或频带内的信息和时域中某时刻或时宽内的信息没有直接的对 应关系，即不能给出某一指定频带内的时域图形。这种对应关系称为时频分 析，所以傅里叶分析不能进行时频分析，而时频分析在工程中却相当有用。
一.FFT、STFT到Wavelet
(SF wfT ) (,b) f(t).w (tb)ej.td t
STFT将信号在时域上加窗函数，然后进行傅立叶变换，再在时域上 移动窗函数，最后完成连续重叠变换，得到与时间有关的信号频谱的描 述。从而在时频域得到一个信号能量的三维分布。
小波分析简述(第五章)PPT课件
六、多分辨率分析（Multi-resolution Analysis ，MRA），又称为多尺度分析
若我们把尺度理解为照相机的镜头的话，当尺 度由大到小变化时，就相当于将照相机镜头由 远及近地接近目标。在大尺度空间里，对应远 镜头下观察到的目标，只能看到目标大致的概 貌。在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标， 可观测到目标的细微部分。因此，随着尺度由 大到小的变化，在各尺度上可以由粗及精地观 察目标，这就是多尺度（即多分辨率）的思想。
小波变换（Wavelet Transform）
1
整体概况
概况一
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01
概况二
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02
概况三
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03
2
主要内容
一、小波的发展历史 二、小波定义 三、连续小波变换 四、小波变换的特点 五、离散小波变换 六、多分辨率分析 七、Mallat算法 八、小波的应用 九、小波的进展
傅立叶分析是把一个信号分解成各种不同频率的正弦波， 因此正弦波是傅立叶变换的基函数。同样，小波分析是 把一个信号分解成由原始小波经过移位和缩放后的一系 列小波，因此小波是小波变换的基函数，即小波可用作 表示一些函数的基函数。
8
• 小波变换的反演公式
xtc1 0 a d2a W xa T ,a,td
26
小波基函数和滤波系数(db 2--正交，不对称 )
db小波
“近似”基函 数
“细节”基 函数
“正变换” 低频 和
高频 “滤波系数 “ ”反变换” 低频 和
• 小波基必须满足的条件—允许条件
ˆ2
c d
ˆ00
tdt0
9
四、小波变换的特点
《小波分析概述》课件
小波变换在信号处理中发挥了重要作用，能够有效地分析信号的局部特征，如突变和奇异点，为信号 处理提供了新的工具。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
《小波分析概述》ppt课件
目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
泛函分析
泛函分析是研究函数空间和算子的性 质及其应用的数学分支。
小波分析在泛函分析的框架下，将函 数空间表示为小波基的线性组合，从 而能够更好地研究函数空间的性质和 算子的行为。
03
小波变换的算法实现
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目录
• 小波分析的基本概念 • 小波变换的数学基础 • 小波变换的算法实现 • 小波分析在图像处理中的应用 • 小波分析在信号处理中的应用 • 小波分析的未来发展与挑战
01
小波分析的基本概念
小波的定义与特性
小波的定义
小波是一种特殊的数学函数，具有局 部特性和可伸缩性，能够在时间和频 率两个维度上分析信号。
一维小波变换算法
一维连续小波变换算法
01
基于连续小波基函数的变换方法，通过伸缩和平移参数实现信
号的多尺度分析。
一维离散小波变换算法
02
将连续小波变换离散化，便于计算机实现，通过二进制伸缩和
平移实现信号的多尺度分析。
一维小波包变换算法
03
基于小波包的概念，对信号进行更精细的分解，提供更高的频
率分辨率和时间分辨率。
图像增强
图像平滑
小波分析能够去除图像中的噪声 ，实现平滑处理，提高图像的视 觉效果。
细节增强
通过调整小波变换的参数，可以 突出图像中的某些细节，增强图 像的对比度和清晰度。
边缘检测
小波变换能够快速准确地检测出 图像中的边缘信息，有助于后续 的图像分析和处理。
图像识别
特征提取
小波变换可以将图像分解成不同频率的子带，提取出与特定任务 相关的特征，为后续的图像识别提供依据。
《小波分析》PPT课件
(Orthonormal Wavelet and Multiresolution Analysis)
3.1. 多分辨分析
(Multiresolution Analysis)
➢ 在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间 ，二进离散小波谱点的分布规律可以用 Appendix C Fig.3. 加以说明。
Appendix C Fig.3.
正交小波的点谱吸收特性
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
01234567
0
1
2
3
0
1
0
§3. 正交小波和多分辨分析
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变
换是信号的等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT
的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
注释
注释：如果小波母函数 x
的
3.1. 多分辨分析
(Multiresolution Analysis)
➢ 在(a,b)-W(a,b)给出的二维小波谱空间 ，二进离散小波谱点的分布规律可以用 Appendix C Fig.3. 加以说明。
Appendix C Fig.3.
正交小波的点谱吸收特性
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
01234567
0
1
2
3
0
1
0
§3. 正交小波和多分辨分析
级数的系数k, j 正好是信号f(x)的
小波变W f换a, b
在二进离散点：
2k , 2k j
(37)
上的取值。这说明：对于正交小波来说，任 何信号在二进离散点上的小波变换包含了它 的小波变换的全部信息，所以
正交小波具有优美的谱吸收特点。
小波变换与Fourier变换
Fourier变换：
➢ 对于任何信号f(x)，只有当它是时间有 限时，它的谱F()(Fourier变换)才是频 率吸收的；
信号f(x)的另一种等价描述(因为Fourier变
换是信号的等价描述)
局限
遗憾的是，Gabor变换存在如下局限：
Gabor变换没有“好”的（即可以
构成标架或者正交基）离散形式；
Gabor变换没有快速算法：比如没 有 类 似 于 离 散 Fourier 变 换 之 FFT
的快速数值算法；
Appendix A Fig.1. Gabor变换的固定时-频窗口
注释
注释：如果小波母函数 x
的
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Heisenberg不等式表明窗口Fourier变换的时 窗半径和频窗半径, 一个减小必然引起另一个的 增大, 不能同时减小.
窗口Fourier变换的窗函数选定以后, 其时-频 窗就固定不变了, 这样就限制了窗口Fourier变换 的实际应用. 为了提取高频分量的信息, 时窗应该 尽量地窄, 而允许频窗适当地宽; 对于低频分量, 时窗则应适当加宽, 以保证至少能包含一个周期的 过程, 频窗应当尽量缩小, 保证有较高的频率分辨率.
§4.2 窗口Fourier变换简介
窗口Fourier变换是在 Fourier 变换的框架内, 将非平稳过程看成是一系列短时平稳信号的叠加, 通过在时域上加上窗口来实现短时性. 通常选择在 有限区间外恒等于零或迅速趋于零的钟形函数g(t) 作为窗函数, 用平移滑动的窗函数g(t-t)与信号f (t) 相乘, 有效地抑制了t=t 邻域以外的信号, 在t 附近 开窗, 通过平移来覆盖整个时间域. 再进行Fourier 变换, 所得的结果反映了t=t 时刻附近的频谱信息, 从而产生了时域局部化的作用.
设 f , g Lk12, k(2R是)任,意常数, 则
W (k1 f k2g) (a,b) k1 W f (a,b) k2 W g (a,b).
(2) 平移性质
设 f L2则(R),
W f (t t0 ) (a,b) W f (t) (a,b t0).
(3) 尺度法则
第四章 小波变换基础
§4.1 小波变换的背景 §4.2 窗口Fourier变换简介 §4.3 连续小波变换 §4.4 二进小波变换和离散小波变换 §4.5 多分辨分析 §4.6 Mallat分解与重构算法
主要内容
小波分析是当前数学中一个迅速发展的 新领域,它也是一种积分变换,是一个时间和 频率的局域变换，因而能有效地从信号中提 取信息，通过伸缩和平移等运算功能对函数 或信号进行多尺度细化分析,解决了Fourier 变换不能解决的许多困难问题.本章简单介绍 小波变换的基本理论和应用.
2
d
-
+ G( ) 2 d
-
是频窗中心, 称
1
+
(
-
* )2
G( )
2
d
2
+ G( ) 2 d
-
是频窗半径.
当频窗函数是
时G,(类似地可)以推导出
相应的频窗中心和频窗半径为
* * , .
因此频窗中心在平移, 频窗半径不变.
在时-频坐标系中, 时窗 和频窗共同作用形成时-频 窗, 右图是通过时-频窗进行 时-频局部化的几何直观描述.
2
-
为时窗半径.
于是时窗函数g(t)的窗口为
窗[t口* t,t* t],
的宽度为2t. 下面讨论时窗函数g(t-)的时窗中心
t*
和时窗半径
t .
t*
+
t
g(t
) 2 dt
-
+
(u
)
g(u)
2
du
-
+ u g(u) 2 du + g(u) 2 du t* ,
-
-
1
t
也是由频谱 在整fˆ (个频)域
上的贡献
决定的. 所以在时域中Fourier变换没有任何分辨能
力, 通过有限频段上的 不能获得fˆ信(号f)(t)在任何
有限时间间隔内的频率信息. 因为一个信号在某个时
刻的一个小的邻域中发生了变化, 那么整个频域都要
受到影响. 这就是说, Fourier变换在时域没有局域特 性. 同样地分析可见, 在频域上Fourier变换也没有局 域特性．
间平移的作用, 而a在连续小波变换中是一个尺度 参数, 它既能改变窗口的大小与形状, 同时也能改
变连续小波的频谱结构.
常用的基本小波:
Haar小波
1,
(t) 1,
0,
0 t 1/2 1/2 t 1
其他
Morlet小波
(t
)
e
t2 2
e i0t
,
t ,
0 5.
墨西哥草帽小波(Marr小波)
窗口Fourier变换把时域上的信号f (t)映射到
时-频域平面 中(的一,个)二维函数
G f (, ).
一个常用的窗口函数是Gauss函数
g(t)
b
t2
e 4a (a,b 0),
2 a
其中a, b使得
+ g(t ) 2 dt 1. -
易见时窗中心
t* +并t 且g时(t窗) 2半d径t 0, -
(t) 1 t2
1
t2
e 2 , t .
2
定义4.5 设 为由基a本, 小b 波
续小波. 对 f 称 L2(R),
生成的连
(t)
W f
(a,b)
f , a,b
1 a
f
(t )
t
a
b
dt
为f (t)的连续小波变换.
连续小波变换具有如下一些主要性质.
(1) 线性性质
的对称性, 使得信号的重构很容易进行. 特别是后来
离散Fourier变换(DFT)的发展, 以及 1965 年提出的
快速Fourier变换(FFT)与计算机技术相结合, 使
得Fourier变换的应用更加广泛和有效, 在科学技
术的各个领域发挥过重要作用.
但是Fourier变换仅适用于确定性的平稳信号.
小波变换克服了Fourier变换和窗口Fourier变 换的缺点, 在时域和频域同时具有良好的局域化性 质, 被誉为“数学显微镜”.
1987年, 法国数学家Mallat与Meyer合作, 将计 算机视觉领域内的多尺度分析的思想引入到小波分 析中,提出了多分辨分析的概念, 统一了在此之前的 所有具体正交小波基的构造, 并且提出相应的分解 与重构快速算法. 随后Mallat将多分辨分析用于图 象处理, 取得了巨大成功.
+ g(t ) 2 dt 1. -
根据Fourier变换的反演公式, 有
f (t)g(t ) 1
2
G
f
(
,
)e i t d
,
于是
f (t) g(t )2 1
2
G
f
(
,
)e
i
t
g(
t
)d
,
从而
f (t) + g(t )2 d -
1
2
+
d
-
G
f
(
,
)e i t
g(t
)d
定义4.1 设函数
g L1(R) L2(R), tg L2(R),
则称 f (t )g的(Ftourier)变换
f (t )g(t )eitdt
为f (t)的窗口Fourier变换, 也称f (t)的Gabor变换, 记
为 G f (其,中)g,(t)称为时窗函数.
以下总是取时窗函数g(t)满足
设 f L2则(R),
W f (t) (a,b)
小波变换是泛函分析、调和分析和数值分析 等数学分支发展的综合结晶，作为一种数学理论 和方法在科学技术领域引起了越来越多的关注和 重视. 小波分析的应用是与小波分析的理论研究 紧密地结合在一起的. 对于处理性质随时间稳定不 变的信号, 理想工具仍然是Fourier分析. 但是在实 际应用中的绝大多数信号是非稳定的, 而特别适用 于非稳定信号的工具就是小波分析. 小波分析的应 用领域十分广泛，包括信号分析和图象处理、语音 识别与合成、医学成像与诊断等方面.
在1910年Haar提出的规范正交基应该是小波分 析的最早萌芽. 1938年, Littlewood-Paley 对 Fourier 级数按二进制频率成分进行分组. 1965年, Galderon 发现再生公式, 它的离散形式已接近小波展开. 1981 年，Stormberg对Haar系进行了改进, 证明了小波函 数的存在性．小波概念的真正出现应该是在1984年, 当时法国地球物理学家Morlet在分析地震数据时提 出将地震波按一个确定函数的伸缩平移系展开. 然 后数学家Meyer对Morlet提出的方法进行系统研究, 并与其他一些人的工作联合奠定了小波分析的基础.
从定义可以看出, 为了应用Fourier变换去研究一个
信号的频谱特性, 必须获得在整个时域
中信号的全部信息. 由于
即Fouerieri变t换 1,
的积分核在任何情形下的模都是1, 所以信号f (t)的
频谱 fˆ的(任一) 频点值都是由 f (t) 在整个时间域
t
上的贡献决定的; 反之, 信号f (t)在任一时刻的状态
f , g L2(R),
表示空间 中L2的(内R积) , 是 的共轭g(. t ) g(t )
§4.1 小波变换的背景
自从1822年Fourier发表《热传导解析理论》 以来，Fourier变换一直是在信号处理等工程应用 领域中得到广泛使用且极其有效的一种分析手段．
Fourier变换和逆变换将研究的内容从时域变换到 频域, 也就是从一个空间变换到另一个空间, 这种 研究思想和方法是重大的创新.
为研究信号在局部时间范围的频域特征, 1946 年Gabor提出了著名的Gabor变换, 之后又进一步发 展为窗口Fourier变换, 也称短时Fourier变换(STFT). STFT弥补了Fourier变换的一些不足, 已在许多领域 获得了广泛的应用. 但是, 由于STFT的时-频窗口大 小和形状固定, 与时间和频率无关，所以并没有很好 地解决时－频局部化问题, 这对于分析时变信号来说 是不利的. 高频信号一般持续时间很短, 而低频信号 持续时间较长, 因此, 我们期望对于高频信号采用小 时间窗, 对于低频信号则采用大时间窗进行分析．