【四川省成都七中】2017届高三二诊模拟考试数学(理)试卷(附答案)

四川省成都七中2017届高三二诊模拟考试数学（理）试卷一、选择题（每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求．把答案涂在答题卷上）．1．已知集合{}2,1,0,1,2A =--，{}|lg 0B x x =≤，则AB ＝（ ）A ．{}1B ．{}0,1C ．{}0,1,2D ．{}1,22．已知i 是虚数单位，若()17ii ,2i a b a b +=+∈-R ，则ab 的值是（ ） A ．15-B ．3-C ．3D ．153．如图，某组合体的三视图是由边长为2的正方形和直径为2的圆组成，则它的体积为（ ）A ．44π+B ．84π+C ．44π3+D ．48π3+4．为了得到函数21log 4x y +=的图像，只需把函数2log y x =的图像上所有的点（ ） A 向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 B 向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度 C 向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度 D 向右平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度5．某程序框图如图所示，若使输出的结果不大于20，则输入的整数i 的最大值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6正视图侧视图俯视图6．如图，圆锥的高PO =底面⊙O 的直径2AB =，C 是圆上一点，且30CAB ∠=，D 为AC 的中点，则直线OC 和平面PAC 所成角的正弦值为（ ） A ．12BCD ．137．若曲线1C ：2220x y x +-=与曲线2C ：()0y y mx m --=有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是（ ）A．⎛ ⎝⎭B．30,⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭ C ．33⎡-⎢⎣⎦D ．3,,33⎛⎫⎛⎫-∞+∞ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭8．三棱锥A BCD -中，AB AC AD 、、两两垂直，其外接球半径为2，设三棱锥A BCD -的侧面积为S ，则S 的最大值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．169．已知)221e πa x dx -=⎰，若()20172201701220171()ax b b x b x b x x -=++++∈R ，则20171222017222b b b +++的值为（ ） A ．0 B ．1- C ．1D ．e10．由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪，直到1872年，德国数学家戴金德提出了“戴金德分割”，才结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴金德分割，是指将有理数集Q 划分为两个非空的子集M 与N ，且满足(),,MN M N =∅，M 中的每一个元素都小于N 中的每一个元素，则称(),M N 为戴金德分割．试判断，对于任意戴金德分割(),M N ，下列选项中一定不成立的是（ ） A ．M 没有最大元素，N 有一个最小元素 B ．M 没有最大元素，N 也没有最小元素 C ．M 有一个最大元素，N 有一个最小元素 D ．M 有一个最大元素，N 没有最小元素11．已知函数()3211201732f x mx nx x =+++，其中{}{}2,4,6,8,1,3,5,7m n ∈∈，从这些函数中任取不同的两个函数，在它们在(1,(1))f 处的切线相互平行的概率是（ ）A ．7120B ．760 C ．730D ．以上都不对 12．若存在正实数x y z 、、满足e 2z x z ≤≤且ln y z x z =，则ln yx的取值范围为（ ）A ．[)1,+∞B ．[]1,e 1-C ．(],e 1-∞-D ．11,ln 22⎡⎤+⎢⎥⎣⎦二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卷的横线上．13．在ABC △中，边a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，若()cos 3cos b C a c B =-，则cos B =_________．14．已知点(,)P x y 的坐标满足条件400x y x y x -≤⎧⎪+≤⎨⎪≥⎩，若点O 为坐标原点，点()1,1M --，那么OM OP 的最大值等于_________．15．动点(),M x y 到点()2,0的距离比到y 轴的距离大2，则动点M 的轨迹方程为_________．16．在ABC △中，A θ∠=，D E 、分别为AB AC 、的中点，且BE CD ⊥，则cos2θ的最小值为_________． 三、解答题（17~21每小题12分，22或23题10分，共70分．在答题卷上解答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）．17．设数列{}n a 的前n 项和12n n S a a =-，且1231a a a +、、成等差数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列1n n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T ．18．为宣传3月5日学雷锋纪念日，成都七中在高一，高二年级中举行学雷锋知识竞赛，每年级出3人组成甲乙两支代表队，首轮比赛每人一道必答题，答对则为本队得1分，答错不答都得0分，已知甲队3人每人答对的概率分别为321,,432，乙队每人答对的概率都是23．设每人回答正确与否相互之间没有影响，用X 表示甲队总得分．（1）求随机变量X 的分布列及其数学期望()E X ； （2）求甲队和乙队得分之和为4的概率．19．已知等边AB C ''△，BCD △中，1,BD CD BC ===1所示），现将B 与B '，C 与C '重合，将AB C ''△向上折起，使得AD =2所示）．（1）若BC 的中点O ，求证：BCD AOD ⊥平面平面；（2）在线段AC 上是否存在一点E ，使ED BCD 与面成30︒角，若存在，求出CE 的长度，若不存在，请说明理由；（3）求三棱锥A BCD -的外接球的表面积．20．已知圆222:2,E x y +=将圆2E按伸缩变换：x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线1E（1）求1E 的方程；（2）过直线2x =上的点M 作圆的两条切线，设切点分别是A B 、，若直线AB 与交于C D 、两点，求||||CD AB 的取值范围． 21．已知函数()sin ln sin g x x x θθ=--在[)1,+∞单调递增，其中()0,πθ∈（1）求θ的值； （2）若()()221x f x g x x -=+，当[]1,2x ∈时，试比较()f x 与()12f x '+的大小关系（其中()f x '是()f x 的导函数），请写出详细的推理过程；（3）当0x ≥时，()e 11x x kg x --≥+恒成立，求k 的取值范围．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】在直角坐标系中，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C ：()2sin 2cos 0a a ρθθ=>，又过点()2,4P --的直线l的参数方程为224x y ⎧=-+⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），l 与曲线C 分别交于M N 、． （1）写出曲线C 的平面直角坐标系方程和l 的普通方程；（2）若,,PM MN PN 成等比数列，求a 的值． 23．【选修4—5：不等式选讲】 设函数()f x =()10x x a a a++-> （1）证明：()2f x ≥；2E 1E BA CDf ，求a的取值范围．（2）若(3)5四川省成都七中2017届高三二诊模拟考试数学（理）试卷答 案一、选择题 1~5．ABDCB 6~10．CBCBC 11~12．BB二、填空题 13．1314．415．()280y x x =≥或()00y x =<16．725三、解答题17．解：（1）由已知12n n S a a =-有()11221n n n n n a S S a a n --=-=->， 即12(1)n n a a n -=>，从而21312,4a a a a ==． 又123,1,a a a +成等差数列，即()13221a a a +=+，∴()1114221a a a +=+，解得12a =．∴数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列故2n n a =．…………6分（2）由（1）得112nn n n a -=-，因数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是首项为12，公比为12的等比数列， ∴()()111221*********nn nn n n n T ⎡⎤⎛⎫-⎢⎥ ⎪⎝⎭++⎢⎥⎣⎦=-=---．………………12分 18．解：（1）X 的可能取值为0，1，2，3．()1111043224P X ==⨯⨯=，()311121111114324324324P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()32112131111243243243224P X ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=，()321134324P X ==⨯⨯=，X ∴的分布列为()11111012324424412E X =⨯+⨯+⨯+⨯=．…………………………………………………………7分 （2）设“甲队和乙队得分之和为4”事件A ，包含“甲队3分且乙队1分”，“甲队2分且乙队2分”，“甲队1分且乙队3分”三个基本事件，则：()223123312111211214332433433P A C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⨯⨯⨯+⨯⨯⨯+⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭．………………………………………12分19．解：（1）ABC △为等边三角形，BCD △为等腰三角形，且O 为中点 ∴,BCAO BC DO ⊥⊥，AO DO O =，BC ∴⊥平面AOD ，又BC ⊂面ABC BCD AOD ∴⊥平面平面∴平面BCD ⊥平面AOD …………3分（2）法一：作,AH DO ⊥交DO 的延长线于H ，则平面BCD 平面,AOD HD=则AH ⊥平面BCD ，在t R BCD △中，12OD BC ==，在Rt ACO △中，AO AC =，在AOD △中， 222cos 2AD OD AO ADO AD OD +-∠==⋅sin ADO ∴∠=Rt ADH △中sin 1AH AD ADO =∠=，设(0CE x x =≤，作EF CH F ⊥于，平面AHC ⊥平面BCD ，,EF BCD EDF ∴⊥∠平面就是ED BCD 与面所成的角．由,2EF CE EF xAH AC =∴=（※）， 在Rt CDE △中，DE =ED BCD 与面成30︒1,12xx =∴=，当1CE =时，ED BCD 与面成30角………………………………………………………………………9分DABCOEFH法二：在解法1中接（※），以D 为坐标原点，以直线DB DC 、分别为x 轴，y 轴的正方向，以过D 与平面BCD 垂直的直线为z 轴，建立空间直角坐标系则()0,0,0,,D E x ⎫⎪⎪⎝⎭2DE ⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭， 又平面BCD 的一个法向量为(0,0,1)n =，要使ED BCD 与面成30角，只需使DE 与n 成60， 只需使cos60DE nDEn=1,12xx =∴=， 当1CE =时ED BCD与面成30角法三：将原图补形成正方体（如右图所示），再计算 （3）将原图补形成正方体，则外接球的半径r=，表面积：3π………………………………12分 20．解：（1）按伸缩变换：2x x y y '=⎧⎪⎨'=⎪⎩得:()()2222,x y ''+=则1E ：2212x y +=…………………3分（2）设直线2x =上任意一点M 的坐标是()2,,t t ∈R 切点A B 、坐标分别是()()1122,,x y x y 、则经过A点的切线斜率是11x y -，方程是，经过B 点的切线方程是，又两条切线AM BN 、相112x x y y +=222x x y y +=z交于()2,M t 11222222x ty x ty +=⎧∴⎨+=⎩ 所以经过A B 、两点的直线l 的方程是22x ty +=当()()0,1,1,1,1,,1,22t A B C D ⎛⎛=-- ⎝⎭⎝⎭，|||||2,||2CD CD AB AB ∴==∴= 当0t ≠时，联立222212x y t x y -⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，整理得()222816820t x x t +-+-=设,C D 坐标分别为()()3344,,x y x y 、则3422342168828x x t t x x t ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪⋅=⎪+⎩)224||8t CD t +=+||AB =)3224||||t CD AB +∴=244,t x +=>设()110,4f x u x ⎛⎫==∈ ⎪⎝⎭又令 ()313261,0,4x u u u ϕ⎛⎫=-++∈ ⎪⎝⎭()201960,4x u b u ϕ=-+=⇒=()104u ϕ⎛⎫∴ ⎪⎝⎭在,()()104u ϕϕϕ⎛⎫⎛⎫∴∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，(()(1,f x∴∈，∴||||2CD AB ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭综上所述，||||CD AB ∴的取值范围是⎫⎪⎪⎣⎭……………………………………………………………………………………………12分 21．解：（1）由题：()1sin 0g x x θ'=-≥恒成立[)()1sin 1,x x θ∴≥∈+∞恒成立 sin 1θ∴≥sin 1θ∴=()0,πθ∈π2θ∴=……2分（2）()()222121ln 1x f x g x x x x x x -=+=-+--()231221f x x x x '∴=--+ ()()23312ln 2f x f x x x x x x '∴-=-++--令()ln h x x x =-，()233122H x x x x =+--()110h x x'∴=-≥()h x ∴单调递增则()()11h x h ≥=又()24326x x H x x--+'=令()2326x x x ϕ=--+显然()x ϕ在[]1,2单调递减 且()()11,210,ϕϕ==-则()01,2x ∃∈使得()H x 在()01,x 单调增，在()0,2x 单调递减∴()()(){}()min1min 1,222H x H H H ===-∴()()122H x H ≥=- ∴()()()()()()min min12f x f x h x H x h x H x '-=+≥+=又两个函数的最小值不同时取得；∴()()12f x f x '->即：()()12f x f x '>+……………………………………………………………7分（3）()e 11x x kg x --≥+恒成立，即：()()e ln 1110xk x k x ++-+-≥恒成立，令()()()e ln 111xF x k x k x =++-+-，则()()e 11x kF x k x '=+-++ 由（1）得：()()1g x g ≥即()ln 101x x x --≥≥，即：()()1ln 110x x x +≥++≥ 即：()()ln 10x x x ≥+≥e 1x x ∴≥+()()()111kF x x k x '∴≥++-++ 当1k =时，0x ≥()()()11112011k F x x k x x x '≥++-+≥++-≥++∴()F x 单调增，∴()()00F x F ≥=满足当(0,1)k ∈0x ≥由对角函数性质()()()()111101kF x x k k k x '≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增，∴()()00F x F ≥=满足当0k ≤时，0x ≥由函数的单调性知()()()()111101kF x x k k k x '≥++-+≥+-+=+ ∴()F x 单调增，∴()()00F x F ≥=满足当1k >时，()()2e 1xkF x x ''=-+则()F x ''单调递增，又()010F k ''=-<且(),0x F x ''→+∞>则()F x ''在(0,)+∞存在唯一零点0t ，则()F x '在0(0,)t 单减，在0(,)t +∞单增，∴当0(0,)x t ∈时，()()00F x F '<=∴()F x 在0(0,)t 单减，∴()(0)0F x F <=不合题意综上：1k ≤………………………………………………………………………………………………12分22．解：（Ⅰ）曲线C 的直角坐标方程为()220y ax a >=- 11 - / 11直线l 的普通方程为2=0x y --．………………………………………………………………………4分 （Ⅱ）将直线l 的参数方程与C 的直角坐标方程联立，得()()()()224840840t a t a a a +++=*∆=+>-．设点M N 、分别对应参数12,t t 、恰为上述方程的根． 则1212,,||PM t PN t MN t t ===-．由题设得()()221212121212.4t t t t t t t t t t -+-即＝,＝由（*）得()()121224,840t t a t t a =>+=＋＋则有 ()()24540,a a -=＋＋得1,a =或4,a =-因为1a >，所以1a =．…………………………………10分 23．解：（1）证明：由绝对值不等式的几何意义可知：()min 12,f x a a=+≥当且仅当1a =取等，所以()2f x ≥．…………………………………………………………………………………………………4分 （2）因为()35f <，所以1|3||3|5a a ++-<⇔13|3|5a a ++-<⇔1|3|2a a-<-⇔ 11232a a a -<-<-a <10分。