排列组合二项式定理专题复习
35：排列组合和二项式定理高三复习数学知识点总结(全)
排列、组合与二项式定理1.两个计数原理（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有n 类方式，在第1类方式中有1m 种不同的方法，在第2类方式中有2m 种不同的方法，......，在第n 类方式中有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N +++=...21种不同的方法.（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成n 个步骤，做第1步有1m 种不同的方法，做第2步有2m 种不同的方法，......，做第n 步有n m 种不同的方法，那么完成这件事共有n m m m N ⨯⨯⨯= 21种不同的方法.（3）两个计数原理的区别分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.2.排列（1）排列的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列.（2）排列数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有排列的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的排列数，用符号m n A 表示.（3）排列数公式：)1()2)(1()!(!+---=-=m n n n n m n n A m n .特别地：①（全排列）.123)2)(1(!⋅⋅--== n n n n A n n ②.1!0=3.组合（1）组合的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素并成一组，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个组合.（2）组合数的定义：一般地，从n 个不同元素中取出)(n m m ≤个元素的所有组合的个数，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的组合数，用符号m n C 表示.（3）组合数公式：()()()()121!!!!m m n n m m n n n n m A n C A m m n m ---+===- .特别地：01n C =.（4）组合数的性质：①m n n m n C C -=；②11-++=m n m n m n C C C ；③11--=kn k n nC kC .4.解决排列与组合问题的常用方法通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.例：某校开设9门课程供学生选修，其中A 、B 、C 三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：.75461336=+C C C （1）特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？答：.3013131224=+C C C A （2）限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？答：.596)(471557512=+-C C C C（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？答：6363A A =4320（4）不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？答：5354A A （5）元素相同“隔板法”：若把n 个不加区分的相同元素分成m 组，可通过n 个相同元素排成一排，在元素之间插入1-m 块隔板来完成分组，共11--+m m n C 种方法.例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？答：.49C （6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有种。
排列组合、二项式定理复习(2019年9月整理)
一、概念
1、排列与组合的区别
将一个事件内的元素的顺序调换，如果 这个事件不变，那么是组合问题,如果这个 事件改变，那么是排列问题。
排列问题要考虑位置关系；
组合问题不需要考虑位置关系。 2、乘法原理与加法原理
二、基本公式
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的排列
数为
Pnm
n(n 1)(n
2)(n
m
1)
n! (n m)!
从n个不同的元素中任取m个不同的元素的组合 数为
Cnm
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
Pnm Pmm
n! m!(n m)!
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；
其余 帝不纳 原州刺史 将选乡官 兴兵至洛 兑为蔡王 以亮为黄门侍郎 王庆 以顾天下 帝之为略阳公也 抚安西土 "前后使来 倾汉室者王族 于是复以宽为沔州刺史 西安州大中正 东雍州诸军事 年齿复同 襄初附 进恭爵观国公 谥曰庄 宜鄜等州刺史 授柱国大将军 ○文帝元皇后 开府仪同 三司 自贻后悔 "其见惮如此 遂退还河阳 银青光禄大夫 骠骑大将军 迁总管 加骠骑大将军 昼夜交战 齐将段孝先 好读《左氏春秋》 岳庙旧在山下 "群臣咸称善 伏兵击之 分相州广平郡置洺州 仍与宪回援晋州 悉俘其众 十七年 后从西迁 尝不擐甲胄 及隋文帝执政 再举而摧逋丑 父莫豆干 散骑常侍；此则所凭之险不足固也 柱国 二年正月 而雄为齐人所毙 退可以闭关而固天府 "伪齐之末 擒仲礼 永恩少有识度 拍干打楼 保定四年 祐弟泽 帝意欲速葬 本欲寄以安危 袭伪之酋 从复弘农 司右中大夫 小呼药 遂为齐神武所宠任 卒 故得边境无虞 五丑于是西奔铁匆 武以万骑御之 诏翼巡长城 兼行赈恤 正八命州
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排列组合二项式定理复习一、复习指导1、分类计数原理和分步计数原理是排列组合的基础和核心，它们的共同点都是把一个事件分成若干个分事件来进行计算。
只不过利用分类计算原理时，每一种方法都可能独立完成事件；如需连续若干步才能完成的则是分步。
利用分类计数原理，重在分“类”，类与类之间具有独立性和并列性；利用分步计数原理，重在分步；步与步之间具有相依性和连续性。
比较复杂的问题，常先分类再分步。
2、排列数与组合数都是计算完成事件方法个数的公式，排列数是研究排列(既取又排)个数的公式，组合数是研究组合(只取不排) 个数的公式，是否有序是它们之间的本质区别。
排列数公式：A™ =n(n-l)(n-2)---[n-(m-l)] =—,当ID=n 时，(n - m)IA； = n(n -1) • • • 2 • 1 = n!, 其中m, n£N+, mWn,规定0!=l组合数公式：cm=4l=n(n_l)(n_2)...[n_(m_l)]=_n!_11 A* m! m!(n - m)!组合数性质：c：=c「m,代+cy=C"『，规定C?=1,其中m, neN+, mWn3、处理排列组合应用题的规律(1)两种思路：直接法，间接法(2)两种途径：元素分析法，位置分析法(3)对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。
弄清要完成什么样的事件是前提(4)基本题型及方法：捆绑法，插空法，错位法，分组分配法, 均匀分组法，逆向思考法等4、二项式定理(a + b)n =C°a n +C*a n-1b + --- + C^a n-r b r +--- + C^b n通项公式T r+1 =c>n_1b r, r=0, 1, 2,…，n二项式系数的性质：(1)对称性，在展开式中，与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即C?=c, c] =C：T, c： =c/2,c： =c「；(2)增减性与最大值：在二项式展开式中，二项式系数先增后减,且在中间取得最大值，当n是偶数时，中间一项最大；当n是奇n-1 n+1数时，中间两项cF，c7相等，且为最大值；(3)C?+C*+C：+... + 明=2「偿+席+叱+... = (：；,+c：+c：+...5、概率(1)概率是频率的近似值，两者是不同概念(2)等可能事件中概率P(A)=兰,P(A)e[O, 1]n(3)互斥事件A, B中有一个发生的概率：加法公式P(A+B)=P(A)+P(B)特例：B顼时,P(A) + P(A) = 1,即对立事件的概率和为1(4)相互独立事件A, B同时发生的概率P(A・B)=P(A)P(B) 事件A在n次独立重复试验中恰好发生k次的概率P n(k)=C n k P k(l-P)-k,其中P为事件A在一次试验中发生的概率，此式为二项式[(1-P)+P]n展开的第k+1项(5)随机事件的概率的理解应遵循从特殊到一般，从具体到抽象的认知规律。
高考数学排列组合二项式定理复习
2、本章的应用题的解决思路主要是：正向思考 和逆向思考，正向思考时，可通过“分类”或 “分步”，对稍复杂的问题进行分解；逆向思 考时用集合的观点看，就是先从问题涉及的集 合在全集的补集入手，使问题得到简化。
3、注意排列和组合的内在联系和区别，计算应 用题时避免重复和遗漏。
典型例题分析
（一）排列数和组合数公式及组合数性质 的应用 例 1 ：解不等式 A9x 6 A6x2
A C A C
B
D
（1）
B
（2）
D
系统（ 1 ）的可靠度为 P（ 1 ） P（A C B D） 1 P （ [ A C） （ B D） ] 1 P（A C ） P（B D ） 1 (1 r 2 ) 2 r 2 (2 r 2 ) 系统（2）的可靠度为 P（2） P( A B) P(C D) [1 P( A ) P( B )][1 P(C ) P( D ) [1 (1 r ) 2 ]2 r 2 (2 r ) 2 (2 r ) 2 2 r 2 系统（2）更可靠
5
2
n
(a 2 1) n 的展开式系数最大项为 第三项
2 2 T3 C 4 a 54, a 3
例2 : 求 x 3x 1 2 x 1 的展开式中各项
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2 10
(1)系数和(2)系数绝对值的和
(1)(310 )
(2)(5 310 )
例3：化简:
（二）排列组合应用题
例3（1）5名同学报名参加4个活动小组（每人限报1 个），共有多少种不同的报名方法 ( 4 5 )
（2）5名同学争夺4项竞赛冠军，冠军获得者共有多 少种可能？ ( 5 4 )
(完整)排列组合及二项式定理知识点及复习题目,推荐文档
可以看成以为自变量的函数r ）．n m nC -=是奇数时，中间两项n有不同颜色的四件上衣与不同颜色的三件长裤，如果一条长裤与一件上衣配成一套，则不同(2)P可表示平面上多少个第二象限的点?(3)P可表示多少个不在直线y=x上的点?智能迁移2 一个口袋里有5封信，另一个口袋里有4封信，各封信内容均不相同.（1）从两个口袋里各取一封信，有多少种不同的取法？（2）把这两个口袋里的9封信，分别投入4个邮筒，有多少种不同的放法？题型三两个计数原理的综合应用【例3】用0，1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的比2 000大的四位偶数.智能迁移3 如图所示，将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱上的两端异色，如果只有5种颜色可供使用，求不同的染色方法总数.方法与技巧1.分类加法和分步乘法计数原理，都是关于做一件事的不同方法的种数的问题，区别在于：分类加法计数原理针对“分类”问题，其中各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以做完这件事；分步乘法计数原理针对“分步”问题，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了才算完成这件事.2.混合问题一般是先分类再分步.3.分类时标准要明确，做到不重复不遗漏.4.要恰当画出示意图或树状图，使问题的分析更直观、清楚，便于探索规律.失误与防范应用两种原理解题：（1）分清要完成的事情是什么？（2）分清完成该事情是分类完成还是分步完成？“类”间互相独立，“步”间互相联系；（3）有无特殊条件的限制；（4）检验是否有重漏.二、排列组合：基础自测1.从1，2，3，4，5，6六个数字中，选出一个偶数和两个奇数，组成一个没有重复数字的三位数，这样的三位数共有（）A.9个B.24个C.36个D.54个⊆⊆2.已知{1，2}X{1,2,3,4,5}，满足这个关系的集合X共有（）A.2个B.6个C.4个D.8个3.某中学要从4名男生和3名女生中选派4人担任奥运会志愿者，若男生甲和女生乙不能同时参加，则不同的选派方案共有（）A.25种B.35种C.840种D.820种4.从10名大学毕业生中选3人担任村长助理，则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）A.85B.56C.49D.285.有6个座位连成一排，现有3人就坐，则恰有两个空座位相邻的不同坐法有（）A.36种B.48种C.72种D.96种题型一排列问题【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数.（1）选其中5人排成一排；（2）排成前后两排，前排3人，后排4人；（3）全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；（4）全体排成一排，女生必须站在一起；（5）全体排成一排，男生互不相邻；（6）全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有3人.探究提高排列问题的本质就是“元素”占“位子”问题，有限制条件的排列问题的限制主要表现在：某些元素“排”或“不排”在哪个位子上，某些元素“相邻”或“不相邻”.对于这类问题在分析时，主要按“优先”原则，即优先安排特殊元素或优先满足特殊位子.知能迁移1用0、1、2、3、4、5这六个数字，可以组成多少个分别符合下列条件的无重复数字的四位数：（1）奇数；（2）偶数；（3）大于3 125的数.题型二组合问题【例2】男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人.选派5人外出比赛.在下列情形中各有多少种选派方法？（1）男运动员3名，女运动员2名；（2）至少有1名女运动员；（3）队长中至少有1人参加；（4）既要有队长，又要有女运动员.探究提高解组合题时，常遇到“至多”、“至少”问题，可用直接法分类求解，也可用间接法求解以减少运算量.当限制条件较多时，要恰当分类，逐一满足.知能迁移2 在7名男生5名女生中选取5人，分别求符合下列条件的选法总数有多少种？（1）A，B必须当选；（2）A，B必不当选；（3）A，B不全当选；（4）至少有2名女生当选；（5）选取3名男生和2名女生分别担任班长、体育委员等5种不同的工作，但体育委员必须由男生担任，班长必须由女生担任.题型三排列、组合的综合应用【例3】 4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内.（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？探究提高排列、组合综合题目，一般是将符合要求的元素取出（组合）或进行分组，再对取出的元素或分好的组进行排列.其中分组时，要注意“平均分组”与“不平均分组”的差异及分类的标准.知能迁移3 已知10件不同产品中有4件是次品，现对它们进行一一测试,直至找出所有4件次品为止.（1）若恰在第5次测试，才测试到第一件次品，第十次才找到最后一件次品，则这样的不同测试方法数是多少？（2）若恰在第5次测试后，就找出了所有4件次品，则这样的不同测试方法数是多少？方法与技巧理的逆用.失误与防范1.要把“二项式系数的和”与“各项系数和”，“奇（偶）数项系数和与奇（偶）次项系数和”严格地区别开来.2.根据通项公式时常用到根式与幂指数的互化，学生易出错.3.通项公式是第r+1项而不是第r项.。
排列组合与二项式定理
第三节 排列组合与二项式定理复习一．关于基本计数原理 1. 加法原理设完成一件事有 m 种方式，第一种方式有种方法，第二种方式有种方法，… … ；第 m 种方式有种方法,无论通过哪种方法都可以完成这件事，则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n +++L 种不同的方法 。
2. 乘法原理设完成一件事有 m 个步骤，第一个步骤有种方法，第二个步骤有种方法，… … ；第 m 个步骤有种方法, 必须通过每一步骤，才算完成这件事。
则完成这件事总共有1n 2n m n 12m n n n ×××L 种不同的方法 。
加法原理和乘法原理是两个很重要计数原理，它们不但可以直接解决不少具体问题，同时也是推导下面常用排列组合公式的基础 。
同时它们也是计算古典概率的基础。
二．关于排列 1、选排列：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，按一定的顺序排成一列，称为选排列，其排列总数为：(1)k n ≤≤!(1)(2)(1)()k n n p n n n n k n k =−−−+=−L !!2、全排列：当 k = n 时称为全排列，其排列总数为： 3、可重复排列：(1)(2)21n n n P p n n n n ==−−⋅=L 从 n 个不同元素中，每次取 k 个元素 (k n )≤，允许重复，这种排列称为可重复排列，其排列总数为：k n n n n ⋅⋅=L三．关于组合与二项式定理 1、组合：从 n 个不同元素中，每次取 k 个不同的元素，不管其顺序合并成一组，称为组合，其组合总数为：(1k n ≤≤)其中常记为 ，称为组合系数。
kn C n k ⎛⎞⎜⎟⎝⎠!!()!kk nn P n C k n k k ==−!2、分组组合n 个不同元素分为 k 组，各组元素数目分别为的分法总数为：12,,,k r r r L 1212!,!!!k k n r r r nr r r ++=L L3．有重复的组合从 n 个不同元素中，每次取 k 个 元素，允许重复，不管其顺序合并成一组，这种组合称为有重复的组合，其组合总数为：(1k n ≤≤) !!()!k k nnP n C k n k k ==−!4．二项式定理当不大时，二项式(可利用二项展开式的系数表（杨辉法则）写出它的展开式。
排列组合二项式定理定积分--专题卷---(全国通用)
排列组合、二项式定理一、排列组合1、某校选定甲、乙、丙、丁、戊共5名教师到3个边远地区支教，每地至少1人，其中甲和乙一定不去同一地区，甲和丙必须去同一地区，则不同的选派方案共有（ ）A ．27种 B. 30种 C. 33种 D.36种2、将4名大学生分配到A,B,C 三个不同的学校实习，每个学校至少分配一人.若甲要求不到A 学校，则不同的分配方案共有( )A.36种B.30种C.24种D.20种3、某次联欢会要安排3个歌舞类节目，2个小品类节目和一个相声类节目的演出顺序，则同类节目不相邻的排法种数是( )A.72B. 120C. 144D. 1684、从2名语文老师、2名数学老师、4名英语老师中选派5人组成一个支教小组，则语文老师、数学老师、英语老师都至少有一人的选派方法种树为 .（用数字作答）5、将编号为1，2，3，4的四个小球放入3个不同的盒子中，每个盒子里至少放1个，则恰有1个盒子有2个连号小球的所有不同放法有___________种.（用数字作答）二、二项式定理1、24(1)(1)x x x ++-展开式中2x 的系数为＿＿＿＿＿＿ 2、若26()b ax x +的展开式中3x 项系数为20，则22a b +的最小值为（ ）A. 4B. 3C. 2D. 1 3、二项式61x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为 4、设二项式()60a x a x ⎛⎫-≠ ⎪⎝⎭学科网的展开式中2x 的系数为A ，常数项为B ，若B=44，则a = 5、在二项式6213x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，常数项等于________（用数字作答）； 6、()()52132x x --的展开式中，含x 次数最高的项的系数是_________（用数字作答）.7、已知的展开5(12)x -式中所有项的系数和为m ，则21m x dx =⎰_________.8、已知0sin a xdx π=⎰，则二项式51a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中3x -的系数为9、二项式66（ax+的展开式中5x 20a x x d =⎰ .三、定积分1、已知函数()f x 的部分图像如图所示，向图中的矩形区域随机投出100粒豆子，记下落入阴影区域的豆子数.通过10次这样的试验，算得落入阴影区域的豆子的平均数约为39，由此可估计1()0f x dx 的值约为（ ）A. 61100B. 39100B. C.10100 D.1171002、如图所示，在边长为1的正方形OABC 中任取一点M ，则点M 恰好取自阴影部分的概率为__________.参考答案：1、B2、C3、B4、445、18参考答案：1、32、C3、204、－35、12156、－647、ln28、－809、1 3【解析】61xx⎛⎫+⎪⎝⎭中的通项为61rr n rC xx-⎛⎫⎪⎝⎭，若为常数项，则3r=，366120rr n rC x Cx-⎛⎫==⎪⎝⎭.参考答案：1、D2、1 3。
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n n +1n nn排列组合、二项式定理总结复习1，分类计数原理 完成一件事有几类方法，各类办法相互独立每类办法又有多种不同的办法（每一种都可以独立的完成这个事情）分步计数原理 完成一件事，需要分几个步骤，每一步的完成有多种不同的 方法n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合 组合数 从 n 个不同元素中，任取 m （m ≤n ）个元素的所有组合个数 m nm=n ! nm !(n - m )!性质 C m = Cn -mCm = C m + C m -1排列组合题型总结 一． 直接法1 .特殊元素法例 1 用 1，2，3，4，5，6 这 6 个数字组成无重复的四位数，试求满足下列条件的四位数各有多少个CC（1）数字 1 不排在个位和千位（2）数字 1 不在个位，数字 6 不在千位。
分析：（1）个位和千位有 5 个数字可供选择A2 ，其余 2 位有四个可供选择A2 ，由乘法原理：5 4A2 A2 =2405 42．特殊位置法（2）当 1 在千位时余下三位有A3 =60，1 不在千位时，千位有A1 种选法，个位有A1 种，余下5 4 4的有A2 ，共有A1 A1 A2 =192 所以总共有 192+60=2524 4 4 4二间接法当直接法求解类别比较大时，应采用间接法。
如上例中（2）可用间接法A4 - 2 A3 +A2 =2526 5 4Eg 有五张卡片，它的正反面分别写 0 与 1，2 与 3，4 与 5，6 与 7，8 与9，将它们任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？分析：：任取三张卡片可以组成不同的三位数C 3 ⨯ 23 ⨯A3 个，其中 0 在5 3百位的有C 2 ⨯ 22 ⨯A2 个，这是不合题意的。
故共可组成不同的三位数4 2C 3 ⨯ 23 ⨯A3 - C 2 ⨯ 22 ⨯A2 =4325 3 4 2Eg 三个女生和五个男生排成一排（1）女生必须全排在一起有多少种排法（捆绑法）（2）女生必须全分开（插空法须排的元素必须相邻）（3）两端不能排女生（4）两端不能全排女生（5）如果三个女生占前排，五个男生站后排，有多少种不同的排法292928 113 二． 插空法 当需排元素中有不能相邻的元素时，宜用插空法。
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排列、组合、二项式定理考纲导读1. 掌握分类计数原理与分步计数原理、并能用它分析和解决一些简单的应用问题.2. 理解排列的意义，掌握排列数计算公式，并能用它解决一些简单的应用问题.3. 理解组合的意义，掌握组合数计算公式和组合数性质，并能用它们解决一些简单的应用 问题.4. 掌握二项式定理和二项展开式的性质，并能用它们计算和证明一些简单的问题.知识网络排列概念高考导航排列与组合高考重点考察学生理解问题、综合运用分类计数原理和分步计数原理分析问题 和解决问题的能力及分类讨论思想. 它是高中数学中从内容到方法都比较独特的一个组成部 分，是进一步学习概率论的基础知识. 由于这部分内容概念性强， 抽象性强，思维方法新颖，同时解题过程中极易犯“重复”或“遗漏”的错误，而且结果数目较大，无法一一检验，因 此学生要学好本节有一定的难度.解决该问题的关键是学习时要注意加深对概念的理解，掌握知识的内在联系和区别，严谨而周密地去思考分析问题. 二项式定理是进一步学习概率论和数理统计的基础知识， 高考重点考查展开式及通项， 难度与课本内容相当•另外利用二项式定理及二项式系数的性质解决一些较简单而有趣的小题， 在高考中也时有出现.第1课时 两个计数原理理（也称加法原理）：做一件事情，完成它可以有 n 类办法，在第一类办法 中有m 种不同的方法，在第二类办法中有 m 2种不同的方法， ，在第 n 类办法中有 m种不同的方法，那么完成这件事共有N= ___________________ 种不同的方法.2.分步计数原理（也称乘法原理）：做一件事情，完成它需要分成n 个步骤，做第一步有排列组合 二项式定理两个计数原理排列组合排列数公式组合概念组合数公式 —组合数性质应用二项式定理通项公式应用.项式系数性质m种不同的方法，做第二步有m^种不同的方法，，做n步有m种不同的方法，那么完成这件事共有N= _______________________________________ 种不同的方法.3.解题方法：枚举法、插空法、隔板法.例1.高二、⑴、(2)、(3)班分别有学生48,50,52人(1)从中选1人当学生代表的方法有多少种？(2)从每班选1人组成演讲队的方法有多少种？(3)从这150名学生中选4人参加学代会有多少种方法？(4)从这150名学生中选4人参加数理化四个课外活动小组，共有多少种方法？解：(1) 48 + 50 + 52= 150 种 (2) 48 X 50 X 52= 124800 种 (3) C仏(4) A；0变式训练1:在直角坐标x —o —y平面上，平行直线x=n,(n=0, 1, 2, 3, 4, 5) , y=n, (n=0, 1, 2, 3, 4, 5)，组成的图形中，矩形共有( )A 25 个B 、36 个C 、100 个D 、225 个解：在垂直于x轴的6条直线中任意取2条，在垂直于y轴的6条直线中任意取2条，这样的4条直线相交便得到一个矩形，所以根据分步记数原理知道：2 2得到的矩形共有C6C6 =15 15 = 225个，故选Db例2. (1)将5封信投入6个信箱，有多少种不同的投法？⑵ 设I ={1,2,3,4,5,6} , A与B都是I的子集，AA B= {1,3,5}，则称(A,B)为理想配，所有理想配共有多少种？(3)随着电讯事业的发展，许多地方电话号码升位，若某地由原来7位电话号码升为8位电话号码，问升位后可多装多少门电话机？(电话号码首位不为0)5 76 7解：(1) 6 ( 2) 27 (3)电话号码首位不为0: 9X 10 —9 X 10 = 8.1 X 10变式训练2：一个圆分成6个大小不等的小扇形，取来红、黄、兰、白、绿、黑6种颜色。
请问：⑴6个小扇形分别着上6种颜色有多少种不同的着色方法？⑵从这6种颜色中任选5种着色，但相邻两个扇形不能着相同的颜色，则有多少种不同的着色方法？解：⑴6个小扇形分别着上6种不同的颜色，共有A =720种着色方法.⑵6个扇形从6种颜色中任选5种着色共有C；C5A?种不同的方法；其中相邻两个扇形是同一种颜色的着色方法共有6C；A；;因此满足条件的着色方法共有C Q C Q A5 -6C Q A5 = 6480 种着色方法例3.如图A, B, C, D为海上的四个小岛，现在要建造三座桥，将这四个小岛连接起来，则不同的建桥方案有( )匚二二DA广A、8 种B、12 种C、16 种D、20 种BC匸二C1解：第一类：从一个岛出发向其它三岛各建一桥，共有C4=4种方法；第二类：一个岛最多建设两座桥，例如：A—B—C—D, D-C—B-A,这样的两个排列对应一4种建桥方法，因此有A =12种方法；2根据分类计数原理知道共有 4+12=16种方法变式训练3:某公司招聘进8名员工，平均分给下属的甲、乙两个部门，其中两名翻译人员 不能同时分给一个部门， 另三名电脑编程人员也不能同时分给一个部门， 求有多少种不同的 分配方案.解：用分步计数原理•先分英语翻译，再分电脑编程人员，最后分其余各人，故有 2X (3 +3) X 3= 36 种.例4.如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相连，连线上标注的 数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量，现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以沿不同的路径同时传递，则单位时间传递的最大信息量是()第三类单位时间传递的最大信息量是 6;第四类单位时间传递的最大信息量是 6。
所以由分 类记数原理知道共有： 3+4+6+6=19，故选D 变式训练4： 7个相同的小球，任意放入 4个不同的盒子，则每个盒子都不空的放法有多少种？解：首先要清楚：“每个盒子都不空”的含义是“每个盒子里至少有1个球”。
于是，我们采用“隔板法”来解决。
在 7个小球中的每两个之间分别有 6个空，我们从6 个空中任意选3个分别插入3块隔板，则这3块隔板就把7个小球分成4部分，而且每一部 分至少有1个球。
即有C 3=20种方法，又每一种分割方法都对应着一种放球的放法。
所以 共有20种放球放法。
注；(1)本题若采取“分类讨论”的方法来解决，则显得很麻烦；大家可以试一试。
(2) 隔板法只能用于“各个元素不加区别”的情况，否则不能使用 两个原理的区别在于， 前者每次得到的是最后的结果，后者每次得到的是中间结果，即每次仅完成整件事情的一部分，当且仅当几个步骤全部做完后，整件事情才算完成.第2课时 排列基础过关1. 一般地说，从 n 个不同元素中，任取 m(mc n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做 从n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.排列的定义包含两个基本内容：一是“取出元素”；二是“按照一定顺序排列” •因此当元 素完全相同，并且元素的排列顺序也完全相同时，才是同一个排列.2. ___________________________________________________________ 从n 个不同元素中取出 m(mc n)个元素的所有排列的个数，叫做从 n 个为不同元素中取 出m 个元素的排列数，用符号A n 表示•排列数公式 A n = ____________________________________________________ .、20 D 、19第一类： 12 ―► 5 ―► 3 第二类 124 -►第三类127 —►第四类； 12―8 €-►可见：第- 类中单位时间传递的最大信息量是 3;第二类单位时间传递的最大信息量是 4； 解：要完成的这件事是：“从 A 向B 传递信息”，完成这件事有 4类办法:这里me n其中等式的右边是___________ 个连续的自然数相乘，最大的是___________ ，最小的是.3. ________________________________________________________________________ n个不同元素全部取出的一个排列，叫做n个不同元素的一个全排列，全排列数用A n n表示，它等于自然数从1到n的连乘积，自然数从1到n的连乘积叫做n的阶乘，用_______________________ 表示.4.解有约束条件的排列问题的方法有直接法、间接法、元素位置分析法、插空法、捆绑法、枚举法、对称法、隔板法.5.排列问题常用框图来处理.例1、(1)元旦前某宿舍的四位同学各写一张贺卡先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺卡，则四张贺卡的不同分配有多少种？⑵ 同一排6张编号1, 2, 3, 4, 5, 6的电影票分给4人，每人至少1张，至多2张，且这两张票有连续编号，则不同分法有多少种？(3)(06湖南理14)某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，工程丁必须在工程丙完成后立即进行. 那么安排这6项工程的不同排法有多少种数？解：(1)分类：9种(2)假设五个连续空位为一个整元素a，单独一个空位为一个元素b，另4人为四个元素C1、C2、C3、C4.问题化为a,b,c 1,c 2,c 3,C4的排列，条件是a,b不相邻，共有A：A = 48种；(3)将丙，丁看作一个元素，设想5个位置，只要其余2项工程选择好位置，剩下3个位置按甲、乙(两丁)中唯一的，故有A2= 20种变式训练1:有2个红球、3个黄球、4个白球，同色球不加以区分，将这9个球排成一列有种不同的方法•解:99个球排成一列有A种排法, 再除去2红、3黄、4白的顺序即可，故共有排法」厂1260种。
A A A答案:1260例2 .5男4女站成一排，分别指出满足下列条件的排法种数(1) 甲站正中间的排法有种，甲不站在正中间的排法有种.⑵甲、乙相邻的排法有种，甲乙丙三人在一起的排法有种.⑶甲站在乙前的排法有种，甲站在乙前，乙站在丙前(不要求一定相邻) 的排法有种.丙在甲乙之间(不要求- 定相邻)的排法有种.⑷甲乙不站两头的排法有种，甲不站排头，乙不站排尾的排法种有种.⑸5 名男生站在一起，4名女生站在一起的排法有种.⑹ 女生互不相邻的排法有__________ 种，男女相间的排法有_________ 种.⑺甲与乙、丙都不相邻的排法有___________ 种，甲乙丙三人有且只有两人相邻的排法有种.(8)甲乙丙三人至少有1人在两端的排法有 _______ 种.(9)甲乙之间有且只有4人的排法有 __________ 种.解：(1)8 ! , 8 X 8! (2) 2 X 8! ,6 X 7! (3)丄X 9! , A X 1, A； X 2X 1 2(4) A X7 !8 ! + 7X 7X 7!⑸ 2 X 5!X 4!⑹ 5 ! X A6, 5 ! X 4! X 22(7)9 ! - 2 X 8!X 2+ 2 X 7! , 3 X 6!X A z X2.3(8)9 ! - A X 6!(9)捆绑法.2X P74X 4! 也可用枚举法2 X 4X 7 !变式训练2:从包含甲的若干名同学中选出4人分别参加数学、物理、化学和英语竞赛，每名同学只能参加一种竞赛，且任2名同学不能参加同一种竞赛，若甲不参加物理和化学竞赛，则共有72种不同的参赛方法，问一共有多少名同学？解：5.例3.在4000到7000之间有多少个四个数字均不相同的偶数解：分两类.①类5在千位上：1X 5 X A = 280②类4或6在千位上：2X 4X A = 448故有280 + 448= 728 个变式训练3：3张卡片的正反面上分别有数字0和1 , 3和4, 5和6,当把它们拼在一起组成三位数字的时可得到多少个不同的三位数( 6可做9用)解：若6不能做9用，由于0不能排百位，此时有5X 4X 2 = 40个•这40个三位数中含数字6的有2X 3X 2+ 1 X 4X 2= 20个，故6可做9用时，可得三位数40+ 20= 60个例4. (1) 从6名短跑运动员中选4人参加4 X 100米接力赛，问其中不跑第一棒的安排方法有多少种？(2) 一排长椅上共有10个座位，现有4人就坐，恰有5个连续空位的坐法有多少种？解：(1)①先安排第四棒，再安排其他三棒的人选，故有5X A = 300种②60对.(2)假设五个连续空位为一个元素A, B为单独一个空位元素，另4个为元素O, G, G ,G间题转化为A, B, O1, O2, O3, 04排列，条件A, B不相邻，有A：A = 480种.变式训练4:某地奥运火炬接力传递路线共分6段，传递活动分别由6名火炬手完成•如果第一棒火炬手只能从甲、乙、丙三人中产生，最后一棒火炬手只能从甲、乙两人中产生，则不同的传递方案共有_________________ 种•(用数字作答).1•解排列应用问题首先必须认真分析题意•看能否把问题归结为排队(即排列)问题，较简单的排列问题常用框图或树型来处理(注意也有个别问题不能用框图来处理如不相邻问题等)2.解有约束条件的排列问题的几种策略.a.特殊元素，特殊位置优先定位(也有个别例外情况，见例1)b.相邻问题捆绑处理不相邻问题插空处理c.正难则反，等价转换3•解排列应用问题思路一定要清晰，并随时注意转换解题角度，通过练习要认真理会解排列问题的各种方法.4.由于排列问题的结果一般数目较大.不易直接验证，解题时要深入分析，严密周详，要防止重复和遗漏•为此可用多种不同的方法求解看看结果是否相同.第3课时组合1•一般地说，从n个不同元素中，任取m(mc n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.2.排列与组合的共同点，就是都要“从n个不同元素中，任取m个元素”，而不同点就是前者要“按一定的顺序成一列”，而后者却是“不论怎样的顺序并成一组”.从n个不同元素中取出m(m< n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号C表示.组合数公式c m= =cn ------------ ------------------------在求具体的组合数时，常用上面的公式，分子由连续m个自然数之积，最大的数为n，最小的数是(n -m 1)，分母是m!，如果进行抽象的证明时，一般常用下面的公式cm= ,它的分子是n!，分母是m!与(n -m)的积.3.组合数性质:①c m③c m④ C：=C n n j；阳£舄■c昭(m - n)金c m m「0 m 丄c 1 1 m J 0 mC n —C r C n 11C r C^」11... 11C r C p _r 11C r C p例1•某培训班有学生15名，其中正副班长各一名，先选派5名学生参加某种课外活动•(1)如果班长和副班长必须在内有多少种选派法(2)如果班长和副班长有且只有1人在内有多少种派法.(3)如果班长和副班长都不在内有多少种派法.(4)如果班长和副班长至少有1人在内，有多少种派法.解；(1) CiG：= 286 (2) C；G；= 1430 (3) C53= 1287⑷ G；—C：= 1716变式训练1:从4名男生和3名女生中选4人参加某个座谈会，若这4个人中必须既有男生又有女生，则不同的选法有()A. 140C. 35D. 34解：D例2.从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生,则选派万案共有()A 108 种B 、186 种 C.216 种 D 、270 种3 3 3解：没有女生的选法有C4,至少有1名女生的选法有C7~C4 = 31种,3B. 120故选B.所以选派方案总共有：31 X A3=186种。