《概率论》第3章§3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式
2017考研概率论考点：随机变量的数字特征
/kaoyan/292245.html 2017考研概率论考点：随机变量的数字特征
天将降大任于斯人也，必先苦其心志，劳其筋骨，为了自己的目标，必须付出许多代价才能达到，没有天上掉下来的馅饼!当一切成为过去的时候，你对过去就会不以为然了。
2017考研复习已经拉开帷幕，文都网校小编将为向同学们倾情奉献2017考研的相关知识，为同学们的复习做好铺垫。
今天带来2017考研概率论考点：随机变量的数字特征。
随机变量的数字特征
随机变量的数学期望(均值)、方差、标准差及其性质，随机变量函数的数学期望，切比雪夫(Chebyshew)不等式，矩、协方差、相关系数及其性质
1.理解随机变量数字特征(数学期望、方差、标准差、矩、协方差、相关系数)的概念，会运用数字特征的基本性质，并掌握常用分布的数字特征。
2.会求随机变量函数的数学期望。
3.了解切比雪夫不等式。
高等数学(第2版)课件：随机变量的数字特征
2π
2π
例8. 设随机变量 X ~ N (, 2 )，求 E( X ), D( X ).
解：由 X Z, E( X ) E( Z ) μ. D( X ) D( Z ) D(Z ) 2D(Z ) σ 2 .
4
于是 E( X ) E( Xi ) 4 3.5 14 即为所求. i 1
二、随机变量的方差
1. 方差的概念
定义 设 X 是一个随机变量, 若 E{[ X E( X )]2 }
存在,记为 D( X ) 或 Var( X ), 即
D( X ) Var(X ) E{[X E( X )]2}. 在应用上还引入量 D( X )，记为σ( X ), 称为标
表明，如果在商场内搞，可获得经济收益3万元， 在商场外搞，如果不遇雨天可获得经济收益12万元， 遇到雨天会带来经济损失5万元.若前一天的天气 预报称当天有雨的概率为40%，则商场应该如何 选择促销方式？ 解： 平均效益为 E( X ) 12 0.6 5 0.4 5.2(万元)
与商场内促销活动相比，商场应该选择在户外促销.
P{|
X
|
}
1
2 2
或者
P{|
X
|
}
2 2
例7. 设随机变量 X ~ b(n, p)，求 E( X ), D( X ).
解： X 表示n重贝努里试验中事件 A发生的次数，若记
1 , A在第i 次试验发生 Xi 0 , A在第i 次试验不发生 (i 1, 2, 3, , n)
n
则 X Xi , 其中 Xi 服从(0 1)分布.
P{ X xk } pk , k 1,2,.
若级数 xk pk 绝对收敛,
k 1
则称级数 xk pk 的和为随机变量 X 的 数学期望,
预备知识4： 随机变量的数字特征
市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和 市场萧条和繁荣的概率分别为2/3和1/3, 如果立即 2/3 扩展， 扩展，则利润的期望值是 1 2 328 × + ( −80) × = 56 (万元 ) 3 3 如果他决定下一年再扩展， 如果他决定下一年再扩展，则利润的期望值为
1 2 160 × + 16 × = 64 (万元 ) 3 3
E( X) = ∫ xf ( x)dx
−∞
+∞
19
例5
设随机变量X的概率密度函数为 设随机变量 的概率密度函数为
3 x 2 , 0 < x < 1 f ( x) = 其它 0 , 的数学期望。 求X的数学期望。 的数学期望
解
E( X ) = ∫
=∫
+∞ −∞
1 0
xf ( x ) dx
乙：
8 × 0.2 N + 9 × 0.5 N + 10 × 0.3 N = 9.1 , N
5
可见甲的水平高些。 可见甲的水平高些。
定义 设离散型随机变量 的概率分布为 设离散型随机变量X的概率分布为
P{ X = x k } = pk ， = 1,2, ⋯ k
若级数
∑x
k=1
∞
k
pk
绝对收敛， 绝对收敛，
E( X ) = ∑ k ⋅ C p q
k =0 k n k
n
n− k
15
2. 二项分布 X ~ B(n, p)
令 i = k −1
P{ X = k} = C p q
k n k
n k n k
n−k
, k = 0,1,2,⋯, n (q = 1 − p )
第三章 连续型随机变量
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分布函数的性质（2） 使用分布函数计算以下概率： P{ξ(ω)≥x}＝1 - P{ξ(ω)<x} =1-F(x) P{ξ(ω)≤x}＝F(x＋0) P{ξ(ω)＞x}＝ 1 - P{ξ(ω) ≤ x} ＝ 1-F(x＋0) P{ξ(ω)＝x}＝ P{ξ(ω) ≤ x} - P{ξ(ω) <x} ＝ F(x＋0)－F(x) 对于离散型随机变量 P(ξ＝ai)＝pi 来说， ξ(ω)的分布函数为
p ( y ) F ( y )
p ( x ) p ( y x ) d x （3.55）
由对称性可知
p ( y ) F ( y )
p ( y x ) p ( x ) d x （3.56）
由（3.35）和（3.36）给出的运算称为卷积，通常 记为：
n
服从 N ( i , i2 ) 分布的随机变量，则
n n
i 1
i
仍然是
一个服从 N ( , 2 ) 的随机变量，并且其参数为
i 1
i
,
2
i 1
2 i
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多维随机变量函数的分布（7-4）
（二）商的分布
设（ξ, η）是一个二维随机变量，密度函数为
F ( x ) P ( ( ) x )
ai x
P ( ( ) a i )
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例3.1 等可能的在[a，b]上投点，以ξ表示落点的位置， 则ξ的分布函数为： 当x＜a时， F ( x ) P ( ( ) x ) 0 当a＜x＜b时，
《概率统计教学资料》第3章随机变量的数字特征1节-45页PPT精品文档
5
例1. 设X服从Poisson分布(), 求数学期望E(X).
解：X的概率函数为
P(Xk)ke,k0,1,2, ;
k!
所以X的数学期望
E( X ) k k e k0 k!
k k e
k1 k!
( λk eλ ) k0 k!
故 变再利量E 常用X见期拆 的(望E E 成基( ( X 性X X 有本1 1 质) 限方 X 求多E 法2 ) ( 得 个X ： 2 X比) 可的 较 以X 期2 简将 望) E 单5 一.(X 的个2 随比)5 机较2变(复5 1 量杂(2 2的X4 5 )1i0 )随之8 机和.3, 8
(1)设n有 个x数 1， x2， ， xn,那么 n个 这数的算术
xx1x2n xni n1xin 1
(2)这 n个数 ,， 有不 相妨 n 同 i个 设 取 xi其 ， i值 1中 ,,k 为 , 有
其均值n1应ik1为 nixi
k i 1
9
例3. 某种化学物的PH(记为X)是一个随机变量，它的概率
密度是
25(x3.8), 3.8x4 f (x) 25(x4.2),4x4.2
0, 其他
求此化合物的PH的数学期望E(X).
解： E(X)
xf(x)dx
4
4 .2
x 2(x 5 3)d 8 xx ( 2)x 5 ( 4 .2 )dx
7.5a235a0 52.5故0当 a =23. 33 时, EY 最大
2019/9/28
15
(二) 二维随机变量函数的数学期望
对于二维随机变量而言, 其函数的数学期望 计算方法可以类似得到.
fd4
第四章 随机变量的数字特征一、基本要求、重点与难点（一）基本要求1．理解数学期望和方差的概念，并掌握它们的性质与计算。
2．熟记二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
3．会计算随机变量函数的数学期望。
4．了解矩、协方差和相关系数的概念，掌握它们的性质与计算。
5．了解二维正态分布及其有关结论。
6．了解切比晓夫不等式，掌握切比晓夫不等式估计有关事件的概率。
（二）重点1．数学期望和方差的概念及其性质。
2．数学期望和方差的求法。
3．二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
4．协方差和相关系数的计算公式。
5．利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率。
（三）难点1．数学期望和方差的概念及其性质。
2．数学期望和方差的求法。
3．二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布和正态分布的数学期望与方差。
4．协方差和相关系数的计算公式。
5．利用切比晓夫不等式估计有关事件的概率。
二、重点内容简介§1 数学期望的概念与性质1 数学期望的定义定义 若离散型随机变量X 的分布律为：P (X =x i )=p i ，i ∈ ，且∑∞<⋅ii i p x ||，则称∑⋅=ii ip x EX ˆ为X 的数学期望 (Expectation )。
注意：定义中要求该级数绝对收敛，是为了保证该和数不随求和次序的改变而改变。
当∑⋅ii ip x ||发散时，称X 的数学期望不存在。
定义 设连续型随机变量X 的概率密度函数是 f (x )，若⎰∞∞-∞<⋅dx x f x )(||，则称⎰∞∞-⋅=dx x f x EX )(ˆ为X 的数学期望。
设y=g(x)为连续函数，则Y=g(X)是随机变量X 的函数，它也是一个随机变量，此时它的数学期望为：当X 为离散型随机变量时，有：.)()())((∑=⋅=kk k x X P x g X g E当X 为连续型随机变量时，X 的概率密度为f (x )有：⎰⋅=∞∞-dxx f x g X Eg )()()(2 数学期望的性质数学期望有一些简单性质，我们列在下面，以下X ，Y 均表示随机变量。
§3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式.
§3.5 随机变量的数字特征、契贝晓夫不等式一、数学期望1、定义： 若X ～p(x),-∞<x<∞+,当∞<⎰+∞∞-dx x p x )(,则称⎰+∞∞-=dx x xp X E )()(为X 的数学期望。
例1.若随机变量X 服从拉普拉斯分布，其密度函数为试求E(X).2.几个重要r.v.的期望 （1）均匀分布U(a,b)（2）指数分布：⎩⎨⎧≤>=-0,00,)(x x e x p x λλ（3）正态分布N(2,σμ)：X ～∞<<-∞=--x ex P x ,21)(222)(σμσπ例2：设随机变量X 服从标准正态分布，求随机变量Y=aX+b 的数学期望(其中a>0)3、随机变量函数的期望定理3.2：若X ～p(x),-∞<x<+∞,则Y=g(X)的期望定理3.3：若(X,Y)～p(x,y),-∞<x<∞,-∞<y<∞,则Z=g(X,Y)的期望例3:长途汽车起点站于每时的10分、30分、55分发车，设乘客不知发车时间，于每小时的任意时刻随机地到达车站，求乘客的平均候车时间。
⎭⎬⎫⎩⎨⎧--=λμλx x p exp 21)(⎪⎩⎪⎨⎧<<-=,,0,,1)(~其他b x a ab x p X ⎰+=-=ba ba dx ab x X E ;2)(dx ex X E x⎰∞-=0)(λλ⎰∞--=0xxdeλdx e xex x ⎰∞-∞-+-=00λλλ1=dxe x X E x 222)(2)(σμσπ--∞∞-⎰=μσπμσσμ=+-=-∞∞-⎰dt e t x t t 222令⎰∞∞-==.)()()]([)(dx x p x g X g E Y E ⎰⎰∞∞-∞∞-==.),(),()],([)(dxdy y x p y x g Y X g E Z E例4：设X 服从N(0,1)分布，求E(X 2),E(X 3),E(X 4)4. 数学期望的性质 (1)E(c)=c,c 为常数；(2)E(cX+dY)=cE(X)+dE(Y),c,d 为常数； (3)若X 与Y 独立，则E(XY)=E(X)E(Y)。
概率论与数理统计随机变量的数字特征课件
03
通过数值模拟方法可以直观地 展示随机变量的分布情况，帮 助理解概率论与数理统计中的 概念和理论。
06
总结与展望
主要内容回顾
随机变量的概念与分类
常见随机变量的性质与 分布
01
02
03
随机变量的数字特征： 均值、方差、协方差等
04
大数定律和中心极限定 理的应用
存在的问题与不足之处
学生对概念的理解不够深入 ，容易混淆不同概念之间的
掷骰子
假设掷一个六面体的骰子，每个数字出现的概率为1/6。通过数值模拟方法计算在掷n次骰子时，每个 数字出现的次数。
结果解释与讨论
01
对于投掷硬币的实例，当n逐 渐增大时，正面和反面出现的 次数逐渐接近，符合理论上的 期望值。
02
对于掷骰子的实例，当n逐渐 增大时，每个数字出现的次数 也逐渐接近理论上的期望值。
相关系数
相关系数是协方差与两个随机变量方差的比值， 用于衡量两个随机变量的线性相关程度。
意义
协方差和相关系数可以反映两个随机变量之间的 线性相关程度，正值表示正相关，负值表示负相 关，值为0表示无关。
03
随机变量的矩与特征
矩的定义
01
矩：对于实随机变量X，其k阶原点矩定义为E[X^k]
，k为非负整数。
概率论与数理统计随机变量 的数字特征课件
目 录
• 随机变量的基本概念 • 随机变量的期望值与方差 • 随机变量的矩与特征 • 随机变量的函数与变换 • 随机变量的数值模拟与实例分析 • 总结与展望
01
随机变量的基本概念
随机变量的定义
定义
设E是随机试验，S是样本空 间，对于E的每一个样本点e ，都有唯一的实数X(e)与之对 应，则称X(e)为随机变量。
2-2随机变量的数字特征
称 xi pi为随机变量X的数学期望（简称期望），
i 1
也叫均值，记作EX . 即 E( X ) xk pk .
k 1
如果级数 | xi |pi ，称r.v.X的数学期望不存在。 i 1
关于定义的几点说明
(1) E(X)是一个实数,而非变量,它是一种加 权平均,与一般的平均值不同 , 它从本质上体现 了随机变量 X 取可能值的真正平均值, 也称 均值.
求E( X EX )2
01 2
16
3
10 10 10
解 EX 0 1 1 6 2 3 1.2 10 10 10
E( X EX )2 (0 1.2)2 1 (1 1.2)2 6 (2 1.2)2 3
10
10
10
0.36
练习：设r.v X的概率分布为
X 2 0 1 3
p
1 3 1 2 1 12 1 12
(2)r.v.Y的统计规律性（分布）完全由r.v.X的分布确定； 从而可根据Y的分布求出EY.
（3）也可以不求Y的分布，直接由 r.v.X的分布求EY .
(2) r.v.函数的期望
定理2.1设X是一个随机变量，g( x)是任意实函数，
（1）若X 是离散型随机变量，概率分布为
P{ X xi } pi , i 1, 2,L .
击中环数 8 9 10
概率
0.2 0.5 0.3
试问哪个射手技术较好?
解 设甲,乙射手击中的环数分别为 X1, X 2 . E( X1) 8 0.3 9 0.1 10 0.6 9.3(环), E( X2 ) 8 0.2 9 0.5 10 0.3 9.1(环),
平均起来甲射手每枪击中9.3环,乙射手每枪击中 9.1环.因此甲射手的本领要高一些.
第四章 随机变量的数字特征,契贝晓夫不等式
第四章 随机变量的数字特征，契贝晓夫不等式一、随机变量的数学期望设ξ是一连续型随机变量，密度函数为()p x ，取分点： 011n x x x +<<<则随机变量ξ落在1(,)i i i x x x +∆=中的概率为 1()()i ix i x p x p x dx ξ+∈∆=⎰当i x ∆相当小时，就有()(),0,1,i i i p x p x x i n ξ∈∆≈∆=这时，分布列为010011()()()nn n x x x p x x p x x p x x ⎛⎫⎪∆∆∆⎝⎭的离散型随机变量可以看作是ξ的一种近似，而这个离散型随机变量的数学期望为1()niiii x p x x =∆∑它近似地表达了连续型随机变量ξ的平均值，当分点愈密时，这种近似就愈好，又数学分析知上述和式以积分()xp x dx ∞-∞⎰为极限，因而有下述定义定义3.7设ξ是一个连续型随机变量，密度函数为()p x ，当()x p x dx ∞-∞<∞⎰时,称ξ的数学期望存在，且 ()E xp x dx ξ∞-∞=⎰同离散型随机变量一样，数学期望E ξ是ξ的可能取值（关于概率）的平均. 例3.17 设ξ在[,]a b 上均匀分布，求E ξ.1,()0,a x b p x b a ⎧≤≤⎪=-⎨⎪⎩其它故211|22bb a ax a b E x dx b a b a ξ+===--⎰因为ξ在[,]a b 上均匀分布，它取值的平均值当然应该在[,]a b 的中间，也就是2a b+. 例3.18 设ξ的密度函数是参数为λ的指数分布，求E ξ. 解x x E x e dx xde λλξλ∞∞--==-⎰⎰1x e dx λλ∞-==⎰指数分布是有用的“寿命分布”之一，由上述计算可知，一个元器件的寿命分布如果是参数为λ的指数分布，则它的平均寿命为1λ.如果某元件的寿命为10(1,2,)kk =小时，则相应的10kλ-=，在电子工业中就称该产品是“k 级”产品.由此可知，k 越大，则产品的平均寿命越长，使用也就越可靠。
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( E ) ( E ) E[ ] E ( * * ) =Cov( * , * ) D D
E * E , D D
*
E ( * E * ) ( * E * )
称对 与 进行“标准化”.
E 0, E 0
E (11 ) D D
1 E (11 ) 0
t0 0 1 t0 0
独立性与相关性的关系
若
, 相互独立,则
E( E )( E ) 0
Cov( , )=E( E )( E ) 0
Cov( , ) = 0 D D
为 r.v 的数学期望 (期望、均值)
注意离散型和连续型 的形式一致性
若
| x | p( x)dx , 则称
E 不存在.
18
数学期望是描述随机变量取值的平均的一个数字特征。
方差是描述随机变量离开它的期望值的偏离程度的 一个数字特征。
视为
f ( ) ( E )2 的数学期望
E xp ( x)dx
方差是描述随机变量离开它的期望值的偏离程度的 一个数字特征。
D E 2 ( E )2
方差的性质
(1) DC=0 (2) D(ξ+C)=Dξ, C为常数； (3) D(Cξ)=C2Dξ, C为常数； (4) 若ξ与η独立，则D(ξ+η)=Dξ+Dη.
, 相互独立 0
p( x, y) p ( x) p ( y) 0
Cov( , )=E( E )( E ) 1+1阶中心混合矩
总结：
1. 求期望、方差及性质
2. 切比雪夫不等式
3. 协方差及相关系数
0
而 所以 所以
t0 ( E ) ( E ) 0
P153
(3.72)
t0 E t0 E
所以
1
线性关系
相关系数 是刻画ξ与η间线性相关程度的一 个数字特征。
g (t ) E (t1 1 ) t E 2t E (11 ) E 0
2 2 t 2
2
e
( x )2 2 2
2
dx
t e
dt 2
(t )de
2 t 2
2 t 2
[(t )e 2
2 t 2
| e dt ]
25
2
数学期望是描述随机变量取值的平均的一个数字特征。
x e
2
x 0
2 0 xe
+
x
dx
2
2
D E 2 ( E ) 2 2 1 2 1 2 ( ) 2
24
D ( x ) P( x)dx
2
t
x
1 2
2 2 2
( x )
2
D E ( E )
2
1 ( x a) 2 xa 2 p( x)dx 2 ( x a) p( x)dx
N (0, ) P117
2
补充: 已知某种股票每股价格ξ的平均值 为1元，标准差为0.1元，求a(>0),使股价超 过1+a元或低于1-a元的概率小于10%。 解:由切比雪夫不等式
D E 2 ( E )2
D E ( E ) E 2 2E ( E ) ( E )2
2
E 2 E E ( E )
2
2
E 2 ( E )2
解
E (a b) / 2
, 的密度为
1 ,a x b b a p( x) 0, 3 3 2 b 2 ab b 2 b a x 2 a E a b a dx 3(b a) 3
若
1 , 2 , , n 独立,则
D(1 2 n) D1 D2 Dn
D E ( E )2
切比雪夫不等式：
用来研究随机变量偏差 E 与方差之 间的关系式.
P( a ) xa p( x)dx
0.01 P(| 1| a) 2 a
2
0.1
a 0.1 a 0.32
利用切比雪夫不等式可以证明：（3.72）
充分性：显然成立. 必要性：已知方差为0.
方差是描述随机变量离开它的期望值的偏离程度的 一个数字特征。
D E ( E ) , P( E ) 1, a E .
E xp( x)dx 0 x e
x
dx
0 xde
x 0
x
1 e dx
7
E xp( x)dx
x
1 e 2
( x )2 2 2
e dz 2
dx
2 z 2
若
则
, 不相关.
,
不一定. 可能存 不相关，它们是否独立？ 在其他函数关系.
（1）不相关：绝对值关系非线性关系
（2）不独立：存在绝对值关系,并非相 互独立
结论： 若
若
,
相互独立,则
, 不相关.
, 不相关，它们不一定相互独立.
2 1 2 2
( , ) ~ N (a1, a 2, , , )
xp ( x)dx yp ( y)dy E E
（1） 设 a1 , a2 , , an 为常数
n
, 1 , 2 , , n 为r.v,则
n i 1
E ( aii ) ai Ei
i 1
（2） 设 1 , 2 , , n 相互独立,则
D E ( E )
2
2
2 ab b 2 a a b 2 ( ) 3 2
(b a)2 12
23
解
e , x 0 p ( x) 0 , x0
x
1 E
+
E 0 x e
2
2
+
x
dx 0 x 2 de x
2
2 2
E1 0,
E1 0,
2
D D1 E1 ,
D D1 E12 ,
1
g (t ) E (t1 1 )2 t 2 E12 2t E (11 ) E12
[ E (11 )]2 E12 E12
2 2 2 1 2 1
g (t ) E (t1 1 ) t E 2t E (11 ) E
2 2 2 1
2 1
1
[ E (11 )]2 E12 E12
0
E (11 ) t0 E 12
E ( E )( E ) D D
E( ) E E
证 记( , )密度函数为p( x, y),
密度函数为p ( x), 密度函数为p ( y)
, 独立 p( x, y) p ( x) p ( y)
E ( ) xyp( x, y)dxdy
xyp ( x) p ( y)dxdy
i 1
的密度函数为
1 , a x b b a p( x) 其他 0,
E xp( x)dx
x a b a dx
b
b a a b 1 ba 2 2
2 2
6
e x , x 0 p ( x) 0 , x0
若
| x | p( x)dx , 则称
E 不存在.
4
P( x) P( ai)
ai x
P( x) p( y)dy
x
P( ai) 1
i 1
p( x)dx 1
E xp ( x)dx
E ai pi
为 r.v 的数学期望 (期望、均值).
1
i 1
i 1
P( xi ) xi p( x)dx
xi1
若级数
i 0
| xi | p ( xi) xi ,则
i 0
xi p( xi )xi
xi 0,
i 0
xi p( xi )xi xp ( x)dx
Cov( , ) 0
, 必不独立 , 之间必存在某种“关系”
Cov(k , k ) k 2 Cov( , )
Cov( , )=E( E )( E )
( E ) ( E ) E[ ] D D
N ( , )
2
| x | p( x)dx
设 r.v 的概率密度函数为 p( x), 若 则称
| x | p( x)dx
E xp ( x)dx
E ai pi
i 1
为 r.v 的数学期望 (期望、均值)
注意离散型和连续型 的形式一致性
0
故 E 不存在.
p( x) 1 1 2 , x 1 x
柯西（Chauchy)分布：在物理学中的重 要性很大一部分归因于它是描述受迫共 振的微分方程的解。
10
随机变量函数的数学期望 f ( )