《幂函数》课件解析
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《幂函数》PPT课件
2 log2
1 22
1 2
练习2 :已知f ( x) m m 1 x
2
m 3
是幂函数，
求m的值。
解 : 因为f ( x)是幂函数
m m 1 1
2
解之得: m 2或m 1
m 2或m 1
加条件 :已知f ( x) m m 1 x
2
（4）y 3
x
（3）y 2x
（5）y x 1 1 （6）y x
2
练习1：已知幂函数f(x)的图像经过点 （2，2）， 试求出这个函数的解析式。
证明: 设所求的幂函数为 yx 函数的图像过 (2， 2 )点
2 2 ,
α log2
f ( x)
1 x2
证明幂函数 f ( x) x 在［0，+∞）上是增函数.
用定义证明函数的单调性的步骤:
x x2 x1＞0 (1). 取数:设x1, x2是某个区间上任意二值，
(2). 作差: f(x2)－f(x1)， (3) 整理: (4). 分析 f(x1)－f(x2) 的符号； (5). 下结论.
yx
yx
2
1 -1 -1 O1
x
y
1 -1 O -1 1
R
x
[0，+∞） 偶函数
y
yx
yx
3
-1
1 -1
O
y 1
1
x
R
R
奇函数
1 2
1
-1 O 1 -1
x
[0，+∞） [0，+∞） (-∞,0)∪ (-∞,0)∪ (0,+∞) (0,+∞)
《数学幂函数》课件
《数学幂函数》PPT课件
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
# 数学幂函数
1. 概述
定义
幂函数是形如y = a^x的函数，其中a是常数，且 a大于0且不等于1。
性质
幂函数的图像可以是上升或下降的曲线，取决 于底数a的值。
2. 幂函数图像Biblioteka 一次幂函数一次幂函数的图像是一条直线，表达了线性关系。
平方函数
平方函数的图像是一个开口向上或向下的抛物线。
2 幂函数的不足
幂函数在某些情况下可能不适用，例如在自然现象的极端情况下或函数定义域的限制。
3 幂函数的发展历程
幂函数的研究历程涵盖了数学、物理、工程等多个领域，由早期的简单应用逐渐发展到 深入理论的探索。
立方函数
立方函数的图像是一个类似于字母"S"的曲线。
高次幂函数
高次幂函数的图像可能会出现多个极值点和变点。
3. 幂函数图像特征
1 斜率
2 凸凹性
幂函数的斜率与底数a有关，a大于1时斜率增 大，a小于1时斜率减小。
幂函数的凸凹性取决于底数a的奇偶性，a为 偶数时凹，为奇数时凸。
3 零点
幂函数的零点可能有多个，取决于方程 a^x=0的解个数。
幂函数在数学和物理领域的理论研究中起到重要作用，如熵函数和波函数等。
5. 习题解析
基础习题
1. 求解方程a^x = 1的解。 2. 画出y = a^x的图像，并分析其特征。
拓展习题
• 证明幂函数的导数与底数a的关系。 • 研究幂函数的渐近线与底数a的关系。
6. 总结
1 幂函数的优点
幂函数能够很好地描述非线性关系，对于一些复杂的现象具有较高的拟合度。
4 渐近线
幂函数的渐近线有两条，y轴为一条垂直渐近 线，x轴为一条水平渐近线。
高中数学《3.3幂函数》课件
的图像都
过点（1,1）
❖ 函数
是奇函数，函数
是偶函数
❖ 在区间
上，函数
是增函数，函数
是减函数
❖ 在第一向限内，函数
的图像向上与y轴无限的
接近，向右与x轴无限的接近。
例. 证明幂函数 f (x) x 在[0,+∞)上是增函数．
证明：任取x1,x2∈ [0,+∞)，且x1＜x2，则
f (x1) f (x2 ) x1 x2
则m的值为
课堂小结
❖ 了解幂函数的概念 ❖ 会画常见幂函数的图象
❖ 结合图像了解幂函数图象的变化情况和简 单性质
❖ 会用幂函数的单调性比较两个底数不同而 指数相同的幂的大小
单 调 性（-∞，0）减
（0，+∞）增
y
y x3
函数 y x3
定义域 R
O
x 值域 R
奇偶性 奇
单调性 增
y
1
y x2
函数
1
y x2
定义域[0,+∞)
O
x 值域 [0,+∞)
奇偶性非奇非偶
单调性 增
幂函数的性质
yx
1
y x2 y x3 y x2
y x1
(1,1)
幂函数的性质
❖ 函数
-1或4
规律 ❖
的系数是1
❖ 底数是单一的x
总结 ❖ 指数是常数
幂函数的定义
幂函数的定义：一般地函数 y x 叫做幂函数
其中x是自变量，α是常数。
对于幂函数，我们先讨论α=1,2,3，1 ,1 时的情景，
2
1
即先讨论函数 y x, y x2 , y x3, y x 2 , y x1
3.3 幂函数 课件(共48张PPT)高一数学必修第一册(人教A版2019)
1
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
(3) 在区间(0, )上,函数y x, y x2 , y x3 , y x 2单调递增, 函数y x1单调递减;
(4) 在第一象限内, 函数y x1的图象向上与y轴无限接近,向右与x轴 无限接近.
学习新知 例 证明函数f ( x) x是增函数.
证明：函数的定义域是[0, ). x1, x2 [0, ), 且x1 x2 ,
[0,+∞)递增
(-∞,0)和(0,+∞) 递减
图象
公共点
(1,1) ( R) (0,0) ( 0时)
①为偶数, y x是偶函 数. ②为—奇—数, y x是奇函 数.
3.3 幂函数
02 幂函数的图象 与性质
应用新知 1 幂函数的概念
一般地,函数y=xα叫做幂函数,其中x是自变量,α是常数.
本节我们利用这些知识研究一类新的函数．
学习新知
先看几个实例： (1)如果卢老师以1元/kg的价格购买了某种蔬菜t千克，那么他需要支付
的钱数P=t元，这里P是t的函数；
(2)如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S=a2，这里S是a的函数；
(3)如果立方体的棱长为b，那么立方体的体积V=b3，这里V是b的函数；
或
m＝0.
当
m＝2
时，f(x)＝
x
1 2
，图象过点(4,2)；
当
m＝0
时，f(x)＝
x
3 2
，图象不过点(4,2)，舍去．
综上，f(x)＝
x
1 2
.
能力提升 题型三：利用幂函数的单调性比较大小
【练习
3】已知幂函数
f(x)＝m2
2m
1
m 3
x2
的图象过点(4,2)．
高中数学必修一3.3幂函数-课件-人教A版
公共点
图象都过点(1,1)
性质总结
(1) 图像都过点（1，1)；
(2) y=x、y=x3、y=x-1是奇函数，y=x2是偶函
数；
1
(3) 在（0，+∞)上，y=x、y=x3、y=x2、y＝ x2单调递增，y=x-1单调递
(减4)；在第一象限内，y=x-1的图像向上与y轴无限接近，向右与x 轴无限接
高中数学人教A版（202X）必修第一册
3.3 幂函数
学习目标
幂函数定义的抽象
❖ 视察下面几个例子
❖ (1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付p=w元;
❖ (2)如果正方形的边长为a,那么正方形的面积 s=a2; ❖ (3)如果立方体的棱长为b,那么立方体的体积V=b3;
1
c S2
❖ (4)如果一个正方形场地的面积为S,那么这个正方形的边长c= S
❖ (5)如果某人ts内骑车行进了1km,那么他骑车的平均速度v= 1 km/s . t
这5个关系式都是函数关系，若将它们的自变量全部用x来 表示,函数值用y来表示,则它们的函数关系式分别是
t v 1
问题1：视察这五个函数的解析式，能不能找出它们的共同特征？能不能用 一个通式来表示这一类函数？
新知探究
问题2 （1）对于一类新函数，我们需要从哪些方面入手去研究？ （2）你能根据以前研究函数的思路，提出研究幂函数的方法吗？
（1）函数的定义域、值域、单调性和奇偶性等． （2）通常先根据函数解析式求出函数的定义域，画出函数的图象；再 利用图象和解析式，讨论函数的值域、单调性、奇偶性等问题．
新知探究
yx
y x2
y
3
x
1
y x2
幂函数(共2课时)课件(共35张PPT)
3.3 幂函数
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
9
4
1
0
1
4
9
16
25
-27
-8
-1
0
1
8
27
00 前情回顾
在初中，我们学过“指数幂”，谁能回顾一下它的定义：
指数
求n个相同因数的积的运算，叫做 乘方，乘方的结果叫做幂。
幂
底数
读作“a的n次方”或“a的n次幂”
1 幂函数的概念
目
2 幂函数的图象与性质
录
3 题型－幂函数的应用
1 幂函数的概念
目 录
01 新知探究
探究1 根据下列情境，写出对应关系式，并分析是否为函数？
例2 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)＝_1_6__.
解：设f(x)＝xα，∵f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2， ∴f(x)＝x2，所以f(－4)＝(－4)2＝16.
03 题型2－ 幂函数的图象与性质
例3 若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则( B )
性质:
都过定点(1，1)；
练一练
A
练一练
练一练
例3 已知幂函数f(x)＝(m2－5m＋7)xm－1为偶函数，求f(x)的解析式？
解：由m2－5m＋7＝1可得m＝2或m＝3， 又f(x)为偶函数，则m＝3，所以f(x)＝x2.
练一练
目
录
3 题型－幂函数的应用
03 题型1－ 幂函数的概念
03 题型1－ 幂函数的概念
-1
0
1
2
3
4
5
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
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25
-27
-8
-1
0
1
8
27
幂函数教学讲解ppt课件
03
幂函数的运算性质及应用
幂函数的加法、减法、乘法运算性质
总结词：掌握幂函数的基本运算性质是 理解幂函数应用的基础。
3. 幂函数的乘法运算性质： $(a^m)(a^n)=a^{m+n}$
2. 幂函数的减法运算性质：$(a^m)(a^n)=a^m-a^n$
详细描述
1. 幂函数的加法运算性质： $(a^m)+(a^n)=a^m+a^n$
课堂练习题
练习1：求解下列函数的奇 偶性
$y=x^2,x \in (-1,1)$；
$y=x^3,x \in (-1,1)$。
解析：对于$y=x^2,x \in (1,1)$，因为$-1<x<1$，所 以$-x<-1<1$，因此有$f(x)=(-x)^2=x^2=f(x)$，即 该函数为偶函数；对于 $y=x^3,x \in (-1,1)$，因为 $-1<x<1$，所以$-x<1<1$，因此有$f(-x)=(x)^3=-x^3=-f(x)$，即该函 数为奇函数。
02
在日常生活中，我们经常遇到幂 函数的实例，例如人口增长、金 融投资、计算机科技等。
幂函数的概念及重要性
定义
形如y=x^n的函数称为幂函数， 其中x是自变量，n是实常数。
幂函数的重要性
掌握幂函数的性质和变化规律， 有助于解决各种实际问题，培养 数学思维和解决问题的能力。
学习目标与学习方法
学习目标
详细描述
介绍幂函数的阶乘定义，通过实例阐述排列组合的基本概念，例如，组合公式、 排列公式等。
幂函数的对数运算
总结词
掌握幂函数的对数运算性质
详细描述
说明幂函数与对数函数之间的关系，推导基于幂函数的对数运算法则，例如，log(a^b)=b*log(a)。
第三章3.3幂函数PPT课件(人教版)
1.幂函数的概念 一般地，函数 y=xα 叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数. 2.幂函数的图象和性质
拓展：对于幂函数y＝xα(α为实数)有以下结论： (1)当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增；(2)当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单 调递减；(3)幂函数在第一象限内指数的变化规律：在直线x＝1的右侧，图象从 上到下，相应的幂指数由大变小.
已知 n 取±2，±12四个值，则相应于 C1，C2，C3，C4 的 n 依次为(
)
A.－2，－12，12，2
B.2，12，－12，－2
C.－12，－2，2，12
D.2，12，－2，－12
解析 根据幂函数 y＝xn 的性质，在第一象限内的图象当 n>0 时，n 越大，y＝xn
递增速度越快，故 C1 的 n＝2，C2 的 n＝12；当 n<0 时，|n|越大，曲线越陡峭，所
奇偶性 _奇___
_偶___
_奇___ __非__奇__非__偶__
__奇__
x∈[0，＋∞)， 单调性 _增___ __增__
x∈(－∞，0]， __减__
_增___
__增__
x∈(0，＋∞)，_减___ x∈(－∞，0)，_减___
公共点
都经过点（__1_，__1_）___
教材拓展补遗
[微判断] 1.函数y＝－x2是幂函数.( × )
【训练1】 若函数f(x)是幂函数，且满足f(4)＝16，则f(－4)的值等于________. 解析 设f(x)＝xα，因为f(4)＝16，∴4α＝16，解得α＝2，∴f(－4)＝(－4)2＝16. 答案 16
题型二 幂函数的图象及其应用 关键取决于α>0，α<0
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-3
-4
探究：观察幂函数图象，将你发现的结论填在下面表格内：
1
y = x y = x2 y = x3 y x 2
y x1
定义域 R
R
值域 R
[0，+∞） 在（－∞,0]
上是减函
单调性 R上是 数，在(0, 增函数 +∞）上是
增函数
R [0，+∞） ，0 （0，+） R [0，+∞） ，0 （0，+）
绝对值越调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
2
2.5 5
与
2
2.7 5
例2、已知幂函数 y m2 x2m1 在 (0,) 上 是减少的，则实数m的值是____
幂函数
同学们观察下面五个函数发现 它们的共性？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量x为底； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。
发现：上面涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
一、定义
说明: 1、对于幂函数特别讨论
(-2,4)
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
y=x1
-2
(-1,-1) -1
-2 -3
2
4
6
从图象能得出它 们的性质吗?
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1) 在第一象限内， -2 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降。
4. 在第一象限内，过（1,1）点后， 图像向上方无限伸展
α>1 0<α<1
α<0
当α<0 时：
1.图像都通过点（1，1）； 2.在第一象限内，函数值随x 的增大而
减小，图像是向下凸的； 3.在第一象限内，图像向上与y 轴无限
地接近，向右与 x轴无限地接近； 4.在第一象限内，过（1,1）点后，α的
=1，2，3，1
，-1
时的情形。
2
2、幂的底数是自变量x，而不是关于x的代数式； 幂的指数是一个常数，他可以取任意实数。
3、幂函数的系数为1，只有一项。
练习1
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y x4
(2) y x2
(3) y 2x2 (5) y x3 2
(4) y
1 x2
(6) y 1
R上是 增函数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)和 (0, +∞）上 是减函数
公共点
（1，1）
三、幂函数的性质:
当α>0 时：
1. 图像都通过点（0,0）和（1,1）；
2.在第一象限内，函数值随x 的增大 而增大；
3.在第一象限内，当α>1 时图像是向 下凸的；0 < α <1时图像是上凸的
1
(7) y x 2
练习2
1、已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2),
试求出这个函数的解析式.
1
y x2
解析：已知函数解析式类型求解析式， 采用待定系数法
2、如果函数 f (x) (m2 m 1) xm 是幂函数，求
m的值。
m 1或m 2
二、五个常用幂函数的图象
y x2 y x3
-4
探究：观察幂函数图象，将你发现的结论填在下面表格内：
1
y = x y = x2 y = x3 y x 2
y x1
定义域 R
R
值域 R
[0，+∞） 在（－∞,0]
上是减函
单调性 R上是 数，在(0, 增函数 +∞）上是
增函数
R [0，+∞） ，0 （0，+） R [0，+∞） ，0 （0，+）
绝对值越调性判断下列各值的大小。
（1）5.20.8 与 5.30.8
（2）0.20.3 与 0.30.3
（3）
2
2.5 5
与
2
2.7 5
例2、已知幂函数 y m2 x2m1 在 (0,) 上 是减少的，则实数m的值是____
幂函数
同学们观察下面五个函数发现 它们的共性？
(1) y=x (2) y=x2 (3) y=x3 (4) y=x1/2 (5) y=x-1
（1）都是函数；
（2）均是以自变量x为底； （3）指数为常数； （4）自变量前的系数为1。
发现：上面涉及的函数，都是形如y=xα的函数。
一、定义
说明: 1、对于幂函数特别讨论
(-2,4)
4
(2,4)
3
y=x
2
(-1,1) 1
(1,1)
1
y x2
-4
y=x1
-2
(-1,-1) -1
-2 -3
2
4
6
从图象能得出它 们的性质吗?
(-2,4)
4
y=x3 (2,4)
y=x2
3
y=x
1
y=x 2
2
(4,2)
1
(-1,1)
(1,1)
y=x-1
-6
-4
-2
2
4
6
-1
(-1,-1) 在第一象限内， -2 当k>0时，图象随x增大而上升。 当k<0时，图象随x增大而下降。
4. 在第一象限内，过（1,1）点后， 图像向上方无限伸展
α>1 0<α<1
α<0
当α<0 时：
1.图像都通过点（1，1）； 2.在第一象限内，函数值随x 的增大而
减小，图像是向下凸的； 3.在第一象限内，图像向上与y 轴无限
地接近，向右与 x轴无限地接近； 4.在第一象限内，过（1,1）点后，α的
=1，2，3，1
，-1
时的情形。
2
2、幂的底数是自变量x，而不是关于x的代数式； 幂的指数是一个常数，他可以取任意实数。
3、幂函数的系数为1，只有一项。
练习1
判断下列函数是否为幂函数。
(1) y x4
(2) y x2
(3) y 2x2 (5) y x3 2
(4) y
1 x2
(6) y 1
R上是 增函数
在(0，+∞) 上是增函数
在( －∞,0)和 (0, +∞）上 是减函数
公共点
（1，1）
三、幂函数的性质:
当α>0 时：
1. 图像都通过点（0,0）和（1,1）；
2.在第一象限内，函数值随x 的增大 而增大；
3.在第一象限内，当α>1 时图像是向 下凸的；0 < α <1时图像是上凸的
1
(7) y x 2
练习2
1、已知幂函数y f (x)的图象过点(2, 2),
试求出这个函数的解析式.
1
y x2
解析：已知函数解析式类型求解析式， 采用待定系数法
2、如果函数 f (x) (m2 m 1) xm 是幂函数，求
m的值。
m 1或m 2
二、五个常用幂函数的图象
y x2 y x3