第09篇二重积分(习题)

第九章 二重积分习题9-1 1、设⎰⎰+=13221)(D d y xI σ,其中}22,11|),{(1≤≤-≤≤-=y x y x D ;又⎰⎰+=23222)(D d y xI σ,其中}20,10|),{(2≤≤≤≤=y x y x D ,试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系.解：由于二重积分1I 表示的立体关于坐标面0=x 及0=y 对称,且1I 位于第一卦限部分与2I 一致,因此214I I =.2、利用二重积分的几何意义说明:(1)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,即),(),(y x f y x f -=-时,有0),(=⎰⎰Dd y x f σ;(2)当积分区域D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,即),(),(y x f y x f =-时,有⎰⎰⎰⎰=1),(2),(D Dd y x f d y x f σσ,其中1D 为D 在0≥x 的部分.并由此计算下列积分的值,其中}|),{(222R y x y x D ≤+=.(I)⎰⎰D d xy σ4; (II)⎰⎰--D d y x R y σ222; (III)⎰⎰++Dd y x xy σ2231cos . 解：令⎰⎰=Dd y x f I σ),(,⎰⎰=1),(1D d y x f I σ,其中1D 为D 在0≥x 的部分,(1)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的奇函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积为1I -,于是0=I ;(2)由于D 关于y 轴对称,),(y x f 为x 的偶函数,那么I 表示的立体关于坐标面0=x 对称,且在0≥x 的部分的体积为1I ,在0<x 的部分的体积也为1I ,于是12I I =.(I)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于y 轴对称,且4),(xy y x f =为x 的奇函数, 于是04=⎰⎰Dd xy σ;(II)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x轴对称,且222),(y x R y y x f --=为y 的奇函数,于是0222=--⎰⎰Dd y x R y σ;(III)由于}|),{(222R y x y x D ≤+=关于x 轴对称,且2231cos ),(y x xy y x f ++=为y 的奇函数,于是01cos 223=++⎰⎰Dd y x xy σ.3、根据二重积分的性质,比较下列积分的大小: (1)⎰⎰+=Dd y x I σ21)(与⎰⎰+=Dd y x I σ32)(,其中D 是由x 轴、y 轴与直线1=+y x 所围成;解：由于在D 内,10<+<y x ,有23)()(0y x y x +<+<,所以1232)()(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.(2)⎰⎰+=Dd y x I σ)ln(1与⎰⎰+=Dd y x I σ22)][ln(,其中}10,53|),{(≤≤≤≤=y x y x D .解：由于在D 内,63<+<<y x e ,有1)ln(>+y x ,2)][ln()ln(y x y x +<+,所以221)][ln()ln(I d y x d y x I DD=+<+=⎰⎰⎰⎰σσ.4、利用二重积分的性质估计下列二重积分的值：(1)⎰⎰++=Dd y x xy I σ)1(,其中}20,10|),{(≤≤≤≤=y x y x D ；解：由于D 的面积为2,且在D 内,8)1(0<++<y x xy ,那么1628)1(200=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x xy σ.(2)⎰⎰++=Dd y xI σ)94(22,其中}4|),{(22≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为π4,且在D 内,25313949222≤+≤++≤y y x ,那么ππσππ100425)94(493622=⨯<++<⨯=⎰⎰Dd y x .(3)⎰⎰++=Dy x d I 22cos cos 100σ, 其中}10|||| |),{(≤+=y x y x D ； 解：由于D 的面积为200,且在D 内, 1001cos cos 1001102122≤++≤y x ,那么 2100200cos cos 1001022005110022=<++<⎰⎰D y x d σ＝.习题9-21、计算下列二重积分： (1)⎰⎰+Dd y xσ)(22,其中D 是矩形区域: 1||,1||≤≤y x ；解：38)31(2)()(11211112222=+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰---dx x dy y x dx d y x Dσ.(2)⎰⎰+Dy x d xye σ22,其中},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=；解：⎰⎰⎰⎰⎰-==++b a x c d badcy x Ddx xe e e dy xye dx d y x 22222)(21)()(22σ.))((412222c d a b e e e e --=. (3)⎰⎰+Dd y x σ)23(,其中D 是由两坐标轴及直线2=+y x 所围成的闭区域；解：320)224()23()23(22220=-+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰-dx x x dy y x dx d y x x Dσ. (4)⎰⎰+Dd y x x σ)cos(,其中D 是顶点分别为)0,(),0,0(π和),(ππ的三角形闭区域. 解：πσππ23)sin 2(sin )cos()cos(000-=-=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dx x x x dy y x x dx d y x x x D.2、画出积分区域,并计算下列二重积分： (1)⎰⎰Dd y x σ,其中D 是由两条抛物线2,x y x y ==所围成的闭区域； 解：556)(3210447102=+==⎰⎰⎰⎰⎰dx x x dy y x dx d y xxxDσ.(2)⎰⎰Dd x yσ,其中D 是由直线x y x y 2,==及2,1==x x 所围成的闭区域； 解：492321212===⎰⎰⎰⎰⎰xdx dy x y dx d x y x x Dσ.(3)⎰⎰+Dd y x σ)2(,其中D 是由x y x y 1,==及2=y 所围成的闭区域； 解：619)112()2()2(2122211=--=+=+⎰⎰⎰⎰⎰dy y y dx y x dy d y x y y Dσ.(4)⎰⎰+D yx d eσ,其中D 是由1||||≤+y x 所确定的闭区域.解：⎰⎰⎰⎰⎰⎰+--+-+--+++=1011111x x y x x x yx Dyx dy e dx dy edx d eσee e e e e dx e e dx e ex x 1212232)()(101201112-=++-=-+-=⎰⎰---+.a:=0..1;b:=x-1..-x+1; f:=exp(x+y); int(f,y=b);int(int(f,y=b),x=a); simplify(");3、如果二重积分⎰⎰Dd y x f σ),(的被积函数),(y x f 是两个函数)(1x f 及)(2y f 的乘积,即)()(),(21y f x f y x f =,积分区域},|),{(d y c b x a y x D ≤≤≤≤=,证明这个二重积分等于两个单积分的乘积,即12(,)()()b da c Df x y d f x dx f y dy σ⎡⎤⎡⎤=⋅⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.证明：⎰⎰⎰⎰⎰⎰==b adcb ad cDdy y f x f dx dx y x f dx d y x f )()(),(),(21σ1212()()()()bd b dac a c f x f y dy dx f x dx f y dy ⎡⎤⎡⎤⎡⎤==⋅⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎰⎰⎰⎰.4、化二重积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(为二次积分(分别列出对两个变量先后次序不同的两个二次积分),其中积分区域D 是：(1)由曲线x y ln =、直线2=x 及x 轴所围成的闭区域；>plot([ln(x),0,[[2,0],[2,ln(2)]]],x=0..2,y=0..0.8,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰==2ln 0221ln 0),(),(y exdx y x f dy dy y x f dx I .(2)由y 轴及右半圆22y a x -=所围成的闭区域；>plot([(1-x^2)^(1/2), -1*(1-x^2)^(1/2)],x=0..1, color=1);解：⎰⎰⎰⎰-----==aay a a xa x a dx y x f dy dy y x f dx I 2222220),(),(.(3)由抛物线2x y =与直线32=+y x 所围成的闭区域.> plot([x^2, 3-2*x],x=-3..1, color=1);解：319201(,)(,)y yyyI dy f x y dx dy f x y dx ---=+⎰⎰⎰⎰.5、改换下列二次积分的积分顺序： (1)⎰⎰1),(yydx y x f dy ；解：⎰⎰=102),(xx dy y x f dx I .(2)⎰⎰1),(e ey dx y x f dy ；解：⎰⎰=e xdy y x f dx I 1ln 0),(.(3)⎰⎰-+-11122),(y ydx y x f dy ；解：⎰⎰--=21222),(x x xdy y x f dx I .(4)⎰⎰⎰⎰-+21201),(),(2xx dy y x f dx dy y x f dx ；解：⎰⎰-=12),(y ydx y x f dy I .(5)⎰⎰-πsin 2sin),(xx dy y x f dx ；> plot([sin(x),-sin(x/2),[[Pi,0],[Pi,-1]]], x=0..Pi,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰---+=1arcsin arcsin 01arcsin 2),(),(yyydx y x f dy dx y x f dy I ππ.(6)⎰⎰⎰⎰--+21202022),(),(2xaaxx ax dy y x f dx dy y x f dx .> plot([(2*x-x^2)^(1/2),(2*x)^(1/2),[[2,0],[2,2]]], x=0..2,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+--+=aay a a ay a a aydx y x f dy dx y x f dy I 020222222),(),(⎰⎰+a aaay dx y x f dy 2222),(.6、设平面薄片所占的闭区域D 由直线x y y x ==+,2和x 轴所围成,它的面密度22),(y x y x +=ρ,求该改薄片的质量.> plot([2-x,x], x=0..2,y=0..1,color=1); 解：⎰⎰⎰⎰-+==10222)(),(xyDdx y x dy d y x m σρ34)384438(1032=-+-=⎰dy y y y .7、求由平面1,1,0,0=+===y x z y x 及y x z ++=1所围成的立体的体积.> with(plots):A:=plot3d([x,y,1],x=0..1,y=0..1-x):B:=plot3d([x,1-x,z],x=0..1,z=1..2):F:=plot3d([x,0,z],x=0..1,z=1..1+x):G:=plot3d([0,y,z],y=0..1,z=1..1+y):H:=plot3d([x,y,1+x+y],x=0..1,y=0..1-x): display({A,B,F,G,H},grid=[25,20], axes= BOXED , scaling=CONSTRAINED,style= PATCHCONTOUR); 解：⎰⎰⎰⎰⎰=-=+=-++=-102101031)1(21)(]1)1[(dx x dy y x dx d y x V xDσ.8、为修建高速公路,要在一山坡中辟出一条长m 500,宽m 20的通道,据测量,以出发点一侧为原点,往另一侧方向为x 轴(200≤≤x ),往公路延伸方向为y 轴(5000≤≤y ),且山坡高度为x y z 20sin500sin10ππ+=,试计算所需挖掉的土方量.> plot3d(10*sin(Pi*y/500)+ sin(Pi*x/20),y=0..500,x=0..20); 解：)(70028)20sin500sin10(3200500m dy x y dx zd V D=+==⎰⎰⎰⎰ππσ.9、画出积分区域,把积分⎰⎰=Dd y x f I σ),(表示为极坐标形式的二次积分,其中积分区域D 是：(1))0( }0,|),{(222>≥≤+=a x a y x y x D ；> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2)], x=0..1,color=1);解：⎰⎰-=220)sin ,cos (ππθθθardr r r f d I .(2)}2|),{(22y y x y x D ≤+=；> plot([1+(1-x^2)^(1/2), 1-(1-x^2)^(1/2)], x=-1..1,color=1);解：y y x 222=+⇔θsin 22r r =⇔θsin 2=r ,于是⎰⎰=πθθθθ0sin 20)sin ,cos (rdr r r f d I .(3)}|),{(2222b y x a y x D ≤+≤=,其中b a <<0；> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：⎰⎰=πθθθ20)sin ,cos (bardr r r f d I .(4)}0,10|),{(2x y x y x D ≤≤≤≤=.> plot([x^2,[[1,0],[1,1]]], x=0..1,color=1);解：2x y =⇔θθ22cos sin r r =⇔θθtan sec =r ,1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是⎰⎰=40sec tan sec )sin ,cos (πθθθθθθrdr r r f d I .10、化下列二次积分为极坐标形式的二次积分： (1)⎰⎰11),(dy y x f dx ；> plot([[0,0],[0,1],[1,1],[1,0],[0,0]],color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,1=y ⇔1sin =θr ⇔θcsc =r ,于是⎰⎰⎰⎰+=24csc 040sec 0)sin ,cos ()sin ,cos (ππθπθθθθθθθrdr r r f d rdr r r f d I .(2)⎰⎰--+111222)(x xdy y x f dx ；> plot([(1-x^2)^(1/2),1-x],x=0..1,color=1); 解：x y -=1⇔θθcos 1sin r r -=⇔θθcos sin 1+=r ,于是⎰⎰+=201cos sin 1)(πθθθrdr r f d I .11、把下列积分为极坐标形式,并计算积分值： (1)⎰⎰-+ax ax dy y x dx 2020222)(；> plot((2*x-x^2)^(1/2), x=0..2,color=1); 解：22x ax y -=⇔θθθ22cos cos 2sin r ar r -=⇔θcos 2a r =,于是 4204420cos 20343cos 4a adr r d I a πθθππθ===⎰⎰⎰.(2)⎰⎰+13221xxdy yx dx ；> plot([3^(1/2)*x,x], x=0..1,color=1);解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是2132lnsec 3434sec 0++===⎰⎰⎰ππππθθθθd dr d I .(3)⎰⎰⎰⎰-+++a a x a a x dy y x dx dy y x dx 230222303302222.> plot([3^(1/2)*x/3, (1-x^2)^(1/2)],x=0..1,y=0..0.5,color=1); 解：1=x ⇔1cos =θr ⇔θsec =r ,于是3603602183a d a dr r d I aπθθππ===⎰⎰⎰.12、利用极坐标计算下列各题： (1)⎰⎰--D d y x R σ222,其中D 为圆域Rx y x ≤+22(0>R )；> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：Rx y x =+22⇔θcos 2Rr r =⇔θcos R r =,于是)34(31322cos 022-=-=⎰⎰-πθππθR rdr r R d I R .(2)⎰⎰++Dd y xσ)1ln(22,其中D 为圆122=+y x 及坐标轴所围成的在第一象限内的闭区域；> plot((1-x^2)^(1/2),x=0..1,color=1);解：)12ln 2(4)1ln(2012-=+=⎰⎰πθπrdr r d I .(3)⎰⎰Dd xyσarctan,其中D 为圆周122=+y x ,422=+y x 及直线x y y ==,0所围成的在第一象限内的闭区域.> plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2), (4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2),x],x=-2..2,y=0..2^(1/2),color=1);解：240402164323πθθθθππ===⎰⎰⎰d rdr d I .13、选择适当的坐标计算下列各题： (1)⎰⎰Dd yx σ22,其中D 是直线x y x ==,2及曲线1=xy 所围成的闭区域； > plot([x,1/x,[[2,1/2],[2,2]]],x=0..2,y=0..2,color=1); 解：49)(21321122=-==⎰⎰⎰dx x x dy y x dx I xx. (2)⎰⎰+Dd y x σ22sin ,其中D 是圆环形区域22224ππ≤+≤y x ； > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：22026sin πθπππ-==⎰⎰rdr r d I .(3)⎰⎰+Dd y x σ)(22,其中D 是由直线a y a y a x y x y 3,,,==+==(0>a )所围成的闭区域；> plot([[0,1],[1,1],[3,3],[2,3],[0,1]],x=0..3,y=0..3,color=1); 解：4332232214)32()(a dx a y a ay dx y x dy I aaaayay =+-=+=⎰⎰⎰-.(4)⎰⎰--Dd y x σ|1|22,其中D 为圆域422≤+y x . > plot([(1-x^2)^(1/2),-(1-x^2)^(1/2),(4-x^2)^(1/2),-(4-x^2)^(1/2)], x=-2..2,color=1); 解：πππθθππ5292)1()1(2021220102=+=-+-=⎰⎰⎰⎰rdr r d rdr r d I .14、计算以xOy 面上的圆周ax y x =+22围成的闭区域为底,而以曲面22y x z +=为顶的曲顶柱体的体积.> plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1); 解：ax y x =+22⇔θcos 2ar r =⇔θcos a r =,于是4224422cos 0322323cos 4)(a d a dr r d d y x V a Dπθθθσππππθ===+=⎰⎰⎰⎰⎰--.15、某水池呈圆形,半径为5米,以中心为坐标原点,距中心距离为r 处的水深为215r+米,试求该水池的蓄水量. > plot([(x-x^2)^(1/2),-(x-x^2)^(1/2)],x=0..1,color=1);解：29.16)13ln 2(ln 51520502=+=+=⎰⎰πθπrdr r d V (米3).16、讨论并计算下列广义二重积分：(1)⎰⎰Dq p y x d σ,其中}1,1|),{(≥≥=x xy y x D ； 解：))(1(11111011111p q q dx x q dy y x dx I q p q p q xq p --===-====>-+∞+->+∞+∞⎰⎰⎰. 即当1>>q p 时,广义二重积分收敛,且))(1(1q p q I --=.(2)⎰⎰+Dp y x d )(22σ,其中}1|),{(22≥+=y x y x D ； 解：1111220112-=====>-+∞-⎰⎰p dr r d I p p πθπ.即当1>p 时,广义二重积分收敛,且1-=p I π.。