陕西师范大学高等代数考研试题汇编(2002-2011)(11有答案,缺09-10)

2006年招收攻读硕士学位研究生入学考试业务课试题

适用专业名称：

考试科目名称： 高等代数

科目代码： 注意事项： 1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。 2、除答题纸上规定的位置外，不得在卷面上出现姓名、考生编号

或其它标志，否则按违纪处理。

3、本试题共 页，满分 分，考试时间180分钟。

一.计算行列式. 12

3x x

x x x x x x x

x x x x x x x n ++++L L L M

M M M L

二.设且证明:()()()()()()11,,f x af x bg x g x cf x dg x =+=+0,ad bc -≠ ()()()()()()111

,,.f x g x f x g x =三.求齐次线性方程组的基础解系及通解.

12345123451

234512345325270,647450,322110,644130.

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ++++=⎧⎪++++=⎪⎨+-+-=⎪⎪+++-=⎩四.设为矩阵,证明:秩秩+秩.

,A B s n ⨯()A B +≤()A ()B 五.设是一实二次型,是级实对称矩阵()'12,,,n f x x x X AX =L 12,,,n λλλL n 的特征值,且证明:对任意有A 12,n λλλ≤≤≤L ,n X R ∈

'''1.n X X X AX X X λλ≤≤

六.证明每个维线性空间都可表示为个一维子空间的直和.

n n 七.设是维线性空间上的幂等线性变换,即试证:

σn V 2,σσ=(1) 的特征值只能是0和1.

σ(2)

Im .V Ker σσ=⊕八.求矩阵的若当标准形及相似变换矩阵,使得126103114--⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪--⎝⎭

J P

1.P AP J -=九,设是欧氏空间的一个变换,证明:如果保持内积不变,即对于任T V T 意那么它一定是线性的,因而是正交变换.

()(),,,,,V T T αβαβαβ∈=

2004年招收攻读硕士学位研究生入学考试业务课试题

适用专业名称：

考试科目名称： 高等代数

科目代码： 注意事项： 1、请将答案直接做到答题纸上，做在试题纸上或草稿纸上无效。 2、除答题纸上规定的位置外，不得在卷面上出现姓名、考生编号

或其它标志，否则按违纪处理。

3、本试题共 页，满分 分，考试时间180分钟。

一.计算行列式

2

111112111

1121111121

11112

----------二.证明:如果则的根只能是零或单位根.

()(),n f x f x ()f x 三.设为阶矩阵,且满足及证明

,A B n 22,A A B B ==()2,A B A B +=+0.AB =四.设是矩阵,证明,对任意的维非零列向量,A s n ⨯(),rank A s n =

A 五.设是矩阵,其中

()ij A a =n n ⨯ ,1,ij a i j a i j ≠⎧=⎨=⎩

(1) 求行列式的值,这里表示矩阵的行列式.

det A det A A (2) 设求的维数及的一组基.

{}0,W X AX ==W W

六.已知二次型

()222123123121323,,444444,f x x x x x x x x x x tx x =-----+(1)为何值时,二次型是负定的;

t (2)当时,试用正交变换化此二次型为标准型(写出所用正交变换1t =-的矩阵形式).

七.给定维实线性空间的基,设在该基下的坐标分n V 12,,,n αααK ,V αβ∈别为定义实数

()()1212,,,,,,,,n n x x x y y y L L

[]1122,.n n x y x y x y αβ=++L

证明:

(1) 实数构成的内积. [],αβV (2) 在该内积意义下是的一组标准正交基.

12,,,n αααK V 八.设为数域上维实线性空间上的一个线性变换,且证σP n V 2,σσ=明:(1) 的特征值只能是1或0.

σ(2)为上的一个可逆变换,其中为上的恒等线性变换.

I σ+V I V 九.已知矩阵 1000100,2320232a A c ⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭

(1)讨论与取何值时,可对角化?

a c A (2)当时,求的若当标准形及可逆矩阵,使得

1,0a c ==A J P 1.P AP J -=十.证明:

(1)若为反对称矩阵,则是正交矩阵.

A ()1()Q E A E A -=-+(2)若为正交矩阵且可逆,则存在实反对称矩阵使得

Q E Q +A .()1()Q E A E A -=-+