第3 章 matlab的符号运算
matlab符号运算 多项式
matlab符号运算多项式【提纲】1.MATLAB符号运算简介MATLAB是一款功能强大的数学软件，其中符号运算功能允许用户进行高级数学计算、分析和可视化。
符号运算可以帮助工程师、科学家和数学家在各种领域解决问题，如线性代数、微积分、概率论等。
2.多项式基本概念与MATLAB表示多项式是数学中一个重要的概念，它表示为一个无穷级数，其中包含常数、变量及其幂次。
在MATLAB中，多项式可以用符号表达式表示，如：f(x) = 2x^3 + 4x^2 - 3x + 1。
3.多项式运算实例以下是几个MATLAB中进行多项式运算的实例：- 多项式加法：将两个多项式相加，如f(x) + g(x)。
- 多项式减法：将两个多项式相减，如f(x) - g(x)。
- 多项式乘法：将两个多项式相乘，如f(x) * g(x)。
- 多项式除法：将一个多项式除以另一个多项式，如f(x) / g(x)。
- 多项式求导：对一个多项式求导，如diff(f(x))。
- 多项式积分：对一个多项式进行积分，如int(f(x))。
4.多项式函数与应用MATLAB提供了许多与多项式相关的函数，如：- polyfit：根据一组数据拟合多项式。
- polyval：根据多项式系数计算多项式的值。
- roots：求多项式的根。
- legendre：勒让德多项式。
- laguerre：拉格朗日多项式。
这些函数在信号处理、控制系统、优化等领域具有广泛的应用。
5.总结与建议MATLAB的符号运算功能为多项式计算提供了便捷的工具和函数。
掌握这些功能和函数可以帮助用户在各种应用场景中解决问题。
Matlab符号计算
s=log(2*x/y);
simplify(s)
ans =
log(2)+log(x/y)
s=(-a^2+1)/(1-a)
simplify(s)
ans =
a+1
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结果中含有最少字符的那种形式。如下例：
syms x y;
syms x y;
V=3*x^2-5*y+2*x*y+6
V =
3*x^2-5*y+2*x*y+6
二．基本的符号运算
1．四则运算：
符号表达式的加减乘除可以分别利用函数symadd、symsub、symmul、symdiv来实现，幂运算可以由sympow来实现。
例：
f=‘2*x^2+3*x-5’ %定义符号表达式
④limit(f,x,a,’right’)，求极限，’right’表示变量x从右边趋近于a。
⑤limit(f,x,a,’left’)，求极限，’left’表示变量x从左边趋近于a。
例：求下列极限
syms a m x;
f=(x^(1/m)-a^(1/m))/(x-a);
g=‘x^2-x+7’
U=symadd(f,g) %求f+g
V=symsub(f,g) %求f-g
W=symmul(f,g) %求f*g
X=symdiv(f,g) %求f/g
Y=sympow(f,’3*x’) %求f^(3x)
另外，与数值运算一样，也可以用+ - * / ^运算符来实现符号运算。如：
①limit(f,x,a)求符号函数f(x)的极限。当x趋向于a时，f(x)的极限值。
第3讲matlab的符号运算
第三讲 MATLAB 的符号运算（注：文中红色字体为命令执行的结果，在Command 窗口中显示）3-1 符号对象的创建和使用1．符号运算入门符号运算的特点是，运算过程中允许存在非数值的符号变量。
先看如下示例： 函数2)(sin )(x x f =，用MATLAB 求它的微积分，命令如下：f=’sin(x)^2’; %定义符号函数f(x)dfdx=diff(f) %求dxx df )(的指令 intf=int(f) %求⎰dx x f )(的指令显示的计算结果为：dfdx=2*sin(x)*cos(x)intf=-1/2sin(x)*cos(x)+1/2*x 所以，x x dx x df cos sin )(2=，x x x dx x f cos sin )(2121-=⎰。
此例中，首先定义符号函数f=’sin(x)^2’，然后由符号运算获得2)(sin )(x x f =的微分和积分。
2．定义符号变量在使用符号变量之前，应先声明某些要用到的变量是“符号”变量。
声明符号变量的语句：syms 变量名列表或： sym(‘变量名’)其中各个变量名应该用空格分隔，而不能用逗号分隔。
如创建符号变量x 和a ：x=sym(‘x ’)a=sym(‘alpha ’)或用： syms x a %定义符号变量x 和a这里，变量x 和a 的类型是符号对象，它们被定义后，即可参与符号运算。
3．定义符号表达式和符号方程符号表达式和符号方程是两种不同的操作对象。
区别在于：符号表达式不包含等号（=），而符号方程须带等号。
它们的创建方式相同。
如：要考虑二次函数f=ax^2+bx+c ，可以创建符号表达式，赋值给符号变量f 。
f=sym(‘a*x^2+b*x+c ’)或：f=‘a*x^2+b*x+c’此例中，将符号表达式赋给符号变量f，但这不是必需的，引入符号变量是为了以后调用方便。
在这种情况下，没有创建对应于表达式中a、b、c、x项的变量，为了执行符号数学运算（如微分、积分等），必须显式地创建这些变量，可用下列命令创建：syms a b c x如下例中创建了符号表达式和符号方程，分别赋给相应的符号对象。
matlab符号运算符
matlab符号运算符Matlab符号运算符的使⽤⼀、&&/||/&/||：数组逻辑或||：先决逻辑或&：数组逻辑与&&：先决逻辑与&&和||被称为&和|的short circuit形式。
先决逻辑符号含义：先判断左边是否为真；若为真，则不再判断右边；若为假，才继续进⾏或运算先判断左边是否为假；若为假，则不再判断右边；若为真，才继续进⾏与运算两种运算符号的区别：先决逻辑运算的运算对象只能是标量数组逻辑运算可为任何维数组，运算符两边维数要相同举例分析：A&B ：⾸先判断A的逻辑值，然后判断B的值，然后进⾏逻辑与的计算。
A&&B：⾸先判断A的逻辑值，如果A的值为假，就可以判断整个表达式的值为假，就可以判断整个表达式的值为假，就不需要再判断B的值。
这种⽤法⾮常有⽤，如果A是⼀个计算量较⼩的函数，B是⼀个计算量较⼤的函数，那么⾸先判断A对减少计算量是有好处的。
另外这也可以防⽌类似被0除的错误。
Matlab中的if和while语句中的逻辑与和逻辑或都是默认使⽤short-circuit形式。
// 这可能就是有时候⽤&和| 会报错的原因。
⼆、系统结构体内的变量⼀般都是⼩写。
matlab区分⼤⼩写。
三、==表⽰逻辑相等，返回结果，相等为1，不等为0。
四、.*（times）点乘timesArray multiply 数组乘Syntaxc = a.*bc = times(a,b)Descriptionc = a.*b multiplies arrays a and b element-by-element and returns the result in c. Inputs a and b must have the same size unless one is a scalar.注释：a、b要同尺⼨，或其中⼀个为标量。
matlab中的数学符号与运算
matlab中的数学符号与运算MATLAB（Matrix Laboratory）是一种用于数值计算和科学工程应用的高级编程语言和环境。
MATLAB中包含了丰富的数学符号和运算，用于进行矩阵操作、线性代数、微积分等数学计算。
以下是MATLAB中一些常见的数学符号和运算：1. 数学符号：-矩阵：MATLAB 中的基本数据类型是矩阵，可以使用方括号`[]` 来表示。
例如，`A = [1, 2; 3, 4]` 表示一个2x2的矩阵。
-向量：向量可以表示为一维矩阵，例如，`v = [1, 2, 3]` 表示一个包含3个元素的行向量。
-转置：使用单引号`'` 来进行转置操作。
例如，`A'` 表示矩阵A的转置。
-点乘和叉乘：点乘使用`.*`，叉乘使用`.*`。
例如，`A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘，`A * B` 表示矩阵A和B的矩阵乘法。
2. 数学运算：-基本算术运算：MATLAB支持基本的算术运算，如加法、减法、乘法和除法。
例如，`result = 2 + 3`。
-元素-wise 运算：MATLAB 支持元素-wise 的运算，即对矩阵或向量中的每个元素进行运算。
例如，`C = A .* B` 表示矩阵A和B的对应元素相乘。
-矩阵操作：MATLAB 提供了许多用于矩阵操作的函数，如`inv`（求逆矩阵）、`det`（求行列式）、`eig`（求特征值）等。
-积分和微分：MATLAB 提供了`int`（积分）和`diff`（微分）等函数，用于进行积分和微分运算。
-方程求解：MATLAB 提供了`solve` 函数，用于求解方程组。
这些是MATLAB中一些常见的数学符号和运算。
MATLAB 的强大之处在于它的矩阵操作能力，使得它非常适用于数学和工程领域的计算和建模。
如果你有特定的数学运算需求，可以查阅MATLAB 的官方文档或在线资源以获取详细信息。
MATLAB符号运算与符号方程求解
极限3： syms x; f=x*(sqrt(x^2+1)-x); limit(f,x,inf,'left') ans = 1/2 极限4： syms x; f=(sqrt(x)-sqrt(2)-sqrt(x-2))/sqrt(x*x-4); limit(f,x,2,'right') ans = -1/2
两个函数的用法不同。 (1) sym函数 sym函数用来建立单个符号量，一般调用格式为： 符号量名=sym('符号字符串') 该函数可以建立一个符号量，符号字符串可以是常量、
变量、函数或表达式。 应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行
代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令 用于比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。
MATLAB函数是： ztrans(fn,n,z)：求fn的Z变换像函数F(z)。 iztrans(Fz,z,n)：求Fz的z变换原函数f(n)。 例9-6 求数列 fn=e-2n的Z变换及其逆变换。
.
9.3 级 数 9.3.1 级数符号求和 求无穷级数的和需要符号表达式求和函数symsum，其调用格式为： symsum(s,v,n,m) 其中s表示一个级数的通项，是一个符号表达式。v是求和变量，v省
达式运算都可以在矩阵意义下进行。但应注意这些函 数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元 素。 由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有关 矩阵的运算。MATLAB还有一些专用于符号矩阵的函 数，这些函数作用于单个的数据无意义。例如 transpose(s)：返回s矩阵的转置矩阵。 determ(s)：返回s矩阵的行列式值。 其实，曾介绍过的许多应用于数值矩阵的函数，如diag、 triu、tril、inv、det、rank、eig等，也可直接应用于 符号矩阵。
第3章 MATLAB的符号运算_微分方程求解_符号代数方程
或syms a b c x
f='a*x^2+b*2+c'
9/46
数组、矩阵与符号矩阵（P51）
m1=sym('[ab bc cd ; de ef fg ; h l j]') m2=sym('[1 12;23 34]') 例：
– >>A=hilb(3) A= 1.0000 0.5000 0.3333 0.5000 0.3333 0.2500 0.3333 0.2500 0.2000
dx dx2
例6：已知函数
f
= x2 sin 2 y 求
df
df ,
d2 f ,
dx dy dxdy
例7：已知函数
f
=
xe y y2
求
ff ,
xy
见example3_12
23/46
df
例8：已知导函数
= ax 求原函数
dx
b
例9：已知导函数 f (x) = x2 求 f (x)dx a
例10：计算重积分I = 2 d a r2 sin dr ?
– 例：>>rho=1+sqrt(5)/2; >>sym(rho,’d’); ans= 2.1180339887498949025257388711907
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符号对象转换为数值对象的函数double()， vpa() 1、double()
这种格式的功能是将符号常量转换为双精度数值 2、vpa()
创建符号对象与函数命令（P50）
1、函数命令sym（）格式 格式1 s=sym(a)(a代表一个数字值、数值矩阵、数值表达式 格式2 s=sym(‘a’)(a代表一个字符串)
第三章-matlab求解微积分
第三章 微积分的数学实验3.1极限与一元微积分3.1.1 初等运算1．定义单个或多个符号变量：syms x y z t ；定义单个符号变量或者符号函数还可以用单引号定义，如x=’x ’，f=’sin(x^2)+2*x-1’。
符号表达式的反函数运算g=finverse(f)，g 是返回函数f 的反函数。
例1 求sin(1)y x =-的反函数>>syms x>>y=sin(x-1); g=finverse(y),结果为 g=1+asin(t)2. f actor(f) 因式分解函数ｆ3．Collect(f) 对函数f 合并同类项4. expand(f) 将函数f 表达式展开5. simple(f) 找出表达式的最简短形式（有时需要用2次）6. roots （p ）对多项式p 求根函数。
7. solve(F) 一般方程的求根函数例2 解方程2510x x +-=解 >>syms x>>solve(x^2+5*x-1)结果为x =[ -5/2+1/2*29^(1/2) -5/2-1/2*29^(1/2)]8．fzero(f,x0)或fzero(f,[a,b]) 在初始点x0处开始或在区间[a,b]上搜索函数的零点，f(a)与f(b)需要符号相反。
3.1.2 Matlab计算函数的极限函数形式：1）limit(F,x,a)，求函数F在 x ->a时的极限。
2）limit(F,a)，默认其中的变量为极限变量.3）limit (F)，默认其中的变量为极限变量且趋向于0.4）limit(F,x,a,'right')或limit(F,x,a,’left') 求函数F在x->a时的右、左极限.例3 >>syms x a t h; %syms作用是申明x,a,t,h是符号变量，不需先赋值再调用。
>>limit(sin(x)/x) %结果为 1>>limit((x-2)/(x^2-4),2) %结果为 1/4>>limit((1+2*t/x)^(3*x),x,inf) %结果为 exp(6*t)>>limit(1/x,x,0,'right') %结果为 inf>>limit(1/x,x,0,'left') %结果为 -inf>>limit((sin(x+h)-sin(x))/h,h,0) %结果为 cos(x)>>v = [(1 + a/x)^x, exp(-x)];limit(v,x,inf,'left') %结果为[exp(a),0]3.1.3 Matlab计算导数与微分1．一元导数和微分diff函数用以计算函数的微分和导数，相关的函数语法有下列4个：diff(f) 返回f对预设独立变量的一次导数值diff(f,'t')或diff(f,t) 返回f对独立变量t的一次导数（值）diff(f,n) 返回f对预设独立变量的n阶导数（值）diff(f,'t',n) 或diff(f,t，n)返回f对独立变量t的n阶导数（值）这里尽管自变量已经作为符号变量，可以不用syms说明，但是在具体执行diff(f)、diff(f,'t')和diff(f,t)会出现差异，有的能够执行，有的不能够，有的执行符号微分，有的执行数值微分，所以比较麻烦。
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[ cos(x), log(x)]
§3.1 符号对象及其运算
>> B=A.' B= [ sin(x), cos(x)] [ x^2, log(x)] >> C=inv(A) C= [ -log(x)/(x^2*cos(x) - log(x)*sin(x)), x^2/(x^2*cos(x) - log(x)*sin(x))] [ cos(x)/(x^2*cos(x) - log(x)*sin(x)), sin(x)/(x^2*cos(x) - log(x)*sin(x))] >> E=triu(A) E= [ sin(x), x^2] [ 0, log(x)]
§3.1 符号对象及其运算
例如： syms x y; s1=x^3-y^3; factor(s1) ans = (x - y)*(x^2 + x*y + y^2) s2=(-7*x^2-8*y^2)*(-x^2+3*y^2); expand(s2) ans = 7*x^4 - 13*x^2*y^2 - 24*y^4 %对s展开 %对s分解因式
§3.1 符号对象及其运算
6．符号表达式与数值表达式之间的转换
利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。例如： sym('[3.14,1,5]') ans = [ 3.14, 1.5]
sym(3.14+1.5)
ans= 116/25
函数eval可以将符号表达式变换成数值表达式。例如：
phi=sym('(1+sqrt(5))/2') phi = (1+sqrt(5))/2 >> eval(phi) ans = 1.6180
§3.1 符号对象及其பைடு நூலகம்算
§3.1 符号对象及其运算
3.1.3 符号表达式中变量的确定
findsym、sysvar函数可以帮助用户查找一个符号 表达式中的符号变量。该函数的调用格式为 findsym(s[,n]) symvar(s[,n]) 函数返回符号表达式s中的n个符号变量，若没有指 定n，则返回s中的全部符号变量。findsym以字符串形 式返回结果，symvar以向量形式返回结果。例如：
§3.1 符号对象及其运算
（2）syms函数 函数sym一次只能定义一个符号变量，使用不方便。 MATLAB提供了另一个函数syms，一次可以定义多个符号变量。 syms函数的一般调用格式为 syms符号变量名1符号变量名2…符号变量名n 用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分 界符（'），变量间用空格而不要用逗号分隔。例如，用 syms函数定义4个符号变量a、b、c、d，命令如下： syms a b c d
§3.1 符号对象及其运算
例如： h=sym('[3/2,(2*x+1)/3;a/x+a/y,3*x+4]') ; [n,d]=numden(h) n = [ 3, 2*x + 1] [a*x + a*y, 3*x + 4] d = [ 2, 3] [ x*y, 1]
§3.1 符号对象及其运算
3．符号表达式的因式分解与展开 ● factor(s)：对符号表达式s分解因式。 ● expand(s)：对符号表达式s进行展开。 ● collect(s)：对符号表达式s合并同类项。 ● collect(s,v)：对符号表达式s按变量v合并同类项。
函数作用于符号矩阵时，是分别作用于矩阵的每一个元素。 【例3.1】化简矩阵 a − a+ 式分解。
2
syms a b x y m= [(a^2-x^2)/(a+x), sin(y)^2,(x-y)/(a+b);1,15,x^2+y^22*x*y]; simplify(m) %对符号矩阵化简处理 ans = [ a-x, 1-cos(y)^2, (x-y)/(a+b)] [ 1, 15, x^2+y^2-2*x*y] factor(m) %对符号矩阵因式分解 [ a-x, sin(y)^2, (x-y)/(a+b)] [ 1, 15, (x-y)^2]
§3.1 符号对象及其运算
4．符号表达式系数的提取 c = coeffs(s [, x]) 该函数返回多项式中按指定变量升幂顺序排列的系 数，若没有指定变量，则返回所有项的常系数，且按离 字符“x”近原则确定主变量。例如： syms x y s = 5*x*y^3 + 3*x^2*y^2 + 2*y + 1; coeffs(s) [ 1, 2, 5, 3] coeffs(s,y) [ 1, 2, 3*x^2, 5*x] %求变量y的系数 %求所有项的常系数，按x的升幂排列
§3.1 符号对象及其运算
2．符号表达式的提取分子和分母运算 如果符号表达式是一个有理分式或可以展开为有理 分式，可利用numden函数来提取符号表达式中的分子或 分母。其一般调用格式为 [n,d]=numden(s) 该函数提取符号表达式s的分子和分母，分别将它 们存放在n与d中。numden函数在提取各部分之前，将符 号表达式有理化后返回所得的分子和分母。 如果符号表达式是一个符号数组，numden返回两个 新数组n和d，其中n是分子数组，d是分母数组。
§3.1 符号对象及其运算
2．建立符号表达式
含有符号对象的表达式称为符号表达式。建立符号表达式有以下2 种方法。 （1）用sym函数建立符号表达式。例如： U=sym('3*x^2-5*y+2*x*y+6') U = 3*x^2-5*y+2*x*y+6 F=sym('cos(x^2)-sin(2*x)=0') F = cos(x^2)-sin(2*x)=0 M=sym('[a,b;c,d]') M = [ a, b] [ c, d]
§3.1 符号对象及其运算
应用sym函数还可以定义符号常量，使用符号常量进行 代数运算时和数值常量进行的运算不同。下面的命令用于 比较符号常量与数值常量在代数运算时的差别。 >> p1=sym('pi');a=sym('4'); >> p2=pi;x=4; >> sin(p1/3) >> sin(p2/3) >> cos((a+10)^2)-sin(pi/4) >> cos((x+10)^2)-sin(pi/4)
§3.1 符号对象及其运算
可用findsym(s,1)或symvar(s,1)查找表达式s的主变 量。例如： >> syms a b w y z >> findsym(a*z+b*w,1) ans = w >> findsym(a*y+b*w,1) ans = y
§3.1 符号对象及其运算
3.1.4 符号矩阵
§3.1 符号对象及其运算
函数simple试用几种不同的化简工具，然后选择在结 果表达式中含有最少字符的那种形式。例如 s= sym('cos(3*acos(x))'); simple(s) 示每步结果 显示一系列化简过程后，最后显示化简结果： ans = %自动调用多种函数对s进行化简，并显
4*x^3 - 3*x
§3.1 符号对象及其运算
5．符号表达式的化简 MATLAB提供的对符号表达式化简的函数如下。 ● simplify(s)：应用MuPAD简化规则对s进行化简。 ● simple(s)：调用MATLAB的其他函数对表达式进行综 合化简，并显示化简过程。 例如： s= sym('(x^2+5*x+6)/(x+2)'); simplify(s) ans= x + 3
第三章 MATLAB符号运算 符号运算
本章学习目标
● ● ● ● 掌握符号对象的定义方法以及符号表达式的运算法则。 掌握微积分的符号计算方法。 掌握级数求和的方法以及将函数展开为泰勒级数的方 掌握代数方程和微分方程符号求解的方法。
法。
§3.1 符号对象及其运算
3.1 符号对象及其运算
MATLAB为用户提供了一种符号数据类型，相应的运算 对象称为符号对象。例如，符号常量、符号变量以及有它 们参与的数学表达式等。在进行符号运算前首先要建立符 号对象。
第三章 MATLAB符号运算 符号运算
在科学研究和工程应用中，除了存在大量的 数值计算外，还有对符号对象进行的运算，即在 运算时无须事先对变量赋值，而将所得到结果以 标准的符号形式来表示。MATLAB符号计算是通过 集成在MATLAB中的符号运算工具箱（Symbolic Math Toolbox）来实现的。应用符号计算功能， 可以直接对抽象的符号对象进行各种计算，并获 得问题的解析结果。
§3.1 符号对象及其运算
syms x a y z b; %定义5个符号变量 s1=3*x+y; s2=a*y+b; %定义2个符号表达式 findsym(s1) findsym(s2,2) ans = ans= x, y y,b symvar(s1+s2) ans = [ a, b, x, y] 在求函数的极限、导数和积分时，如果用户没有明确 指定自变量，MATLAB将按以下原则确定主变量并对其进行 相应微积分运算。 ● 找寻除i、j之外，在字母顺序上最接近x的小写字符。 ● 若表达式中有两个符号变量与x的距离相等，则ASCII大者 优先。
x2 x
sin y 15
2
1
x− y a+b x 2 + y 2 − 2 xy
，并对其因
§3.1 符号对象及其运算
由于符号矩阵是一个矩阵，所以符号矩阵还能进行有 关矩阵的运算。前面介绍的应用于数值矩阵的运算符和函 数，如diag,triu,tril,inv,det,rank,eig等，也可直接 应用于符号矩阵。例如： >> A=sym('[sin(x),x^2;cos(x),log(x)]') A = [ sin(x), x^2]