高中数学全套知识点思维导图平面向量的基本概念及其线性运算.pdf
高中数学知识框架思维导图(整理版)
基本初等函数 指数函数、对数函数、幂函数、三角函数 分段函数 复合函数 抽象函数 函数与方程 函数的应用 分段探究，整体考察 复合函数的单调性：同增异减 赋值法、典型的函数模型 零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换：������ = ������(������) → ������ = ������(������ ± ������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������) ± ������，������, ������ > 0 函数图象 及其变换 对称变换：������ = ������(������) → ������ = −������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(−������)，������ = ������(������) → ������ = −������(−������) 翻折变换：������ = ������(������) → ������ = |������(������)|，������ = ������(������) → ������ = ������(|������|) 伸缩变换：������ = ������(������) → ������ = ������������(������)，������ = ������(������) → ������ = ������(������������)
������
第二部分
角的概念
三角函数与平面向量
弧长公式������ = ������������、扇形面积公式������ = ������������
2 1 π 2
2020年高一下学期第1讲：平面向量的基本概念与线性运算(含解析)
4若两个向量相等，则它们的起点和终点分另重合；
5若a//b,b//c，则a//C.
A.0个B.1个C.2个D.3个
2.下列命题中，正确的是（）
a.a与b共线，b与c共线，则a与c也共线
B.任意两个相等的非零向量的始点与终点总是一平行四边形的四个顶点
十、十muruur r
和0A交于E，设AB占，AO b
(1)用向量a与b表示向量Oc,CD；
…uuumu，亠
(2)若OE OA，求实数的值.
26.如图，已知ABC的面积为14,D、E分别为边AB、BC上的点，且AD:DB BE:EC2:1,AE
(1)求及；
rr uuu
(2)用aLeabharlann b表示BP;(3)求PAC的面积.
动点
uuu
P满足OP
uur
OA
uuur
/AB
(uuu
|AB|
uuur
AC、
-uuu^),
|AC|
[0,），则P的轨迹一定通过
ABC的（）
A.外心
B.内心
C.重心
D.垂心
1 2.如图，四边形ABCD是正方形,
延长CD至E,
使得
DE CD.若动点P从点A出发，沿正方形
A点，其中
UUU
AP
UUL
AB
AE，下列判断正确的是（）
3
|CB|,
若
AB BC，贝U(
)
2
2
5
5
A .-
B .-
C.
D.
3
3
3
3
5.已知|a11,
rrr
备战高考数学复习知识点讲解课件38---平面向量的概念及线性运算
常用结论
→ 1 → →
1．若 P 为线段 AB 的中点，O 为平面内任一点，则OP＝ (OA＋OB)．
2
2．若 G 为△ABC 的重心，则有
→ → →
→ 1 → →
(1)GA＋GB＋GC＝0；(2)AG＝ (AB＋AC)．
3
→
→
→
3.OA＝λOB＋μOC(λ，μ为实数)，若点 A，B，C 共线，则 λ＋μ＝1.
说法中正确的是(
)
A．2a与a的方向相同，且2a的模是a的模的2倍
√
2
B．－2a与5a的方向相反，且－2a的模是5a的模的
√
5
C．－2a与2a是一对相反向量
√
D．a－b与－(b－a)是一对相反向量
解析： A正确，因为2>0，所以2a与a的方向相同，且|2a|＝2|a|.
B正确，因为5>0，所以5a与a的方向相同，且|5a|＝5|a|，又－2<0，所以－
→
→
→
→
BA＝b，BE＝3EF，则BF＝(
12
9
A. a＋ b
25
25
16
12
B. a＋ b
√
25
25
)
4
3
C. a＋ b
5
5
3
4
D. a＋ b
5
5
→ → → → 3→ → 3 → →
→ 3 3 → →
解析： BF＝BC＋CF＝BC＋ EA＝BC＋ (EB＋BA)＝BC＋ －4BF＋BA，
2a与a的方向相反，且|－2a|＝2|a|，所以5a与－2a的方向相反，且－2a的模
是5a的模的 .
C正确，按照相反向量的定义可以判断．
《平面向量》第1讲 平面向量的概念和线性运算
小结
1. 基本概念.
2. 向量的线性运算(加法、减法、数乘).
运算结果仍然是一个向量.
3. 两个向量共线的充要条件.
三点共线的应用.
一.向量的基本概念
[例题1]. 下列说法正确的是 .
(1).0 的方向是任意的；
(2).0// a;
(3). 0 0;
(4).0 a a 0 a;
(5). 0 0; (6).0 a 0.
二.向量的线性运算
[例题2]. 设O是正六边形ABCDEF的中点. (1) 与 OA 相等的向量有 (2) 设 AC a, BD b, 请用这两个向量表示 CD . .
课题：
向量的基本概念与线性运算
知识点1.向量的基本概念
(1) 既有大小，又有方向的量叫向量. (2) 长度为0的向量叫零向量． (3) 长度等于1的向量单位向量．
[ [
Y Y
] ]
[ (4) 方向相同的非零向量叫平行向量. [ (5) 平行向量又叫共线向量． [ [ (6) 长度相等的向量叫相等向量．
BC CD
(2) 证明：A、B、D三点共线.
(3) 试确定实数k，使k a＋b和a＋k b共线．
二.向量的线性运算
变式1. 设 a , b 是两个非零的不共线向量 . 且向量 a , b 的起点相同，当t= 时，
1 ab 三个向量 a , tb, 3
的终点共线 .
二.向量的线性运算
(7) 方向相反的向量叫相反向量．
[
Y ] N ] Y ] N ] N ]
知识点2、向量的线性运算.
类型 加 法 代数运算
几何运算
a
坐标运算
高一必修4平面向量的概念及线性运算
平面向量的概念及线性运算一、知识要点梳理 知识点一：向量的概念1．向量:既有大小又有方向的量叫做向量. 2．向量的表示方法: (1)字母表示法:如,,,a b c →→→等.(2)几何表示法:用一条有向线段表示向量.如,AB CD →→等. (3)向量的有关概念向量的模:向量的大小叫向量的模(就是用来表示向量的有向线段的长度). 零向量:长度为零的向量叫零向量. 单位向量:长度等于1个单位的向量. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 相反向量: 长度相等且方向相反的向量.共线向量:方向相同或相反的非零向量，叫共线向量(共线向量又称为平行向量). 规定:0→与任一向量共线. 知识点二：向量的加(减)法运算1．运算法则：三角形法则、平行四边形法则2．运算律：①交换律：a b b a →→→→+=+；②结合律：()()a b c a b c →→→→→→++=++ 知识点三：数乘向量1．实数与向量的积：实数λ与向量a →的积是一个向量，记作：a λ→(1) ||||||a a λλ→→=；(2)①当λ>0时,a λ→的方向与a →的方向相同； ②当λ<0时,a λ→的方向与a →的方向相反； ③当0λ=时,0a λ→→=. 2．运算律 设,λμ为实数结合律：()()a a λμλμ→→=；分配律：(),()a a a a b a b λμλμλλλ→→→→→→→+=++=+ 3．共线向量基本定理非零向量a →与向量b →共线的充要条件是当且仅当有唯一一个非零实数,λ使b a λ→→=. 经典例题类型一：向量的基本概念1．判断下列各命题是否正确： (1)若||||,a b →→=则a b →→=；(2)若,,,A B C D 是不共线的四点，则AB DC →→=是四边形ABCD 为平行四边形的充要条件； (3)若,,a b b c →→→→==，则.a c →→=(4)两向量,a b →→相等的等价条件是||||a b →→=且//a b →→. 类型二：向量的线性运算2．如图所示，ABCD 的两条对角线相交于点,M 且,,AB a AD b →→→→==用,a b →→表示,,,MA MB MC MD →→→→【变式1】如图,ABC ∆中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且2,AN NC AM =与BN 相交于点,P 求:AP PM 的值.【答案】解：(如图)设则和分别共线，∴存在使故，而∴由基本定理得即类型三：共线向量与三点共线问题 3．设两非零向量1e →和2e →不共线，(1)如果121212,28,3(),AB e e BC e e CD e e →→→→→→→→→=+=+=-求证,,A B D 三点共线. (2)试确定实数,k 使12k e e →→+和12e k e →→+共线. 类型四：综合应用4．如图，已知点,,D E F 分别是ABC ∆三边的中点， 求证：0EA FB DC →→→→++=. 测评 基础达标：1.下面的几个命题：①若||||,a b →→=则,a b →→共线；②长度不等且方向相反的两向量不一定是共线向量； ③若,a b →→满足||a →>||,b →且,a b →→同向，则a →>b →； ④由于0→方向不定，故0→不能与任何向量平行；⑤对于任意向量,a b →→必有||||||a b →→-≤||a b →→+≤||||a b →→+. 其中正确命题的序号是：( )A.①②③B.⑤C.③⑤D.①⑤2.在正六边形ABCDEF 中,O 为其中心，则2FA AB BO ED →→→→+++= ( ) A.FE → B. AC → C. DC → D. FC →3.如图所示,,,D E F 分别是ABC ∆的边,,AB BC CD 的中点，则AF DB →→-= ( ) A. FD → B. FC → C. FE → D. BE →4.若,,O E F 是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( ) A.B.C.D.5.已知向量,,a b →→且2,56,72,AB a b BC a b CD a b →→→→→→→→→=+=-+=-则一定共线的三点是( ) A.A 、B 、D B.A 、B 、C C.B 、C 、D D.A 、C 、D 6.下列命题中，真命题的个数为( )①||||||a b a b a →→→→→+=+⇔与b →方向相同 ②||||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →方向相反 ③||||a b a b a →→→→→+=-⇔与b →有相等的模 ④||||||a b a b a →→→→→-=-⇔与b →方向相同 A.0 B.1 C.2D.37.在ABC ∆中，已知D 是AB 边上一点1,2,,3AD DB CD CA CB λ→→→→→==+则λ= ( )A.23B. 13C. 13-D. 23-8.设12,e e →→是两个不共线的向量，则向量12()m e k e k R →→→=-+∈与向量212n e e →→→=-共线的条件是 ( ) A. 0k = B. 1k = C. 2k = D. 12k =9.已知正方形ABCD 边长为1,,,,AB a BC b AC c →→→→→→===则||a b c →→→++=( )A.0B.3C.D.10.如图，在平行四边形ABCD 中,,M N 分别是,DC BC 中点，已知1,,,AM c AN d →→→→==用,c d →→表示=___________，___________.11.若1212,,,OP a OP b PP PP λ→→→→→→===则OP →= (用,a b →→表示) 12.已知在ABC ∆中,,,D E F 分别是,,BC CA AB 的中点，求证：(1)//DE AB →→；(2) 1||||2DE AB →→=； (3)0AD BE CF →→→→++=.13.已知OAB ∆中，点C 是以A 为中心的B 的对称点,D 是将OB →分成2:1的一个内分点,DC 与OA 交于,E 设,OA a OB b →→→→==. (1)用,a b →→表示,OC DE →→； (2)若,OE OA λ→→=求实数λ的值.。
平面向量基础知识点+思维导图练习
思维导图——平面向量知识点默写——平面向量1、平面向量：2、向量的模：，记作3、（1）零向量：；（2）单位向量：；（3）相反向量（负向量）：；4、相等向量：，记作5、平行向量（共线向量）：6、向量的加法（）向量的减法（）7、数乘向量：实数λ与向量a的积是一个向量，记作.数乘向量的含义：8、（1）||a λ=（2）当0λ>时，a λ 的方向与a的方向，长度为a的倍；当0λ<时，a λ 的方向与a的方向，长度为a的倍；当0λ=或0a =时，a λ=.aba 2a 12a a - 2a-12a -9、向量运算满足的运算律（1）加法交换律：；（2）加法结合律：；（3）数乘向量运算律：()a λμ=，()a λμ+=，()a b λ+=，10、（1）平面向量的坐标表示在平面直角坐标系中，分别取与x 轴，y 轴方向相同的两个单位向量i ，j，根据平行四边形法则，对平面上任一向量a ，有且只有一对实数x ，y ，使得a xi y j =+，我们把(,)x y 叫做向量a在平面直角坐标系xOy 中的坐标，记作.（2）设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，则向量AB的坐标为，记作AB =.（3）向量(,)a x y = ，则向量的模||a =.（3）若原点(0,0)O ，(,)A x y ，则OA =.（4）设向量11(,)a x y = ，向量22(,)b x y = ，则a b +=，a b -=.（5）若11(,)a x y = ，λ为实数，则a λ=.11、若1122(,),(,)a x y b x y == ，则//a b ⇔ ；若1122(,),(,)a x y b x y == ，则a b ⊥⇔ ；12、化简：BD AB AC +-=.。
高中数学知识点思维导图--21张图梳理高中数学知识结构
高中数学知识点思维导图
----21张图理清高中数学知识结构
目录
一、集合与简易逻辑 (1)
二、函数与基本初等函数 (2)
三、导数及其应用 (3)
四、三角函数 (4)
五、解三角形与平面向量 (5)
六、数列 (6)
七、不等式 (7)
八、三视图与空间位置关系 (8)
九、立体几何 (9)
十、空间向量与立体几何 (10)
十一、直线的方程 (11)
十二、圆的方程 (12)
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系 (13)
十四、圆锥曲线 (14)
十五、椭圆的定义与几何性质 (15)
十六、双曲线的定义与几何性质 (16)
十七、抛物线的定义与几何性质 (17)
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明 (18)
十九、概率与统计 (20)
二十、复数 (21)
二十一、算法 (22)
一、集合与简易逻辑
二、函数与基本初等函数
三、导数及其应用
四、三角函数
五、解三角形与平面向量
六、数列
七、不等式
八、三视图与空间位置关系
九、立体几何
十、空间向量与立体几何
十一、直线的方程
十二、圆的方程
十三、直线系、圆系、直线与圆锥曲线关系
十四、圆锥曲线
十五、椭圆的定义与几何性质
十八、计数原理、二项式定理、推理与证明
十九、概率与统计
二十、复数
二十一、算法。
高中数学第六章平面向量初步6.1平面向量及其线性运算6.1.4数乘向量6.1.5向量的线性运算课件新
□11 (λμ)a
.
数乘向量的定义说明，如果存在实数 λ，使得 b＝λa，则 b∥a.
知识点二 向量的线性运算
(1)向量的加法与数乘向量的混合运算
① 一 般 地 ， 对 于 实 数 λ 与 μ ， 以 及 向 量 a ， 有 λa ＋ μa
＝ □01 (λ＋μ)a
.
② 一 般 地 ， 对 于 任 意 实 数 λ ， 以 及 向 量 a 与 b ， 有 λ(a ＋ b)
1
PART ONE
核心概念掌握
知识点一 数乘向量 (1)定义：一般地，给定一个实数 λ 与任意一个向量 a，规定它们的乘积 是一个 □01 向量 ，记作 □02 λa .
(2)方向 ①当 λ≠0 且 a≠0 时，λa 的模为
□03 |λ||a|
，而且 λa 的方向
如下： a．当 λ>0 时，与 a 的方向 □04 相同 ； b．当 λ<0 时，与 a 的方向 □05 相反 ． ②当 λ＝0 或 a＝0 时，λa＝ □06 0 . 实数 λ 与向量 a 相乘的运算简称为 □07 数乘向量 ．其结果是一个向量，
6e1
＋
23e2＋4e1－8e2＝
6(2e1＋
3e2)＝
6A→B，∴向量A→D与A→B共线．又向量A→B与A→D有共同的起点 A，故 A，B，D 三
点共线．
金版点睛 解决三点共线问题的思路
先将三点共线问题转化为两个向量共线，再利用结论：“如果存在实数 λ，使得 b＝λa，则 b∥a”求解，最后再由两个向量共线且有公共点，得出 三点共线.
题型六 证明三点共线问题
例 6 已知非零向量 e1 和 e2 不共线，如果A→B＝2e1＋3e2，B→C＝6e1＋23e2， C→D＝4e1－8e2，求证：A，B，D 三点共线．
2020秋新人教版高中数学必修二第六章平面向量及其应用复习课题型知识框架课思维导图
第六章平面向量及其应用复习课要点训练一平面向量的运算1.向量的线性运算包括向量及其坐标运算的加法、减法、数乘,向量的加法遵循三角形法则和平行四边形法则,减法可以转化为加法进行运算,向量的加法满足交换律、结合律,数乘向量满足分配律.利用向量证明三点共线时,应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.2.两平面向量共线的充要条件有两种形式:(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2-x2y1=0.(2)若a ∥b (a ≠0),则b =λa . 应视题目条件灵活选择.1.已知点A (1,3),B (4,-1),则与向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 同方向的单位向量为( ) A.（ 35,-45） B.（45,-35） C.（-35,45） D.（-45,35）解析:AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(3,-4),与其同方向的单位向量e =AB⃗⃗⃗⃗⃗ |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=15(3,-4)=（35,-45）.答案:A2.(全国卷Ⅰ)设D 为△ABC 所在平面内一点,BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则( )A.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC⃗⃗⃗⃗⃗ B.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -43AC⃗⃗⃗⃗⃗ C.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +13AC⃗⃗⃗⃗⃗ D.AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =43AB ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AC⃗⃗⃗⃗⃗ 解析:AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +13(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ -13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =-13AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +43AC ⃗⃗⃗⃗⃗ . 答案:A3.(全国卷Ⅲ)已知向量a =(1,2),b =(2,-2),c =(1,λ).若c ∥(2a +b ),则λ=12.解析:由题意可得2a +b =(4,2).因为c ∥(2a +b ),c =(1,λ),所以4λ-2=0,即λ=12.要点训练二 平面向量的夹角与垂直问题1.两个向量a =(x 1,y 1),b =(x 2,y 2)垂直⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0,利用这两个结论,可以判断两个向量的位置关系.2.两个向量的夹角公式:cos θ=a·b|a||b|=1212√x12+y12√x22+y22.1.已知非零向量a,b满足|a|=2|b|,且(a-b)⊥b,则a与b的夹角为()A.π6B.π3C.2π3D.5π6解析:设a与b的夹角为θ,因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=a·b-b2=0,所以a·b=b2,所以cos θ=a·b|a|·|b|=|b|22|b|2=12,所以a与b的夹角为π3.答案:B2.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),则a与b的夹角的余弦值为-√210.解析:设a与b的夹角为θ,则cos θ=a·b|a|·|b|=√22+22×√(-8)2+62=-√210.3.已知向量a=(-4,3),b=(6,m),且a⊥b,则m=8.解析:向量a=(-4,3),b=(6,m),a⊥b,则a·b=0,即-4×6+3m=0,所以m=8.4.已知向量a=(-2,3),b=(3,m),且a⊥b,则m=2.解析:由题意可得,a·b=0,所以-2×3+3m=0,解得m=2.要点训练三有关向量的模(长度)与距离问题的解法求向量的模主要有以下两种方法:①利用公式|a|2=a2将它转化为向量的数量积问题,再利用数量积的性质进行展开、合并,使问题得以解决;②利用公式|a|=√x12+y12将其转化为实数运算,使问题得以解决.1.(全国卷Ⅱ)设非零向量a,b满足|a+b|=|a-b|,则 ()A.a⊥bB.|a|=|b|C.a∥bD.|a|>|b|解析:由向量加法与减法的几何意义可知,以非零向量a ,b 的模长为边长的平行四边形是矩形,从而可得a ⊥b .故选A .答案:A2.已知向量a ,b 的夹角为120°,|a |=1,|b |=3,则|5a -b |=7. 解析:|5a -b |=√|5a -b |2=√(5a -b )2=√25a 2+b 2-10a ·b = √25+9-10×1×3×(-12)=7.3.(浙江高考)已知正方形ABCD 的边长为1,当每个λi (i =1,2,3,4,5,6)取遍±1时,|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值是0,最大值是2√5.解析:如图所示,以AB ,AD 所在直线分别为x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,则AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,0),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1),CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,0),DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,-1),AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1,1),BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(-1,1).令y =|λ1AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ2BC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ3CD ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ4DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ5AC ⃗⃗⃗⃗⃗ +λ6BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=√(λ1-λ3+λ5-λ6)2+(λ2-λ4+λ5+λ6)2≥0.因为λi (i =1,2,3,4,5,6)可取遍±1,所以当λ1=λ3=λ4=λ5=λ6=1,λ2=-1时,有最小值y min =0.因为(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)的取值不相关,λ6=1或λ6=-1,所以当(λ1-λ3+λ5)和(λ2-λ4+λ5)分别取得最大值时,y 有最大值,所以当λ1=λ2=λ5=λ6=1,λ3=λ4=-1时,有最大值y max =√22+42=√20=2√5.要点训练四 建模思想利用正弦定理、余弦定理解三角形及其应用,常根据已知条件中所给的边、角关系,利用解三角形的常见类型求解;解决应用问题常根据距离、高度、角度的求解方法解决,都体现了建模思想.1.(全国卷Ⅰ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知a sin A -b sin B =4c sin C ,cos A =-14,则bc = ( )A.6B.5 C .4 D.3解析:由已知及正弦定理可得a 2-b 2=4c 2, 由余弦定理推论可得 -14=cos A =b 2+c 2-a 22bc ,所以c 2-4c 22bc=-14,所以3c 2b =14,所以b c=6. 答案:A2.(全国卷Ⅱ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知b sin A +a cos B =0,则B =3π4.解析:由正弦定理,得sin B sin A +sin A cos B =0.因为A ∈(0,π),B ∈(0,π),所以sin A ≠0,所以sin B +cos B =0,即 tan B =-1,所以B =3π4.3.(浙江高考)在△ABC 中,∠ABC =90°,AB =4,BC =3,点D 在线段AC 上,若∠BDC =45°,则BD =12√25,cos ∠ABD =7√210.解析:如图所示,在△ABD 中,由正弦定理,得AB sin∠ADB =BDsin∠BAC,而AB =4,∠ADB =3π4,AC =√AB 2+BC 2=5, sin ∠BAC =BC AC =35,cos ∠BAC =AB AC =45,所以BD =12√25.cos ∠ABD =cos(∠BDC -∠BAC )=cos π4cos ∠BAC + sin π4sin ∠BAC =7√210.4.(全国卷Ⅲ)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c.已知a sinA+C 2=b sin A.(1)求B ;(2)若△ABC 为锐角三角形,且c =1,求△ABC 面积的取值范围. 解:(1)由题设及正弦定理,得 sin A sinA+C 2=sin B sin A.因为sin A ≠0,所以sinA+C 2=sin B.由A +B +C =180°,可得sinA+C2=cos B2,故cos B 2=sin B =2sin B 2cos B 2.因为cos B2≠0,故sin B 2=12,所以B =60°.(2)由题设及(1)知△ABC 的面积S △ABC =√34a. 由正弦定理,得a =csinA sinC=sin (120°-C )sinC=√32tanC +12. 由于△ABC 为锐角三角形,故0°<A <90°,0°<C <90°,由(1)知A +C =120°,所以30°<C <90°,故12<a <2,所以√38<S △ABC <√32,即△ABC 面积的取值范围是（√38,√32）.。
高中数学知识框架思维导图(整理版)
柯西不等式
第四部分
位置关系
截距
解析几何
斜率公式、倾斜角的变化与斜率的变化: = tan ， =
倾斜角和斜率
重合
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1＝0
平行
A1B2－A2B1＝0，C1B2－C2B1≠0
相交
A1B2－A2B1≠0
垂直
直线的方程
z 的几何意义：
过可行域内一点（, ）
向直线 = ， = 作
复合函数
函数与方程
2
二次函数、基本不等式、双勾函数、三角函
数有界性、数形结合、单调性、导数.
基本初等函数
分段函数
, )
零点
求根法、二分法、图象法、二次及三次方程根的分布
建立函数模型
平移变换： = () → = ( ± )， = () → = () ± ，, > 0
对称性
y＝Asin(x＋)＋b
化简、求值、
证明（恒等变形）
）
值域
图象
对称轴（正切函数除外）经过函数图象
的最高（或低）点且垂直 x 轴的直线，
对称中心是正余弦函数图象的零点，正
切函数的对称中心为( ，0)（k∈Z）.
最值
2
①图象可由正弦曲线经过平移、伸缩得到，但要注意先平移后伸缩与先伸缩后平移不同；
2.
3.
分组求和法
2
=
1
−
−1)(2+1 −1)
2 −1
+1
1 1
1
= (
2 (+2)2
(−1) ∙4
4 2
(2−1)(2+1)
1
2+1 −1