热传导问题的有限元方法 33页PPT文档
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13第6章热传导问题有限元
§6-3
稳态二维热传导
根据有限元部分的§2-1 节的第（ 2-1-2a）式， 3 节点有限元的插值函数为
1 Ni ai bi x c i y （ i, j , m ） 2A
对于任一单元 ijm ，可将插值函数求导代入式（6-2-3a） ，得到热传导矩阵元素
190
k k K1(ije) x bi b j y c i c j 4A 4A
q kxA
T x
（ 6-1-1）
其中 k x 是 x 方向上材料的导热系数； A 是垂直于 x 方向热流通过的面积； T 是温度。 （ 2） 对流 定义：对流是固体与周围物体之间进行热能传递的过程。 对流的热流速率可表示为
q hA T T
（ 3） 辐射 定义：辐射热传导是在服从电磁学定律的两个表面之间的热能交换过程。 辐射热流速率由下述关系确定单元热传导矩阵为源自（6-3-1） K
( e) 1
bi bi bi b j kx b jbj 4A sym
bi bm c c ci c j k y i i b j bm c jc j 4A bmbm sym
ci c m c j cm cm cm
如果物体处于没有任何热源的稳定状态，则方程（ 6-1-7）可简化为拉普拉斯方程
2 2 2 T T T 2 2 0 2 x y z
（6-1-10）
由于微分方程（6-1-6 ）或（6-1-7 ）是二阶的，所以需要规定两个边界条件。可能的边界条件是 在 T x , y, z, t T0 1 上： 在 2 上： k x （ 6-1-11a）
2 2 2 1 T T T T k k k 2 q c T dV x y z ~ V 2 x y z t
第7章 稳态热传导问题的有限元法
)dΒιβλιοθήκη 0(8-18)14
采度用分布Ga函ler数ki和n方换法热，边选界择条权件函代数入为(8，-w181 )式N，i 单将元单的元加内权的积温
分公式为
e
[ Ni x
(x
[N ]) Ni x y
( y
[N ])]{T}e d y
e
e
NiQ d 2 Ni qs d
(8-19)
e 3
Ni h[N ]{T}e d
一点上都满足边界条件（8-11）。对于复杂的工程问
题，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似
解。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数
，一般表示为:
n
u u Ni ai Na
（8-12）
i 1
其中 ai为待定系数，为 Ni已知函数，称为试探函数。试探
函数要取完全的函数序列，是线性独立的。由于试探函数
T
0
t
5
这类问题称为稳态（Steady state）热传导问题。 稳态热传导问题并不是温度场不随时间变化，而是指 温度分布稳定后的状态。
若我们不关心物体内部的温度场如何从初始状态 过渡到最后的稳定温度场，那么随时间变化的瞬态（ Transient）热传导方程就退化为稳态热传导方程，三 维问题的稳态热传导方程为
，取： W j N j W j N j
下面用求解二阶常微分方程为例，说明Galerkin 法（参见，王勖成编著“有限元法基本原理和数值 方法”的1.2.3节）。
12
以二维问题为例，说明用Galerkin法建立稳态温度场 的一般有限元格式的过程。二维问题的稳态热传导方程：
x
x
T x
y
y
1 x j
2有限差分法及热传导数值计算PPT演示课件
t1
1 a11
(b1
a12t2
a13t3 )
t2
1 a 22
(b2
a 21t1 a 23t3 )
1 t3 a 33 (b3 a 31t1 a 32t2 )
•24
（2）假设一组解（迭代初场），记为： t1(0)、t2(0)并、t代3(0) 入迭代方程求得第一 次解
每次计算t1(1)均、t用2(1)、最t3(1新) 值代入。
(1) 平直边界上的节点
如图所示 边界节点 (m,n) 只能代表半个元体，若边界上有向 该元体传递的热流密度为q ，据能量守恒定律对该元体有：
tm1,n tm,n ytm,n1tm,n x
x
y 2
x
2
tm,n1 tm,n y
Φm,n
2xyyqw
0
Байду номын сангаас
xy tm ,n1 4 2 tm 1 ,n tm ,n 1 tm ,n 1 x2 Φ m ,n 2 x q w
非稳态项 的离散有三种不同的格式。如果将函数在节 点(n，i+1)对点(n，i)作泰勒展开，可有
•30
•31
由式(b)可得在点(n，i)处一阶导数的一种差分表示式 , 的向前差分:
类似地，将t在点(n，i-1)对点(n，i)作泰勒展开，可得 的向后差分的表达式：
如果将t在点(n，i+1)及(n，i-1)处的展开式相加，则可得 一阶导数的中心差分的表达式：
qw
y x
•16
(3) 内部角点
如图所示内部角点代表了 3/4 个元体，在同样的假设条 件下有
tm1,ntm,ny tm,n1tm,nx tm,n1tm,n x
x
有限元法基础热传导和热应力讲课文档
T 0 t
k 2 ( T ) 2 q T d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
泛函的变分取驻值，可得控制方程和第二类和第三类边界条件
第一类边界条件应强制满足，称为本质边界条件；
第二、第三类边界条件是自然边界条件。
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘 [ ]得T 到n个解耦的方程组
Z iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
11
第十一页，共53页。
11 传热分析与热应力
11.3热辐射
考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设每 个平面都有均匀温度，平面1的温度为T1，平面2的温度为T2，平面都是理
12
第十二页，共53页。
11 传热分析与热应力
由于辐射面是有限的、非平行的，用视图因子表示
对于两个无限大的平行面为1，对于两个相互看不见的平面是0
13
第十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
与面积为A1交换辐射能的表面有多少个，就有多少个式子。如果A1不是
很大，可认为Q1在A1上是个常数，因此
q
Kq = Q 23 第二十三页，共53页。
11 传热分析与热应力
（三）求解热应力的方法
在有限元分析程序中解热应力问题有两种方法，即直接法和间接法。 直接法
直接将传热分析和热应力耦合起来分析的方法。在求解时，直接将传 热边界条件、力学边界条件施加在有限元模型上，以节点温度和位移作 为未知变量求解。
有限元法基础热传导和热应力
第一页，共53页。
11 传热分析与热应力
有限元法基础-11热传导与热应力ppt课件
由于热量的储存使内能增加，即
cdxdydzT&
由能量守恒定律，在微元内有
cd x d y d z T & q d x d y d z ( Q x Q y Q z) d x d y d z x y z
cT & q( Q xx pQ py t课y件 Q zz)
6
11 传热分析与热应力
ppt课件
3
11 传热分析与热应力
11.1 传热问题的基本方程 固体热传导的现象
ppt课件
4
11 传热分析与热应力
术语和单位 在国际标准单位制中，传热分析的术语和单位
c
比热容[J/(kg·K)]
Q
热流（W/m2）
h 对流换热系数 [W/(m2·K)]
k
导热系数[W/(m·K)]]
q 单位体积热生成率 (W/m3)
第三类边界条件：已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数
为已知，即
Qn
kT n
h(TTf
)
ppt课件
7
11 传热分析与热应力
11.2 变分原理与有限元 瞬态热传导问题变分泛函为
k 2 ( T ) 2 q T c T T & d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘[ ] T 得到n个解耦的方程组
Z & iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
ppt课件
11
11 传热分析与热应力
11.3热辐射 考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设
cdxdydzT&
由能量守恒定律，在微元内有
cd x d y d z T & q d x d y d z ( Q x Q y Q z) d x d y d z x y z
cT & q( Q xx pQ py t课y件 Q zz)
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11 传热分析与热应力
ppt课件
3
11 传热分析与热应力
11.1 传热问题的基本方程 固体热传导的现象
ppt课件
4
11 传热分析与热应力
术语和单位 在国际标准单位制中，传热分析的术语和单位
c
比热容[J/(kg·K)]
Q
热流（W/m2）
h 对流换热系数 [W/(m2·K)]
k
导热系数[W/(m·K)]]
q 单位体积热生成率 (W/m3)
第三类边界条件：已知与物体相接触的流体介质的温度和换热系数
为已知，即
Qn
kT n
h(TTf
)
ppt课件
7
11 传热分析与热应力
11.2 变分原理与有限元 瞬态热传导问题变分泛函为
k 2 ( T ) 2 q T c T T & d S 2 Q w T d A 1 2 S 3 h ( T f 1 2 T ) T d A
{T}[]{Z}
将其代入有限元方程，并左乘[ ] T 得到n个解耦的方程组
Z & iiZ i P i, P i []T i{ R T }
积分上述方程组后，得{Z(t)}，由此可得到节点{T(t)}。
ppt课件
11
11 传热分析与热应力
11.3热辐射 考虑两个无限大的平行平面，由于无限大，不用考虑边界效应。设
7瞬态热传导问题有限元分析
ρ = k = C =1
每个单元的热传导矩阵和比热矩阵分别是
1 − 1 1 2 1 [ K (e ) ] = 4 [C ( e ) ] = 24 − 1 1 1 2
装配后的热传导矩阵、比热矩阵和等效节点热流分别是
瞬态热传导问题有限元分析
7-3
1 −1 0 0 0 2 1 0 − 1 2 − 1 0 0 1 4 1 1 0 1 4 [ K ] = 4 0 − 1 2 − 1 0 [ M ] = 24 0 0 − 1 2 − 1 0 0 1 0 0 0 −1 1 0 0 0
取时间步长 ∆t = 0.01 ，计算结果如下 时间 节点1 节点2 温度 节点3
0 0 1 4 1
0 1 0 0 0 {Q} = 0 0 1 2 1
节点4
节点5
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09
7 瞬态热传导问题有限元分析
7.1 瞬态热传导问题有限元分析
瞬态热传导问题的“虚位移”原理为
∫
Ω
& )dΩ + (δT )q dΓ + h(T − T )δTdΓ k∇T ⋅ ∇(δT )dΩ = ∫ δT (Q − ρCT ∫ ∫ 0
Ω Γ2 Γ3
(7.1.1)
将插值公式
T = [ N ]{q} & = [ N ]{q &} T
δT = [ N ]δ {q}
∇T = [ B]{q} ∇(δT ) = [ B]δ {q}
代入方程(7.1.1)得 &} − {Q}) = 0 {δq}T ([ K ]{q} + [C ]{q 其中
FECh稳态热传导问题的有限元法.ppt
A1 (u ) A(u ) A2 (u ) 0 ...
（在域 内）
（10-10）
未知函数u还满足边界条件，
B1 (u ) B(u ) B2 (u ) 0 ....
（在
边界上）
（10-11）
如果未知函数u是上述边值问题的精确解，则在域中的 任一点上 u 都满足微分方程（ 10-10 ），在边界的任一 点上都满足边界条件（10-11）。对于复杂的工程问题 ，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解 。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数， n 一般表示为: （10-12） uu N i ai Na
x y z
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的 温度场满足Laplace方程，
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
（10-9）
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初 始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考 虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计 算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。 温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单 元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简 单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学 问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元 的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工 程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也 很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度 场计算的一个难点。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同， 热传导方程可写为以下形式，
T 2T 2T 2T c 2 2 2 Q t x y z
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要 指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的 温度分布情况，
（在域 内）
（10-10）
未知函数u还满足边界条件，
B1 (u ) B(u ) B2 (u ) 0 ....
（在
边界上）
（10-11）
如果未知函数u是上述边值问题的精确解，则在域中的 任一点上 u 都满足微分方程（ 10-10 ），在边界的任一 点上都满足边界条件（10-11）。对于复杂的工程问题 ，这样的精确解往往很难找到，需要设法寻找近似解 。所选取的近似解是一族带有待定参数的已知函数， n 一般表示为: （10-12） uu N i ai Na
x y z
考虑物体不包含内热源的情况，各向同性材料中的 温度场满足Laplace方程，
2T 2T 2T 2 2 0 2 x y z
（10-9）
在分析稳态热传导问题时，不需要考虑物体的初 始温度分布对最后的稳定温度场的影响，因此不必考 虑温度场的初始条件，而只需考虑换热边界条件。计 算稳态温度场实际上是求解偏微分方程的边值问题。 温度场是标量场，将物体离散成有限单元后，每个单 元结点上只有一个温度未知数，比弹性力学问题要简 单。进行温度场计算时有限单元的形函数与弹性力学 问题计算时的完全一致，单元内部的温度分布用单元 的形函数，由单元结点上的温度来确定。由于实际工 程问题中的换热边界条件比较复杂，在许多场合下也 很难进行测量，如何定义正确的换热边界条件是温度 场计算的一个难点。
对于各向同性材料，不同方向上的导热系数相同， 热传导方程可写为以下形式，
T 2T 2T 2T c 2 2 2 Q t x y z
除了热传导方程，计算物体内部的温度分布，还需要 指定初始条件和边界条件。初始条件是指物体最初的 温度分布情况，
《有限元法及其应用》课件
实例
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
某型战斗机的机翼设计过程中，通过有限元分析，优化了机翼的结构和材料分布，提高了机翼的抗弯和 抗扭能力，同时减小了机翼的气动阻力，为飞机的高性能提供了保障。
汽车碰撞模拟
01
总结词
利用有限元法模拟汽车碰撞过程，评估汽车的安全性能和 改进设计方案。
02 03
详细描述
汽车碰撞是交通事故中最为严重的一种情况，有限元法能 够模拟汽车碰撞过程，对汽车的结构、材料和吸能设计等 进行评估，为汽车的安全性能提供科学依据。同时，通过 模拟不同碰撞条件下的结果，可以为汽车设计提供改进方 案。
通过离散化的方法，将连续的偏微分 方程转化为离散的代数方程组。
刚度矩阵与载荷向量
刚度矩阵
描述了每个单元的刚度关系，反 映了单元之间的相互作用。
载荷向量
描述了作用在每个节点上的外力 。
位移求解与应力分析
位移求解
通过求解离散化的代数方程组，得到每个节点的位移。
应力分析
根据位移求解的结果，通过计算得到每个单元的应力应变状态。
有限元法的应用领域
结构分析
有限元法在结构分析中应用最为广泛，可 以用于分析各种结构的应力、应变、位移
等。
电磁场分析
有限元法可以用于分析电磁场中的电场强 度、磁场强度、电流密度等，如电磁兼容
性分析、天线设计等。
流体动力学
有限元法可以用于模拟流体在各种复杂环 境下的流动行为，如航空航天、船舶、汽 车等领域的流体动力学问题。
应用领域
广泛应用于科学研究和工 程领域，如化学、生物医 学、电磁学等。
FE-SAFE
概述
FE-SAFE是一款用于结构疲劳分析的有限元软件 ，基于有限元方法进行疲劳寿命预测。
特点
有限元法PPT课件
重工业
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
Motorola– Drop Test Fujitsu-Computers Intel –Chip Integrity
电子
Baxter - Equipment J&J – Stents Medtronic - Pacemakers
医疗
Principia-spain Arup-U.K. T.Y. Lin - Bridge
有限元法
左图所示,为分析齿轮上一个齿内的应力分布,可分析图中所示的一个平面截面内位移分布.作为近似解,可以先求出图中各三角形顶点的位移.这里的 三角形就是单元,其顶点就是节点。
从物理角度理解, 可把一个连续的齿形截面单元之间在节点处以铰链相链接,由单元组合而成的结构近似代替原连续结构,在一定的约束条件下,在给定的载荷作用下,就可以求出各节点的位移,进而求出应力.
一.Abaqus公司简介
公司
’00 ’01 ’02 ’03 ’04 ‘05 ’06 ‘07
18%
18%
20%
SIMULIA公司（原ABAQUS公司）成立于1978年，全球超过600名员工，100% 专注于有限元分析领域。 全球28个办事处和9个代表处 业务迅速稳定增长，是当前有限元软件行业中唯一保持两位数增长率的公司。 2005年5月ABAQUS加入DS集团,将共同成为全球PLM的领导者
Where :
Displacement interpolation functions (位移插值函数)
13.3 Approximating Functions for Two-Dimensional Linear Triangular Elements (二维线性三角形单元的近似函数)
node (节点)
element(单元)
6 稳态热传导问题的有限元法
6. 穩態熱傳導問題的有限元法本章的內容如下：6.1熱傳導方程與換熱邊界6.2穩態溫度場分析的一般有限元列式 6.3三角形單元的有限元列式 6.4溫度場分析舉例6.1熱傳導方程與換熱邊界在分析工程問題時，經常要瞭解工件內部的溫度分佈情況，例如發動機的工作溫度、金屬工件在熱處理過程中的溫度變化、流體溫度分佈等。
物體內部的溫度分佈取決於物體內部的熱量交換，以及物體與外部介質之間的熱量交換，一般認為是與時間相關的。
物體內部的熱交換採用以下的熱傳導方程（Fourier 方程）來描述，Q z T z y T y x T x tT c+⎪⎭⎫⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂=∂∂z y x λλλρ （6-1）式中ρ為密度，kg/m 3； c 為比熱容，K)J/(kg ⋅；z y x λλλ,,為導熱係數，)k m w ⋅；T 為溫度，℃；t 為時間，s ；Q 為內熱源密度，w/m 3。
對於各向同性材料，不同方向上的導熱係數相同，熱傳導方程可寫為以下形式，Q zT yT xT tT c222222+∂∂+∂∂+∂∂=∂∂λλλρ （6-2）除了熱傳導方程，計算物體內部的溫度分佈，還需要指定初始條件和邊界條件。
初始條件是指物體最初的溫度分佈情況，() z y,x,T T00t ==（6-3）邊界條件是指物體外表面與周圍環境的熱交換情況。
在傳熱學中一般把邊界條件分為三類。
1）給定物體邊界上的溫度，稱為第一類邊界條件。
物體表面上的溫度或溫度函數為已知，s sT T=或 ),,,(t z y x T Ts s=（6-4）2）給定物體邊界上的熱量輸入或輸出，稱為第二類邊界條件。
已知物體表面上熱流密度，s sz zy yx xq n zT n yT n xT =∂∂+∂∂+∂∂)(λλλ或),,,()(t z y x q n zT n yT n xT s sz zy yx x=∂∂+∂∂+∂∂λλλ（6-5）3）給定對流換熱條件，稱為第三類邊界條件。
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这里，
PPf PTP0
焊接过程的仿真分析
二十世纪七十年代以来，国内外很多学者都对数值 模拟技术在焊接中的应用进行了研究，取得了不少 成果。特别是“计算焊接力学（Computational Weld Mechanics）”的发展使焊接模拟有了更为 坚实的理论基础。
例如，欧洲空中客车340飞机开发中，飞机机身的 铝合金蒙皮壁板的纵向加强筋采用激光束焊接。主 要问题是保持低变形和减少残余应力。要考虑接头 类型的变化、焊接顺序、冷却条件、装夹模式及纵 向预载荷等措施，决定这些措施及组合，就需要采 用焊接热力数值模拟技术。
N n 1
N n1
(0 1)
用加权余量法建立两点循环公式
由于采用近似插值，在时间域 t 内，方程将产 生余量，对于这一时间区域，典型的加权余量格式 可以表示为如下形式
1
0[ C ( N n n N n 1 n 1 ) K ( N n n N n 1 n 1 ) P ] d 0
焊接过程的仿真分析
焊接热力耦合分析
耦合分析是指在有限元分析的过程中考虑多种物理场的 交叉作用和相互影响。耦合分析最终可归结为两种不同的 方法：直接耦合和顺序耦合。
直接耦合
顺序耦合
•包含所有必须自由度 的耦合单元类型 •仅仅通过一次求解就 能得出耦合场分析结 果
•按照顺序进行两次相 关场分析 •把第一次场分析的结 果作为第二次场分析 的载荷
将求解的时间域0t T划分成若干个时间步长 t
在一定数目的 t 时间区域内，假设 和 的函数
形式来近似方程的精确解
仅在相隔 t 的离散时间点上满足微分方程来代替时
间域内任何时刻t都满足微分方程
进一步假设 t0 0 ,t1 t,t2 2 t, ,tn n t时刻的
当 n 和P都已知时，就可以求得下一时刻的 n 1 这就是
两点循环公式，可以记成
Kn1 Qn1
其中
KC/tK
Q n 1 [ C / t ( 1 ) K ]n ( 1 ) P n P n 1
参数θ的选择
θ =0
n
n+1
θ =1/2
焊接过程的仿真分析
当两种物理场相互作用不明显，或者一种物理场对 另一种物理场有决定性影响，而后一种物理场对前 一种物理场影响较小时，进行两种物理场的完全耦 合分析会使分析的问题过于复杂化，这时就可以考 虑使用顺序耦合分析。顺序耦合分析具有很高的效 率和灵活性。
焊接过程的塑性变形热和相变潜热与焊接热输入相 比，可以忽略不计。焊接热分析的温度场决定了焊 接结构分析的应力场和变形场，而焊接力学场对温 度场的影响较小。因此，一般进行顺序耦合热力分 析。将焊接热分析各载荷步的温度场结果作为力学 分析的热载荷，进行求解。
解都已经求得，下一步要计算的是t n 1 时刻的温度场
n1
瞬态热传导方程的数值解法
用加权余量法建立两点循环公式
在两个时间点t n 和 t n 1 之间的 t 时间区域内，采取如
下线性插值形式
(tn t) N nn N n 1n 1
其中，
t t
当求解初值问题时，如果已知一组参数 n ，则
可以利用上式近似确定另一组参数 n 1 。将插值函数 及其导数代入加权余量表达式，经过整理，得到
( C / t K )n 1 [ C / t K ( 1 ) ]n P
其中
01d
1d 0
P 1Pd 0
热应力的计算
物体由于热膨胀只产生线应变，而剪切应变为零。这种由于热 变形产生的应变可以看作是物体的初应变 0 ，对于三维问题，
0 ( 0 ) [ 111000 ]
物体存在初应变的情况下，应力应变关系可表示成
D(0)
将上式代入虚位移原理的表达式，并进行有限元离散，得到
Ka P
令
(yi)n1(yi)n
则
1it(1)
1it
解的稳定性问题
避免发散 1 避免振荡 0
解的稳定性问题
避免发散
1 （后差分、中心差分）无条件稳定
2
0
1 2
（前差分） tBiblioteka (122 )i
时，稳定
避免振荡
t
1
(1 )i
解的稳定性问题
01d
用加权余量法建立两点循环公式
( C / t K )n 1 [ C / t K ( 1 ) ]n P
其中
01d
1d 0
P 1Pd 0
01d
假定P采用与未知场函数φ相同的插值表达式，得到
PPn1Pn(1)
θ =1
θ =1/2
θ =2/3
θ =1/3
前差分公式 中心差分公式 后差分公式 ω为常数
伽辽金型权函数
解的稳定性问题
解的稳定性一般利用不耦合的齐次方程来讨论
Ciyi Kiyi 0
解析式为
yi Aieit
其中 A i 是任意常数，i Ki /Ci
用两点循环公式求解
( C i/ t K i) ( y i ) n 1 [ C i/ t K i ( 1 ) ] ( y i ) n 0
热传导问题的有限元方法
——焊接过程的ANSYS仿真
L/O/G/O
目录
1 瞬态热传导方程的数值解法
2
焊接过程的仿真分析
3 环焊缝的ANSYS仿真实例
4
难点和工作安排
瞬态热传导方程的数值解法
瞬态温度场中n个节点温度φ的有限元方 程为
CKP
求解一阶偏微分方程
时间积分 模态叠加
瞬态热传导方程的数值解法
焊接过程的仿真分析
焊接过程的仿真分析
当位移显著的改变结构的 刚度时，则被视为几何非 线性
几何非线 性
焊接过程中的非 线性现象
材料非线
性
影响焊接热力的材 料热物理参数和力 学参数均与焊接热 循环过程有关，是 温度的非线性函数
状态非线 性
焊接过程中会出现一系 列相变，由于材料的状 态不同，其本构关系也 要随之变化，这种现象 称为状态非线性问题， 例如在低温区域使用弹 塑性材料模型，而高温 区域使用弹粘塑性本构 模型