勾股定理2(4)
初二上勾股定理(经典题型)
初二上勾股定理(经典题型)数学秋季班教案第十九章几何证明——勾股定理及两点之间的距离公式知识回顾】勾股定理是指对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a²+b²=c²（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方）。
勾股定理的逆定理是指如果三角形的三边长a、b、c有关系，a²+b²=c²，那么这个三角形是直角三角形。
常见的勾股数有(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(8n,15n,17n)、(7n,24n,25n)、(9n,40n,41n)等。
勾股定理的证明图如下：两点之间的距离公式是AB = √[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²]。
例题讲解】例题1：已知a₁=1，a₂=5，a₃=13，a₄=25，a₅=41，a₆=61.aₙ=aₙ₋₂+aₙ₋₃，求a₇。
解析：根据题意，a₇=a₅+a₄=66.例题2：如图所示，已知△ABC的三边AB=15，BC=20，AC=25，求△ABC最长边上的高。
解析：根据海伦公式，可得△ABC的面积为150，再根据最长边上的高公式，可得最长边上的高为12.例题4：已知如图△ABC中，∠CAB=90°，AB=AC，E、F为BC上的点且∠EAF=45°，求证：EF²=BE²+FC²．解析：根据勾股定理，可得BE²=AB²-AE²，FC²=AC²-AF²，代入EF²=BE²+FC²中得证。
例题6：一只2.5m长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯脚距离墙角0.7m，如果梯子的顶端沿墙下滑0.4m，那么梯脚移动的距离是多少？解析：根据勾股定理，可得梯子顶端到地面的距离为√(2.5²-0.7²-0.4²)=2.31m，因此梯脚移动的距离为2.31-0.7=1.61m。
勾股定理的10种证明方法
勾股定理的10种证明方法一、赵爽弦图证明法。
这可是我国古代数学家赵爽的智慧结晶呢。
想象一下，有一个大正方形，它的边长是直角三角形的斜边c 。
然后在这个大正方形里，用四个一模一样的直角三角形拼一拼，就会发现中间还空出了一个小正方形。
这四个直角三角形的面积那就是4×(1/2)ab ，中间小正方形的边长是b a ，它的面积就是(b a)²。
而大正方形的面积呢，就是c²。
因为大正方形的面积等于四个直角三角形的面积加上中间小正方形的面积，所以就有c² = 4×(1/2)ab+(b a)²。
把这个式子展开化简一下，就得到a² + b² = c ²啦，是不是挺神奇的。
二、毕达哥拉斯证明法。
毕达哥拉斯这位大神也有自己独特的证明方法哦。
假设有两个全等的直角三角形，它们的直角边分别是a和b ，斜边是c 。
把这两个三角形拼成一个梯形，梯形的上底是a ，下底是b ，高是a + b 。
那这个梯形的面积就是(1/2)(a + b)(a + b) 。
同时呢，这个梯形的面积又等于三个三角形的面积之和，这三个三角形两个是原来的直角三角形，面积和是2×(1/2)ab ，还有一个是边长为c的等腰直角三角形，面积是(1/2)c²。
所以(1/2)(a + b)(a + b)=2×(1/2)ab+(1/2)c²，整理一下这个式子，就又得到a² + b² = c²啦。
三、总统证法。
你没听错，这是美国总统加菲尔德证明的哦。
他的证明方法还挺巧妙的呢。
有一个直角梯形，上底是a ，下底是b ，高是a + b 。
这个梯形是由三个直角三角形组成的，两个小的直角三角形直角边分别是a和b ，还有一个大的直角三角形斜边是c 。
梯形的面积是(1/2)(a + b)(a + b) ，三个三角形的面积和是(1/2)ab+(1/2)ab+(1/2)c²。
17.1 勾股定理(2)勾股定理的应用 参考解析
17.1 勾股定理第2课时勾股定理的应用课前预习1.应用勾股定理的前提条件是在直角三角形中.如果三角形不是直角三角形，要先构建直角三角形，再利用勾股定理求未知边的长.2.利用勾股定理可以解决与直角三角形有关的计算和证明，其主要应用如下：（1）已知直角三角形的任意两边求第三边；（2）已知直角三角形的任意一边，确定另外两边的关系；（3）证明包含平方关系的几何问题；（4）构造方程（或方程组）计算有关线段的长.3.一般地，n为正整数），通常是利用勾股定理作图.课堂练习知识点1 勾股定理的实际应用1.如图，AB=BC=CD=DE=1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE=___2___.2.【核心素养·数学抽象】如图，在高为3米，斜坡长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯的长度至少需要___7___米.3.（教材改编）如图，滑竿在机械槽内运动，∠ACB为直角，已知滑竿AB长2.5米，顶点A在AC上滑动，量得滑竿下端B距C点的距离为1.5米，当端点B向右移动0.5米时，滑竿顶端A下滑___0.5___米.【解析】在Rt△ACB中，根据勾股定理，得AC=22-=2.在2.5 1.5AB CB-=22Rt△ECD中，根据勾股定理，得CE=22-=1.5.∴AE=AC -ED CD2.52-=22CE=2-1.5=0.5.即滑竿顶端A下滑0.5米.故答案为0.5.4.如图，小旭放风筝时，风筝线断了，风筝挂在了树上.他想知道风筝距地面的高度﹒于是他先拉住风筝线垂直到地面上，发现风筝线多出1米，然后把风筝线沿直线向后拉开5米，发现风筝线未端刚好接触地面.请你帮小旭求出风筝距离地面的高度AB.解：根据题意，得AC=AB+1，BC=5米.在Rt△ABC中，BC2+AB2=（1+AB）2.解得AB=12（米）.答：风筝距离地面的高度AB 为12米.5.放学以后，小东和晓晓从学校分手，分别沿东南方向和西南方向回家，若小东和晓晓行走的速度都是40米/分钟，小东用15分钟到家，晓晓用20分钟到家，求小东和晓晓家的直线距离.解：根据题意作图，由图可知△ABO是直角三角形，OA=40×20=800（米），OB=40×15=600（米）.在Rt△OAB中，根据勾股定理，得（米）.答：小东和晓晓家的直线距离为1 000米.知识点2 在数轴上表示无理数6.（2020玉溪红塔区期末）如图，数轴上的点A表示的数是-2，点B表示的数是1，CB⊥AB于点B，且BC=2，以点A为圆心，AC为半径画弧交数轴于点D，则点D表示的数为（C）.7.用直尺和圆规在如图所示的数轴上作出表示解：∵32+22=13，3和2的直角三角形的斜边长.∴课时作业练基础1.如图是由4个边长为1的正方形构成的“田字格”，只用没有刻度的直尺在这___8___条.30°，则以它的腰长为边2.有一个面积为的正方形的面积为___20___.3.如图，有两棵树，一棵高10米，另一棵高4米，两树相距8米，一只小鸟从一棵树的树顶飞到另一棵树的树顶，小鸟至少飞行（B）A.8米B.10米C.12米D.14米4.《九章算术》是古代东方数学代表作，书中记载：今有开门去阃（读ｋǔｎ，门槛的意思）一尺，不合二寸，问门广几何？题目大意是：如图1，图2，推开双门，双门间隙C，D的距离为2寸，点C和点D距离门槛AB都为1尺（1尺=10 寸），则AB的长是（C）A.50.5寸B.52寸C.101寸D.104寸5.（2020盘龙区期末）如图，小巷左右两侧是竖直的墙，一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离BC为0.7米，梯子顶端到地面的距离AC为2.4米，如果保持梯子底端位置不动，将梯子斜靠在右墙时，梯子顶端到地面的距离A′D为 1.5米，则小巷的宽为（C）A.2.5米B.2.6米C.2.7米D.2.8米【解析】在Rt△ACB中，∵∠ACB=90°，BC=0.7米，AC=2.4米，∴AB2=0.72+2.42=6.25.在Rt△A′BD中，∵∠A′DB=90°，A′D=1.5米，BD2+A′D2=A′B2，∴BD2+1.52=6.25.∴BD2=4.∵BD＞0，∴BD=2米.∴CD=BC+BD=0.7+2=2.7米.故选C.6.如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为（-2，3），以点O为圆心，OP的长为半径画弧，交x轴的负半轴于点A，则点A的横坐标在（B）A.-3和-2之间B.-4和-3之间C.-5和-4之间D.-6和-5之间7.如图，在边长为1的正方形网格中，△ABC的三边a，b，c的大小关系是（B）A.c＜b＜aB.c＜a＜bC.a＜c＜bD.a＜b＜c8.（教材改编）小明拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿的长和门的高. 解：根据题意作图，由图可知AD=4尺.设门高AB为x尺，则竹竿的长BD为（x+1）尺.在Rt△ABD中，由勾股定理得AB2+AD2=BD2，即x2+42=(x+1)2，解得x=7.5.则x+1=8.5.答：竹竿的长为8.5尺，门高为7.5尺.9.【核心素养·数学抽象】一根直立的旗杆AB长 8 m，一阵大风吹过，旗杆从C点处折断，顶部（B）着地，离杆脚（A）4 m，如图.工人在修复的过程中，发现在折断点C的下面1.25 m 的D处，有一明显伤痕，如果下次大风将旗杆从D 处刮断，则杆脚周围多大范围内有被砸伤的危险？解：在Rt △ABC 中，设AC 的长为x m ，则BC 的长为（8-x ）m.根据勾股定理，得AC 2+AB 2=BC 2，即x 2+42=（8-x ）2.解得x=3，即AC=3.当从点D 处折断时，AD=AC-CD=3-1.25=1.75，∴BD=8-1.75=6.25.∴AB=3675.125.62222=-=-AD BD =6 （m ）.答：杆脚周围6 m 范围内有被砸伤的危险.10.如图，铁路上A ，B 两站（视为直线上的两点）相距25 km ，DA ⊥AB 于点A ，CB ⊥AB 于点B ，DA=15 km ，CB=10 km ，现要在铁路上建设一个土特产收购站E ，使得C ，D 两村到收购站E 的距离相等，则收购站E 应建在距离A 站多少km 处？解：∵C ，D 两村到E 点的距离相等，∴CE=DE.在Rt △DAE 和Rt △CBE 中，根据勾股定理，得DE 2=AD 2+AE 2，CE 2=BE 2+BC 2，∴AD 2+AE 2=BE 2+BC 2.设AE=x km ，则BE=（25-x ）km.x 2+152=(25-x)2+102.解得x=10.答：收购站E 应建在距离A 站10 km 处.提能力11.如图，小正方形的边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC ，则BC 边上的高是（ A ）A.223 B.1055 C.553 D.554【解析】由图形，根据勾股定理可得ABC 的面积为2×2-12×1×1-12×1×2-12×1×2=4-12-2=32，再根据△ABC 面积的不同计算方法得32=12BC 边上的高.故选A. 12.有一辆装满货物的卡车，高5 m ，宽3.2 m （货物的顶部是水平的），要通过如图所示的截面的上半部分是半圆，下半部分是长方形的隧道，已知半圆的直径为4 m ，长方形竖直的一条边长是4.6 m.这辆卡车能否通过此隧道？请说明理由.解：能通过. 理由如下：如图，设O 为半圆的圆心，AB 为半圆的直径，在OB 上截取OE=3.2÷2=1.6（m ），过点E 作EF ⊥AB 交半圆于点F ，连接OF.在Rt △OEF 中，OF 2=OE 2+EF 2，即22=1.62+EF 2，解得EF=1.2 m.因为1.2+4.6=5.8（m ）＞5 m ，所以这辆卡车能通过此隧道.。
常见勾股定理公式表
常见勾股定理公式表勾股定理是一个基本的几何定理，指直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方。
接下来分享常见勾股定理公式，供参考。
常见的勾股定理公式(1)（3，4，5）,（6，8，10）……3n,4n,5n(n是正整数)(2)（5，12，13）,（7，24，25）,（9，40，41）……2n＋1,2n^2＋2n,2n^2＋2n＋1(n是正整数)(3)(8，15，17),(12，35，37)……2^2*(n＋1),[2(n＋1)]^2－1，[2(n＋1)]^2＋1(n是正整数)(4)m^2－n^2,2mn,m^2＋n^2(m、n均是正整数，m>n)三角形勾股定理公式1.基本公式在平面上的一个直角三角形中，两个直角边边长的平方加起来等于斜边长的平方。
如果设直角三角形的两条直角边长度分别是a和b，斜边长度是c，那么勾股定理的公式为a²+b²=c²。
2.完全公式a=m，b=(m²/k-k)/2，c=(m²/k+k)/2其中m≥3(1)当m确定为任意一个≥3的奇数时，k={1，m²的所有小于m的因子}(2)当m确定为任意一个≥4的偶数时，k={m²/2的所有小于m的偶数因子}勾股数的规律（1）当a为大于1的奇数2n+1时，b=2n²+2n,c=2n²+2n+1。
实际上就是把a的平方数拆成两个连续自然数，例如：n=1时(a,b,c)=(3,4,5)n=2时(a,b,c)=(5,12,13)n=3时(a,b,c)=(7,24,25)（2）当a为大于4的偶数2n时，b=n²-1,c=n²+1，也就是把a的一半的平方分别减1和加1，例如：n=3时(a,b,c)=(6,8,10)n=4时(a,b,c)=(8,15,17)n=5时(a,b,c)=(10,24,26)。
勾股定理
勾 股 定 理１．勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么222a b c += 勾股定理的由来：勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前，周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五”形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方 2.勾股定理的适用范围勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形 3.勾股定理的应用 ①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则22c a b =+，22b c a =-，22a c b =- ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系 ③可运用勾股定理解决一些实际问题 4.勾股定理的逆定理如果三角形三边长a ，b ，c 满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边 ①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和22a b +与较长边的平方2c 作比较，若它们相等时，以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形；若222a b c +<，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是钝角三角形；若222a b c +>，时，以a ，b ，c 为三边的三角形是锐角三角形；②定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边 ③勾股定理的逆定理在用问题描述时，不能说成：当斜边的平方等于两条直角边的平方和时，这个三角形是直角三角形题型一：直接考查勾股定理 例１.在ABC ∆中，90C ∠=︒．⑴已知6AC =，8BC =．求AB 的长 ⑵已知17AB =，15AC =，求BC 的长题型二：应用勾股定理建立方程 例２.⑴在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，5AB =cm ，3BC =cm ，CD AB ⊥于D ，CD ＝ ⑵已知直角三角形的两直角边长之比为3:4，斜边长为15，则这个三角形的面积为 ⑶已知直角三角形的周长为30cm ，斜边长为13cm ，则这个三角形的面积为 分析：在解直角三角形时，要想到勾股定理，及两直角边的乘积等于斜边与斜边上高的乘积．有时可根据勾股定理列方程求解例３.如图ABC ∆中，90C ∠=︒，12∠=∠， 1.5CD =， 2.5BD =，求AC 的长21EDCBA例4.如图Rt ABC ∆，90C ∠=︒3,4AC BC ==,分别以各边为直径作半圆，求阴影部分面积题型三：实际问题中应用勾股定理例5.如图有两棵树，一棵高8cm ，另一棵高2cm ，两树相距8cm ，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵数的树梢，至少飞了 mABCD E题型四：利用勾股定理求线段长度——例题6 如图4，已知长方形ABCD 中AB=8cm,BC=10cm,在边CD 上取一点E ，将△ADE 折叠使点D 恰好落在BC 边上的点F ，求CE 的长.BAC7.关于翻折问题例7、如图，矩形纸片ABCD 的边AB=10cm ，BC=6cm ，E 为BC 上一点，将矩形纸片沿AE 折叠，点B 恰好落在CD 边上的点G 处，求BE 的长.变式：如图，AD 是△ABC 的中线，∠ADC=45°，把△ADC 沿直线AD 翻折，点C 落在点C ’的位置，BC=4,求BC ’的长.课后训练： 一、填空题1．如图(1)，在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长至少需________米．图(1)2．种盛饮料的圆柱形杯（如图），测得内部底面半径为2.5㎝，高为12㎝，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6㎝，问吸管要做 ㎝。
期末复习(二) 勾股定理
解：根据题意，得 ， .又 ， .又 ， .
（2） 的度数.
[答案] ， ， ， ， 为直角三角形， .由（1）得 为等腰直角三角形， ， .
重难点3 勾股定理在实际生活中的应用
【例3】如图，高速公路的一侧有 ， 两个村庄，它们到高速公路所在直线 的距离分别为
（1）你认为这个零件符合要求吗？为什么？
解：这个零件符合要求. ， ， . .又 ， ， . .
（2）求这个零件的面积.
[答案] 由（1）知 ， ，∴这个零件的面积为 .
19.（12分）给出定义:若一个四边形中存在相邻两边的平方和等于一条对角线的平方，则称该四边形为勾股四边形.
A
A. 直角三角形 B. 锐角三角形C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
第5题图
5.如图，“赵爽弦图”是吴国的赵爽创制的.以直角三角形的斜边为边长得到一个正方形，该正方形由4个全等的直角三角形再加上中间的小正方形组成，在一次游园活动中，数学小组制作了一面“赵爽弦图锣”，其中
C
A. B. C. D.
第7题图
7.图1是由边长为1的六个小正方形组成的图形，它可以围成图2所示的正方体，则图1中正方形的顶点 , 在图2围成的正方体中的距离是( )
C
A. B. C. D.
8.如图，在 中， 于点 ， ， ， ，则 的为( )
B
A. B. C. D.
3.图1是放置在水平面上的可折叠式护眼灯，其中底座的高 ，连杆 ，灯罩 .如图2，转动 ， ，使得 成平角，且灯罩端点 离桌面 的高度 为 ，求 的距离.
解：过点 作 于点 . ， ，∴四边形 为矩形. ， . ， ，
∴在 中， . 的距离为 .
八年级数学勾股定理2
c2
；
a c
c a
b a
∵ c2= 4•ab/2 +(b-a)2 =2ab+b2-2ab+a2 =a2+b2 ∴a2+b2=c2
a
b
b c
b c
2 (a+b) 大正方形的面积可以表示为 ；
也可以表示为 c2 +4•ab/2
a b
a
b
c
c
a
b
c
∵ (a+b)2 = c2 + 4•ab/2 a2+2ab+b2 = c2 +2ab ∴a2+b2=c2
18.1 勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么 a 2 即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
b c
2
2；
勾股定理的证明
证明方法1：数方格
（1）观察图1-1
正方形A中含有 小方格，即A的面积是
16 个
A
B
图1-1
C
16 个单位面积。
正方形B的面积是
9 个单位面积。
2 2 2
25
24
如果将题目变为：
在Rt△ABC中,AB=25, BC=24, A 求AC的长呢？
7 24 C
在直角三角形中，已知两边可以求第三边
例2
已知等边三角形ABC的边长是6cm，
A
(1)求高AD的长；(2)S△ABC 解：(1) ∵△ABC是等边三角形，AD是高
1 BD BC 3 2
2 2
B
2
D
C
在Rt△ABD中 , 根据勾股定理
AD AB BD
勾股定理
4. 三角形的三边长为 则这个三角形是( 则这个三角形是( ) A. 等边三角形 B. 钝角三角形 D. 锐角三角形 C. 直角三角形 5．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则 第三边长是（ ） A．5 B．25 C． 7 D．5或 7 =90° =14cm， 6．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm， 已知Rt△ Rt 中 c=10cm，则Rt△ABC的面积是（ =10cm， Rt△ 的面积是（ ） B. 36cm2 C. 48cm2 D. 60cm2 A. 24cm2 7．直角三角形中一直角边的长为 ，另两边为连续 ．直角三角形中一直角边的长为9， 自然数，则直角三角形的周长为（ 自然数，则直角三角形的周长为（ ） A．121 B．120 C．90 D．不能确 定
A
毕达哥拉斯证法: 毕达哥拉斯证法:
a a c b
1 Ｓ大正方形=4× ab+a2+b2 × 2
=2ab+a2+b2
1 Ｓ大正方形=4× ab+c2 × 2
b
=2ab+c2 ∵Ｓ大正方形=Ｓ大正方形 Ｓ ∴2ab+a2+b2=2ab+c2 ∴a2+b2=c2
一、相信你一定能选对！（每小题4分，共32分） 相信你一定能选对！（每小题 分 ！（每小题 分 1. 三角形的三边长分别为6,8,10，它的最短边上的高 为( ) A. 6 B. 4.5 C. 2.4 D. 8 2 2 2 2 2. 下面几组数:①7,8,9；②12,9,15；③ m + n , m − n , 2 a , a 2 +1 , a 2 + 2 . 2mn（m，n均为正整数,m＞n）④ 其中能组成直角三角形的三边长的是( ) A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ③④ 三角形的三边为a、 、 ， 3. 三角形的三边为 、b、c，由下列条件不能判断 它是直角三角形的是（ 它是直角三角形的是（ ） A．a:b:c=8∶16∶17 B． a2-b2=c2 ． : : ∶ ∶ ． C．a2=(b+c)(b-c) D． a:b:c ． ． : : =13∶5∶12 ∶ ∶
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O
B
D
分析:DB=OD-OB,求BD,可以 先求OB,OD.
在Rt△AOB中,
在Rt△AOB中，
OB 2 A__B_2___A_O_2___3_2___2_.5_2___2_._7_5, A
OB _______2_._7_5____1_._6_5_8_____.
C
在Rt△COD中， OD 2 _C_D__2__O__C_2___3_2___2_2___5___,
连结AC,在Rt△ABC中,根据勾股定理,
AC 2 AB2 BC2 12 22 5 D C
因此,AC= 5 ≈2.236 2m
因为AC_大__于___木板的宽,
AB
所以木板__能__ 从门框内通过. 1m
梯子问题
一个3m长的梯子AB,斜 A 靠在一竖直的墙AO上, 这时AO的距离为2.5m, C 如果梯子的顶端A沿墙 下滑0.5m,那么梯子底 端B也外移0.5m吗?
子，其中一只猴子爬下树走到离树20m处的池塘A
处，另一只猴子爬到树顶D后直接跃向池塘的A处
，如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树
多高。
D
x
30-x
B
10
C 20 A
4.如图，∠B=∠C=∠D=∠E=90°，且AB=CD=3， BC=4，DE=EF=2，则求AF的长。
A
3
B
C
3
4
3 10
E
D
2
2
B 2D
C S ABC= 12× 2× 2 2 =2 2
答：△ABC的面积为2 2
一 回顾交流
1 已知直角三角形ABC的三边为a、b、c ， ∠C＝ 90° ，则 a、b、c 三者之间的关系
是 a2 b2 c2 。
2、求出图中的x
B
x
10
6
Cx
A8 C
A 2 30°
x
A
8
x
C
3、直角△的两边长为８和１０，求第三边的 长度．
2
F
4
2
5.如图，铁路上A，B两点相距25km，C，D为两庄， DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km,CB=10km， 现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D 两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少km处？
4.△ABC中，周长是24，∠C=90°，且
AB=9，则三角形的面积是多少？
B
A
C
已知S1=1,S2=3,S3=2,S4=4,求S5、S6、S7的值
S2 S1 S5
S3
S4
S6
S7
学习目标
树立数形结合的思想，构造直角三 角形，利用勾股定理解决简单的实 际问题。
一个门框的尺寸如图所示，一块长3m，宽 2.2m的薄木板能否从门框内通过?为什么?
买最长的 吧！
快点回家， 好用它凉衣
服。
糟糕，太 长了，放 不进去。
如果电梯的长、宽、高分别是2米、2米、3米，那么， 能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估 计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
A
x
2米
2米
3米 3米
2米 2米
Cx
B
X2=22+22=8
AB2=32+X2=17
AB≈4米
再接再励
A
合作愉快
1.如图，公路MN和小路PQ在P处交汇,∠QPN=30°, 点A处有一所学校,AP=160m,假设拖拉机行使时,周围 100m内受噪音影响,那么拖拉机在公路MN上以 18km/h的速度沿PN方向行驶时,学校是否受到噪音的 影响?如果学校受到影响,那么受影响将持续多长时间?
N
D
E 60 B 60 80 100
P
30° 100
M 160
A
Q
2.如图，一条河同一侧的两村庄A、B，其中A、B 到河岸最短距离分别为AC=1km，BD=2km， CD=4cm，现欲在河岸上建一个水泵站向A、B 两村送水，当建在河岸上何处时，使到A、B两 村铺设水管总长度最短，并求出最短距离。
B
A 5
2
1
P
D
C14Biblioteka 1EA′4
3.有一棵树(如图中的CD)的10m高处B有两只猴
A
8, 15, 17
9, 40, 41
C
B
7、如图，已知∆ABC中， AB=AC=3，BC=2，求∆ABC的面
积解．：过点A作AD⊥BC，垂足为D，
A
3
3
AB AC, AD BC BD CD 1 BC 1 2 1
22
在Rt△ABD中，由勾股定理得
AD AB2 BD2 32 12 2 2
八年级数学组
勾股定理的各种表达式：
在Rt△ABC中，∠C=90°, ∠A 、∠B、 ∠C的对边分别为a 、b 、c ,则:
c2=a2+b2 a2=c2-b2
b2=c2-a2
c= a2 b2
a= c2 b2 b= c2 a2
常用的勾股数（能组成直角三角形，
并且为整数）：3，4，5；
6，8，10； 5，12，13； 7，24，25。
第2题图
折叠问题
1、如图，将矩形
ABCD沿EF折叠，使 点D与点B重合，已 知AB＝3，AD＝9， 求BE的长．
2、如图，折叠矩 形的一边AD，使 点D落在BC边的点 F处，已知AB＝ 8cm，BC＝10cm，
求EC的长．
3.矩形ABCD如图折叠，使点D落在BC边上的点F 处，已知AB=8，BC=10，求折痕AE的长。
2、已知圆柱形茶杯的高为12cm,底面直径为 5cm,将一根长为20cm的筷子放入茶杯，则 筷子露在茶杯口外的最小长度为________ 。
3. 如图，边长为1的正方体中，一只蚂蚁
从顶点A出发沿着正方体的外表面爬到顶 点B的最短距离是（ ）.
（A）3 （B )√ 5 （C）2 （D）1
B
C
2
B
1
A
OD ________5_____2_._2_3__6_____.
O
B
D
BD _O_D_－__O_B__=__2_._2_3_6_－__1_._6_5_8__≈_0_._5_8___.
梯子的顶端沿墙下滑0.5m,梯子底端外移_0_._5_8 _m__.
最值问题
1、小明家住在18层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿。
A
分析： 由于蚂蚁是沿正方体的外表面爬行的，
故需把正方体展开成平面图形（如图）.
复习
1．直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x2等于 （）
A.5
B.25
C.7
D.25或7
2．已知：如图 在△ABC中， ∠ACB=90°，以△ABC的各 边为在△ABC外作三个正方形 S1，S2，S3分别表示这三个正 方形的面积， S1=3，S2=5则 S3的边长为（ ）
A
10
D
X
8
10 X
E
(8- X)
B 6 F 4C
3.在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一
道有趣的问题这个问题意思是：有一个水池，水
面是一个边长为10尺的正方形,
D
在水池的中央有一根新生的芦苇， C
B
它高出水面1尺，如果把这根芦苇
拉向岸边，它的顶端恰好到达岸
边的水面，问这个水池的深度和
这根芦苇的长度各是多少？