高等数学(同济大学第五版) 第十二章答案

合集下载

同济大学《高等数学》第五版上册答案(详解)

解 (1)列方程,(2)解方程
练习 12-11
总习题十二
解正弦级数展开, 余弦级数展开
总习题十一
练习 12-1
练习 12-2
练习 12-3
练习 12-4
练习 12-5
练习 12-6
练习 12-7
提示：
提示：
练习 12-8
练习 12-9
总习题六
练习 7-1
练习 7-2
练习 7-3
练习 7-4
练习 7-5
练习 7-6
总习题七
练习 8-1
练习 8-2
>
练习 8-3
练习 8-4
练习 8-5
练习 2-5
总习题二
练习 3-1
练习 3-2
练习 3-3
练习 3-4
练习 3-5
练习 3-6
x
( 2)
y

y
+
yf(x) ↘
2 0 +
17/5
(2 1) 1
练习 10-4
练习 10-5
练习 10-6
练习 10-7
总习题十
练习 111
练习 112
练习 113
练习 11-4
练习 11-5
练习 11-7
练习 11-8
解正弦级数展开, 余弦级数展开
练习 8-6
练习 8-7
练习 8-8
总习题八
练习 9-1
练习 9-2
>>
<< >>
<<
练习 9-3
练习 9-4
总习题九
练习 10-1
练习 10-2
练习 10-3

高等数学(同济大学第五版)第十二章

习题12−11. 试说出下列各微分方程的阶数:(1)x (y ′)2−2yy ′+x =0;解一阶.(2)x 2y ′−xy ′+y =0;解一阶.(3)xy ′′′+2y ′+x 2y =0;解三阶.(4)(7x −6y )dx +(x +y )dy =0;解一阶.(5)022=++C Q dt dQ R dtQ d L ; 解二阶.(6)θρθρ2sin =+d d . 解一阶.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解:(1)xy ′=2y , y =5x 2;解 y ′=10x .因为xy ′=10x 2=2(5x 2)=2y , 所以y =5x 2是所给微分方程的解.(2)y ′+y =0, y =3sin x −4cos x ;解 y ′=3cos x +4sin x .因为y ′+y =3cos x +4sin x +3sin x −4cos x =7sin x −cos x ≠0,所以y =3sin x −4cos x 不是所给微分方程的解.(3)y ′′−2y ′+y =0, y =x 2e x ;解 y ′=2xe x +x 2e x , y ′′=2e x +2xe x +2xe x +x 2e x =2e x +4xe x +x 2e x .因为y ′′−2y ′+y =2e x +4xe x +x 2e x −2(2xe x +x 2e x )+x 2e x =2e x ≠0,所以y =x 2e x 不是所给微分方程的解.(4)y ′′−(λ1+λ2)y ′+λ1λ2y =0, .x x e C e C y 2121λλ+= 解 , .x x e C e C y 212211λλλλ+=′x x e C e C y 21222211λλλλ+=′′因为y y y 2121)(λλλλ+′+−′′)())((2121212121221121222211x x x x x x e C e C e C e C e C e C λλλλλλλλλλλλλλ++++−+= =0,所以是所给微分方程的解.x x e C e C y 2121λλ+= 3. 在下列各题中, 验证所给二元方程所确定的函数为所给微分方程的解:(1)(x −2y )y ′=2x −y , x 2−xy +y 2=C ;解将x 2−xy +y 2=C 的两边对x 求导得2x −y −xy ′+2y y ′=0,即 (x −2y )y ′=2x −y ,所以由x 2−xy +y 2=C 所确定的函数是所给微分方程的解.(2)(xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0, y =ln(xy ).解将y =ln(xy )的两边对x 求导得y y x y ′+=′11, 即xxy y y −=′. 再次求导得 )(1)()()1()(2222y y y y y x x xy x xy y y y x x xy y x y y x xy y y ′+′−′−⋅−=−+−′−=−−′+−−′=′′. 注意到由y y x y ′+=′11可得1−′=′y x y yx , 所以 )2(1])1([12y y y y x xxy y y y y y x x xy y ′+′−′−⋅−=′+′−′−′−⋅−=′′, 从而 (xy −x )y ′′+xy ′2+yy ′−2y ′=0,即由y =ln(xy )所确定的函数是所给微分方程的解.4. 在下列各题中, 确定函数关系式中所含的参数, 使函数满足所给的初始条件:(1)x 2−y 2=C , y |x =0=5;解由y |x =0=0得02−52=C , C =−25, 故x 2−y 2=−25.(2)y =(C 1+C 2x )e 2x , y |x =0=0, y ′|x =0=1;解 y ′=C 2e 2x +2(C 1+C 2x )e 2x .由y |x =0=0, y ′|x =0=1得, ⎩⎨⎧=+=10121C C C 解之得C 1=0, C 2=1, 故y =xe 2x .(3)y =C 1sin(x −C 2), y |x =π=1, y ′|x =π=0.解 y ′=C 1cos(x −C 2).由y |x =π=1, y ′|x =π=0得, 即, ⎩⎨⎧=−=−0)cos(1)sin(2121C C C C ππ⎩⎨⎧=−=0cos 1sin 2121C C C C 解之得C 1=1, 22π=C , 故2sin(π−=x y , 即y =−cos x . 5. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程:(1)曲线在点(x , y )处的切线的斜率等于该点横坐标的平方;解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点(x , y )处的切线斜率为y ′, 由条件y ′=x 2, 这便是所求微分方程.(2)曲线上点P (x , y )处的法线与x 轴的交点为Q , 且线段PQ 被y 轴平分.解设曲线为y =y (x ), 则曲线上点P (x , y )处的法线斜率为y ′−1, 由条件第PQ 中点的横坐标为0, 所以Q 点的坐标为(−x , 0), 从而有y x x y ′−=+−10, 即yy ′+2x =0. 6. 用微分方程表示一物理命题: 某种气体的气压P 对于温度T 的变化率与气压成正比, 所温度的平方成反比.解2T P k dT dP =, 其中k 为比例系数.习题12−111. 试用幂级数求下列各微分方程的解:(1)y ′−xy −x =1;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞=+=10n n n x a a y ,111011=−−−∑∑∞=+∞=−x x a x a x na n n n n n n 即 . 0])2[()12()1(112021=−++−−+−+∞=+∑n n n n x a a n x a a a 可见 a 1−1=0, 2a 2−a 0−1=0, (n +2)a n +2−a n =0(n =1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),于是 , 11=a 2102a a +=, !!313=a , !!4104a a +=, ⋅ ⋅ ⋅ , !)!12(112−=−k a k , !)!2(102k a a k +=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!2(1!)!12(1[120120∑∞=−++−+=k k k x k a x k a y ∑∑∞=∞=−++−+=12011202(!1)1(!)!12(1k k k k x k a xk a ∑∞=−−+++−=11220!)!12(1)1(12k k x x k e a , 即原方程的通解为∑∞=−−+−=1122!)!12(112k k x x k Ce y .(2)y ′′+xy ′+y =0;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,0)1(01122=++−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a xna x x a n n即 , 0])1()1)(2[(21220=++++++∑∞=+n n n n x a n a n n a a 于是 0221a a −=,1331a a −=, ⋅ ⋅ ⋅,1112!)!12()1(a k a k k −−=−−,02!)!2()1(a k a k k −=, ⋅ ⋅ ⋅. 所以 ]!)!12()1(!)!2()1([12112010+∞=+−+−++=∑k k k k k x k a x k a x a a y ∑∑∞=−−∞=−−+−=11211020!)!12()1()2(!!1k k k k k x k a x k a ∑∞=−−−−−+=1121120!)!12()1(2k k k x x k a e a , 即原方程的通解为∑∞=−−−−−+=1121221!)!12()1(2k k k x x k C e C y . (3)xy ′′−(x +m )y ′+my =0(m 为自然数);解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y , 0)()1(01122=++−−∑∑∑∞=∞=−∞=−n n n n n n n n n x a m xna m x x a n n x 即 . 0])())(1[()(1110=−−−++−∑∞=+n n n n x a m n a m n n a a m 可见 (a 0−a 1)m =0, (n −m )[(n +1)a n +1−a n ]=0 (n ≠m ),于是 a 0=a 1,)2( )2()1(1+≥+⋅⋅⋅−=+m n m n n a a m n ,)( !11m n a n a n ≤=. 所以 ∑∑∞+=+++=+⋅⋅⋅−+++=2111100)2()1(!m n n m m m m n n x m n n a x a x n a a y∑∑∞+=+++=+++=211100!)!1(!m n n m n m mn n n x a m x a n x a ∑∑∞+=+=++=1100!)!1(!m n n m m n n n x a m n x a )!()!1(!0100∑∑=+=−++=m n n x m m n n n x e a m n x a∑=+++−++=m n n m x m n x a m a e a m 0101!])!1([)!1(, 即原方程的通解为∑=+=m n n x n x C e C y 021!(其中C 1, C 2为任意常数). (4)(1−x )y ′=x 2−y ;解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y ,∑∑∞=∞=−−=−0211)1(n n n n n n x a x x na x 即 . 0])1[()13(231223201=+−++−−+++∑∞=+n n n n n x a na a n x a a x a a a 可见 a 1+a 0=0, 2a 2=0, 3a 3−a 2−1=0, (n +1)a n +1−(n −1)a n =0(n ≥3),于是 a 1=−a 0, a 2=0, 313=a , )1(221−=−=−n n a n n a n n (n ≥4). 因此原方程的通解为∑∞=−++−=43)1(231)1(n n x n n x x C y (C =a 0为任意常数). . (5)(x +1)y ′=x 2−2x +y .解设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==0n n n x a y, ∑∑∞=∞=−+−=+02112)1(n n n n n n x a x x x na x 即 . 0])1()1[()13()1(231232210=++−+−+++++−∑∞=+n n n n x a n a n x a a x a a a 于是 a 1=a 0, a 2=−1,323=a ,)4()1(4)1( 231≥−−=−−=−−n n n a n n a n n n. 因此原方程的通解为 ∑∞=−−−++−+=4332)1(4)1(32)1(n n n x n n x x x C y (C =a 0为任意常数). 2. 试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的解:(1)y ′=y 2+x 3, 21|0==x y ; 解根据初始条件, 可设方程的解为∑∞=+=121n n n x a y , 代入方程得 32111)21(x x a x na n n n n n n ++=∑∑∞=∞=−, 即 ⋅⋅⋅+++++++=+∑∑∞=∞=− )2(2414312232122113211x a a a x a a x a x a x x na a n n n n n n . 比较两边同次幂的系数得411=a , 2a 2=a 1, 3a 3=a 2+a 12, 4a 4=a 3+2a 1a 2+1, ⋅ ⋅ ⋅, 于是 411=a , 812=a , 1613=a , 3294=a , ⋅ ⋅ ⋅. 因此所求特解为329161814121432⋅⋅⋅+++++=x x x x y . (2)(1−x )y ′+y =1+x , y |x =0=0;解根据初始条件, 可设方程的解为, 代入方程得 ∑∞==1n n n x a y,x x a x na x n n n n n n +=+−∑∑∞=∞=−1)1(111即 . x x a n a n a n n n n +=−+−+∑∞=+1])1()1[(111比较系数得 , 11=a 212=a , )3( )1(121≥−=−=−n n n a n n a n n . 因此所求特解为∑∑∞=∞=−+=−++=232)1(1)1(121n n n n x n n x x n n x x y . 因为∑∞=−2)1(1n n x n n 的和函数为(1−x )ln(1−x )+x , 所以特解还可以写成 y =2x +(1−x )ln(1−x )+x .(3)0cos 22=+t x dt x d , x |t =0=a , 0|0==t dt dx . 解根据初始条件, 可设方程的解为. ∑∞=+=2n n n t a a x 将, ∑∞=+=2n nn t a a x ∑∞=−−=2222)1(n n n t a n n dt x d 和∑∞=−=02)!2()1(cos n n n t n t 代入方程得0)!2()1()()1(02222=−++−∑∑∑∞=∞=∞=−n n n n n n n n n t n t a a t a n n .将级数展开、整理合并同次项, 并比较系数得, a a =001=a , !22a a −=, , 03=a !424a a =, , 05=a !696a a −=, , 07=a !8558a a =, ⋅ ⋅ ⋅. 故所求特解为 !855!69!42!211(8642⋅⋅⋅++−+−=t t t t a x .习题12−21. 求下列微分方程的通解:(1)xy ′−y ln y =0;解分离变量得dx xdy y y 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y 1ln 1, 即 ln(ln y )=ln x +ln C ,故通解为y =e Cx .(2)3x 2+5x −5y ′=0;解分离变量得5dy =(3x 2+5x )dx ,两边积分得, ∫∫+=dx x x dy )53(52即 123255C x x y ++=, 故通解为C x x y ++=232151, 其中151C =为任意常数.(3)2211y y x −=′−;解分离变量得2211x dx y dy −=−, 两边积分得∫∫−=−2211x dx y dy 即 arcsin y =arcsin x +C ,故通解为y =sin(arcsin x +C ).(4)y ′−xy ′=a (y 2+y ′);解方程变形为(1−x −a )y ′=ay 2, 分离变量得dx x a a dy y −−=112, 两边积分得∫∫−−=dx xa a dy y 112, 即 1)1ln(1C x a a y−−−−=−, 故通解为)1ln(1x a a C y −−+=, 其中C =aC 1为任意常数. (5)sec 2x tan ydx +sec 2y tan xdy =0; 解分离变量得dx xx y y y tan sec tan sec 22−=, 两边积分得∫∫−=dx xx y y y tan sec tan sec 22, 即 ln(tan y )=−ln(tan x )+ln C , 故通解为tan x tan y =C .(6)y x dxdy +=10; 解分离变量得10−y dy =10x dx ,两边积分得∫∫=−dx dy x y 1010, 即 10ln 10ln 1010ln 10C x y +=−−, 或 10−y =10x +C ,故通解为y =−lg(C −10x ).(7)(e x +y −e x )dx +(e x +y +e y )dy =0;解方程变形为e y (e x +1)dy =e x (1−e y )dx , 分离变量得dx e e dy e e xx y y +=−11, 两边积分得∫∫+=−dx e e dy e e xx y y 11, 即 −ln(e y )=ln(e x +1)−ln C ,故通解为(e x +1)(e y −1)=C .(8)cos x sin ydx +sin x cos ydy =0;解分离变量得dx xx dy y y sin cos sin cos −=, 两边积分得∫∫−=dx x x dy y y sin cos sin cos , 即 ln(sin y )=−ln(sin x )+ln C ,故通解为sin x sin y =C .(9)0)1(32=++x dxdy y ; 解分离变量得(y +1)2dy =−x 3dx ,两边积分得∫∫−=+dx x dy y 32)1(, 即 14341)1(31C x y +−=+, 故通解为4(y +1)3+3x 4=C (C =12C 1).(10)ydx +(x 2−4x )dy =0.解分离变量得dx xx dy y 411(4−+=, 两边积分得∫∫−+=dx x x dy y )411(4, 即 ln y 4=ln x −ln(4−x )+ln C ,故通解为y 4(4−x )=Cx .2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y ′=e 2x −y , y |x =0=0;解分离变量得e y dy =e 2x dx ,两边积分得, ∫∫=dx e dy e x y 2即 C e e x y +=221,或 )21ln(2C e y x +=.由y |x =0=0得0)21ln(=+C , 21=C , 所以特解2121ln(2+=x e y .(2)cos x sin ydy =cos y sin xdx , 4|0π==x y ; 解分离变量得tan y dy =tan x dx ,两边积分得∫∫=xdx ydy tan tan ,即 −ln(cos y )=−ln(cos x )−ln C , 或 cos y =C cos x . 由4|0π==x y 得C C ==0cos 4cos π, 21=C , 所以特解为x y cos cos 2=.(3)y ′sin x =y ln y , e y x ==2π;解分离变量得dx xdy y y sin 1ln 1=, 两边积分得∫∫=dx x dy y y sin 1ln 1,即 C xy ln 2ln(tan )ln(ln +=, 或2tan x C e y =. 由e y x ==π2得4tan πC e e =, C =1,所以特解为2tan x e y =.(4)cos ydx +(1+e −x )sin ydy =0, 4|0π==x y ; 解分离变量得dx e e dy y y x x +=−1cos sin , 两边积分得∫∫+=−dx e e dy y y xx 1cos sin , 即 ln|cos y |=ln(e x +1)+ln |C |,或 cos y =C (e x +1).由4|0π==x y 得)1(4cos 4+=ππe C , 42=C , 所以特解为)1(42cos +=x e y . (5)xdy +2ydx =0, y |x =2=1.解分离变量得dx xdy y 21−=, 两边积分得∫∫−=dx x dy y 21, 即 ln y =−2ln x +ln C ,或 y =Cx −2.由y |x =2=1得C ⋅2−2=1, C =4, 所以特解为24x y =.3. 有一盛满了水的圆锥形漏漏斗, 高为10cm , 顶角为60°, 漏斗下面有面积为0. 5cm 2的孔, 求水面高度变化的规律及流完所需的时间.解设t 时该已流出的水的体积为V , 高度为x , 则由水力学有x dtdV )9802(5.062.0×××=, 即dt x dV )9802(5.062.0×××=. 又因为330tan x x r =°=,故 dx x dx r V 223ππ−=−=, 从而 dx x dt x 23)9802(5.062.0π−=×××, 即 x dt 2398025.062.03×××=π,因此 C x t +×××−=2598025.062.032π. 又因为当t =0时, x =10, 所以251098025.062.053××××=πC ,故水从小孔流出的规律为 645.90305.0)10(98025.062.0532252525+−=−××××=x x t π. 令x =0, 得水流完所需时间约为10s .4. 质量为1g (克)的质点受外力作用作直线运动, 这外力和时间成正比, 和质点运动的速度成反比. 在t =10s 时, 速度等于50cm/s , 外力为4g cm/s 2, 问从运动开始经过了一分钟后的速度是多少？解已知v t k F =, 并且法t =10s 时, v =50cm/s , F =4g cm/s 2, 故50104k =, 从而k =20, 因此vt F 20=. 又由牛顿定律, F =ma , 即v t dt dv 201=⋅, 故v dv =20t d t . 这就是速度与时间应满足的微分方程. 解之得C t v +=221021, 即C t v 2202+=. 由初始条件有C +×=2210105021, C =250. 因此 500202+=t v .当t =60s 时, cm/s 3.26950060202=+×=v .5. 镭的衰变有如下的规律: 镭的衰变速度与它的现存量R 成正比. 由经验材料得知, 镭经过1600年后, 只余原始量R 0的一半. 试求镭的量R 与时间t 的函数关系.解由题设知,R dt dR λ−=, 即dt RdR λ−=, 两边积分得ln R =−λt +C 1,从而 .)( 1C t e C Ce R ==−λ 因为当t =0时, R =R 0, 故R 0=Ce 0=C , 即R =R 0e −λt .又由于当t =1600时, 021R R =, 故λ16000021−=e R R , 从而16002ln =λ. 因此 t t e R e R R 000433.0010002ln 0−−==.6. 一曲线通过点(2, 3), 它在两坐标轴间的任一切线线段均被切点所平分, 求这曲线方程.解设切点为P (x , y ), 则切线在x 轴, y 轴的截距分别为2x , 2y , 切线斜率为 xy x y −=−−2002, 故曲线满足微分方程:x y dx dy −=, 即dx x dy y 11−=, 从而 ln y +ln x =ln C , xy =C .因为曲线经过点(2, 3), 所以C =2×3=6, 曲线方程为xy =6.7. 小船从河边点O 处出发驶向对岸(两岸为平行直线). 设船速为a , 船行方向始终与河岸垂直, 又设河宽为h , 河中任一点处的水流速度与该点到两岸距离的乘积成正比(比例系数为k ). 求小船的航行路线.解建立坐标系如图. 设t 时刻船的位置为(x , y ), 此时水速为)(y h ky dt dx v −==, 故dx =ky (h −y )dt .又由已知, y =at , 代入上式得dx =kat (h −at )dt ,积分得C t ka kaht x +−=3223121.由初始条件x |t =0=0, 得C =0, 故3223121t ka kaht x −=. 因此船运动路线的函数方程为⎪⎩⎪⎨⎧=−=ayy t ka kaht x 3223121, 从而一般方程为)312(32y y h a k x −=.习题12−31. 求下列齐次方程的通解:(1)022=−−−′x y y y x ;解原方程变为1)(2−−=x y x y dx dy . 令xy u =, 则原方程化为 12−+=+u u dx du x u , 即dx x du u 1112=−, 两边积分得C x u u ln ln )1ln(2+=−+, 即Cx u u =−+12, 将xy u =代入上式得原方程的通解Cx x y x y =−+1)(2, 即222Cx x y y =−+. (2)xy y dx dy xln =; 解原方程变为xy x y dx dy ln =. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u ln =+, 即dx x du u u 1)1(ln 1=−, 两边积分得ln(ln u −1)=ln x +ln C , 即u =e Cx +1, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y =xe Cx +1.(3)(x 2+y 2)dx −xydy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+x 2u 2)dx −x 2u (udx +xdu )=0, 即dx x udu 1=,两边积分得u 2=ln x 2+C , 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=x 2(ln x 2+C ).(4)(x 3+y 3)dx −3xy 2dy =0;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 3+x 3u 3)dx −3x 3u 2(udx +xdu )=0, 即dx x du u u 121332=−, 两边积分得C x u ln ln )21ln(213+=−−, 即2312x C u −=, 将xy u =代入上式得原方程的通解 x 3−2y 3=Cx .(5)0ch 3)ch 3sh2(=−+dy xy x dx x y y x y x ; 解原方程变为xy x y dx dy +=th 32. 令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+th 32, 即dx x du u u 2sh ch 3=, 两边积分得3ln(sh u )=2ln x +ln C , 即sh 3u =Cx 2, 将xy u =代入上式得原方程的通解 22sh Cx xy =. (6)0)1(2)21(=−++dy yx e dx e y x y x . 解原方程变为y xy xe e y x dy dx 21)1(2+−=.令yx u =, 则原方程化为 u u e e u dy du y u 21)1(2+−=+, 即u u ee u dy du y 212++−=, 分离变量得dy y du e u e uu 1221−=++, 两边积分得ln(u +2e u )=−ln y +ln C , 即y (u +2e u )=C , 将yx u =代入上式得原方程的通解 C e yx y y x =+)2(, 即C ye x y x =+2. 2. 求下列齐次方程满足所给初始条件的特解:(1)(y 2−3x 2)dy +2xydx =0, y |x =0=1;解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2u 2−3x 2)(udx +xdu )+2x 2udx =0,即 dx x du u u u 1332=−−, 或dx x du u u u 1)11113(=−+++− 两边积分得−3ln |u |+ln|u +1|+ln|u −1|=ln|x |+ln|C |, 即u 2−1=Cxu 3, 将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2−x 2=Cy 3.由y |x =0=1得C =1, 故所求特解为y 2−x 2=y 3.(2)xy y x y +=′, y |x =1=2; 解令xy u =, 则原方程化为 u u dx du x u +=+1, 即dx xudu 1=, 两边积分得C x u +=ln 212,将xy u =代入上式得原方程的通解 y 2=2x 2(ln x +C ).由y |x =1=2得C =2, 故所求特解为y 2=2x 2(ln x +2).(3)(x 2+2xy −y 2)dx +(y 2+2xy −x 2)dy =0, y |x =1=1.解这是齐次方程. 令xy u =, 即y =xu , 则原方程化为 (x 2+2x 2u −x 2u 2)dx +(x 2u 2+2x 2u −x 2)(udx +xdu )=0,即dx x du u u u u u 1112232−=+++−+, 或 dx x du u u u 1)1211(2=+−+, 两边积分得ln|u +1|−ln(u 2+1)=ln|x |+ln|C |, 即u +1=Cx (u 2+1), 将xy u =代入上式得原方程的通解 x +y =C (x 2+y 2).由y |x =1=1得C =1, 故所求特解为x +y =(x 2+y 2).3. 设有连结点O (0, 0)和A (1, 1)的一段向上凸的曲线弧A O , 对于A O 上任一点P (x , y ), 曲线弧P O 与直线段所围图形的面积为x 2, 求曲线弧A O 的方程. 解设曲线弧A O 的方程为y =y (x ). 由题意得 20)(21)(x x xy dx x y x =−∫,两边求导得 x x y x x y x y 2)(21)(21)(=′−−, 即 4−=′x y y . 令xy u =, 则有 4−=+u dx du x u , 即dx xdu u 41−=, 两边积分得u =−4ln x +C . 将xy u =代入上式得方程的通解 y =−4x ln x +Cx .由于A (1, 1)在曲线上, 即y (1)=1, 因而C =1, 从则所求方程为y =−4x ln x +x .习题12−41. 求下列微分方程的通解:(1)x e y dxdy −=+; 解 )()()(C x e C dx e e e C dx e e e y x x x x dx x dx +=+⋅=+∫⋅∫=−−−−−∫∫. (2)xy ′+y =x 2+3x +2;解原方程变为x x y x y 231++=+′.])23([11C dx e x x e y x x +∫⋅++∫=∫−])23(1])23([12C dx x x x C xdx x x x +++=+++=∫∫x Cx x C x x x x +++=+++=22331)22331(1223.(3)y ′+y cos x =e −sin x ;解 )(cos sin cos C dx e e e y xdx x dx +∫⋅∫=∫−−)()(sin sin sin sin C x e C dx e e e x x x x +=+⋅=−−−∫.(4)y ′+y tan x =sin 2x ;解 )2sin (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫−)2sin (cos ln cos ln C dx e x e x x +⋅=∫−∫+⋅=)cos 1cos sin 2(cos C dx x x x x=cos x (−2cos x +C )=C cos x −2cos 2x .(5)(x 2−1)y ′+2xy −cos x =0;解原方程变形为1cos 1222−=−+′x xy x xy .)1cos(1221222C dx e x x e y x xdx x x +∫⋅−∫=∫−−−)(sin 11])1(1cos [112222C x x C dx x x xx +−=+−⋅−−=∫.(6)23=+ρθρd d ; 解 )2(33C d e e d d +∫⋅∫=∫−θρθθ )2(33C d e e +=∫−θθθ θθθ33332)32(−−+=+=Ce C e e . (7)x xy dxdy 42=+; 解 )4(22C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )4(22C dx e x e x x +⋅=∫− .2222)2(x x x Ce C e e −−+=+= (8)y ln ydx +(x −ln y )dy =0;解原方程变形为y x y y dy dx 1ln 1=+. )1(ln 1ln 1C dy e ye x y y dy y y +∫⋅∫=∫− )ln 1(ln 1C ydy yy +⋅=∫ yC y C y y ln ln 21)ln 21(ln 12+=+=. (9)3)2(2)2(−+=−x y dxdy x ; 解原方程变形为2)2(221−=−−x y x dx dy . ])2(2[21221C dx e x e y dx x dx x +∫⋅−∫=∫−−− ∫+−⋅−−=]21)2(2)[2(2C dx x x x =(x −2)[(x −2)2+C ]=(x −2)3+C (x −2).(10)02)6(2=+−y dxdy x y .解原方程变形为y x y dy dx 213−=−. ])21([33C dy e y e x y dy y +∫⋅−∫=∫− )121(33C dy y y y +⋅−=∫ 32321)21(Cy y C y y +=+=. 2. 求下列微分方程满足所给初始条件的特解:(1)x x y dxdy sec tan =−, y |x =0=0; 解 )sec (tan tan C dx e x e y xdx xdx +∫⋅∫=∫− )(cos 1)cos sec (cos 1C x xC xdx x x +=+⋅=∫. 由y |x =0=0, 得C =0, 故所求特解为y =x sec x .(2)xx x y dx dy sin =+, y |x =π=1; 解 )sin (11C dx e x x e y dx x x +∫∫=∫− )cos (1)sin (1C x xC xdx x x x +−=+⋅=∫. 由y |x =π=1, 得C =π−1, 故所求特解为)cos 1(1x x y −−=π. (3)x e x y dx dy cos 5cot =+, 4|−==πx y ; 解 )5(cot cos cot C dx e e e y xdx x xdx +∫⋅∫=∫− )5(sin 1)sin 5(sin 1cos cos C e xC xdx e x x x +−=+⋅=∫. 由4|2−==πx y , 得C =1, 故所求特解为)15(sin 1cos +−=x e x y . (4)83=+y dxdy , y |x =0=2;解 )8(33C dx e e y dx dx +∫⋅∫=∫− x x x x x Ce C e e C dx e e 3333338)38()8(−−−+=+=+=∫. 由y |x =0=2, 得32−=C , 故所求特解为)4(323x e y −−=. (5)13232=−+y x x dx dy , y |x =1=0. 解 )1(223232C dx e e y dx x x dx x x +∫⋅∫=∫−−− )21()1(22221131313C e e x C dx e x e x x x x x +=+=−−∫. 由y |x =1=0, 得e C 21−=, 故所求特解为)1(211132−−=x e x y . 3. 求一曲线的方程, 这曲线通过原点, 并且它在点(x , y )处的切线斜率等于2x +y . 解由题意知y ′=2x +y , 并且y |x =0=0.由通解公式得)2()2(C dx xe e C dx xe e y x x dx dx +=+∫∫=∫∫−− =e x (−2xe −x −2e −x +C )=Ce x −2x −2.由y |x =0=0, 得C =2, 故所求曲线的方程为y =2(e x −x −1).4. 设有一质量为m 的质点作直线运动, 从速度等于零的时刻起, 有一个与运动方向一至、大小与时间成正比(比例系数为k 1)的力作用于它, 此外还受一与速度成正比(比例系数为k 2)的阻力作用. 求质点运动的速度与时间的函数关系.解由牛顿定律F =ma , 得v k t k dt dv m21−=, 即t m k v m k dt dv 12=+. 由通解公式得)()(222211C dt e t m k e C dt e t m k e v t m k t m k dt m km k +⋅=+∫⋅∫=∫∫−− )(22222121C e k m k te k k e t m kt m k t m k +−=−.由题意, 当t =0时v =0, 于是得221k m k C =. 因此 )(22122121222k m k e k m k te k k e v t m k t m k m k +−=− 即 )1(22121t m k e k m k t k k v −−−=. 5. 设有一个由电阻R =10Ω、电感L =2h(亨)和电源电压E =20sin5t V (伏)串联组成的电路. 开关K 合上后, 电路中有电源通过. 求电流i 与时间t 的函数关系.解由回路电压定律知01025sin 20=−−i dt di t , 即t i dt di 5sin 105=+. 由通解公式得t dt dt Ce t t C dt e t e i 5555cos 5sin )5sin 10(−−+−=+∫⋅∫=∫. 因为当t =0时i =0, 所以C =1. 因此)45sin(25cos 5sin 55π−+=+−=−−t e e t t i t t (A).6. 设曲在右半平面(x >0)内与路径无关, 其中f (x )可导, 且f (1)=1, 求f (x ).dy x x xf dx x yf L ])(2[)(2−+∫ 解因为当x >0时, 所给积分与路径无关, 所以])(2)]([2x x xf xx yf y −∂∂=∂∂, 即 f (x )=2f (x )+2xf ′(x )−2x , 或 1)(21)(=+′x f xx f . 因此 x C x C dx x x C dx e e x f dx x dx x +=+=+∫⋅∫=∫∫−32)(1)1()(2121. 由f (1)=1可得31=C , 故xx x f 3132)(+=. 7. 求下列伯努利方程的通解:(1))sin (cos 2x x y y dxdy −=+;解原方程可变形为x x ydx dy y sin cos 11−=+, 即x x y dx y d cos sin )(11−=−−−. ])cos sin ([1C dx e x x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x Ce C dx e x x e x x x sin ])sin (cos [−=+−=∫−, 原方程的通解为x Ce y x sin 1−=. (2)23xy xy dxdy =−; 解原方程可变形为x y x dxdy y =−1312, 即x xy dx y d −=+−−113)(. ])([331C dx e x e y xdx xdx +∫⋅−∫=∫−−)(222323C dx xe e x x +−=∫− 31)31(222232323−=+−=−−x x x Ce C e e , 原方程的通解为311223−=−x Ce y . (3)4)21(3131y x y dx dy −=+; 解原方程可变形为)21(31131134x y dx dy y −=+, 即12)(33−=−−−x y dx y d . ])12([3C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=−−∫x x x Ce x C dx e x e +−−=+−=∫−12])12([, 原方程的通解为1213−−=x Ce y x .(4)5xy y dxdy =−; 解原方程可变形为x ydx dy y =−4511, 即x y dx y d 44)(44−=+−−. ])4([444C dx e x e y dx dx +∫⋅−∫=∫−− )4(44C dx xe e x +−=∫− x Ce x 441−++−=, 原方程的通解为x Ce x y 44411−++−=.(5)xdy −[y +xy 3(1+ln x )]dx =0.解原方程可变形为 )ln 1(11123x yx dx dy y +=⋅−⋅, 即)ln 1(22)(22x y x dx y d +−=+−−. ])ln 1(2[222C dx e x e y x dx x +∫⋅+−∫=∫−− ])ln 1(2122C dx x x x ++−=∫ x x x x C 94ln 322−−=, 原方程的通解为x x x x C y 94ln 32122−−=. 8. 验证形如yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的微分方程, 可经变量代换v =xy 化为可分离变量的方程, 并求其通解.解原方程可变形为)()(xy xg xy yf dx dy −=. 在代换v =xy 下原方程化为)()(22v g x v vf x v dx dv x −=−,即dx xdu v f v g v v g 1)]()([)(=−, 积分得 C x du v f v g v v g +=−∫ln )]()([)(, 对上式求出积分后, 将v =xy 代回, 即得通解.9. 用适当的变量代换将下列方程化为可分离变量的方程, 然后求出通解:(1)2)(y x dxdy +=; 解令u =x +y , 则原方程化为21u dx du =−, 即21u du dx +=. 两边积分得x =arctan u +C .将u =x +y 代入上式得原方程的通解x =arctan(x +y )+C , 即y =−x +tan(x −C ).(2)11+−=yx dx dy ; 解令u =x −y , 则原方程化为 111+=−udx du , 即dx =−udu . 两边积分得 1221C u x +−=.将u =x +y 代入上式得原方程的通解12)(21C y x x +−−=, 即(x −y )2=−2x +C (C =2C 1).(3)xy ′+y =y (ln x +ln y );解令u =xy , 则原方程化为u x u x u x u dx du x x ln )1(2=+−, 即du uu dx x ln 11=. 两边积分得ln x +ln C =lnln u , 即u =e Cx .将u =xy 代入上式得原方程的通解xy =e Cx , 即Cx e xy 1=. (4)y ′=y 2+2(sin x −1)y +sin 2x −2sin x −cos x +1;解原方程变形为y ′=(y +sin x −1)2−cos x .令u =y +sin x −1, 则原方程化为x u x dx du cos cos 2−=−, 即dx du u =21. 两边积分得 C x u +=−1. 将u =y +sin x −1代入上式得原方程的通解 C x x y +=−+−1sin 1, 即C x x y +−−=1sin 1.(5)y (xy +1)dx +x (1+xy +x 2y 2)dy =0 . 解原方程变形为)1()1(22y x xy x xy y dx dy +++−=. 令u =xy , 则原方程化为)1()1(1222u u x u u x u dx du x +++−=−, 即)1(1223u u x u dx du x ++=. 分离变量得du uu u dx x )111(123++=. 两边积分得 u uu C x ln 121ln 21+−−=+. 将u =xy 代入上式得原方程的通解 xy xy y x C x ln 121ln 221+−−=+, 即 2x 2y 2ln y −2xy −1=Cx 2y 2(C =2C 1).习题12−51. 判别下列方程中哪些是全微分方程, 并求全微分方程的通解:(1)(3x 2+6xy 2)dx +(6x 2y +4y 2)dy =0;解这里P =3x 2+6xy 2, Q =6x 2y +4y 2. 因为x Q xy yP ∂∂==∂∂12, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y y x dx x y x =++∫∫02202)46(3即 C y y x x =++3223343. (2)(a 2−2xy −y 2)dx −(x +y )2dy =0;解这里P =a 2−2xy −y 2, Q =−(x +y )2. 因为xQ y x y P ∂∂=−−=∂∂22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y x dx a y x =+−∫∫0202)(即 a 2x −x 2y −xy 2=C .(3)e y dx +(xe y −2y )dy =0;解这里P =e y , Q =xe y −2y . 因为x Q e yP y ∂∂==∂∂, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C dy y xe dx e y y x =−+∫∫000)2(即 xe y −y 2=C .(4)(x cos y +cos x )y ′−y sin x +sin y =0;解原方程变形为(x cos y +cos x )dy −(y sin x +sin y )dx =0. 这里P =−(y sin x +sin y ), Q =x cos y +cos x . 因为xQ x y y P ∂∂=−=∂∂sin cos ,所以此方程是全微分方程, 其通解为, C dy x y x dx yx =++∫∫00)cos cos (0即 x sin y +y cos x =C .解(5)(x 2−y )dx −xdy =0;解这里P =x 2−y , Q =−x . 因为x Q yP ∂∂=−=∂∂1, 所以此方程是全微分方程, 其通解为, C xdy dx x y x =−∫∫002即 C xy x =−331. (6)y (x −2y )dx −x 2dy =0;解这里P =y (x −2y ), Q =−x 2. 因为y x yP 4−=∂∂, x x Q 2−=∂∂, 所以此方程不是全微分方程.(7)(1+e 2θ)d ρ+2ρe 2θd θ=0;解这里P =1+e 2θ, Q =2ρe 2θ. 因为xQ e y P ∂∂==∂∂θ22, 所以此方程是全微分方程, 其通解为 , C d e d =+∫∫θθρθρρ02022即 ρ(e 2θ+1)=C .(8)(x 2+y 2)dx +xydy =0.解这里P =x 2+y 2, Q =xy . 因为y yP 2=∂∂, y x Q =∂∂, 所以此方程不是全微分方程.2. 利用观察法求出下列方程的积分因子, 并求其通解:(1)(x +y )(dx −dy )=dx +dy ;解方程两边同时乘以y x +1得 y x dy dx dy dx ++=−, 即d (x −y )=d ln(x +y ), 所以yx +1为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x −y =ln(x +y )+C .(2)ydx −xdy +y 2xdx =0;解方程两边同时乘以21y 得 02=+−xdx y xdy ydx , 即02()(2=+x d y x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+22. (3)y 2(x −3y )dx +(1−3y 2x )dy =0;解原方程变形为xy 2dx −3y 3dx +dy −3x 2dy =0, 两边同时乘以21y 并整理得 0)33(2=+−+xdy ydx ydy xdx , 即0)(3)1()2(2=−−xy d y d x d , 所以21y 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C xy yx =−−3122. (4)xdx +ydy =(x 2+y 2)dx ;解方程两边同时乘以221y x +得 022=−++dx yx ydy xdx , 即0)]ln(21[22=−+dx y x d , 所以221y x +为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 x 2+y 2=Ce 2x .(5)(x −y 2)dx +2xydy =0;解原方程变形为xdx −y 2dx +2xydy =0, 两边同时乘以21x 得 0222=−+x dx y xydy x dx , 即0)()(ln 2=+x y d x d , 所以21x为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 C x y x =+2ln , 即x ln x +y 2=Cx . (6)2ydx −3xy 2dx −xdy =0.解方程两边同时乘以x 得2xydx −x 2dy −3x 2y 2dx =0, 即yd (x 2)−x 2dy −3x 2y 2dx =0, 再除以y 2得03)(2222=−−dx x ydy x x yd , 即0)(32=−x y x d 所以2y x 为原方程的一个积分因子, 并且原方程的通解为 032=−x yx . 3. 验证)]()([1xy g xy f xy −是微分方程yf (xy )dx +xg (xy )dy =0的积分因子, 并求下列方程的通解:解方程两边乘以)]()([1xy g xy f xy −得 0])()()]()([1=+−dy xy xg dx xy yf xy g xy f xy , 这里)]()([)(xy g xy f x xy f P −=, )]()([)(xy g xy f y xy g Q −=. 因为x Q xy g xy f xy g xy f xy g xy f y P ∂∂=−′−′=∂∂2)]()([)()()()(, 所以)]()([1xy g xy f xy −是原方程的一个积分因子. (1)y (x 2y 2+2)dx +x (2−2x 2y 2)dy =0;解这里f (xy )=x 2y 2+2, g (xy )=2−2x 2y 2 , 所以 31)]()([1y x xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以3331y x 得全微分方程 032323222232=−++dy y x y x dx y x x , 其通解为C dy y x y x dx x x y x =−++∫∫122123232, 即C y x y x =−+−)11ln (ln 31222, 或2212y x e Cy x =.(2)y (2xy +1)dx +x (1+2xy −x 3y 3)dy =0.解这里f (x y )=2x y +1, g (x y )=1+2x y −x 3 y 3 , 所以 441)]()([1yx xy g xy f xy =− 是方程的一个积分因子. 方程两边同乘以1y x 得全微分方程 02112433334=−+++dy y x y x xy dx yx xy ,其通解为C dy y x y x xy dx x x y x =−+++∫∫14333142112, 即 C y y x y x =++||ln 3113322. 4. 用积分因子法解下列一阶线性方程:(1)xy ′+2y =4ln x ;解原方程变为x x y x y ln 42=+′, 其积分因子为 22)(x e x x =∫=μ, 在方程x xy x y ln 42=+′的两边乘以x 2得 x 2y ′+2xy =4x ln x , 即(x 2y )′=4x ln x ,两边积分得, C x x x xdx x y x +−==∫222ln 2ln 4原方程的通解为21ln 2x C x y +−=. (2)y ′−tan x ⋅y =x . 解积分因子为,x e x xdx cos )(tan =∫=−μ在方程的两边乘以cos x 得cos x ⋅y ′−sin x ⋅y =x cos x , 即(cos x ⋅y )′=x cos x , 两边积分得C x x x xdx x y x ++==⋅∫cos sin cos cos , 方程的通解为xC x x y cos 1tan ++=.习题12−61. 求下列各微分方程的通解:(1)y ′′=x +sin x ;解 12cos 21)sin (C x x dx x x y +−=+=′∫, 21312sin 61)cos 21(C x C x x dx C x x y ++−=+−=∫, 原方程的通解为213sin 61C x C x x y ++−=. (2)y ′′′=xe x ;解 , 12C e xe dx xe y x x x +−==′′∫, 21122)2(C x C e xe dx C e xe y x x x x ++−=+−=′∫, 3221213)22(C x C x C e xe dx C x C e xe y x x x x +++−=++−=∫原方程的通解为.32213C x C x C e xe y x x +++−= (3)211x y +=′′; 解 12arctan 11C x dx x y +=+=′∫ x C dx x x x x dx C x y 1211arctan )(arctan ++−=+=∫∫ 212)1ln(21arctan C x C x x x +++−=, 原方程的通解为2121ln arctan C x C x x x y +++−=.(4)y ′′=1+y ′2;解令p =y ′, 则原方程化为p ′=1+p 2, 即dx dp p =+211, 两边积分得arctan p =x +C 1, 即y ′=p =tan(x +C 1),, 211|)cos(|ln )tan(C C x dx C x y ++−=+=∫原方程的通解为21|)cos(|ln C C x y ++−=.(5)y ′′=y ′+x ;解令p =y ′, 则原方程化为p ′−p =x ,由一阶线性非齐次方程的通解公式得, 1)()(111−−=+=+∫⋅∫=∫∫−−x e C C dx xe e C dx e x e p x x x dx dx 即 y ′=C 1e x −x −1,于是 221121)1(C x x e C dx x e C y x x +−−=−−=∫, 原方程的通解为22121C x x e C y x +−−=.(6)xy ′′+y ′=0;解令p =y ′, 则原方程化为 x p ′+p =0, 即01=+′p xp , 由一阶线性齐次方程的通解公式得xC e C e C p x x 1ln 111==∫=−−, 即 xC y 1=′, 于是 211ln C x C dx xC y +==∫, 原方程的通解为y =C 1ln x +C 2 .(7)yy ′′+′=y ′2;解令p =y ′, 则dy dp p dx dy dy dp y =⋅=′′, 原方程化为 21p dy dp yp =+, 即dy y dp p p 112=−, 两边积分得||ln ||ln |1|ln 2112C y p +=−, 即. 22121y C p ±− 当|y ′|=|p |>1时, 方程变为2211y C y +±=′, 即dx dy y C ±=+21)(11, 两边积分得arcsh(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sh 1121x C C C y ±=. 当|y ′|=|p |<1时, 方程变为 2211y C y −±=′, 即dx dy y C ±=−21)(11, 两边积分得arcsin(C 1y )=±C 1x +C 2,即原方程的通解为)(sin 1121x C C C y ±=.(8)y 3y ′′−1=0;解令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 013=−dy dp py , 即pdp =y −3dy , 两边积分得122212121C y p +−=−, 即p 2=−y −2+C 1, 故 21−−±=′y C y , 即dx dy y C ±=−−211, 两边积分得)(12121C x C y C +±=−,即原方程的通解为C 1y 2=(C 1x +C 2)2 .(9)yy 1=′′; 解令p =y ′, 则dy dp py =′′, 原方程化为 y dy dp p 1=, 即dy ypdp 1=, 两边积分得122221C y p +=, 即1244C y p +=, 故 12C y y +±=′, 即dx dy C y ±=+11, 两边积分得原方程的通211231]2)(32[C C y C C y x ++−+±=.(10)y ′′=y ′3+y ′. 解令p =y ′, 则dydp py =′′, 原方程化为 p p dy dp p +=3, 即0)]1([2=+−p dy dp p . 由p =0得y =C , 这是原方程的一个解. 由0)1(2=+−p dydp 得 arctan p =y −C 1, 即y ′=p =tan(y −C 1),从而 )sin(ln )tan(1112C y dy C y C x −=−=+∫, 故原方程的通解为.12arcsin C e y C x +=+ 2. 求下列各微分方程满足所给初始条件的特解:(1)y 3 y ′′+1=0, y |x =1=1, y ′|x =1=0;解令p =y ′, 则dy dp p y =′′, 原方程化为013=+dy dp p y , 即dy ypdp 31−=, 两边积分得1221C y p +=, 即y y C y 211+±=′. 由y |x =1=1, y ′|x =1=0得C 1=−1, 从而yy y 21−±=′, 分离变量得dx dy yy =−±21, 两边积分得221C x y +=−±, 即22)(1C x y +−±=.由y |x =1=1得C 2=−1, 2)1(1−−=x y , 从而原方程的通解为22x x y −=.(2)y ′′−ay ′2=0, y |x =0=0, y ′|x =0=−1;解令p =y ′, 则原方程化为02=−ap dx dp , 即adx dp p=21, 两边积分得 11C ax p +=−, 即11C ax y +−=′. 由y ′|x =0=−1得C 1=1, 11+−=′ax y , 两边积分得 2)1ln(1C ax a y ++−=.由y |x =0=0得C 2=0, 故所求特解为)1ln(1+−=ax a y .(3)y ′′′=e ax , y |x =1=y ′|x =1=y ′′|x =1=0;解 11C e adx e y ax ax +==′′∫.。

同济大学第五版高等数学下D12_4一阶线性1 2

版高等
数学下
第十二章
D12_4一一阶线性微分方程
阶线性1
2
一、一阶线性微分方程
二、伯努利方程
机动目录上页下页返回结束
同济大学第五版高等数
学下D12_4一阶线性1 2
一阶线性微分方程标准形式:
dyP(x)yQ(x)
dx
若 Q(x) 0, 称为齐次方程 ;
若 Q(x) 0, 称为非齐次方程 .
y u (x 1 )2 2 u (x 1 )
1
代入非齐次方程得 u(x1) 2
解得
u2(x1)32C
3
故原方程通解为 y(x1)2 3 2(x1)32C
机动目录上页下页返回结束
同济大学第
五版高等数学下D12_4
dxxy2y
x y3
dy0的通解
.
一解阶: 注线意性x1,
2 y
同号,
令uy1n, 化为线性方程求解.
机动目录上页下页返回结束
五版高等数
学下D12_4 判一别阶下线列方性程1 类2 型:
(1) xdyyxydy
dx
dx提示:ຫໍສະໝຸດ y 1dy dxy
x
可分离变量方程
(2) xdyy(lnylnx)
dy y ln y
齐次方程
dx
dx x x
(3 )(y x 3 )d x 2 xd y 0 dy 1 y x2 线性方程
ueP(x)dxP(x)ueP(x)dxP(x) ueP(x)dxQ(x)
即
duQ(x)eP(x)dx
两端积分得对应齐dux次方Q 程(x通)e解P (x)yd xd C xe C P(x)dx

高数第五版答案(同济)12-7

GAGGAGAGGAFFFFAFAF习题1271下列函数组在其定义区间内哪些是线性无关的？(1)x x2解因为x xx =2不恒为常数所以xx 2是线性无关的(2)x2x解因为22=xx 所以x 2x 是线性相关的(3)e2x3e2x解因为332=xxee 所以e 2x3e 2x是线性相关的(4)exex解因为x x x e ee 2=-不恒为常数所以exe x是线性无关的(5)cos2x sin2x解因为x xx 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以cos2xsin2x是线性无关的GAGGAGAGGAFFFFAFAF(6) 2xe 22xxe解因为x exe x x 2222=不恒为常数所以2xe 22x xe 是线性无关的(7)sin2x cos x ×sin x解因为2sin cos 2sin =xx x 所以sin2xcos x ×sin x 是线性相关的(8)e xcos2x e xsin2x解因为x xe x e x x 2tan 2cos 2sin =不恒为常数所以e xcos2xe x sin2x 是线性无关的(9)ln xx ln x解因为x xx x =ln ln 不恒为常数所以ln xx ln x 是线性无关的(10)eaxe bx(ab )GAGGAGAGGAFFFFAFAF解因为x a b ax bx e ee )(-=不恒为常数所以eaxe bx是线性无关的2验证y 1cos x 及y 2sin x 都是方程y 2y 0的解并写GAGGAGAGGAFFFFAFAF出该方程的通解解因为 y 12y 12cos x 2cos x 0 y 22y 22sinx2sinx 0并且x y y ωcot 21=不恒为常数所以y 1cos x 与y 2sin x是方程的线性无关解从而方程的通解为y C 1cos x C 2sin x提示 y 1 sin x y 12cos xy 2cos x y 12sin x3验证21xe y =及22xxe y =都是方程y 4xy (4x22)y 0的解并写出该方程的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解因为)24(2442)24(42222221211=⋅-+⋅-+=-+'-''x x x xe x xe x e x e y x y x y)24()2(446)24(4222222232222=⋅-++⋅-+=-+'-''x x x x x xe x e x e x e x xe y x y x y并且x y y =12不恒为常数所以21x e y =与222x xe y =是方程的线性无关解从而方程的通解为22221x x xe C e C y +=提示221xxe y =' 222142xxe x e y +=''22222xx e x e y +=' 223246xx e x xe y +=''4 验证(1)x x x e e C e C y 5221121++=(C 1、C 2是任意常数)是方程 y 3y2ye 5x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解令y 1e x y 2e 2x xe y 5121*= 因为y 13y 12y 1e x 3e x 2e x 0y 23y 22y 24e2x3(2e2x2e2x且xe y y =12不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程y 3y2y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为xx x x e e e e y y y 5555121212531225*2*3*=⋅+⋅-=+'-''所以y *是方程y3y 2y e 5x 的特解因此x x x e e C e C y 5221121++=是方程y 3y2ye 5x 的通解(2))sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=(C 1、C 2是任意常数)是方程y 9y x cos x 的通解解令y 1cos3xy 2sin3x)sin cos 4(321*x x x y +=因GAGGAGAGGAFFFFAFAF为y 19y 19cos3x 9cos3x 0y 29y 29sin3x9sin3x且x y y 3tan 12=不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程y 9y0的线性无关解从而YC 1e x C 2e 2x 是齐次方程的通解又因为 x x x x x x x x y y cos )sin cos 4(3219)cos 4sin 9(321*9*=+⋅+--=+''所以y *是方程y 9y x cos x 的特解因此)sin cos 4(3213sin 3cos 21x x x x C x C y +++=是方程y9y x cos x的通解(3)y C 1x 2C 2x 2ln x (C 1、C 2是任意常数)是方程x2y3xy4y0GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF的通解解令y 1x 2 y 2x 2ln x 因为x 2y 13xy 14y 1x 2×23x ×2x 4×x 20x 2y 23xy 24y 2x 2×(2lnx 3)3x ×(2x ln x x )4×x 2ln x 0且x y y ln 12=不恒为常数所以y 1与y 2是方程x 2y3xy4y0的线性无关解从而yC 1x 2C 2x 2ln x 是方程的通解(4)x x x C x C y ln 92251-+=(C 1、C 2是任意常数)是方程x 2y 3xy 5y x 2ln x的通解解令y 1x5x y 12= x x y ln 9*2-= 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAFx 2y 13xy 15y 1x 2×20x 33x ×5x 45×x 50015)1(32532322222=⋅--⋅-⋅=-'-''xxx xx y y x y x且621x y y =不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程x 2y3xy5y0的线性无关解从而xC x C Y 251+=是齐次方程的通解又因为*5*3*2y xy y x -'-''x x x x x x x x x x ln )ln 9(5)9ln 92(3)31ln 92(222=-⋅---⋅---⋅=所以y *是方程x 2y3xy 5y x 2ln x 的特解因此x x x C x C y ln 92251-+=是方程x 2y3xy5yx 2lnx 的通解(5)2)(121xx x e e C e C x y ++=-(C 1、C 2是任意常数)是方程xy2yxy e x的通解GAGGAGAGGAFFFFAFAF解令xe xy 11= xe xy -=12 2*x e y = 因为GAGGAGAGGAFFFFAFAF0)(2)22(2223111=⋅-+-⋅++-⋅=-'+''x e x x e xe x e x e x e x xy y y x x x x x x x)(2)22(2223222=⋅---⋅+++⋅=-'+''------x e x x e xe x e x e x e x xy y y x xx x x x x且xe y y 221=不恒为常数所以y 1与y 2是齐次方程xy 2yxy 0的线性无关解从而)(121x x e C e C xY -+=是齐次方程的通解又因为x x x x e e x e e x xy y xy =⋅-⋅+⋅=-'+''2222**2*所以y *是方程xy 2y xy e x 的特解因此2)(121xx x e e C e C x y ++=-是方程xy 2yxy e x 的通解(6)y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2(C 1、C 2、C 3、C 4是任意常数)是方程y(4)y x 2的通解解令y 1e x y 2exy 3cos x y 4sin xGAGGAGAGGAFFFFAFAFy *x 2 因为y 1(4)y 1e x e x 0 y 2(4)y 2exexy 3(4)y 3cos x cos x 0 y 4(4)y 4sin x sin x 0并且04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xx e e x x e e x x e exx e e x x x x x xx x所以y 1e x y 2e xy 3cos x y 4sin x 是方程y (4)y 0的线性无关解从而YC 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x 是方程的通解又因为y *(4)y *0(x 2)x 2所以y *x 2是方程y (4)y x 2的特解因此y C 1e x C 2exC 3cos x C 4sin x x 2是方程y (4)y x2的通解提示GAGGAGAGGAFFFFAFAFGAGGAGAGGAFFFFAFAF令k 1e xk 2e xk 3cos x k 4sin x 0 则 k 1ex k 2exk 3sin x k 4cos x 0 k 1e x k 2e xk 3cos x k 4sin x 0k 1e x k 2exk 3sin x k 4cos x 0上术等式构成的齐次线性方程组的系数行列式为04cos sin sin cos cos sin sin cos ≠=---------xxe e x x e e x x e e xx e e xxx x x x x x所以方程组只有零解即y 1e x y 2exy 3cos xy 4sin x 线性无关如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！26829 68CD 棍40863 9F9F 龟39162 98FA 飺40501 9E35 鸵31656 7BA8 箨25851 64FB 擻30763 782B 砫O36482 8E82 躂a22364 575C 坜36929 9041 遁20408 4FB8 侸22279 5707 圇$。

同济第五版高数答案(高等数学课后习题解答)

习题1-11. 设A =(-∞, -5)⋃(5, +∞), B =[-10, 3), 写出A ⋃B , A ⋂B , A \B 及A \(A \B )的表达式. 解 A ⋃B =(-∞, 3)⋃(5, +∞), A ⋂B =[-10, -5), A \B =(-∞, -10)⋃(5, +∞), A \(A \B )=[-10, -5).2. 设A 、B 是任意两个集合, 证明对偶律: (A ⋂B )C =A C ⋃B C . 证明因为x ∈(A ⋂B )C ⇔x ∉A ⋂B ⇔ x ∉A 或x ∉B ⇔ x ∈A C 或x ∈B C ⇔ x ∈A C ⋃B C , 所以 (A ⋂B )C =A C ⋃B C .3. 设映射f : X →Y , A ⊂X , B ⊂X . 证明 (1)f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ); (2)f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ). 证明因为y ∈f (A ⋃B )⇔∃x ∈A ⋃B , 使f (x )=y⇔(因为x ∈A 或x ∈B ) y ∈f (A )或y ∈f (B ) ⇔ y ∈ f (A )⋃f (B ), 所以 f (A ⋃B )=f (A )⋃f (B ). (2)因为y ∈f (A ⋂B )⇒ ∃x ∈A ⋂B , 使f (x )=y ⇔(因为x ∈A 且x ∈B ) y ∈f (A )且y ∈f (B )⇒ y ∈ f (A )⋂f (B ), 所以 f (A ⋂B )⊂f (A )⋂f (B ).4. 设映射f : X →Y , 若存在一个映射g : Y →X , 使X I f g = , Y I g f = , 其中I X 、I Y 分别是X 、Y 上的恒等映射, 即对于每一个x ∈X , 有I X x =x ; 对于每一个y ∈Y , 有I Y y =y . 证明: f 是双射, 且g 是f 的逆映射: g =f -1.证明因为对于任意的y ∈Y , 有x =g (y )∈X , 且f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 即Y 中任意元素都是X 中某元素的像, 所以f 为X 到Y 的满射.又因为对于任意的x 1≠x 2, 必有f (x 1)≠f (x 2), 否则若f (x 1)=f (x 2) ⇒g [ f (x 1)]=g [f (x 2)] ⇒ x 1=x 2. 因此f 既是单射, 又是满射, 即f 是双射.对于映射g : Y →X , 因为对每个y ∈Y , 有g (y )=x ∈X , 且满足f (x )=f [g (y )]=I y y =y , 按逆映射的定义, g 是f 的逆映射.5. 设映射f : X →Y , A ⊂X . 证明: (1)f -1(f (A ))⊃A ;(2)当f 是单射时, 有f -1(f (A ))=A .证明 (1)因为x ∈A ⇒ f (x )=y ∈f (A ) ⇒ f -1(y )=x ∈f -1(f (A )), 所以 f -1(f (A ))⊃A . (2)由(1)知f -1(f (A ))⊃A .另一方面, 对于任意的x ∈f -1(f (A ))⇒存在y ∈f (A ), 使f -1(y )=x ⇒f (x )=y . 因为y ∈f (A )且f 是单射, 所以x ∈A . 这就证明了f -1(f (A ))⊂A . 因此f -1(f (A ))=A . 6. 求下列函数的自然定义域: (1)23+=x y ;解由3x +2≥0得32->x . 函数的定义域为) ,32[∞+-.(2)211xy -=;解由1-x 2≠0得x ≠±1. 函数的定义域为(-∞, -1)⋃(-1, 1)⋃(1, +∞). (3)211x xy --=;解由x ≠0且1-x 2≥0得函数的定义域D =[-1, 0)⋃(0, 1]. (4)241x y -=; 解由4-x 2>0得 |x |<2. 函数的定义域为(-2, 2). (5)x y sin =;解由x ≥0得函数的定义D =[0, +∞).(6) y =tan(x +1); 解由21π≠+x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅)得函数的定义域为 12-+≠ππk x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅).(7) y =arcsin(x -3);解由|x -3|≤1得函数的定义域D =[2, 4].(8)xx y 1arctan 3+-=;解由3-x ≥0且x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, 3). (9) y =ln(x +1);解由x +1>0得函数的定义域D =(-1, +∞). (10)xe y 1=.解由x ≠0得函数的定义域D =(-∞, 0)⋃(0, +∞). 7. 下列各题中, 函数f (x )和g (x )是否相同？为什么？(1)f (x )=lg x 2, g (x )=2lg x ; (2) f (x )=x , g (x )=2x ;(3)334)(x x x f -=,31)(-=x x x g . (4)f (x )=1, g (x )=sec 2x -tan 2x . 解 (1)不同. 因为定义域不同.(2)不同. 因为对应法则不同, x <0时, g (x )=-x . (3)相同. 因为定义域、对应法则均相相同. (4)不同. 因为定义域不同.8. 设⎪⎩⎪⎨⎧≥<=3|| 03|| |sin |)(ππϕx x x x , 求)6(πϕ, 4(πϕ, )4(πϕ-, ϕ(-2), 并作出函数y =ϕ(x )的图形. 解 216sin |)6(==ππϕ, 22|4sin |)4(==ππϕ, 22|)4sin(|)4(=-=-ππϕ, 0)2(=-ϕ.9. 试证下列函数在指定区间内的单调性:(1)x xy -=1, (-∞, 1);(2)y =x +ln x , (0, +∞).证明 (1)对于任意的x 1, x 2∈(-∞, 1), 有1-x 1>0, 1-x 2>0. 因为当x 1<x 2时,0)1)(1(112121221121<---=---=-x x x x x x x x y y , 所以函数xxy -=1在区间(-∞, 1)内是单调增加的. (2)对于任意的x 1, x 2∈(0, +∞), 当x 1<x 2时, 有 0ln )()ln ()ln (2121221121<+-=+-+=-x x x x x x x x y y , 所以函数y =x +ln x 在区间(0, +∞)内是单调增加的.10. 设 f (x )为定义在(-l , l )内的奇函数, 若f (x )在(0, l )内单调增加, 证明f (x )在(-l , 0)内也单调增加.证明对于∀x 1, x 2∈(-l , 0)且x 1<x 2, 有-x 1, -x 2∈(0, l )且-x 1>-x 2. 因为f (x )在(0, l )内单调增加且为奇函数, 所以f (-x 2)<f (-x 1), - f (x 2)<-f (x 1), f (x 2)>f (x 1),这就证明了对于∀x 1, x 2∈(-l , 0), 有f (x 1)< f (x 2), 所以f (x )在(-l , 0)内也单调增加.11. 设下面所考虑的函数都是定义在对称区间(-l , l )上的, 证明:(1)两个偶函数的和是偶函数, 两个奇函数的和是奇函数;(2)两个偶函数的乘积是偶函数, 两个奇函数的乘积是偶函数, 偶函数与奇函数的乘积是奇函数.证明 (1)设F (x )=f (x )+g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )+g (-x )=f (x )+g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的和是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )+g (-x )=-f (x )-g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即两个奇函数的和是奇函数.(2)设F (x )=f (x )⋅g (x ). 如果f (x )和g (x )都是偶函数, 则 F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个偶函数的积是偶函数.如果f (x )和g (x )都是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=[-f (x )][-g (x )]=f (x )⋅g (x )=F (x ), 所以F (x )为偶函数, 即两个奇函数的积是偶函数.如果f (x )是偶函数, 而g (x )是奇函数, 则F (-x )=f (-x )⋅g (-x )=f (x )[-g (x )]=-f (x )⋅g (x )=-F (x ), 所以F (x )为奇函数, 即偶函数与奇函数的积是奇函数.12. 下列函数中哪些是偶函数, 哪些是奇函数, 哪些既非奇函数又非偶函数？ (1)y =x 2(1-x 2); (2)y =3x 2-x 3; (3)2211xx y +-=;(4)y =x (x -1)(x +1); (5)y =sin x -cos x +1;(6)2xx a a y -+=.解 (1)因为f (-x )=(-x )2[1-(-x )2]=x 2(1-x 2)=f (x ), 所以f (x )是偶函数. (2)由f (-x )=3(-x )2-(-x )3=3x 2+x 3可见f (x )既非奇函数又非偶函数.(3)因为())(111)(1)(2222x f x x x x x f =+-=-+--=-, 所以f (x )是偶函数.(4)因为f (-x )=(-x )(-x -1)(-x +1)=-x (x +1)(x -1)=-f (x ), 所以f (x )是奇函数. (5)由f (-x )=sin(-x )-cos(-x )+1=-sin x -cos x +1可见f (x )既非奇函数又非偶函数. (6)因为)(22)()()(x f a a a ax f xx x x =+=+=-----, 所以f (x )是偶函数.13. 下列各函数中哪些是周期函数？对于周期函数, 指出其周期: (1)y =cos(x -2); (2)y =cos 4x ; (3)y =1+sin πx ; (4)y =x cos x ; (5)y =sin 2 x .解 (1)是周期函数, 周期为l =2π. (2)是周期函数, 周期为2π=l .(3)是周期函数, 周期为l =2. (4)不是周期函数. (5)是周期函数, 周期为l =π. 14. 求下列函数的反函数: (1)31+=x y ; (2)xx y +-=11;(3)d cx b ax y ++=(ad -bc ≠0);(4) y =2sin3x ; (5) y =1+ln(x +2);(6)122+=xxy . 解 (1)由31+=x y 得x =y 3-1, 所以31+=x y 的反函数为y =x 3-1. (2)由x x y +-=11得y yx +-=11, 所以x x y +-=11的反函数为x x y +-=11.(3)由d cx b ax y ++=得a cy bdy x -+-=, 所以d cx b ax y ++=的反函数为acx b dx y -+-=. (4)由y =2sin 3x 得2arcsin 31yx =, 所以y =2sin 3x 的反函数为2arcsin 31x y =.(5)由y =1+ln(x +2)得x =e y -1-2, 所以y =1+ln(x +2)的反函数为y =e x -1-2.(6)由122+=x x y 得y y x -=1log 2, 所以122+=x x y 的反函数为xx y -=1log 2. 15. 设函数f (x )在数集X 上有定义, 试证: 函数f (x )在X 上有界的充分必要条件是它在X 上既有上界又有下界.证明先证必要性. 设函数f (x )在X 上有界, 则存在正数M , 使|f (x )|≤M , 即-M ≤f (x )≤M . 这这就证明了f (x )在X 上有下界-M 和上界M .再证充分性. 设函数f (x )在X 上有下界K 1和上界K 2, 即K 1≤f (x )≤ K 2 . 取M =max{|K 1|, |K 2|}, 则 -M ≤ K 1≤f (x )≤ K 2≤M , 即 |f (x )|≤M .这就证明了f (x )在X 上有界.16. 在下列各题中, 求由所给函数复合而成的函数, 并求这函数分别对应于给定自变量值x 1和x 2的函数值:(1) y =u 2, u =sin x , 61π=x , 32π=x ;(2) y =sin u , u =2x , ,81π=x ,42π=x ; (3)u y =, u =1+x 2, x 1=1, x 2= 2; (4) y =e u , u =x 2, x 1 =0, x 2=1;(5) y =u 2 , u =e x , x 1=1, x 2=-1.解 (1)y =sin 2x , 4121(6sin 221===πy ,4323(3sin 222===πy .(2)y =sin2x , 224sin )82sin(1==⋅=ππy ,12sin )42sin(2==⋅=ππy .(3)21x y +=, 21121=+=y , 52122=+=y . (4)2x e y =, 1201==e y , e e y ==212.(5)y =e 2x , y 1=e 2⋅1=e 2, y 2=e 2⋅(-1)=e -2.17. 设f (x )的定义域D =[0, 1], 求下列各函数的定义域:(1) f (x 2); (2) f (sin x ); (3) f (x +a )(a >0);(4)f (x +a )+f (x -a )(a >0).解 (1)由0≤x 2≤1得|x |≤1, 所以函数f (x 2)的定义域为[-1, 1].(2)由0≤sin x ≤1得2n π≤x ≤(2n +1)π (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅), 所以函数f (sin x )的定义域为 [2n π, (2n +1)π] (n =0, ±1, ±2⋅ ⋅ ⋅) .(3)由0≤x +a ≤1得-a ≤x ≤1-a , 所以函数f (x +a )的定义域为[-a , 1-a ].(4)由0≤x +a ≤1且0≤x -a ≤1得: 当210≤<a 时, a ≤x ≤1-a ; 当21>a 时, 无解. 因此当210≤<a 时函数的定义域为[a , 1-a ], 当21>a 时函数无意义.18. 设⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)(x x x x f , g (x )=e x , 求f [g (x )]和g [f (x )], 并作出这两个函数的图形.解 ⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=1|| 11|| 01|| 1)]([x x x e e e x g f , 即⎪⎩⎪⎨⎧>-=<=0 10 00 1)]([x x x x g f . ()⎪⎩⎪⎨⎧>=<==-1|| 1|| e 1|| ][101)(x e x x e e x f g x f , 即()⎪⎩⎪⎨⎧>=<=-1|| 1|| 11|| ][1x e x x e x f g .19. 已知水渠的横断面为等腰梯形, 斜角ϕ=40︒(图1-37). 当过水断面ABCD 的面积为定值S 0时, 求湿周L (L =AC +CD +DB)与水深h 之间的函数关系式, 并说明定义域. 图1-37 解40sin h DC Ab ==, 又从)]40cot 2([21Sh BC BC h =⋅++ 得h hS BC ⋅-=40cot 0, 所以 h h S L40sin 40cos 20-+=.自变量h 的取值范围应由不等式组h >0,040cot 0>⋅-h hS 确定, 定义域为 40cot 00S h <<.20. 收敛音机每台售价为90元, 成本为60元. 厂方为鼓励销售商大量采购, 决定凡是订购量超过100台以上的, 每多订购1台, 售价就降低1分, 但最低价为每台75元. (1)将每台的实际售价p 表示为订购量x 的函数; (2)将厂方所获的利润P 表示成订购量x 的函数; (3)某一商行订购了1000台, 厂方可获利润多少？解 (1)当0≤x ≤100时, p =90.令0. 01(x 0-100)=90-75, 得x 0=1600. 因此当x ≥1600时, p =75. 当100<x <1600时,p =90-(x -100)⨯0. 01=91-0. 01x . 综合上述结果得到⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=1600 751600100 01.0911000 90x x x x p.(2)⎪⎩⎪⎨⎧≥<<-≤≤=-=1600 151600100 01.0311000 30)60(2x x x x x x x x p P .(3) P =31⨯1000-0. 01⨯10002=21000(元).习题1-21. 观察一般项x n 如下的数列{x n }的变化趋势, 写出它们的极限:(1)n n x 21=;(2)n x n n 1)1(-=;(3)212n x n +=;(4)11+-=n n x n ; (5) x n =n (-1)n . 解 (1)当n →∞时, nn x 21=→0, 021lim=∞→nn .(2)当n →∞时, n x nn 1)1(-=→0, 01)1(lim =-∞→nn n .(3)当n →∞时, 212n x n +=→2,　2)12(lim 2=+∞→nn .(4)当n →∞时, 12111+-=+-=n n n x n →0,　111lim =+-∞→n n n . (5)当n →∞时, x n =n (-1)n 没有极限. 2. 设数列{x n }的一般项n n x n 2cos π=. 问nn x ∞→lim =? 求出N , 使当n >N 时, x n 与其极限之差的绝对值小于正数ε , 当ε =0.001时, 求出数N . 解 0lim =∞→n n x .n n n x n 12cos ||0|≤=-π. ∀ε >0, 要使|x n -0|<ε , 只要ε<n 1, 也就是ε1>n . 取]1[ε=N , 则∀n >N , 有|x n -0|<ε .当ε =0.001时, 1[ε=N =1000.3. 根据数列极限的定义证明:(1)01lim 2=∞→nn ;(2)231213lim=++∞→n n n ;(3)1lim 22=+∞→na n n(4)19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . (1)分析要使ε<=-221|01|n n , 只须ε12>n , 即ε1>n . 证明因为∀ε>0, ∃]1[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-|01|2n , 所以01lim 2=∞→n n .(2)分析要使ε<<+=-++n n n n 41)12(21|231213|, 只须ε<n41, 即ε41>n .证明因为∀ε>0, ∃41[ε=N , 当n >N 时, 有ε<-++231213|n n , 所以231213lim =++∞→n n n .(3)分析要使ε<<++=-+=-+n a n a n n a n n a n n a n 22222222)(|1|, 只须ε2a n >.证明因为∀ε>0, ∃][2εa N =, 当∀n >N 时, 有ε<-+|1|22n a n , 所以1lim 22=+∞→na n n .(4)分析要使|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|ε<=-1101n , 只须1101-n <ε , 即ε1lg 1+>n .证明因为∀ε>0, ∃]1lg 1[ε+=N , 当∀n >N 时, 有|0.99 ⋅ ⋅ ⋅ 9-1|<ε , 所以19 999.0lim =⋅⋅⋅∞→个n n . 4. a u n n =∞→lim , 证明||||lim a u n n =∞→. 并举例说明: 如果数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限.证明因为a u n n =∞→lim , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有ε<-||a u n , 从而||u n |-|a ||≤|u n -a |<ε .这就证明了||||lim a u n n =∞→.数列{|x n |}有极限, 但数列{x n }未必有极限. 例如1|)1(|lim =-∞→n n , 但n n )1(lim -∞→不存在.5. 设数列{x n }有界, 又0lim =∞→n n y , 证明: 0lim =∞→n n n y x .证明因为数列{x n }有界, 所以存在M , 使∀n ∈Z , 有|x n |≤M . 又0lim =∞→n n y , 所以∀ε>0, ∃N ∈N , 当n >N 时, 有My n ε<||. 从而当n >N 时, 有εε=⋅<≤=-M M y M y x y x n n n n n |||||0|, 所以0lim =∞→n n n y x .6. 对于数列{x n }若x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 证明: x n →a (n →∞). 证明因为x 2k →a (k →∞), x 2k +1→a (k →∞), 所以∀ε>0, ∃K 1, 当2k >2K 1时, 有| x 2k -a |<ε ;∃K 2,　当2k +1>2K 2+1时, 有| x 2k +1-a |<ε..取N =max{2K 1, 2K 2+1}, 只要n >N , 就有|x n -a |<ε . 因此x n →a (n →∞).习题1-31. 根据函数极限的定义证明: (1)8)13(lim 3=-→x x ;(2)12)25(lim 2=+→x x ;(3)424lim22-=+--→x x x ; (4)21241lim 321=+--→x x x .证明 (1)分析 |(3x -1)-8|=|3x -9|=3|x -3|, 要使|(3x -1)-8|<ε , 只须ε31|3|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ31=, 当0<|x -3|<δ时, 有|(3x -1)-8|<ε , 所以8)13(lim 3=-→x x .(2)分析 |(5x +2)-12|=|5x -10|=5|x -2|, 要使|(5x +2)-12|<ε , 只须ε51|2|<-x .证明因为∀ε >0, ∃εδ51=, 当0<|x -2|<δ时, 有|(5x +2)-12|<ε , 所以12)25(lim 2=+→x x .(3)分析 |)2(||2|244)4(2422--=+=+++=--+-x x x x x x x , 要使ε<--+-)4(242x x , 只须ε<--|)2(|x .证明因为∀ε >0, ∃εδ=, 当0<|x -(-2)|<δ时, 有ε<--+-)4(242x x , 所以424lim 22-=+--→x x x . (4)分析|21(|2|221|212413--=--=-+-x x x x , 要使ε<-+-212413x x , 只须ε21|)21(|<--x . 证明因为∀ε >0, ∃εδ21=, 当δ<--<|)21(|0x 时, 有ε<-+-212413x x , 所以21241lim 321=+--→x x x .2. 根据函数极限的定义证明: (1)2121lim33=+∞→x x x ; (2)0sin lim=+∞→xxx .证明 (1)分析 333333||21212121x x x x x x =-+=-+, 要使ε<-+212133x x , 只须ε<3||21x , 即321||ε>x .证明因为∀ε >0, ∃321ε=X , 当|x |>X 时, 有ε<-+212133x x , 所以2121lim 33=+∞→x x x .(2)分析 xxx xx 1|sin |0sin ≤=-, 要使ε<-0sin x x, 只须ε<x1, 即21ε>x .证明因为∀ε>0, ∃21ε=X , 当x >X 时, 有ε<-0sin x x, 所以0sin lim=+∞→xxx .3. 当x →2时, y =x 2→4. 问δ等于多少, 使当|x -2|<δ时, |y -4|<0. 001？解由于x →2, |x -2|→0, 不妨设|x -2|<1, 即1<x <3. 要使|x 2-4|=|x +2||x -2|<5|x -2|<0. 001, 只要0002.05001.0|2|=<-x , 取δ=0. 0002, 则当0<|x -2|<δ时, 就有|x 2-4|<0. 001. 4. 当x →∞时, 13122→+-=x x y , 问X 等于多少, 使当|x |>X 时, |y -1|<0.01?解要使01.034131222<+=-+-x x x , 只397301.04||=->x , 397=X . 5. 证明函数f (x )=|x | 当x →0时极限为零.6. 求,)(x x x f = xx x ||)(=ϕ当x →0时的左﹑右极限, 并说明它们在x →0时的极限是否存在.证明因为11lim lim )(lim 000===---→→→x x x x xx f ,11lim lim )(lim 000===+++→→→x x x x xx f ,)(lim )(lim 0x f x f x x +→→=-,所以极限)(lim 0x f x →存在.因为1lim ||lim )(lim 00-=-==---→→→x xx x x x x x ϕ, 1lim ||lim )(lim 00===+++→→→xx x x x x x x ϕ, )(lim )(lim 0x x x x ϕϕ+→→≠-, 所以极限)(lim 0x x ϕ→不存在.7. 证明: 若x →+∞及x →-∞时, 函数f (x )的极限都存在且都等于A , 则A x f x =∞→)(lim .证明因为A x f x =-∞→)(lim , A x f x =+∞→)(lim , 所以∀ε>0,∃X 1>0, 使当x <-X 1时, 有|f (x )-A |<ε; ∃X 2>0, 使当x >X 2时, 有|f (x )-A |<ε .取X =max{X 1, X 2}, 则当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε , 即A x f x =∞→)(lim .8. 根据极限的定义证明: 函数f (x )当x →x 0 时极限存在的充分必要条件是左极限、右极限各自存在并且相等.证明先证明必要性. 设f (x )→A (x →x 0), 则∀ε>0, ∃δ>0, 使当0<|x -x 0|<δ 时, 有|f (x )-A |<ε .因此当x 0-δ<x <x 0和x 0<x <x 0+δ 时都有|f (x )-A |<ε .这说明f (x )当x →x 0时左右极限都存在并且都等于A . 再证明充分性. 设f (x 0-0)=f (x 0+0)=A , 则∀ε>0, ∃δ1>0, 使当x 0-δ1<x <x 0时, 有| f (x )-A <ε ; ∃δ2>0, 使当x 0<x <x 0+δ2时, 有| f (x )-A |<ε .取δ=min{δ1, δ2}, 则当0<|x -x 0|<δ 时, 有x 0-δ1<x <x 0及x 0<x <x 0+δ2 , 从而有| f (x )-A |<ε ,即f (x )→A (x →x 0).9. 试给出x →∞时函数极限的局部有界性的定理, 并加以证明.解 x →∞时函数极限的局部有界性的定理: 如果f (x )当x →∞时的极限存在, 则存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M .证明设f (x )→A (x →∞), 则对于ε =1, ∃X >0, 当|x |>X 时, 有|f (x )-A |<ε =1. 所以|f (x )|=|f (x )-A +A |≤|f (x )-A |+|A |<1+|A |.这就是说存在X >0及M >0, 使当|x |>X 时, |f (x )|<M , 其中M =1+|A |.习题1-41. 两个无穷小的商是否一定是无穷小？举例说明之. 解不一定.例如, 当x →0时, α(x )=2x , β(x )=3x 都是无穷小, 但32)()(lim 0=→x x x βα, )()(x x βα不是无穷小.2. 根据定义证明:(1)392+-=x x y 当x →3时为无穷小;(2)xx y 1sin =当x →0时为无穷小.证明 (1)当x ≠3时|3|39||2-=+-=x x x y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -3|<δ时, 有εδ=<-=+-=|3|39||2x x x y ,所以当x →3时392+-=x x y 为无穷小.(2)当x ≠0时|0|1sin |||||-≤=x xx y . 因为∀ε >0, ∃δ=ε , 当0<|x -0|<δ时, 有εδ=<-≤=|0||1sin |||||x xx y ,所以当x →0时x x y 1sin =为无穷小.3. 根据定义证明: 函数xxy 21+=为当x →0时的无穷大. 问x 应满足什么条件, 能使|y |>104？证明分析2||11221||-≥+=+=x x x x y , 要使|y |>M , 只须M x >-2||1, 即21||+<M x . 证明因为∀M >0, ∃21+=M δ, 使当0<|x -0|<δ时, 有M xx >+21, 所以当x →0时, 函数x xy 21+=是无穷大. 取M =104, 则21014+=δ. 当2101|0|04+<-<x 时, |y |>104. 4. 求下列极限并说明理由:(1)xx n 12lim+∞→;(2)xx x --→11lim20.解 (1)因为x x x 1212+=+, 而当x →∞ 时x 1是无穷小, 所以212lim =+∞→xx n .(2)因为x xx +=--1112(x ≠1), 而当x →0时x 为无穷小, 所以111lim 20=--→x x x . 5. 根据函数极限或无穷大定义, 填写下表:6. 函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内是否有界？这个函数是否为当x →+∞ 时的无穷大？为什么？解函数y =x cos x 在(-∞, +∞)内无界.这是因为∀M >0, 在(-∞, +∞)内总能找到这样的x , 使得|y (x )|>M . 例如y (2k π)=2k π cos2k π=2k π (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),当k 充分大时, 就有| y (2k π)|>M .当x →+∞ 时, 函数y =x cos x 不是无穷大.这是因为∀M >0, 找不到这样一个时刻N , 使对一切大于N 的x , 都有|y (x )|>M . 例如022cos()22(22(=++=+ππππππk k k y (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅),对任何大的N , 当k 充分大时, 总有N k x >+=22ππ, 但|y (x )|=0<M .7. 证明: 函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界, 但这函数不是当x →0+时的无穷大.证明函数x x y 1sin 1=在区间(0, 1]上无界. 这是因为∀M >0, 在(0, 1]中总可以找到点x k , 使y (x k )>M . 例如当221ππ+=k x k (k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅)时, 有22)(ππ+=k x y k ,当k 充分大时, y (x k )>M .当x →0+ 时, 函数xx y 1sin 1=不是无穷大. 这是因为∀M >0, 对所有的δ>0, 总可以找到这样的点x k , 使0<x k <δ, 但y (x k )<M . 例如可取πk x k 21=(k =0, 1, 2, ⋅ ⋅ ⋅), 当k 充分大时, x k <δ, 但y (x k )=2k πsin2k π=0<M .习题1-51. 计算下列极限: (1)35lim 22-+→x x x ;解 9325235lim 222-=-+=-+→x x x .(2)13lim 223+-→x x x ;解 01)3(3)3(13lim 22223=+-=+-→x x x . (3)112lim 221-+-→x x x x ;解 02011lim )1)(1()1(lim 112lim121221==+-=+--=-+-→→→x x x x x x x x x x x .(4)xx xx x x 2324lim 2230++-→;解 2123124lim 2324lim 202230=++-=++-→→x x x x x x x x x x .(5)hx h x h 220)(lim-+→;解 x h x hx h hx x h x h x h h h 2)2(lim 2lim )(lim02220220=+=-++=-+→→→.(6))112(lim 2xx x +-∞→; 解 21lim 1lim 2)112(lim 22=+-=+-∞→∞→∞→x x x x x x x . (7)121lim22---∞→x x x x ; 解 2111211lim 121lim 2222=---=---∞→∞→x x x x x x x x . (8)13lim242--+∞→x x x x x ; 解 013lim242=--+∞→x x x x x (分子次数低于分母次数, 极限为零)或 012111lim13lim 4232242=--+=--+∞→∞→xx x x x x xx x x . (9)4586lim 224+-+-→x x x x x ;解 32142412lim )4)(1()4)(2(lim 4586lim 44224=--=--=----=+-+-→→→x x x x x x x x x x x x x .(10))12)(11(lim 2xx x -+∞→; 解 22112(lim )11(lim )12)(11(lim 22=⨯=-⋅+=-+∞→∞→∞→x x x x x x x . (11))21 41211(lim n n +⋅⋅⋅+++∞→; 解 2211)21(1lim)21 41211(lim 1=--=+⋅⋅⋅++++∞→∞→n n n n . (12)2)1( 321limn n n -+⋅⋅⋅+++∞→;解 211lim 212)1(lim )1( 321lim 22=-=-=-+⋅⋅⋅+++∞→∞→∞→n n n n n n n n n n . (13)35)3)(2)(1(lim n n n n n +++∞→;解 515)3)(2)(1(lim3=+++∞→n n n n n (分子与分母的次数相同, 极限为最高次项系数之比).或 51)31)(21)(11(lim 515)3)(2)(1(lim3=+++=+++∞→∞→n n n n n n n n n . (14))1311(lim 31xx x ---→; 解 112lim )1)(1()2)(1(lim)1)(1(31lim 1311(lim 212122131-=+++-=++-+--=++--++=---→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x x x x . 2. 计算下列极限: (1)2232)2(2lim -+→x x x x ; 解因为01602)2(lim2322==+-→x x x x , 所以∞=-+→2232)2(2lim x x x x .(2)12lim 2+∞→x x x ;解 ∞=+∞→12lim 2x x x (因为分子次数高于分母次数). (3))12(lim 3+-∞→x x x .解 ∞=+-∞→)12(lim 3x x x (因为分子次数高于分母次数).3. 计算下列极限: (1)xx x 1sin lim 20→;解 01sin lim 20=→x x x (当x →0时, x 2是无穷小, 而x 1sin 是有界变量). (2)xx x arctan lim ∞→. 解 0arctan 1lim arctan lim =⋅=∞→∞→x x x x x x (当x →∞时, x 1是无穷小, 而arctan x 是有界变量). 4. 证明本节定理3中的(2).习题1-61. 计算下列极限: (1)xx x ωsin lim 0→;解 ωωωωω==→→x x x x x x sin lim sin lim 00. (2)xx x 3tan lim 0→; 解 33cos 133sin lim 33tan lim 00=⋅=→→x x x x x x x . (3)xx x 5sin 2sin lim 0→; 解 52525sin 522sin lim 5sin 2sin lim 00=⋅⋅=→→x x x x x x x x .(4)x x x cot lim 0→;解 1cos lim sin lim cos sin lim cot lim 0000=⋅=⋅=→→→→x x x x x x x x x x x x . (5)xx x x sin 2cos 1lim 0-→; 解法一 ()2sin lim 2sin 2lim 2cos1lim sin 2cos 1lim 20220200===-=-→→→→xx x x x x x x x x x x x .解法二 2sin lim 2sin sin 2lim sin 2cos 1lim 0200===-→→→xx x x x x x x x x x .(6)n n n x2sin2lim ∞→(x 为不等于零的常数). 解 x x xxx nn n n n n ==∞→∞→22sinlim2sin 2lim . 2. 计算下列极限:(1)xx x 1)1(lim -→;解{}11)(10)1)(101)](1[lim )](1[lim )1(lim ---→--→→=-+=-+=-e x x x x x x x x x .(2)x x x 1)21(lim +→;解[]22210221010)21(lim )21(lim )21(lim e x x x x x x x x x =+=+=+→⋅→→.(3)x x xx 21(lim +∞→;解 []222)11(lim )1(lim e x x x xx x x =+=+∞→∞→.(4)kx x x)11(lim -∞→(k 为正整数). 解 k k x x kx x e xx ---∞→∞→=-+=-))(()11(lim )11(lim . 3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I '. 解4. 利用极限存在准则证明: (1)111lim =+∞→nn ;证明因为nn 11111+<+<,而 11lim =∞→n 且1)11(lim =+∞→n n ,由极限存在准则I, 111lim =+∞→nn .(2)()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n ; 证明因为()πππππ+<++⋅⋅⋅++++<+22222221 211n n n n n n n n n n , 而 1lim22=+∞→πn n n n , 1lim 22=+∞→πn n n ,所以 ()11 211lim 222=++⋅⋅⋅++++∞→πππn n n n n n . (3)数列2, 22+,222++, ⋅ ⋅ ⋅ 的极限存在;证明 21=x , n n x x +=+21(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅).先证明数列{x n }有界. 当n =1时221<=x , 假定n =k 时x k <2, 当n =k +1时,22221=+<+=+k k x x ,所以x n <2(n =1, 2, 3, ⋅ ⋅ ⋅), 即数列{x n }有界.再证明数列单调增.nn n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x x x +++--=++-+=-+=-+2)1)(2(22221,而x n -2<0, x n +1>0, 所以x n +1-x n >0, 即数列{x n }单调增.因为数列{x n }单调增加有上界, 所以此数列是有极限的. (4)11lim 0=+→n x x ;证明当|x |≤1时, 则有 1+x ≤1+|x |≤(1+|x |)n , 1+x ≥1-|x |≥(1-|x |)n , 从而有 ||11||1x x x n +≤+≤-. 因为 1|)|1(lim |)|1(lim 0=+=-→→x x x x ,根据夹逼准则, 有11lim 0=+→n x x .(5)[]11lim 0=+→xx x . 证明因为[]x x x 1111≤<-, 所以[]111≤<-x x x .又因为11lim )1(lim 0==-++→→x x x , 根据夹逼准则, 有[]11lim 0=+→xx x .习题 1-71. 当x →0时, 2x -x 2 与x 2-x 3相比, 哪一个是高阶无穷小？解因为02lim 2lim 202320=--=--→→xx x x x x x x x ,所以当x →0时, x 2-x 3是高阶无穷小, 即x 2-x 3=o (2x -x 2). 2. 当x →1时, 无穷小1-x 和(1)1-x 3, (2))1(212x -是否同阶？是否等价？解 (1)因为3)1(lim 1)1)(1(lim 11lim212131=++=-++-=--→→→x x xx x x x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和1-x 3是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小. (2)因为1)1(lim 211)1(21lim 121=+=--→→x x x x x , 所以当x →1时, 1-x 和)1(212x -是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.3. 证明: 当x →0时, 有: (1) arctan x ~x ; (2)2~1sec 2x x -. 证明 (1)因为1tan lim arctan lim00==→→y y xxy x (提示: 令y =arctan x , 则当x →0时, y →0),所以当x →0时, arctan x ~x .(2)因为()122sin2lim 22sin 2limcos cos 1lim 2211sec lim20222020===-=-→→→→x xxx x x xx x x x x x ,所以当x →0时, 2~1sec 2x x -. 4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限: (1)xxx 23tan lim0→;(2)mn x x x )(sin )sin(lim0→(n , m 为正整数);(3)xx x x 3sin sin tan lim-→;(4))1sin 1)(11(tan sin lim320-+-+-→x x x x x .解 (1)2323lim 23tan lim 00==→→x x x x x x .(2) ⎪⎩⎪⎨⎧<∞>===→→mn m n m n x x x x mn x m n x 0 1lim )(sin )sin(lim 00. (3)21cos 21lim sin cos cos 1lim sin )1cos 1(sin lim sin sin tan lim 220203030==-=-=-→→→→x x x x x x x x x x x x x x x x . (4)因为32221)2(2~2sin tan 2)1(cos tan tan sin x x x x x x x x x -=⋅--=-=-(x →0), 23232223231~11)1(11x x x x x ++++=-+(x →0),x x x x x ~sin ~1sin 1sin 1sin 1++=-+(x →0),所以 33121lim )1sin 1)(11(tan sin lim 230320-=⋅-=-+-+-→→xx x x x xx x x .5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:(1)α ~α (自反性); (2) 若α ~β, 则β~α(对称性); (3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性). 证明 (1)1lim =αα, 所以α ~α ;(2) 若α ~β, 则1lim =βα, 从而1lim =αβ. 因此β~α ;(3) 若α ~β, β~γ, 1lim lim lim =⋅=βαγβγα. 因此α~γ.习题1-81. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形: (1)⎩⎨⎧≤<-≤≤=21 210 )(2x x x x x f ;(2)⎩⎨⎧>≤≤-=1|| 111 )(x x x x f .解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f (x )在[0, 1)和(1, 2]内是连续的. 在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 211==--→→x x f x x , 1)2(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x 所以1)(lim 1=→x f x , 从而函数f (x )在x =1处是连续的.综上所述，函数f (x )在[0, 2]上是连续函数. (2)只需考察函数在x =-1和x =1处的连续性.在x =-1处, 因为f (-1)=-1, )1(11lim )(lim 11-≠==---→-→f x f x x , )1(1lim )(lim 11-=-==++-→-→f x x f x x , 所以函数在x =-1处间断, 但右连续.在x =1处, 因为f (1)=1, 1lim )(lim 11==--→→x x f x x =f (1), 11lim )(lim 11==++→→x x x f =f (1), 所以函数在x =1处连续.综合上述讨论, 函数在(-∞, -1)和(-1, +∞)内连续, 在x =-1处间断, 但右连续.2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:(1)23122+--=x x x y , x =1, x =2;(2)x xy tan =, x =k , 2ππ+=k x (k =0, ±1, ±2, ⋅ ⋅ ⋅); (3),1cos 2x y = x =0;(4)⎩⎨⎧>-≤-=1 311x x x x y , x =1. 解 (1))1)(2()1)(1(23122---+=+--=x x x x x x x y . 因为函数在x =2和x =1处无定义, 所以x =2和x =1是函数的间断点.因为∞=+--=→→231lim lim 2222x x x y x x , 所以x =2是函数的第二类间断点;因为2)2()1(limlim 11-=-+=→→x x y x x , 所以x =1是函数的第一类间断点, 并且是可去间断点. 在x =1处,令y =-2, 则函数在x =1处成为连续的.(2)函数在点x =k π(k ∈Z)和2ππ+=k x (k ∈Z)处无定义, 因而这些点都是函数的间断点. 因∞=→x xk x tan limπ(k ≠0), 故x =k π(k ≠0)是第二类间断点;因为1tan lim0=→xxx ,0tan lim2=+→xxk x ππ(k ∈Z), 所以x =0和2 ππ+=k x (k ∈Z) 是第一类间断点且是可去间断点.令y |x =0=1, 则函数在x =0处成为连续的;令2 ππ+=k x 时, y =0, 则函数在2ππ+=k x 处成为连续的. (3)因为函数x y 1cos 2=在x =0处无定义, 所以x =0是函数xy 1cos 2=的间断点. 又因为xx 1cos lim 2→不存在, 所以x =0是函数的第二类间断点. (4)因为0)1(lim )(lim 11=-=--→→x x f x x 2)3(lim )(lim 11=-=++→→x x f x x , 所以x =1是函数的第一类不可去间断点.3. 讨论函数x x x x f nnn 2211lim)(+-=∞→的连续性, 若有间断点, 判别其类型. 解 ⎪⎩⎪⎨⎧<=>-=+-=∞→1|| 1|| 01|| 11lim )(22x x x x x x x x x f nn n .在分段点x =-1处, 因为1)(lim )(lim 11=-=---→-→x x f x x , 1lim )(lim 11-==++-→-→x x f x x , 所以x =-1为函数的第一类不可去间断点.在分段点x =1处, 因为1lim )(lim 11==--→→x x f x x , 1)(lim )(lim 11-=-=++→→x x f x x , 所以x =1为函数的第一类不可去间断点.4. 证明: 若函数f (x )在点x 0连续且f (x 0)≠0, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.证明不妨设f (x 0)>0. 因为f (x )在x 0连续, 所以0)()(lim 00>=→x f x f x x , 由极限的局部保号性定理,存在x 0的某一去心邻域)(0x U , 使当x ∈)(0x U时f (x )>0, 从而当x ∈U (x 0)时, f (x )>0. 这就是说, 则存在x 0的某一邻域U (x 0), 当x ∈U (x 0)时, f (x )≠0.5. 试分别举出具有以下性质的函数f (x )的例子:(1)x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n 1±, ⋅ ⋅ ⋅是f (x )的所有间断点, 且它们都是无穷间断点;(2)f (x )在R 上处处不连续, 但|f (x )|在R 上处处连续;(3)f (x )在R 上处处有定义, 但仅在一点连续. 解函数x x x f ππcsc )csc()(+=在点x =0, ±1, ±2, 21±, ⋅ ⋅ ⋅, ±n , n1±, ⋅ ⋅ ⋅处是间断的, 且这些点是函数的无穷间断点.解(2)函数⎩⎨⎧∉∈-=Q Qx x x f 1 1)(在R 上处处不连续, 但|f (x )|=1在R 上处处连续. 解(3)函数⎩⎨⎧∉-∈=Q Qx x x x x f )(在R 上处处有定义, 它只在x =0处连续.习题1-91. 求函数633)(223-+--+=x x x x x x f 的连续区间, 并求极限)(lim 0x f x →, )(lim 3x f x -→及)(lim 2x f x →.解 )2)(3()1)(1)(3(633)(223-++-+=-+--+=x x x x x x x x x x x f , 函数在(-∞, +∞)内除点x =2和x =-3外是连续的, 所以函数f (x )的连续区间为(-∞, -3)、(-3, 2)、(2, +∞).在函数的连续点x =0处, 21)0()(lim 0==→f x f x .在函数的间断点x =2和x =-3处,∞=-++-+=→→)2)(3()1)(1)(3(lim )(lim 22x x x x x x f x x , 582)1)(1(lim )(lim 33-=-+-=-→-→x x x x f x x .2. 设函数f (x )与g (x )在点x 0连续, 证明函数 ϕ(x )=max{f (x ), g (x )}, ψ(x )=min{f (x ), g (x )}在点x 0也连续.证明已知)()(lim 00x f x f x x =→, )()(lim 00x g x g x x =→. 可以验证] |)()(|)()([21)(x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()(21)(x g x f x g x f x --+=ψ.因此 ] |)()(|)()([21)(00000x g x f x g x f x -++=ϕ,] |)()(|)()(21)(00000x g x f x g x f x --+=ψ.因为] |)()(|)()([21lim )(lim 00x g x f x g x f x x x x x -++=→→ϕ] |)(lim )(lim |)(lim )(lim [210000x g x f x g x f x x x x x x x x →→→→-++=] |)()(|)()([210000x g x f x g x f -++==ϕ(x 0),所以ϕ(x )在点x 0也连续.同理可证明ψ(x )在点x 0也连续.3. 求下列极限:(1)52lim 20+-→x x x ;(2)34)2(sin lim x x π→;(3))2cos 2ln(lim 6x x π→(4)xx x 11lim 0-+→; (5)145lim1---→x xx x ;(6)ax ax a x --→sin sin lim ;(7))(lim 22x x x x x --++∞→.解 (1)因为函数52)(2+-=x x x f 是初等函数, f (x )在点x =0有定义, 所以 55020)0(52lim 220=+⋅-==+-→f x x x .(2)因为函数f (x )=(sin 2x )3是初等函数, f (x )在点x =4π有定义, 所以1)42(sin )4()2(sin lim 334=⋅==→πππf x x .(3)因为函数f (x )=ln(2cos2x )是初等函数, f (x )在点x =6π有定义, 所以0)62cos 2ln(6()2cos 2ln(lim 6=⋅==→πππf x x . (4)211101111lim )11(lim )11()11)(11(lim 11lim0000=++=++=++=++++-+=-+→→→→x x x x x x x x x x x x x x . (5))45)(1(44lim )45)(1()45)(45(lim 145lim111x x x x x x x x x x x x x x x x x +---=+--+---=---→→→ 214154454lim1=+-⋅=+-=→xx x .(6)ax ax a x ax ax a x a x --+=--→→2sin 2cos2limsin sin lima a a a x ax ax ax ax cos 12cos 22sinlim 2coslim =+=--⋅+=→→. (7))())((lim)(lim 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x x -++-++--+=--++∞→+∞→1)1111(2lim)(2lim22=-++=-++=+∞→+∞→xx x x x x xx x .4. 求下列极限: (1)x x e 1lim ∞→;(2)xxx sin lnlim 0→; (3)2)11(lim xx x+∞→;(4)x x x 2cot 20)tan 31(lim +→;(5)21)63(lim -∞→++x x xx ; (6)xx x x x x -++-+→20sin 1sin 1tan 1lim.解 (1) 1lim 01lim1===∞→∞→e ee xxx x .(2) 01ln )sin lim ln(sin lnlim 00===→→x xxx x x .(3) []e e xx xx xx ==+=+∞→∞→21212)11(lim 11(lim .(4) []33tan312cot 222)tan 31(lim )tan 31(lim ex x xx xx =+=+→→.(5)21633621)631()63(-+-⋅-+-+-+=++x x x x xx x . 因为。

高等数学第12章课后习题答案(科学出版社).

习题 12.11. 判断下列方程是几阶微分方程:;)1(2y x dxdy +=;042)2(2=+-⎪⎭⎫⎝⎛x dx dy dx dy x;052)3(322=+⎪⎭⎫⎝⎛-xy dx dy dx y d x 2334(4)2()1xy x y x y x '''++=+.解 (1)是一阶线性微分方程; (2)是一阶非线性微分方程; (3)是二阶非线性微分方程; (4)是二阶非线性微分方程.2. 指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解：（1）2xy y '=，25y x =；（2）0y y ''+=，3sin 4cos y x x =-；（3）20y y y '''-+=，2e x y x =；（4）2()0xy x y yy ''''++=，y x =．解 (1)是; (2)是; (3)不是; (4)不是二阶非线性微分方程.3. 验证函数x C x y sin )(2+=(C 为任意常数)是方程0sin 2cot =--x x x y dxdy的通解, 并求满足初始条件0|2==πx y 的特解.解要验证一个函数是否是方程的通解，只要将函数代入方程，看是否恒等，再看函数式中所含的独立的任意常数的个数是否与方程的阶数相同.将x C x y sin )(2+=求一阶导数,得dxdy,cos )(sin 22x C x x x ++= 把y 和dxdy代入方程左边得 x x x y dxdysin 2cot --x x x x C x x C x x x sin 2cot sin )(cos )(sin 222-+-++=.0≡ 因方程两边恒等,且y 中含有一个任意常数,故x C x y sin )(2+=是题设方程的通解. 将初始条件02==πx y 代入通解x C x y sin )(2+=中，得C +=402π .42π-=C 从而所求特解为 .s i n422x x y ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=π 4．写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程.(1) 一曲线通过原点，并且它在(,)x y 处的切线斜率等于2x y +; (2) 一曲线通过点(2,3)，它在两坐标轴间的任一切线段均被切点所平分.解：由题意，2y x y '=+，00x y==解：设该曲线的方程为()y f x =，(,)x y 为其上任意一点，该点处的切线斜率为y '，过该点的切线方程为()Y y y X x '-=-。

高等数学课后答案 - 高等教育出版社(同济大学数学系)

高等数学高等教育出版社--同济大学数学系习题一1、（4）⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-254876131210131311412 （5）原式=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡++++++333232131323222121313212111321)(x a x a x a x a x a x a x a x a x a x x x233332323131322322222121311321122111x a x x a x x a x x a x a x x a x x a x x a x a ++++++++= =j i ij j i x x a ∑=31,2、（1）T B A 23-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡165654111202022242363636333 （2）B AB T -=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101012111101011121121212111 =⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡101441300101012111202431211 （3）T BA A -2=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡121211121101012111121212111121212111=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡414645233242031211656676444 3、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛321321321220011112y y y B y y y z z z ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡321321321111110011x x x A x x x y y y ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=552121023111110011230011112BA ⎪⎩⎪⎨⎧++=--=-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴32133212211321321321321552223552121023xx x z x x x z x x z x x x x x x BA y y y B z z z 或 4、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=5.14.4251482041015620105B A 则4321414.118562.1515114355158A A A A AB ←←←←⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡= 即1A 工厂总收入158万元，利润55万元，其他类似. 5、设现有人口用矩阵表示为（单位：万人）：)50,80(=A转移矩形⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∆9.01.02.08.0B , 则三年后人口可表示为[]3)(AB B B AB = )09.74,91.55(781.0219.0438.0562.0)50,80(=⎪⎪⎭⎫⎝⎛= 即三年后市区，郊区人口分别为55.91，74.09万人.注：也可以先乘AB ，再计算（AB ）B ，最后算[]B B AB )(.用AB 3计算时，B ，B 2，B 3的每行两数之和为1，最终结果两数之和为130，否则结果错误. 6、记⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=7.015.110506230157182010B A则 T AB )150,5.46,6.47(=即此人每天摄入蛋白质，脂肪，碳水化合物分别为47.6，46.5，150克. 7、⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=22222200002000020000240040000400004111111111*********11111111111111A⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==44442242222)(A A 猜想⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn nn nA 222222222 （*）用数学归纳法证明①当1=n 时，显然由2A 的表达式知猜想成立. ②设k n =时成立，即{}K K K K k diag A 222222,2,2,2=．当1+=k n 时，22)1(2A A A k k ⋅=+={}k k k k diag 22222,2,2,2{}22222,2,2,2diag =diag{)1(2)1(2)1(2)1(22,2,2,2++++k k k k }. 因此，1+=k n 时，猜想也成立综上：（*）式成立，因此⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡==+111111*********120000200002000022222212nn n n n n A A A ()A nn nnn n n n nn n n n n n n n 2222222222222222222222222222222222=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡------------=. 注：简洁算法是()A A E A A n n n 22222==.8、 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=121557331233122A222200003003151551012155735)(x O E A A A f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=+-=∴ 9、（1）⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=+521123241302111120221032121T T B A 注：也可用T B A )(+，更易求！ (2)⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=54651360556410630201232121311012210)(TTT BA （3）B B A T )(-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=921116521031101221010334100110、设33)(⨯=ij a B ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=000000100010000000100010333231232221333231232221131211323122211211333231232221131211a a a a a a a a a a a a a a a AB a a a a a a a a a a a a a a a BA由AB=BA 可得：,0,,,0,,0323133223221312312221121========a a a a a a a a a a a a⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=∴111211131211a a a a a a B 即任意形如),,(000R c b a a b a c b a∈∀⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡的矩阵都可以和A 相交换. 11、（1）T TT T A A A A A A +∴+=+)(对称T T T T T A A A A A A A A -∴--=-=-)()(反对称（2）)(21)(21T T A A A A A -++=12、AB B B A B AB B T T T T T ==)(13、设⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=nn n n n a a a a a a A ΛΛΛ1221111，考虑T AA 的对角线上的元素，由nxn T AA 0=可得 0,,2,1,0),(0)2,2(0)1,1(0222212222222121212211=∴==∴∈⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++=++=+++A nj i a Ra n n AA a a a AA a a a AA a a a ij ij T nn n n T n T n ΛΘΛΛΛΛΛ元的第元的第元的第14、注意到：n k n n E A A E A E =+++--))((1Λ及n n k n E A E A A E =-+++-))((1Λ（利用0=k A ）．A E n -∴可逆，且11)(--+++=-k n n A A E A E Λ.15、0672=--n E A A⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+⇒-=-+=-⇒=-⇒nn n n n n n n n n E E A E A E E A E A E E A A E E A A 129121)2(12)9)(2()6761(6)7(再验证：nn n n n E E A E A E A E A =+⋅⎪⎭⎫⎝⎛+-=⋅⎪⎭⎫⎝⎛-)2(1291216761于是可说E A A 2,+均可逆，且 n n n E A E A E A A 43121)2(,676111+-=+-=-- 说明：对于数a而言，当0672=--a a 时，可以得到12)9)(2(,6)7(-=-+=-a a a a ，矩阵的乘法可类比.16、⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==345123101)(ij b B ，易求出AB. 17、⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=αααα2cos 2sin 2sin 2cos 2A猜想 ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n A n cos sin sin cos （*）用数学归纳法证：① 1=n 时成立．② 设1-n 时成立，则n 时，⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=⋅=-ααααααααcos sin sin cos )1cos()1sin()1sin()1cos(1n n n n A AA n n ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=ααααn n n n cos sin sin cos 故（*）式成立19、（1）原式T T T T n u u u u uu uu E )(λμμλ+--= T T n uu u u E )(λμμλ-+-=（2）当1≠u u T λ时，由0=-+u u T λμμλ可解出,1uu T λλμ--=则由（1）结果可知此时n T n T n E uu E u E =--))((μμλ，从而T n uu E λ-可逆． 22、22))((B BA AB A B A B A -+-=-+.当BA=AB 即A 、B 可交换时，22))((B A B A B A -=-+. 23、设,),,(),(1T n ij x x x a A Λ==由0=Ax 得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=++=++)(0)2(0)1(01121211111m x a x a x a x a x a x a n mn m n n n n ΛM ΛΛΛΛ由于n R x ∈是任意的（x 是任意n 维列向量），分别取),,2,1(,)0,,1,,.0(n j e x T j ΛΛΛ===，则,0),,,(21==T mj j j j a a a Ae Λ得到),,,1.(0m i a ij Λ==又j 分别取n ,,2,1Λ时，可得 ),,1;,,1(,0n j m i a ij ΛΛ===，故 .0=A24、设T j ij i e y a A x )0,,1,,0(),(),0,,1,,0()(ΛΛΛΛ====则由⇒=0xAy ,0010)0,,1,,0(111111==⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ijnn nj n in ij i n j a a a aa a a a a a M M ΛΛM M M ΛΛM M MΛΛΛΛ).,,1;,,1(n j m i ΛΛ== 故 .0=A 25、（1） T ij x a A )1,,1,1(),(Λ==则 11111111111nx nn n n nn n n a a a a a a a a Ax ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++++=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ΛΛΛΛM ΛΛΛΛ （2）A 的每行元素之和为常数a ，即是ax Ax =.,)()(111x aA x ax A Ax A ---=⇒=∴又0≠a （否则00=⇒=x Ax ，矛盾）x a x A 11=∴-，即A -1每行元素之和皆为a1．27、设),,(1n a a diag A Λ=，)(ij b B =，),(),(ij ij d BA c AB ==则 ,001ij i nj ij i j ij b a b b a b c =⋅+++⋅=ΛΛ（A c ij =Θ的第i 行元素与B 的第j 列对应元素乘积之和）j ij in j ij i ij a b b a b b d =⋅+++⋅=001ΛΛ，令BA AB =得ij ij d c =．即 j ij ij i a b b a =0)(=-⇒ij j i b a an a a ΛΘ1两两不等，即)(j i a a j i ≠≠ B j i b ij ∴≠=∴)(0为对角矩阵．习题二1、按第3行展开00000000051412524232115141311325242252423221514131231a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D -=25242315141341322524231514134231a a a a a a a a a a a a a a a a ⋅-⋅==0． 2、（1）第2列减去第3列，提出公因数100；（2）化阶梯形；（3）第一行展开，再化阶梯形；（4）第2，3，4列加到第1列提出公因数10.（5）yxx y x y x y y x yx yx x y x yx y x y yx D 111)22(222222+++=+++++= xy x y xx y y x ---+=001)22().(2)]([)22()22(332y x y x y x y x xy x yxy x +-=-+-⋅+=---⋅+=（7）原式 .0221222122212221252321252321252321252321222222222=++++=++++++++++++=d d c c b b a a d d d d c c c cb b b b a a a a3、（1）按第一行展开，再把第2个1-n 阶行列式按最后一行展开000)1(1⋅⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅=+ΛΛy xx yxx xD n1121)1()1(-++--+=n n n y x xxO.22--=n n x y x（2）按第一行展开111)1(-+-⋅=n n n b b b D O )()1(11n n b b Λ+-=．（3）原式＝.)1(!)1(!221)1)(1()1(121)1(2)2)(1(12)1(1111++++++++-++-=-==----=--n n n n n n n n n n n n n n ΛΛNN（4）第1,3至n 行分别减去第2行，再按第1列展开.)!.2(220000100222000012000010022220001--=--=--=n n n D ΛM M M M M ΛΛΛΛM M M M M ΛΛΛ（5）212---=n n n D D D ⇒211----=-n n n n D D D D12312=-=-D D⇒)2(11≥=--n D D n n∴1)2(2⋅-+=n D D n （等差数列）123+=-+=n n 4、（1）略（2）4阶范德蒙行列式的变形. 5、（1）用归纳法．当 2=n 时，,11112121212a a a a a a D ++=++=等式成立．设当k n =时等式成立，即k k k k k k a a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛ3222112121++++=--．当1+=k n 时，1212112111101101111111111111101110111++++++++=+++++=k k k a a a a a a a a D ΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛΛM M M M ΛΛ,1321121211211211211110000++-+++++++=+=+=k k k k k k k k k k k k a a a a a a a a a a a a a a a D a a a a D a a a ΛΛΛΛΛΛΛM O M M ΛΛ等式得证．（2）归纳法．当3=n 时，,)()(11))((0011113132121132321122213123133313213123133313231131213332313213∏≤<≤-++=++++--=----=----==i j j ia aa a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a D结论成立．假设当1-n 时结论成立．当n 时，n nn n n n nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛM M M MΛΛ32122322213211111----=211231132211233331122111)()(---------+++--=n nn n n n n n n nn n n a a a a a a a a a a a a a a a a ΛΛMMMΛΛ)111111)(()(21231221333311312333311222------------+--=n nn n n n n n n nn n n n n n n aa aa a a aa a aaa a a a a a a a ΛΛM M M ΛΛΛM M M ΛΛ)111)(()(223223333111122-------+--=n nn n n n n n n n aaa a a a a D a a a a ΛΛM M MΛΛ))()())((()(2122112∏∏≤<≤≤<≤-+-++--=ni j j ini j j in n a aa a aa a a a a a ΛΛ.)()(121∏≤<≤-+++=ni j j in a aa a a Λ另一证法参见《学习指导》．6、利用范德蒙行列式，可得∏-≤<≤---------==11111111111)()().(111)(n i j j i n n n n n n a a x a x a a a x a a xx D ΛΛM M M MΛΛ由于),11(,-≤<≤≠n i j a a j i 故上式为x 的1-n 次多项式，其根分别为.,,,121-n a a a Λ8、用初等变换化为阶梯形即可得秩．9、利用行初等变换化 )()(1-→→A E E A ΛΛ得到1-A ．注：（2）E A 4442=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=O ⇒ 441AA E A A =⇒=⋅-.11、⇒+=⋅B A B A 2A B E A =-)2(⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-----=-=⇒-9122692683)2(1A E A B 注意左、右乘的区别！12、设.)(1110--+++=n n x c x c c x f Λ由⇒=i i b a f )(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=----n n O n n n n n b b c c c a a a a a a AC M M M ΛM M M M ΛΛ1111122111111由范德蒙行列式,⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⇒≠-=-≤<≤∏n n n i j j i b b A c c a a A M M 11010)(det即n c c ,,0Λ唯一存在，从而)(x f 唯一存在. 13、当0det ≠A 时, 1)(det *-=A A A())det()(det )(det det *det 11--==⇒A A A A A n ⎪⎭⎫ ⎝⎛==⇒--A A A A n det 1det )(det *det 11Θ.当0det =A 时，0*=AA . 设r A rank =)(，则11000000--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=Q Er P A Er PAQ *000*11A Q Er P AA --⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⇒ 0000211=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C Er P ，（记)*211⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-C C A Q000021=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒C C Er （1-P Θ可逆） O C O O C =⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⇒11⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=∴⎪⎪⎭⎫⎝⎛=∴-222100*0*QC C Q A C A Q0*det =∴A （*A Θ中至少有r 行为0行）.14、(1) rank(A)=.)(0||||0||*1*n A rank A A A n n =⇒≠=⇒≠⇒-(2) ,1)(-<n A rank 则A 的1-n 阶子式全为0，从而*A 的任一元素为0，故.0)(*=A rank(3) 当,1)(-=n A rank 则A 中至少有一个1-n 阶子式不为0，即*A 至少有一个元素不为0，故.1)(*≥A rank 反之，.0||0||1)(*==⇒=⇒-=E A AA A n A rank 又存在n 阶可逆矩阵,,Q P 使.0001⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-n E PAQ 又,0**1==-PAA A PAQQ 记⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=-21*1B B A Q ，其中2B 为*1A Q -的最后一行，则由,00.0001211=⇒=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-B B B E n 于是,10)()(2*1*≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛==-B rank A Q rank A rank 故.1)(*=A rank15、由已知条件知，T A A )(*=，于是||||*A A =．0||||||||||**=⇒=⇒=A A A A E A AA n或.1||±=A 但∑=>=ni ij a A 12,0||（某个),0≠ij a 故.1||=A16、利用⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=---12111212212111112100A A A A A A E A A E A r n r 及例2.21的结论.习题四6、设313322211,,ααβααβααβ+=+=+=，321,,βββ线性无关3),,(321=⇔βββr ，而321,,ααα线性无关3),,(321=⇒αααr ，故只须证：),,(),,(321321αααβββr r =或：),,(),,(321321βββααα→列初等变换．事实上：),,(),,(322132121ααααααα+→+C C),,(),,()2,,()2,,(),,(3211332213213221332212332212313332βββααααααααααααααααααααααα=+++++++++++→→→→-++C C C C C C C3)(),,(321321==∴αααβββr r 321,,βββ∴线性无关．方法2 设 =+++++)()()(133322211ααααααx x x 0 (1) 下证 0321===x x x（1）式332221131)()()(αααx x x x x x +++++⇒=0由321,,ααα线性无关⎪⎩⎪⎨⎧===⇒⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+∴000000321322131x x x x x x x x x 从而133221,,αααααα+++线性无关. 方法3：,110011101),,(),,(321133221⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=+++ααααααααα 记 .110011101⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=AA A ∴≠=02det Θ可逆线性无关321321133221,,3),,(),,(ααααααααααααΘ↑==+++∴r r7、（1）432,,αααΘ 线性无关32,αα∴ 线性无关（整体线性无关，则部分也是）又321ααα，，Θ线性相关1α∴可由32αα，唯一线性表示（定理4.5）（2）反证法，设4α可由321,,ααα线性表示，则),,(),,,(3214321αααααααr r = ①又321,,αααΘ线性相关3),,(321＜r ααα∴ ② 又432,,αααΘ线性无关，有 3),,(432=αααr3),,(),,,(4324321=≥∴αααααααr r ③由①②③知⎩⎨⎧<≥3),,,(3),,,(43214321ααααααααr r 矛盾．10、设),,(),,,(11n n B A ββααΛΛ== 则),,(11n n B A βαβα++=+Λ设r i i αα,,1Λ是A 的一个最大线性无关组，s j j ββ,,1Λ是B 的一个最大线性无关组则s B r r A r ==)(,)(，由于k α可由r i i αα,,1Λ线性表示，k β可由s j j ββ,,1Λ线性表示，）（n k ,,1⋯⋯=n n βαβα+⋯⋯+∴,11可由r i i αα,,1Λ，s j j ββ,,1Λ线性表示，从而),,,(),(1111s r n n r r ββααβαβα⋯⋯⋯⋯≤+⋯⋯+s r +≤ 即).()()(B r A r B A r +≤+12、假设r n -⋯⋯ξξξη,,,,21线性相关r n -⋯⋯ξξξ,,,21Θ线性无关η∴可由r n -⋯⋯ξξ,,1线性表示设 i i rn i k ξη∑-==1),,1(r n i i -=ΛΘξ是0=AX 的解 η∴也是0=AX 的解，从而0=ηA ，但η却是B AX =的解，从而0≠=B A η矛盾． 13、112211)1(+------++++=r n r n r n r n k k k k k x ηηηηΛΛ11122111)()()(+-+---+-+-+-++-+-=r n r n r n r n r n r n k k k ηηηηηηηΛ 令1122111,,+---+-+--=-=-=r n r n r n r n r n ηηαηηαηηαΛ 则0)(1=-=-=+-B B A A r n i i ηηαr n -⋯⋯∴αα,1是0=AX 的解 ①下证：r n -⋯⋯αα,1线性无关02211=+++--r n r n x x x αααΛ0)()(1111=-++-⇔+---+-r n r n r n r n x x ηηηηΛ 0)(1111=---+++⇔+----r n r n r n r n x x x x ηηηΛΛ 11,,,+--r n r n ηηηΛΘ线性无关， .021====∴-r n x x x Λr n -∴αααΛ,,21线性无关. ②由①，②知r n -αααΛ,,21是0=Ax 的基础解系．又1+-r n η是B Ax =的解（非齐次方程的一个特解！）∴111+---+++r n r n r n k k ηααΛ11)1(11+-------+++=r n r n r n r n k k k k ηηηΛΛ是=AX B 的通解．14、032321=+-x x x 的基础解系为,203,02121⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=ηη它们就是V 的一组基．注：分别取⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛20,0232x x 得1η，2η． 17、充分性：设),,(,),,(11n T m b b a a ⋯⋯=⋯⋯=βα αβ=A ，则1)()(≤≤αr A r ① 因0,≠βα，不妨设i a ，0≠j b 则A 的第i 行第j 列的元素为i a 0≠j b∴ 1)(≥A r （至少有一个一阶子式不为0） ② ∴ 1)(=A r （由①与②得）必要性：设),,,(21n A αααΛ=， ),,,()(121n r A r αααΛ==，则n ααΛ1的最大线性无关组只含1个向量，设它为α，)0(≠αΘ α为n αα⋯⋯,1的最大线性无关组 ∴ n αα⋯⋯,1可由α线性表示设ααααααn n k k k ===,,,2211Λ，令),,,(21n k k k Λ=β 则0≠β （否则，由1)(021=====A r n 与αααΛ矛盾．）则),(1n A ααΛ=),,(1ααn k k ⋯=)(21n k ，，k k ⋯=ααβ=．其中α为1⨯m 向量，β为n ⨯1向量． 18、令⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=T m T A ααM 1， ,1⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=T T m T B βααM则0=Ax 的解都是0=Bx 的解（条件）显然0=Bx 的解都是0=Ax 的解（后者比前者少一个方程）)()(B r A r =∴（结构定理4.11）)()(T T B r A r =∴⇒),,(),,(11βααααm m r r ΛΛ= ∴β可由m αα,,1Λ线性表示19、令),,(),,,(11p n B A ββααΛΛ==，则矩阵方程B AX =有解∃⇔矩阵B AP P p n =⨯使得,∃⇔矩阵),(),(,11p n p n P a P ββαΛΛ=⨯使得⇔ 存在矩阵使得,)(p n ij p P ⨯=⎪⎩⎪⎨⎧++=++=n np p pn n p p p p ααβααβΛΛΛΛΛΛΛ1111111 p ββ,,1Λ⇔能由n ααΛ,1线性表示⇔ )()(A rank B A rank =M20、这里A 是实矩阵（否则未必成立，如⎪⎪⎭⎫⎝⎛=1i A ）考虑0=AX 与0)(=X A A T 的解由===⇒=0)()(0T T T A AX A X A A AX 0知0=AX 的解一定是0)(=X A A T 的解.下证：0=AX A T 的解也是0=AX 的解，设0=AX A T 则0=AX A X T T .AX 是实向量，记⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n a a AX M 1，则0),,()()(22111=+=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n n n T a a a a a a AX AX ΛM Λ．0),,(1==∴T n a a AX Λ，即X 是0=AX 的解，从而0)(=X A A T 的解也是0=AX 的解∴ 0)(=X A A T 与0=AX 同解 ∴ )()(A rank A A rank T =（定理4.11）21、有结论，对线性无关组k ββΛ，1，若k ＜n ，则可以从n αα,,1Λ中取一个向量j α，记作1+k β，使11,,+⋯⋯k k βββ线性无关（*），现用该结论证明本题：r Θ＜n ，可以取{}n j αααΛ,1∈ 使j r αββ,1Λ，线性无关记j r αβ=+1，如果n r =+1，则证毕！如果1+r ＜n ，上述结论（*），可再从n αα,,1Λ中找k α使11+r ββΛ，，k α线性无关，如此进行下去，直到得到n ββΛ，1线性无关，此时从n αα,,1Λ中取了r n -个向量n r ββΛ，1+加入r ββΛ，1，使得n ββΛ，1线性无关（作为n R 的一组基）． P.S ．证明结论（*）向量组n αα,,1Λ不能用r ββΛ，1线性表示，否则由于n r <导致n ααΛ,1线性相关，矛盾∴存在某个j α不能用r ββΛ,1线性表示而k ββΛ,1，j α线性无关，记1+=r j βα即可.22、A 可由1A 线性表示，又1A 可由A 线性表示，于是1A 与A 等价，从而r A rank A rank ==)()(1,由定理4.7 知1A 为A 的最大线性无关组．23．（1）取11,,-m ααΛ的一个最大无关组)(,1个r ir i ααΛ，则r r m m m ==--),,,(),,(1111αααααΛΛ从而ir i ααΛ,1也是m ααΛ,1的最大无关组，显然它不包含m α（ir i αα,1ΛΘ是从11,,-m ααΛ中取出的！）（2）假设结论不成立，则A 有一个最大线性无关组ir i αα,1Λ，不包含m α,则包含在11,,-m ααΛ中，从而m α能表示为ir i αα,1Λ的线性组合，也能表示为11,,-m ααΛ的线性组合，矛盾.习题五2、若λ为A 的特征值，X 为相应的特征向量，即X AX λ=，于是X AX X A 22λλ==，又E A =2，则0)1(22=-⇒=X X X λλ，由于0≠X ，则1012±=⇒=-λλ.5、（反证）若21X X +为A 的属于λ的特征向量，则212121)()(AX AX X X A X X +=+=+λ0)()(22112211=-+-⇒+=X X X X λλλλλλ，由于21,X X 线性无关，则21λλλ==,矛盾. 7、X AX A x A X AX i i λλ==⇒=Λ（i 为自然数）.)()()(101010X f X a X a X a X A a AX a X a X A a A a E a X A f mm m m m m λλλ=++=++=++=⇒ΛΛΛ8、（1）)5)(5)(1(34430241-+-=----=-λλλλλλλE A ，A 的特征值为5,5,1321-===λλλ.（1.1）若求)det(100A ，由上题知A 100的特征值为：1 ， 5100， (-5)100,于是2001001001005)5(51)det(=-⨯⨯=A .（1.2）若求A 100，先将A 对角化：对11=λ，0)(0010011024440240=-⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0011X ; 对52=λ，0)5(0021101012404802445=-⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=2122X ; 对53-=λ，0)5(00210101844202465=+⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=+X E A E A 的基础解系⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1213X .取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-==120210121),,(321X X X P ，则⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=-120210505511P ，11110011551551551551500050001-----⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⋅⋅⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=P P P P P P A P P A AP P Λ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=--100100100110010011005000501501551551P P P P .16、设n 阶正交阵A （n 为奇数）有特征值λ及相应特征向量X ，即X AX λ=，0)1()()(22=-⇒=⋅===X X X X X X AX AX AX A X X X T T T T T T T λλλλ，由于022221≠+++=n T x x x X X Λ，故,112±=⇒=λλ设A 的所有特征值为n λλλ,,,21Λ，则1det 21==A n λλλΛ，由于)1(1n i i ≤≤±=λ且n 为奇数，故必有某个,1=k λ又A E -的特征值为),,2,1(,1n i i Λ=-λ,从而0)1()1()1()det(1=---=-n k A E λλλΛΛ.17、设n n ββααΛΛ,,,11为n R 中两组单位正交基，从n αα,,1Λ到n ββ,,1Λ的过渡矩阵P=B A n n 1111),,(),,(--=记ββααΛΛ，由于A ，B 为正交阵，由正交阵性质知B A P 1-=为正交矩阵.20、（2）A 可逆，由AB BA AB BA BA A A A AB A ,~)()(11⇒==--与BA 有相同特征值.21、由16题证明知A 的特征值为1或-1，由于A 为上三角矩阵，其对角线上元素为特征值，即1±，再利用A 的任两列正交可得A 为对角阵. 另一证法可参见《学习指导》.22、存在正交矩阵Q ，使⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n T AQ Q λλλO 21，令QY X =，则：22111)(n n n T T T T y y Y Y Y AQ Q Y AX X λλλλ++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛==ΛO ，取{}n c λλ,,max 1Λ=，则X cX X Q X Q c Y cY y y c AX X T T T n T ===+≤--11221)()(Λ注：题目中)det(AX X T 应改为AX X T .24.由X AX ⋅==00知21,ξξ为A 的属于0的特征向量,且它们正交.由A 对称知A 的属于3的特征向量3ξ必与21,ξξ正交.现求3ξ.由于021222132132121=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛x x x x x x T T ξξ, ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-→⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-210201212221得⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1223321x x x x ，取⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1223ξ，则21,ξξ，3ξ为A 的两两正交的三个特征向量，单位化：⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=313232,323132,323231321ηηη，得正交阵[]321,,ηηη=Q , 且⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=300AQ Q T ，于是 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=122244244313112221222130012221222131300T Q Q A . 26、设λ为A 的特征值，X 为相应特征向量，则X AX λ=，X AX A X A 22)(λ==，由A A =2得000)(22=⇒=-⇒=-λλλλλX 或1，即A 的特征值为0或1，E+A 的特征值为1或2，故E+A 的所有特征值之积不为0，即0≠+A E ，从而E+A 可逆，或由A E A E E A A E A E A E 21)(2121)21)((12-=+⇒=-+=-+- 27、若B 与A 相似，即存在可逆阵P ，使AP P B 1-=，从而P A P B k k 1-=，因而01==-P A P B m m ，但对角阵Λ不满足0=Λm ，故A 不与对角阵Λ相似. 28、记),,,(21n diag B λλλΛ=则存在可逆阵,P 使k k B P A P B AP P =⇒=--11.设n n A a A a E a A f Λ++=10)(，则))(),(()(111101110111011101n n n nn nn n n nn f f diag a a a a a a a a E a p A P a AP P a E a P A f P λλλλλλλλλλΛΛO ΛO ΛO Λ=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++++++=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+++=---)(A f ⇒相似于)(),((1n f f diag λλΛ.29、由已知条件，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡010010A ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡0112011A ，⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡1103110A ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-300211002100111010303210230321021001110101A A30、由于A 为实对称阵，必与对角阵相似，要使A 与B 相似，只要A 与B 有相同特征值即可，B 的特征值为0,1,2，也为A 的特征值，A 的特征多项式为：λλλλλ---=-=11111)(yy x xE A f ，于是有0)2()1()0(===f f f ，即y x y x y y xx f =⇒=--==0)(11111)0(2 00201010)1(=⇒===x xy y y xx f 或0=y y x y x y y xx f -=⇒=+=---=0)(11111)2(2 31、用21,x x 分别表示市区，郊区居民数量，依题意有3:2:9.015.01.085.0212121=⇒⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡x x x x x x习题六3、存在正交矩阵Q ，变换QY X =将二次型f 化为标准型，即：2222211)(n n T T T y y y Y AQ Q Y AX X f λλλ+++===Λ，取),2,1(n i e Y i Λ==则0==i f λ ),2,1(n i Λ=，（即此时取i Qe X =）.00011=⋅⋅=⇒=⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⇒-Q Q A AQ Q n T λλO6、二次型3231212322212245x x x x x x ax x x f --+++=的矩阵 ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡----=a A 11112125，A 正定⇔A 的各阶顺序主子式).3,2,1(,0=>∆k k即,20211112125,011225,05321>⇒>-=----=∆>==∆>=∆a a a故当2>a 时，二次型f 正定.7、设n 阶实对称阵A 的n 个特征值为n λλλΛ,,21，则存在正交矩阵Q ，使T n n T Q Q A AQ Q ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλλλλO O 2121 A正定⇒A 的n 个特征值nλλλ,,,21Λ全为正T n n Q Q A ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒λλλλλλO O 2121B B A T =⇒，其中Tn Q B ⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=λλλO 21为满秩阵. 反之，若有n 阶满秩矩阵B ，使B B A T =.令BX Y =，则：22221)()())((n T T T T T y y y Y Y BX BX BX B X AX X f +++=====Λ，从而对任一0≠X ，有,00>⇒≠=f BX Y 所以f 正定.8、（1）)0(,0≠>=X AX X f T 取i e X =，则).,21(0010)010()(11111，n i a a a a a a a a e f ii nn n in ii i n i ΛM M ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，=>=⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=（2）与（1）类似可证.9、（1）对B A BX X AX X X B A X x f X T T T +⇒>+=+=≠0)()(,0正定（2）K K K T T K A A A A ⇒==)()(对称A 正定A ⇒的特征值n λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒的特征值k n k k λλλΛΛ,,21全为正k A ⇒正定（3）设A 的n 个特征值为n λλλΛΛ,,21，则aE A +的n 个特征值为),2,1(,n i a i Λ=+λ，取{}i a λmax >，则),2,1(0n i a i Λ=>+λ即aE A +的n 个特征值全为正aE A +⇒正定.10、f 的矩阵为⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=3030002aa A ，由标准型23222152y y y f ++=知A 的三个特征值为1，2，5. 由0)3)(3)(2(33002=---+-=--=-λλλλλλa a aa E A 知A 的三个特征值为a a -+3,3,2.于是2=a 或2-，不妨取2=a ，于是⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=320230002A 对⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-=00011000122220001,11E A λ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-=1101ξ，单位化,212101⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=η 对22=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=-300210001202100002E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=0012ξ，取22ξη=; 对53=λ，⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡-→⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡---=-0001100012202200035E A ，对应特征向量⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=1103ξ，单位化⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡=212103η，于是所用正交变换矩阵为⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-=2102121021010Q . 11、二次型f 的标准矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=λλλ111111A ，要f 正定，即要求A 正定，必须A 的各阶主子式：0>∆k ，)3,2,1(=k 即01>=∆λ，011122>-==∆λλλ，10)2()1(11111123>⇔>-+=--=∆λλλλλλ且202>⇔>-λλ. 故当2>λ时，二次型f 为正定. 12、A为正定矩阵，则A为对称矩阵，即,ij ji a a =因此ij j ij i i ji j ji b c a c c a c b ===，从而B 也为对称矩阵.⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛===n n n nn n n n n n j iji ij c c c A c c c c c c a a a a a a a a a c c c c a c b B OO O ΛΛΛΛΛΛO21212121222211121121)()(⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=⇒n n n n n n n n T x c x c x c A x c x c x c x x x c c c A c c c x x x BX X M ΛM O O Λ2211221121212121),,(),( (1)由于n c c c Λ,,21为非零实数，对021≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X M ，有02211≠⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n n x c x c x c M ，又A 为正定矩阵，则（1）式右端大于0，从而对0≠X ,有0>BX X T ，故B 为正定矩阵.。

高等数学下(同济大学第五版)课后习题答案1(精品文档)

第八章多元函数微分法及其应用第一节多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim),(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。

习题 8－11.求下列函数表达式:(1)xy y x y x f +=),(，求),(y x xy f +解：(,)()x yxy f xy x y xyx y ++=++(2)22),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+⇒= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)221)1ln(yx x y x z --+-+=解：22221011010x y x y x y x y x +->⎧+>⎧⎪-->⇒⎨⎨+<⎩⎪≥⎩(2))12ln(2+-=y x z 解：2210x y -+>(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->⇒+< 3.求下列极限:(1)22)1,0(),(1limy x xyx y x ++-→解：22(,)(0,1)1lim1x y x xyx y →-+=+ (2)xyxy y x 42lim)0,0(),(+-→解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim2lim2lim 4x y x y x y xyxy →→→=-=-=-(3)yxy x y x )sin()2(lim )0,1(),(+→(4)2222011limy x y x y x +-+→→解一：(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()lim (2)lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy→→+=+=解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)sin()lim (2)lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xyx x x x y y →→→+=+=+= (4)22220011limyx y x y x +-+→→解一：2222222200000011lim lim()022x x x y y y x y y x xy x y →→→→→→==⋅=++ 解二：222222000000x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:(1)2222),(yx y x y x f +-=解：222222222222001lim lim 1x x y kxx y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)22222)(),(y x y x y x y x f -+= 解：224222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+- 2222200lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) yx z -=1解：x y =(2)x y xy z 2222-+=解：22y x =第二节偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则xy x f y x x f y x f x x ∆∆∆),(),(lim),(0000000-+=→， yy x f y y x f y x f y y ∆∆∆),(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线⎩⎨⎧==0),(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴的斜率.),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可. 2.高阶偏导数),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：xy zy x z y z x z ∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂222222,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 8－21.求下列函数的一阶偏导数:(1)xy y xz +=解：21,z z xy x x y y y∂∂=+=-+∂∂ (2)xyz arctan =解：2222222111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x∂--∂=⋅==⋅=∂+∂+++ (3))ln(22y x x z ++=解：(1z x ∂=+=∂z y ∂==∂ (4))ln(222z y x u ++=解：222222222222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z∂∂∂===∂++∂++∂++ (5)⎰=yzxzt dt e u 2解：22222222,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z∂∂∂=-==-∂∂∂ (6)x y y x z cos sin = 解：2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ∂∂=+=--∂∂ (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++∂+∂+=+++=+++∂+∂+ (8))cos(ϕθϕθ-=+e u解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θϕθϕθϕθϕθϕθϕθϕ++∂∂=---=-+-∂∂ 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）yxy x z arcsin)1(2-+=，求)1,0(x z 解：20(0,1)lim0x x x z x∆→∆==∆ （2）xyx e x z yarctan)1(2-+=，求)0,1(y z 解：01(1,0)lim1y y y e z y∆∆→-==-∆ 3.求下列函数的高阶偏导数:(1))ln(xy x z =，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z∂∂∂2解：ln()1,z z x xy x y y∂∂=+=∂∂ 22222211,,z z x z x x y y x y y∂∂∂==-=∂∂∂∂ (2))2(cos 2y x z +=，求22x z ∂∂，22yz ∂∂，y x z ∂∂∂2，x y z ∂∂∂2解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z x y x y x y x∂=-++=-+∂4cos(2)sin(2)2sin 2(2)zx y x y x y y∂=-++=-+∂ 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z zx y x y x y x y x y∂∂∂=-+=-+=-+∂∂∂∂ (3)⎰+=22 y x xtdt e z ，求22x z ∂∂， yx z∂∂∂2解：22222222222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y+++∂∂∂=-=+-=∂∂∂∂ 4.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0 00),(22222233y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .解：00(0)(0,0)00(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ∆→∆→∆--===∆∆，00(0,)(0,0)00(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ∆→∆→∆--===∆∆4224222224(,),0()x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 4224222224(,),0()y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 54000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f yf y y∆→∆→-∆-∆-∆===-∆∆54000(,0)(0,0)(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ∆→∆→∆-∆-∆===∆∆5.设)11(y x e z +-=，求证z y z y x z x222=∂∂+∂∂ 解: 1111()()2211,x y x y z z e ex x y y-+-+∂∂==∂∂ 111111()()()2222221122x yx y x y z z x y x e y e e z x y x y-+-+-+∂∂+=⋅+⋅==∂∂ 6.设222z y x r ++=，证明r zr y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂证明: 22222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ∂--∂∂-∂=====∂∂由轮换对称性, 2222222323,r r y r r z y r z r∂-∂-==∂∂ 222222222223321r r r r x y z r x y z r r r∂∂∂---++===∂∂∂ 第三节全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ∆表示成22),(y x o y B x A z ∆+∆=+∆+∆=∆ρρ则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+∆∆为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则（1）),(y x f 在),(00y x 处连续；（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。

1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。