电路分析基础难点一阶动态电路分析
第11章 一阶动态电路分析
第11章 一阶动态电路分析教学提示：在前面的章节里，讨论了含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称稳态。
实际上，这样的响应只是电路全部响应中的一部分，而不是响应的全部。
当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，电路的状态就可能会从一种稳定的状态向另一种稳定的状态变化，这个变化过程是暂时的，称为瞬态或过渡过程。
产生过渡过程的原因是由于电路中存在电感或电容动态元件，由于动态元件的VCR 是对时间变量t 的微分或积分关系，因此，对动态电路分析需要用微分方程来描述，即在时间t 中分析动态电路，故也称为时域分析法。
本章就是分析含有动态元件的电路中的电压、电流与时间的函数关系，主要是分析只含一个动态元件的线性电路的电压、电流，也就是一阶动态电路分析。
主要介绍一阶电路的零输入响应、零状态响应、全响应、一阶电路的三要素公式。
教学要求：在本章中应充分理解：零输入响应，零状态响应，暂态响应和稳态响应、时间常数、固有频率的含义；熟练地掌握他们的计算方法。
掌握换路的初始值计算。
重点能熟练运用三要素法求得输入为直流时，一阶电路中任意变量的响应。
会计算阶跃响应。
11.1 换路定律和初始条件的计算本节讲述的是当电路在接通、断开或参数、结构发生变化时，各元件上的电量（电压和电流）初始值的确定问题。
主要讲述电感电流和电容电压在换路时不能发生跃变，即换路定律。
11.1.1 换路动态电路的结构或元件参数发生变化时，电路将改变原来的稳定状态。
含动态元件的电路在正弦周期量激励下的响应，都是工作在稳定状态，简称正弦稳态；当直流电路中各个元件的电压和电流都不随时间变化时，称电路进入了直流稳态（DC steady state ）。
电路达到直流稳态时，电感相当于短路，电容相当于开路。
在电路理论中，把电路中支路的接通和切断、元件参数的改变、电源电压或电流波动等等，统称为换路(switching)，并认为换路是瞬时完成的。
03一阶动态电路分析
0
U R
1
uc
i
uR
t
-U
时间常数 = RC 的意义
• 在前面讨论中，知暂态过程的变化与RC乘积有 关。考虑初始条件后电容的端电压可表示为
u C U 0e
1 t RC
u U0
U0 e 0
U0 为电容换路瞬时的端电压， RC乘积具有时间的量纲，称为 电路的时间常数。当 t = RC 时
电容电路
K + _E R
储能元件
uC
E
C
uC
t
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ， 其大小为：
1 2 WC uidt cu 0 2
t
因为能量的存储和释放需要一个过程，所以有电 容的电路存在过渡过程。
电感电路
K
R iL
储能元件
+ t=0 E _
iL
t
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量， 其大小为：
设开关 K 在 t = 0 时打开。
求: K打开的瞬间,电压表两的 电压。 解: 换路前
iL
V
R
U 20 iL (0 ) 20 mA R 1000
换路瞬间
iL (0 ) iL (0 ) 20mA
(大小,方向都不变)
K
L V R 时的等 效电路
等效电路
iL (0 ) iL (0 ) 20 mA
K
+
R
uC 0 0
_
E
C
uC
t
uC
t
RC
u C (t ) E Ee
由KVL，t≥ 0时：
+
第6章 一阶动态电路分析
第6章一阶动态电路分析6.1 学习要求（1）掌握用三要素法分析一阶动态电路的方法。
（2）理解电路的暂态和稳态以及时间常数的物理意义。
（3）了解用经典法分析一阶动态电路的方法。
（4）了解一阶电路的零输入响应、零状态响应和全响应的概念。
（5）了解微分电路和积分电路的构成及其必须具备的条件。
6.2 学习指导本章重点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的物理意义及其计算。
本章难点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）电流、电压变化曲线的绘制。
本章考点：（1）电流、电压初始值的确定。
（2）一阶电路的三要素法分析方法。
（3）时间常数的计算。
（4）电流、电压变化曲线的绘制。
6.2.1 换路定理1．电路中产生过渡过程的原因过渡过程是电路从一个稳定状态变化到另一个稳定状态的中间过程，因为时间极为短暂，又称暂态过程。
电路中产生过渡过程的原因是：（1）内因：电路中的能量不能突变。
电路中的电场能和磁场能不能突变是电路电工技术学习指导与习题解答124 产生过渡过程的根本原因。
（2）外因或条件：换路。
电路工作条件发生变化，如开关的接通或断开，电路连接方式或元件参数突然变化等称为换路。
换路是电路产生过渡过程的外部条件。
2．研究电路过渡过程的意义（1）利用电路的过渡过程改善波形或产生特定的波形。
（2）防止电路产生过电压或过电流损坏用电设备。
3．换路定理与初始值的确定设换路发生的时刻为0=t ，换路前的终了时刻用-=0t 表示，换路后的初始时刻用+=0t 表示。
由于换路是瞬间完成的，因此-0和+0在数值上都等于0。
根据能量不能突变，可以推出电路换路定理为：（1）电容两端电压u C 不能突变，即：)0()0(C C -+=u u（2）电感中的电流i L 不能突变，即：)0()0(L L -+=i i电路中+=0t 时的电流、电压值称为初始值。
初始值的确定步骤如下： （1）求出-=0t 时电路的)0(C -u 和)0(L -i 。
第 一阶动态电路分析PPT课件
t
t
－
uC uC (0 )e U0e RC
1S 2
R
iC +
C －uC
第24页/共34页
放电电流
iC
C
duC dt
U0 R
t
e RC
t
iC (0 )e RC
放电过程的快慢是由时间常数τ决定。 uC，iC
τ越大，在电容电压的初始值U0一定 的情况下，C越大，电容存储的电
式中，f(0+)为待求电流或电压的初始值，f(∞)为待求电流 或电压的稳态值，τ为电路的时间常数。 对于RC电路，时间常数为：
RC
对于RL电路，时间常数为：
L
R
第15页/共34页
例：图示电路，IS=10mA，R1=20kΩ，R2=5kΩ，C=100μF。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用 三要素法求开关闭合后的uC。
第17页/共34页
例：图示电路，US1=9V，US2=6V ，R1=6Ω，R2=3Ω，L=1H。 开关S闭合之前电路已处于稳态，在t=0时开关S闭合。试用
三要素法求开关闭合后的iL和u2。
解：（1）求初始值。因为开关S闭合之前电路已处于稳态，
故在瞬间电感L可看作短路，因此：
iL (0 ) iL (0 )
R3
R1 R2
+
U
－
iC
+
C －uC
R0
iC +
+
C －uC
US
－
iC
IS
R0
+ C －uC
因此，对一阶电路的分析， 实际上可归结为对简单的RC 电路和RL电路的求解。一阶 动态电路的分析方法有经典 法和三要素法两种。
电路分析基础一阶动态电路的时域分析
动态电路 的过渡过程
电路的零输入、 零状态分析法
一阶电路响应 的三要素分析法
6.1
一阶电路的三要素分析法
(t=0)
1.过渡过程的的概念
US (t=t1)
R C
uc
-
+
换路：电路结构或参数发生突然变化。
稳态：在指定条件下电路中的电压、电流已 达到稳定值。 暂态：电路换路后从一种稳态到另一种稳态 的过渡过程。
6
iL
6 1H
1 F -
10 uC ( ) 5 55 5V
6 i L ( ) 6 66 3 mA
(3) 时间常数 的计算
对于一阶RC电路
R0C
L 对于一阶RL电路 R0
注意：
对于较复杂的一阶电路， R0为换路后的电路 除去电源和储能元件后，在储能元件两端所求得的 无源二端网络的等效电阻。
uC ( t 0 ) uC ( t 0 ) i L ( t 0 ) i L ( t 0 ) uC (0 ) uC (0 ) i L (0 ) i L (0 )
换路时刻，iC和uL为有限值，uC和iL在该处连续，不可跃变。
除过uC和iL，电路中其他的u、i可以在换路前后发生跃变。
t=0 S R1
+
R1
R3
C
-
U
R2
R2
R3 R0
R0
+
R0 ( R1 // R2 ) R3 R0C
C R0的计算类似于应用戴维 南定理解题时计算电路等效 电阻的方法。即从储能元件 两端看进去的等效电阻。
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
-
U0
电路分析基础-4 一阶动态电路
WC /J 1
0
1
2 t /s
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若已知电流求电容电压，有
0 1 i(t ) 1 0
t0 0 t 1s 1 t 2s t 2s
i /A 1 1
2 t /s
-1
当0 t 1s
当 1 t 2s
1 0 1 t uC ( t ) 0dξ 1dξ 0 2t 2t C C 0
1 t uC ( t ) u(1) ( 1)d 4 2t 0.5 1
当 2t
1 t uC ( t ) u( 2) 0d 0 0.5 2
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电容的串联 ＋
i
C1
1
C2
2
＋ u -＋u -
＋
u
Cn
un
i
C eq
-
＋
u
t
-
u u1 u2 un
电容元件与电感元件的比较 电容 C 电感 L 电流 i 磁链
变量
电压 u 电荷 q
关系式
Li q Cu di du u L iC dt dt 1 1 2 1 1 W C Cu 2 q W L Li 2 2 2 2C 2 2L
结论 (1) 元件方程的形式是相似的； (2) 若把 u – i ，q – ，C – L 互换,可由电容元件 的方程得到电感元件的方程； (3) C 和 L称为对偶元件, 、q 等称为对偶元素。
表 明
（1）电容的储能只与当时的电压值有关，电容 电压不能跃变，反映了储能不能跃变；
t
（2）电容储存的能量一定大于或等于零。
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从 t1 时刻到 t2时刻电容储能的变化量：
电路课件：第八章 一阶、二阶电路动态分析
1t
iL(t) L
u()d
iL
+
u
L
-
1 0 u( )d 1 t u( ))d
L
L 0
iL (0 )
1 L
t
u( )d
0
0
t = 0+时刻
iL (0 ) iL (0 )
1 L
0 u( )d
0
当u为有限值时 iL(0＋)= iL(0－)
磁链
LiL
L (0＋)= L (0－)
dx
a1 dt a0 x US t a0 x US
dx 0 dt
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3. 电路的初始条件
(1) t = 0＋与t = 0－的概念 认为换路在 t = 0 时刻进行
0－ 换路前一瞬间 0＋ 换路后一瞬间
f (0 ) f (0 )
f(t)
0－0 0＋
f (0 ) f (0 )
守恒
结
换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
论
则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
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（4）换路定则
qc (0+) = qc (0－) 换路瞬间，若电容电流保持为有限值， uC (0+) = uC (0－) 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
L (0+)= L (0－) 换路瞬间，若电感电压保持为有限值，
小 → 过渡过程时间短
物理含义
电流初值i(0)一定：
L大 W=Li2/2 起始能量大 R小 P=Ri2 放电过程消耗能量小
放电慢
大
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（3）i能量关系
+
L uL
R
–
设iL(0+)=I0
电路分析基础难点一阶动态电路分析
3.3 零 输 入 响 应
当外加激励为零,仅有动态元件初始储能所产 生的电流和电压,称为动态电路的零输入响应. 3.3.1 RC电路的零输入响应 电路的零输入响应
18
图3-5 (a) 所示的电路中，在t<0时开关在位置1，电容 被电流源充电，电路已处于稳态，电容电压uC (0-)=R0IS， t=0时，开关扳向位置2，这样在t≥0时，电容将对R放电， 电路如图3-5 (b)所示，电路中形成电流 i。故 t>0后，电路 中无电源作用，电路的响应均是由电容的初始储能而产生， 故属于零输入响应。
由上式可知：电容在某一时刻 t 的储能仅取决 于此时刻的电压，而与电流无关，且储能 ≥0。 电容在充电时吸收的能量全部转换为电场能 量，放电时又将储存的电场能量释放回电路，它 本身不消耗能量，也不会释放出 多于它吸收的 能量，所以称电容为储能元件。
7
3.1.2 电感元件 电感器（线圈）是存储磁能的器件，而电感 元件是它的理想化模型。当电流通过感器时，就 有磁链与线圈交链，当磁通与电流 i参考方向之间 符合右手螺旋关系时，磁力链与电流的关系为： Ψ(t)=L i(t) 当u、i为关联方向 时，有:
例1：在图3-3(a)电路中，开关S在t=0时闭合，开关闭合 前电路已处于稳定状态。试求初始值 uC(0+)、iL(0+)、 i1(0+)、i2(0+)、ic(0+) 和uL(0+)。
13
图 3-3 例1图
解(1) 电路在 t=0时发生换路，欲求各电压、电流 的初始值，应先求uC(0+)和iL(0+)。通过换路前稳 定状态下t=0- 电路可求得uC(0-)和iL(0-)。在直流稳 态电路中，uC不再变化，duC/dt=0，故iC=0，即电 容C相当于开路。同理 iL也不再变化，diL/dt=0， 故uL=0，即电感L相当于短路。所以t=0- 时刻的等 3-3(b) 效电路如图3-3(b)）所示，由该图可知：
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第三一阶动态电路分析电容元件和电感元件❖3.2换路定律及初始值的确定零输入响应•:・3.6求解一阶电路三要素法学习目标理解动态元件「C的挣也并能熟练应用于电路分析。
漆刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响应、稳态响应的含义，井掌握它们的分析计算方法。
弄懂动态电路方程的建立及解法°熟练学握输入为H流信号激励卜•的-阶电路的三耍索分析法。
>3.1.1 电客元件电容器是一种能储存电荷的器件，电容 元件是电容器的理想化模型。
当电容上电压与电荷为关 联参考方向时，电荷g 与u 关系为；q(t)=Cu(t)C 是电容的电容量,亦即转 性曲线的斜率。
当"i 为 关联方向时,据电流强度定 义冇： Z=C dq/dt II -关联时:/= -C dq/dt="(0) +丄(帖)砖C式中,u(0)是在t=0时刻电容已积累的电压, 称为初始电压：而后•项是在匕()以兀电容上形 成的电压，它体现了在07的时间内电流对电压 的贡献"由此可知:左某一时刻I,电容电压"不仅与 该时刻的电流i 有关,而且与t 以前电流的全部历 史状况冇关。
因此，我们说电容是•种记忆元 件，，有“记忆”电流的作用。
3.1电容元件和电感元件电容的伏安还可鸳成:阳41电柞的符弓.线件非时 变电特的待性曲线当电容电压和电流为关联方向时，电容吸收的瞬时功率为：du {/)p(F) = //(/)/(/) = C H(t) ----d!瞬时功率町正町负，当別">0时，说明电容是在吸收能量,处F充电状态:当皿)<0 时，说明电容是在供出能量,处于放电状态。
对上式从g到『进行积分，即得门甘刻电容上的储能为：，…%("=( p(^)rf^ = f Cu )du )=丄6治)_丄Cif* 2(-x )2 234.2电感元件电感器(线圈)是存储嶽能的器件,而电感元件是它的理想化模型。
当电流通过感器时，就冇磁链9线圈交链，为磁通与电流滲考方向么间符合右丁螺旋关系时.磁力链打电流的关系为：屮(0=L id)当纺i 为关联方向时，有：这是电感伏安关系的微分形丁t。
闻*2吐矽尤件矗樂符弓及持性曲綾电感的伏安还可写成2<«) =丄「心 )姑+丄「临)〃LL %"(0) +—「"(§)冯式中,i(0)是在t=0时刻电感已积累的电流,称为初始电流；而后一项足在1=0以后电感上形成的电流,它体现了在04的时间内电压对电流的贡献。
上式说明；任一时刻的电感电流，不仅取决于该时刻的电压值，还取决“41所仃时间的电压值，即与电压过去的全部历史有关。
可见电感有“记忆”电压的作用，它也是一种记忆元件。
、节电感电压和电流为关联方向时.电感吸收的瞬时功率为：di(t}p(.t} = «{/)<(/) = Li (r)-------dt与电容-样，电感的瞬时功率也可IE可负，I p(t) >0时，表示电感从电路吸收功率,储存磁场能量：目卩⑴<0时，及示供出能彊，释放磁场能氣对上式从00到f进行积分•即得7时刻电感上的储诜为：八叫⑴=[J-。
〉=~L(i1 2(f)- i2 (-«? )12—"'为Wj(—oo) = 0所以w. (/) = —Li\t)2由上式可知：电感在某时刻/的储能仅取决于此时刻的电流值，而与电压无关,只要右电流存在.就右储能，且储能3.2换路定律及初始值的确定3.2.1换路定律通粘 我们把电路中开关的接通、断开或电路参数的突然变化等统称为“换路"•我们研究的是換路后电路中 电压或电流的变化规律.如逍了电压、电流的初始值.就 能窣握换路后电压、电流是从多大的初始值开始变化的。
该定律是指若电容电压、电感电流为有限值，则 X 、4不能跃变， 等的，可表达为,必须注意, 即换路前后一瞬间的"仁n 是相 Uc （^）=H c {Oj只有"C 、n 受换路定律的约束而冷 变，电路中其他电压.电流都可能发生跃变。
［持不3.2.2初始值的确定12换路后瞬f 可电容电压、电感电流的初始值，用 唤40+)和0(0+)* "、・匸兄利用换路前瞬间=0■电 路确定“也)和％(0 )，再由换路定律得到“咖和 0(OJ 的值。
换路后瞬间电容电压、电感电流的初始值，用 ”血)和 沁＞+)来表示,它是利用换路前瞬间M )■电 路确定叱0)和以0)再由换路定律得到 心)J 和 "0J 的值。
电路中其他变量如厲你.妆."的初始值不遵 循换路定律的规律，它们的初始值需1UM).电路來 求得。
具体求法是’ 1出/=必电路,在该电路中若n r (0j=叱(0_)={75, 电容用一个电压源4代替,若w c (0J=0则电容用 短路线代替。
若/JOJ= /Z (OJ=/V 电感-个电流源 人代替，若%(OJ=O 则电感作开路处理。
下面举例 说明初始值的求法。
电路中其他变量如b 你皿.5的初始值不遵 循换路定律的规律，它们的初始值需山Z-电路來 求綁具体求法是, 画出=0*电路,在该电路中若叱(0.)=1/v 电客用一个电压源心代替,若M C (O +)=O 则电容用 矩跻线代替。
若/JOJ= //OJ=/V 电感-个电流源 人代替,若M.0J= 0则电感作开路处理。
下面举例 说明初始值的求法•13 例I ：任图3%）电路中,开关Sdi 〔=O 时闭合,开关闭舍 前电路己处丁•稳定状态。
试求初始值岭他）、H 。
丿、 人（0」、鼻（。
+）、UOJ 和M L （0+）. ;・° 4-应— （―Jf; L4（》（N解⑴ 电路在t=0时发生换路.欲求各电压、电流 的初始值，应先求叱（0」和九（0』。
通过换路前稳 定状态rt=o.电路可求得々（0J 和n （oj 在苴流稳 态电路中・再变化，dwjdl =0 •故「.=（）・即电 容C 相为于开路。
同理n 也不再变化，也1/山=0, 故％=（）,即电感L 相为十短路。
所以曰〉时刻的等 效电路如图3・3（b ））所示,由该图可知:H （0 ） = 10 x • J • = 4V3 + 210f, （0 >= ------- = 2A（2）由换路宦理得3+2叫（0.）=匕（0.） = 4VQ1(N 1OV小（5）讥 0「（）4V图3-3■4（0.）=匚（0.>= 24因此,在1=0+瞬间，电容元件相当于一个4V的电佶压源，电感尤件相十于一个2A的电流源。
据此画HJt=0+时刻的等效电路,如图3・3 (C)所示.(3)在匸0■电路中，应用直流电隔电路的分析方法,可求出电路中其他电流.电压的初始值，即4*i(04) = — = 242匚(0 ) = -= IA- 4f c(0+)=2-2-l=-l Au L(O+)= 10-3X24=0rXO^J|価o图2例2 <2)由换路定理得6+ 以0屛16 例2:电路如图34⑷所示•开关S闭合前电路无储能•开先s在=0时闭合,试求’ j 心心叫的初始值.:解⑴由舷知h因此•在【屯 电路中.电容应该用短路线代禹 电席以丿I 路代之。
紂到 W 电路.如图34(b)所和⑶ 在t=0.电賂屮,应用直流电阻电路的分析方法求得9i (0.)=匚(0. ) = ----------- = 0.310 + 20/3(0J=0M L (0^)=20 X 4(0 十)=20 X 0.3=6 V通过以上例题，可以归纳出求初始值的一般步 骤如下： ⑴根据t=o .时的等效电路,求出陀(0・)及以0)。
(2) 作Hit=0+时的等效电路•并在图上标出徐待 求量。
(3) ±t=0,等效电路,求出各待求罐的初始值。
3・3零输入响应当外加激励为零•仪有动态元件初姑赭能所产 建的电渝和亀庄，称为动态屯珞的零输入旳应.3.3.1 RC 电路的零输入响应图3-5 («)所示的电路中,A ：」v0时开关庄位置1,电容 股电流源充电，电路C 处态，电容电II H C «).)=R ()I S . =0时.卄关扳向位矍2,这样在凶时，更容癱对R 放电母 电路如图3・5(b)所灵 电路屮形成电流几故IX)后，电路 中无电源作甬•电路的响应沟足由电容的初始储能而产生, 故属于零输入响应•换錐后由图（b ） i«f 知.根据KVLfl-M R +W t =O而«R =/ R. —c 警 ・代入I:式可得RCc = 0 1 式drI ：式是一阶常系数齐次微分方程.札通解形式 为//=AeP l t>0 2 式 式中A 为待定的积分常数.可由初始条件确定。
p 为1式对应的特征方程的根。
将2式代入1式可 得特征方程为RCP+1=O从而解出特征根为 p=亠RC则通解u e = Ae~3式将初始条件《c （O+）=R 山代入3式，求出积分常数A为%（0 J = A =/f 0/s将 叫（0卜）代入3心得到满定初始值的微分 方程的通解为U c = U c (0^ )e 川=R n /S e w< t>04 式■ ■■-加=f(()Je 槪 CO放电电流为dr R令俨RG它儿右时间的帚纲，即M \jfc]咋仑而库仑昨仑「秒[秒1故称工为时间常数，这样4、i = /（0 ）e 1 po 5两式可分别写为t>0由于…丄为负,故叫和i均按指数规律衰减, nC它们的最大值分别为初始值叫（O」=RJs及/（（））=空厶当If时，叫和门到零。
R. 画;1叫及汹波形如图3・6所示。
33.2 RL 电路的零输入响应•阶RL 电路如图3・7（①所示，1=0•时开关S 闭令,电 路L1达稳念，电感L 郴十「-饰路・流过L 的电流为】冲即 n （（）・=h 故电悠储存r 磁能。
住日）时开关s 打幵，所以 &凶时，电感调存的磁能将通过电阻R 赦电"在电路屮 产生电流利电压,如图3-7（b ）所示。
由丁 1>0厉・放电回 路中的电流及电压均&111电感【.的初始储能产生的.所U 为零输入响甌1式2式t>0 将2式代入I 式.得抽征方程为LP+R=0 R故特征根为L由图（b ），根据KVL 有M ［严 R 二0q =Ae PI di t di上式为•阶常系数齐次微分方朴.兀通解形式为将u t = L 牛-及—二叭代入|：式得 at国3・7 电昭的零粽人则25 则通解为 /z凶n = *，电路的时间H 仍八冇时 间量纲，上式可写为9i t = Aet>03 式将初始条什*0丿二i L (0.)=10代入3式.工出积分 常数A 为k (O 4.)=A=I <)这样得到满足初始条件的微分方程的通解为I I i t =r z (0. )e r= l (t e T t>04式分别作出"、“R 和.“L 的波形如图3・8⑷、(b) 所示。