年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理

2017年高考数学理试题分类汇编：排列组合与二项式定理
1. ( 2017年新课标Ⅱ卷理) 6.安排3名志愿者完成４项工作，每人至少完成１项，每项工作由1人完成,则不同的安排
方式共有( )
A.12种
B.18种
C.２4种
D.36种 【答案】D
【解析】222
34236C C A = ,故选D 。

2. (2017年天津卷理) (14）用数字1,2，3，４,5，6，７,8，9组成没有重复数字，且至多有一个数字是偶数的四位
数，这样的四位数一共有＿______＿＿＿_个.（用数字作答) 【答案】 1080
【解析】4134
54541080A C C A +=
3. ( ２017年新课标Ⅱ文) １１.从分别写有1,2，3,4,５的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张,则抽得
的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为 （D)
Ａ．
110 B.15 C.3
10
D.25
4. (２017年新课标Ⅰ） ６.621
(1)(1)x x
+
+展开式中2x 的系数为 Ａ.15ﻩ
ﻩB.20ﻩ
C ．３0 ﻩ
ﻩD ．3５
【答案】Ｃ 【解析】621(1)(1)x x +
+展开式中含2x 的项为22442
662
1130C x C x x x
⋅+⋅=,故2x 前系数为30,选C ．． 5. (2０17年江苏卷）２３
已知一个口袋中有m 个白球，n 个黑球(,*,2m n n ∈N ≥),这些球除颜色外全部相同.现将口袋中的球随机地逐个取
出,并放入如图所示的编号为1,2,3,
,m n +的抽屉内,其中第k 次取出的球放入编号为k 的抽屉
(1,2,3,,)k m n =+．
(１)试求编号为2的抽屉内放的是黑球的概率p ；
（2)随机变量X 表示最后一个取出的黑球所在抽屉编号的倒数,()E X 是X 的数学期望,证明：
()()(1)
n
E X m n n <+-.
【解析】(１)112
22
C C C 22()(1)m n n
m n
n n mn P A m n m n ++-+==++-. 6. (2017年天津卷文) 3)有5支彩笔（除颜色外无差别）,颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这5支彩笔中任取2支
不同颜色的彩笔,则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为 （A)
45
（B ）
35ﻩﻩﻩﻩ （C ）25
ﻩ ﻩﻩ(D)
1
5
【答案】C
7. （2017年浙江卷) 13．已知多项式()1x +3()2x +2=54321
12345x a x a x a x a x a +++++,则4a =__＿＿_＿_＿,5a =__＿
__＿__. 【答案】１6，４
【解析】由二项式展开式可得通项公式为：32r r m m
C x C x ,分别取0,1r m ==和1,0r m ==可得441216a =+=,令0x =可得32
5124a =⨯=
8. (20１7年浙江卷) 16．从6男2女共８名学生中选出队长1人，副队长1人,普通队员２人组成4人服务队,要求服
务队中至少有1名女生，共有＿__＿__中不同的选法.（用数字作答) 【答案】660
9. （2０17年新课标Ⅲ卷理） (x ＋y ）(2x -y )5的展开式中x 3y ３
的系数为
A.-８0 ﻩ Ｂ.-４０ ﻩﻩﻩＣ．40 ﻩ D ．80
【答案】C
【解析】由()52x y - 展开式的通项公式:()
()
5152r
r
r
r T C x y -+=- 可得：
当3r = 时，()5
2x x y - 展开式中33x y 的系数为()3
3252140C ⨯⨯-=-
当2r = 时,()52y x y - 展开式中33x y 的系数为()2
2352180C ⨯⨯-= ， 则33x y 的系数为804040-= . 本题选择C 选项.
10. (2017年山东卷理)从分别标有1,2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取２次,每次抽取1张.则抽到的2张卡片
上的数奇偶性不同的概率是 （A)
518 (B ）49 (C ）5
9
(Ｄ）79 【答案】Ｃ
【解析】
12
5425
989
C C =⨯ ，选C ． 11. (2０１7年天津卷理) １6．从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到
红灯的概率分别为111
,,234
.(Ⅰ)设X 表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X 的分布列和数学期望;
（Ⅱ)若有２辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率. 【答案】 （1)
1312 （２) 1148
【解析】(Ⅰ）随机变量X 的所有可能取值为0,1,2,3.
1111
(0)(1)(1)(1)2344P X ==-⨯-⨯-=，
11111111111
(1)(1)(1)(1)(1)(1)(1)23423423424
P X ==⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=
, 1111111111
(2)(1)(1)(1)2342342344P X ==-⨯⨯+⨯-⨯+⨯⨯-=,
1111
(3)23424
P X ==⨯⨯=
． 所以,随机变量X 的分布列为
随机变量X 的数学期望()012342442412
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
（Ⅱ）设Y 表示第一辆车遇到红灯的个数，Z 表示第二辆车遇到红灯的个数，则所求事件的概率为
(1)(0,1)(1,0)(0)(1)(1)(0)P Y Z P Y Z P Y Z P Y P Z P Y P Z +====+=====+==
11111111
42424448
=⨯+⨯=
. 所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为
1148
. 12. (２01７年山东卷理)（１１）已知()13n
x +的展开式中含有2x 项的系数是54,则n = ． 【答案】4
【解析】()1C 3C 3r
r r r r
r n n x x +T ==⋅⋅,令2r =得:22C 354n ⋅=，解得4n =．
13. (20１7年山东卷理）(１8）在心理学研究中，常采用对比试验的方法评价不同心理暗示对人的影响，具体方法如
下:将参加试验的志愿者随机分成两组,一组接受甲种心理暗示，另一组接受乙中心理暗示,通过对比这两组志愿者接受心理暗示后的结果来评价两种心理暗示的作用,现有６名男志愿者A １,A ２，A 3，A 4,A ５,Ａ6和4名B １，B ２， B 3，B 4,从中随机抽取５人接受甲种心理暗示，另5人接受乙种心理暗示。

(I ）求接受甲种心理暗示的志愿者中包含A 1但不包含B 3的频率。

(ＩI ）用X 表示接受乙种心理暗示的女志愿者人数,求Ｘ的分布列与数学期望EX 。

【答案】(I ）
5
.
(I Ｉ）X 的分布列为
X 的数学期望是2EX =.
【解析】解:（I)记接受甲种心理暗示的志愿者中包含1A 但不包含3B 的事件为Ｍ,则485105
().18
C P M C ==
(ＩI)由题意知X 可取的值为:0,1,2,3,4.则
565101
(0),
42
C P X C ===
41645105
(1),
21
C C P X C ===
326451010
(2),
21C C P X C ===
23645105
(3),
21C C P X C ===
14645101
(4),
42
C C P X C =
==
因此X 的分布列为
Ｘ的数学期望是
0(0)1(1)2(2)3(3)4(4)EX P X P X P X P X P X =⨯=+⨯=+⨯=+⨯=+⨯==
151******** 2.4221212142
⨯
+⨯+⨯+⨯+⨯= 14. (20１7年山东卷文)(1６)
某旅游爱好者计划从３个亚洲国家Ａ1,A 2，Ａ3和3个欧洲国家B 1,B 2,B 3中选择2个国家去旅游． (Ⅰ)若从这6个国家中任选２个,求这２个国家都是亚洲国家的概率;
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这２个国家包括Ａ１但不包括B 1的概率.
【答案】（Ⅰ）15；（Ⅱ）2
.9
【解析】
(Ⅰ)由题意知,从6个国家中任选两个国家,其一切可能的结果组成的基本事件有:
{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}{}121323111213212223313233,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A A A A A A A B A B A B A B A B A B A B A B A B {}{}{}121323,,,,,B B B B B B ，共15个.
所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：
{}{}{}121323,,,,,A A A A A A ,共3个,学科*网则所求事件的概率为：31
155
P =
=. (Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有：
{}{}{}{}{}{}{}{}111213212223313233,,{,},,,,,,,,,,,,,,A B A B A B A B A B A B A B A B A B ,共9个，
包含1A 但不包括1B 的事件所包含的基本事件有：{}{}1213,,,A B A B ,共2个, 所以所求事件的概率为:2
9P =.。