x x x f a x ax x h x h a x a x h x h a x a x x h ax x x h a 有时当时当于是即时故当上单调增加在因此时故当则令时当
因此，a 的取值范围是.,31
??
????+∞
……12分
2．解：（I ）对函数f (x )求导数，得 .]2)1(2[)22()2()(2
2
x
x
x
e a x a x e a x e ax x x
f --+=-+-=' 令0)(='x f ，得 [x 2+2(1－a )x －2a ]e x =0，从而x 2+2(1－a )x －2a =0. 解得 212221,11,11x x a a x a a x <++-=+--=其中,
当x 变化时，)(x f '，f (x )的变化如下表：
当f (x )在x =x 1处取到极大值，在x =x 2处取到极小值，……………………4分 当a ≥0时，x 1<－1, x 2≥0，f (x )在(x 1 , x 2)为减函数，在(x 2,+ ∞)为增函数. 而当x <0时，f (x )=x (x －2a )e x >0；当x =0时，f (x )=0.
所以当x =a －1+21a +时, f (x )取得最小值. …………………8分（II ）当a ≥0时，f (x )在[－1，1]
上单调函数的充要条件是x 2≥1，即a －1+21a +≥1.解得a ≥4
3
；综上：f (x )在[－1，1]上为单调函数的充分必要条件为a ≥
43；即a 的取值范围是),4
3
[+∞… 3、解：（Ⅰ） 函数()f x 的定义域是(0,)+∞. ………1分
由已知得，1
(1)()
1'()1a x x a f x ax a x x
-+=-+-=-. ………2分 ⅰ 当0a >时, 令'()0f x >,解得01x <<;∴函数()f x 在(0,1)上单调递增 ⅱ 当0a <时，
①当11a -<时，即1a <-时, 令'()0f x >,解得1
0x a
<<-或1x >; ∴函数()f x 在1
(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
②当1
1a -=时，即1a =-时, 显然，函数()f x 在(0,)+∞上单调递增；
③当11a ->时，即10a -<<时, 令'()0f x >,解得01x <<或1x a
>-
∴函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增 。。。。。。。。。。。6分
综上所述:
⑴当0a >时,函数()f x 在(0,1)上单调递增
⑵当1a <-时,函数()f x 在1(0,)a
-和(1,)+∞上单调递增
⑶当1a =-时,函数()f x 在(0,)+∞上单调递增； ⑷当10a -<<时,函数()f x 在(0,1)和1
(,)a
-+∞上单调递增 ………….7分 (Ⅱ)假设函数()f x 存在“中值相依切线”.
设11(,)A x y ,22(,)B x y 是曲线()y f x =上的不同两点，且120x x <<， 则211111ln (1)2y x ax a x =-
+-，222221
ln (1)2
y x ax a x =-+-. 2121AB
y y k x x -=-2221212121
1
(ln ln )()(1)()
2x x a x x a x x x x ---+--=- 211221ln ln 1
()(1)2
x x a x x a x x -=-++-- …………9分
曲线在点00(,)M x y 处的切线斜率
0()k f x '=12
(
)2
x x f +'=12122(1)2x x a a x x +=
-?+-+， 依题意得：
211221ln ln 1()(1)2x x a x x a x x --++--12122(1)2
x x a a x x +=-?+-+.
化简可得： 2121ln ln x x x x --122
x x =+， 即21ln x x =2121
2()x x x x -+2121
2(1)1x x x x -=+. ….11分
设
21x t x = (1t >)，上式化为：2(1)4ln 211
t t t t -==-++, 4ln 21t t +=+. 令4
()ln 1
g t t t =+
+,214'()(1)g t t t =-+=22(1)(1)t t t -+. 因为1t >,显然'()0g t >，所以()g t 在(1,)+∞上递增, 显然有()2g t >恒成立.
所以在(1,)+∞内不存在t ,使得4
ln 21
t t +
=+成立. 综上所述，假设不成立.所以，函数()f x 不存在“中值相依切线”. …..14分
（1）设
22(1)0(1)x a
x b x cx a b bx c
+=?-++=≠-
201201c b a b ?+=-??-????=?-?
∴012a c b =???=+?? ∴2()(1)2x f x c x c =+-
由21
(2)1312
f c c --=
<-?-<<+
又∵,*b c N ∈ ∴2,2c b == ∴2
()(1)2(1)
x f x x x =≠- …… 3分
于是2222
22(1)22()4(1)2(1)
x x x x x
f x x x ---'==-- 由()0f x '>得0x <或2x >； 由()0f x '<得01x <<或12x << 故函数()f x 的单调递增区间为(,0)-∞和(2,)+∞，
单调减区间为(0,1)和(1,2) ……4分
（2）由已知可得22n n n S a a =-， 当2n ≥时，2
1112n n n S a a ---=-
两式相减得11()(1)0n n n n a a a a --+-+= ∴1n n a a -=-或11n n a a --=-
当1n =时，2
111121a a a a =-?=-，若1n n a a -=-，则21a =这与1n a ≠矛盾
∴11n n a a --=- ∴n a n =- ……6分
于是，待证不等式即为
111ln 1n n n n +<<+。为此，我们考虑证明不等式111
ln ,01x x x x x
+<<>+ 令1
1,0,t x x
+=>则1t >，11x t =-
再令()1ln g t t t =--，1
()1g t t
'=- 由(1,)t ∈+∞知()0g t '>
∴当(1,)t ∈+∞时，()g t 单调递增 ∴()(1)0g t g >= 于是1ln t t ->
即
11ln ,0x x x x
+>> ① 令1()ln 1h t t t =-+，22111
()t h t t t t
-'=-= 由(1,)t ∈+∞知()0h t '>
∴当(1,)t ∈+∞时，()h t 单调递增 ∴()(1)0h t h >= 于是1
ln 1t t
>-
即11
ln ,01
x x x
x +>
>+ ②
由①、②可知1
11
ln
,01
x x x x x
+<<>+ ……10分 所以，111ln 1n n n n +<<+，即1111ln n n n a n a ++-<<- ……11分
（3）由（2）可知1
n b n = 则111123
n T n
=++++
在111ln
1
n n n n
+<<+中令n=1,2,3…………．．2010并将各式相加得 11123
201111
1ln ln ln
123
201112
201023
2010
+++
<+++<++++
即201120101ln 2011T T -<<
5、．解：（1）由x + 1＞0得x ＞ – 1∴f （x ）的定义域为（ - 1，+ ∞）, 对x ∈（ - 1，+ ∞）,都有f （x ）≥f （1），∴f （1）是函数f （x ）的最小值，故有f / （1） =
0,,02
2,12)(/=+∴++=b
x b x x f 解得b= - 4．………………………………2分
经检验，列表（略），合题意；……………………4分
（2）∵,1
2212)(2/
+++=++
=x b
x x x b x x f 又函数f （x ）在定义域上是单调函数， ∴f / （x ） ≥0或f /（x ）≤0在（ - 1，+ ∞）上恒成立。
若f / （x ） ≥0，∵x + 1＞0，∴2x 2 +2x+b ≥0在（ - 1，+ ∞）上恒成立, 即b ≥-2x 2 -2x = 21)21(22+
+-x 恒成立,由此得b ≥2
1; 若f /
（x ） ≤0, ∵x + 1＞0, ∴2x 2
+2x+b ≤0,即b ≤-（2x 2
+2x ）恒成立，
因-（2x 2+2x ） 在（ - 1，+ ∞）上没有最小值，∴不存在实数b 使f （x ） ≤0恒成立。
综上所述，实数b 的取值范围是??????+∞,21
。………………………………8分 （3）当b= - 1时，函数f （x ） = x 2
- ln （x+1）， 令函数h （x ）=f （x ）– x 3 = x 2 – ln （x+1） – x 3，
则h /
（x ） = - 3x 2
+2x - 1
)1(3112
3+-+-=+x x x x ， ∴当[)+∞∈,0x 时，h /（x ）＜0所以函数h （x ）在[)+∞∈,0x 上是单调递减。 又h （0）=0，∴当()+∞∈,0x 时，恒有h （x ） ＜h （0）=0, 即x 2 – ln （x+1） ＜x 3恒成立．故当()+∞∈,0x 时,有f （x ） ＜x 3．
．
∵(),,01,+∞∈∴
∈+k N k 取,1
k
x =则有311(),f k k <
∴3331
1
......31211)1(n k f n
k ++++∑= ,故结论成立。……………………12分
6、（1）e e x f x
-=')(，令0)(='x f ，解得1=x
当),1(+∞∈x 时，0)(>'x f ，)(x f ∴在),1(+∞单调递增； 当)1,(-∞∈x 时，0)(<'x f ，)(x f ∴在),1(+∞单调递减
（2）|)(|x f 为偶函数，0|)(|>∴x f 恒成立等价于0)(>x f 对0≥x 恒成立
当0≥x 时，k e x f x
-=')(，令0)(='x f ，解得k x ln =
（1）当0ln >k ，即1>k 时，)(x f 在)ln ,0(k 减，在),(ln +∞k 增
0ln )(ln )(min >-==∴k kl k k f x f ，解得e k <<1，∴e k <<1
（2）当0ln ≤k ，即10≤，那么函数()y f x =在这个区间内为 且该区间为函数)(x f 的单调_______区间； (2)如果函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内，使得'()0f x <，那么函数()y f x =在这个区间内为 ，且该区间为函数)(x f 的单调_______区间.
例1.（1）函数x e x x f )3()(2-=的单调递增区间为（ ） A.)0,(-∞ B.),0(+∞ C.)1,3(- D.),1()3,(+∞--∞和 （2）函数x x y ln 2 12-=的单调递减区间为（ ） A.(]1,1- B.(]1,0 C.[)+∞,1 D.),0(+∞ 例2.求下列函数的单调区间，并画出函数)(x f y =的大致图像. （1）3)(x x f = （2）x x x f 3)(3+= (3)1331)(23+--=x x x x f （4）x x x x f 33 1)(23++-= 知识点三、导数与函数的极值 函数)(x f y =在定义域内的某个区间(,)a b 内,若0x 满足0)(0='x f ，且在0x 的两侧)(x f 的导数)(x f '异号，则0x 是)(x f 的极值点，)(0x f 是极值，并且如果)(x f '在0x 两侧满足“左正右负”，则0x 是)(x f 的 ，)(0x f 是极大值；如果)(x f '在0x 两侧满足“左负右正”，则0x 是)(x f 的极小值点，)(0x f 是 （熟练掌握求函数极值的步骤以及一些注意点） 例1.（1）求函数133 1)(23+--=x x x x f 的极值 （2）求函数x x x f ln 2)(2-=的极值
专题04导数及其应用(解析版)
大数据之十年高考真题（2011-2020）与最优模拟题（北京卷） 专题04导数及其应用 本专题考查的知识点为：导数及其应用，历年考题主要以选择填空或解答题题型出现，重点考查的知识点为：导数研究函数的几何意义，导数研究函数的单调性、极值与最值，导数证明不等式的方法等，预测明年本考点题目会有所变化，备考方向以导数研究函数的极值，导数研究函数的最值为重点较佳. 1．【2020年北京卷11】函数f(x)=1 x+1 +lnx的定义域是____________． 【答案】(0,+∞) 【解析】 由题意得{x>0 x+1≠0，∴x>0 故答案为：(0,+∞) 2．【2019年北京理科13】设函数f（x）＝e x+ae﹣x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则a＝；若f（x）是R上的增函数，则a的取值范围是． 【答案】解：根据题意，函数f（x）＝e x+ae﹣x， 若f（x）为奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即e﹣x+ae x＝﹣（e x+ae﹣x），变形可得a＝﹣1， 函数f（x）＝e x+ae﹣x，导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x 若f（x）是R上的增函数，则f（x）的导数f′（x）＝e x﹣ae﹣x≥0在R上恒成立， 变形可得：a≤e2x恒成立，分析可得a≤0，即a的取值范围为（﹣∞，0]； 故答案为：﹣1，（﹣∞，0]． 3．【2016年北京理科14】设函数f（x）={x3?3x，x≤a ?2x，x＞a ． ①若a＝0，则f（x）的最大值为； ②若f（x）无最大值，则实数a的取值范围是． 【答案】解：①若a＝0，则f（x）={x3?3x，x≤0?2x，x＞0 ，
则f ′（x ）={3x 2?3，x ≤0 ?2，x ＞0 ， 当x ＜﹣1时，f ′（x ）＞0，此时函数为增函数， 当x ＞﹣1时，f ′（x ）＜0，此时函数为减函数， 故当x ＝﹣1时，f （x ）的最大值为2； ②f ′（x ）={ 3x 2?3，x ≤a ?2，x ＞a ， 令f ′（x ）＝0，则x ＝±1， 若f （x ）无最大值，则{a ≤?1 ?2a ＞a 3 ?3a ，或{a ＞?1 ?2a ＞a 3?3a ?2a ＞2， 解得：a ∈（﹣∞，﹣1）． 故答案为：2，（﹣∞，﹣1） 4．【2020年北京卷19】已知函数f(x)=12?x 2． （Ⅰ）求曲线y =f(x)的斜率等于?2的切线方程； （Ⅱ）设曲线y =f(x)在点(t,f(t))处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为S(t)，求S(t)的最小值． 【答案】（Ⅰ）2x +y ?13=0，（Ⅱ）32. 【解析】 （Ⅰ）因为f (x )=12?x 2，所以f ′(x )=?2x ， 设切点为(x 0,12?x 0)，则?2x 0=?2，即x 0=1，所以切点为(1,11)， 由点斜式可得切线方程为：y ?11=?2(x ?1)，即2x +y ?13=0. （Ⅱ）显然t ≠0， 因为y =f (x )在点(t,12?t 2)处的切线方程为：y ?(12?t 2)=?2t (x ?t )， 令x =0，得y =t 2+12，令y =0，得x =t 2+122t ， 所以S (t )=1 2×(t 2+12)? t 2+122|t| ， 不妨设t >0(t <0时，结果一样)， 则S (t )= t 4+24t 2+144 4t =14(t 3+24t + 144t )， 所以S ′(t )=1 4(3t 2+24?144 t )=3(t 4+8t 2?48) 4t
高中导数经典知识点及例题讲解.
§ 1.1 变化率与导数 1.1.1 变化率问题 自学引导 1.通过实例分析，了解平均变化率的实际意义． 2．会求给定函数在某个区间上的平均变化率. 课前热身 1.函数f (x )在区间[x 1，x 2]上的平均变化率为 Δy Δx ＝________. 2．平均变化率另一种表示形式：设Δx ＝x －x 0，则Δy Δx ＝________，表示函 数y ＝f (x )从x 0到x 的平均变化率. 1.f (x 2)－f (x 1)x 2－x 1 答 案 2. f (x 0＋Δx )－f (x 0) Δx 名师讲解 1.如何理解Δx ，Δy 的含义 Δx 表示自变量x 的改变量，即Δx ＝x 2－x 1；Δy 表示函数值的改变量，即Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． 2．求平均变化率的步骤 求函数y ＝f (x )在[x 1，x 2]内的平均变化率． (1)先计算函数的增量Δy ＝f (x 2)－f (x 1)． (2)计算自变量的增量Δx ＝x 2－x 1. (3)得平均变化率Δy Δx ＝f x 2－f x 1 x 2－x 1 . 对平均变化率的认识 函数的平均变化率可以表现出函数在某段区间上的变化趋势，且区间长度越小，表现得越精确．如函数y ＝sin x 在区间[0，π]上的平均变化率为0，而在 [0，π2]上的平均变化率为sin π 2－sin0 π2 －0＝2 π . 在平均变化率的意义中，f (x 2)－f (x 1)的值可正、可负，也可以为零．但Δx ＝x 2－x 1≠0.
典例剖析 题型一求函数的平均变化率 例1 一物体做直线运动，其路程与时间t的关系是S＝3t－t2. (1)求此物体的初速度； (2)求t＝0到t＝1的平均速度． 分析t＝0时的速度即为初速度，求平均速度先求路程的改变量ΔS＝S(1) －S(0)，再求时间改变量Δt＝1－0＝1.求商ΔS Δt 就可以得到平均速度． 解(1)由于v＝S t ＝ 3t－t2 t ＝3－t. ∴当t＝0时，v0＝3，即为初速度．(2)ΔS＝S(1)－S(0)＝3×1－12－0＝2 Δt＝1－0＝1 ∴v＝ΔS Δt ＝ 2 1 ＝2. ∴从t＝0到t＝1的平均速度为2. 误区警示本题1不要认为t＝0时，S＝0.所以初速度是零. 变式训练1 已知函数f(x)＝－x2＋x的图像上一点(－1，－2)及邻近一点 (－1＋Δx，－2＋Δy)，则Δy Δx ＝( ) A．3 B．3Δx－(Δx)2 C．3－(Δx)2D．3－Δx 解析Δy＝f(－1＋Δx)－f(－1) ＝－(－1＋Δx)2＋(－1＋Δx)－(－2) ＝－(Δx)2＋3Δx. ∴Δy Δx ＝ －Δx2＋3Δx Δx ＝－Δx＋3 答案D 题型二平均变化率的快慢比较 例2 求正弦函数y＝sin x在0到π 6 之间及 π 3 到 π 2 之间的平均变化率．并比 较大小． 分析用平均变化率的定义求出两个区间上的平均变化率，再比较大小． 解设y＝sin x在0到π 6 之间的变化率为k1，则
关于导数的29个典型习题
关于导数的29个典型习题 习题1设函数在0=x 的某邻域内1 C 类(有一阶连续导数)，且.0)0(,0)0(≠'≠f f 若)0()2()(f h f b h f a -+在 0→h 时是比h 高阶的无穷小，试确定b a ,的值。 解 由题设知 0)0()1()]0()2()([lim 0 =-+=-+→f b a f h f b h f a h . .01,0)0(=-+∴≠b a f 由洛比达法则知 ).0()2(1 ) 2(2)(lim )0()2()(lim 000f b a h f b h f a h f h bf h af h h '+='+'=-+=→→洛,0)0(≠'f 故.02=+b a 联立可 解出.1,2-==b a 习题2 设,0,00,)()(?????=≠-=-x x x e x g x f x 其中)(x g 有二阶连续导数，且1)0(,1)0(-='=g g .(1) 求);(x f '(2) 讨论 )(x f '在),(+∞-∞上的连续性. 解 (1) 当0≠x 时，用公式有 ,)1()()()(])([)(2 2x e x x g x g x x e x g e x g x x f x x x ---++-'=+-+'=' 当0=x 时，用定义求导数，有 .21)0()(lim )0(2 0-''=-='-→g x e x g f x x 二次洛 ???? ?=-''≠++-'='∴-.0,2 1)0(0,)1()()()(2x g x x e x x g x g x x f x (2) 因在0=x 处有 ).0(2 1)0(2)(lim 2)1()()()(lim )(lim 000f g e x g x e x e x g x g x x g x f x x x x x x '=-''=-''=+-+'-''+'='-→--→→洛 而)(x f '在0≠x 处连续，故).,()(+∞-∞∈'C x f 习题3 证明：若022=++++c y b x a y x （圆），其中c b a ,,为定数),04(22>-+c b a 则 =+x d y d dx dy 222 3 2])(1[定数。 证 求导，,022='++'+y b a y y x 即.22b y a x y ++-=' 再导一次，,02222 =''+'+''+y b y y y 即 .2)1(22b y y y +'--='' )(.42 1...1)2(21...)1(22 22 3 2定数c b a y b y y y -+-=='++-=='''+∴
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y ＝f (x )在x ＝x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x ＝x 0，即f ′(x 0)＝0 lim x ?→f （x 0＋Δx ）－f （x 0） Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )＝0 lim x ?→f （x ＋Δx ）－f （x ） Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y ＝f (x )在点x 0处的导数的几何意义，就是曲线y ＝f (x )在点P (x 0，f (x 0))处的切线的斜率，过点P 的切线方程为y －y 0＝f ′(x 0)(x －x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x )，g ′(x )存在，则有： 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数： (1)y ＝e x ln x ；(2)y ＝x ? ?? ??x 2＋1x ＋1x 3； 解 (1)y ′＝(e x )′ln x ＋e x (ln x )′＝e x ln x ＋e x 1x ＝? ?? ??ln x ＋1x e x .(2)因为y ＝x 3 ＋1＋1x 2， 所以y ′＝(x 3)′＋(1)′＋? ?? ??1x 2′＝3x 2 －2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x )，且满足f (x )＝2x ·f ′(1)＋ln x ，则f ′(1)等于( ) A.－e B.－1 C.1 D.e 解析 由f (x )＝2xf ′(1)＋ln x ，得f ′(x )＝2f ′(1)＋1 x ，∴f ′(1)＝2f ′(1)＋1，则f ′(1)＝－1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________. (2)f ′(x )＝a ? ?? ??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1 －x ，则曲线y ＝f (x )在点(1，2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0，则－x <0，f (－x )＝e x －1 ＋x .又f (x )为偶函数，f (x )＝f (－x )＝e x －1 ＋x ， 所以当x >0时，f (x )＝e x －1 ＋x .因此，当x >0时，f ′(x )＝e x －1 ＋1，f ′(1)＝e 0 ＋1＝2.则曲线y ＝f (x )在点(1， 2)处的切线的斜率为f ′(1)＝2，所以切线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. 答案 2x －y ＝0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )＝x ln x ，若直线l 过点(0，－1)，并且与曲线y ＝f (x )相切，则直线l 的方程为( )A.x ＋y －1＝0 B.x －y －1＝0 C.x ＋y ＋1＝0 D.x －y ＋1＝0
导数各类题型方法总结(含答案)
导数各种题型方法总结 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上，()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数， 4323()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数” ， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x < (0) 0302(3) 09330g m g m <-??<--=-的最大值（03x <≤）恒成立， 而3 ()h x x x =-（03x <≤）是增函数，则max ()(3)2h x h == 2m ∴> (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立（视为关于m 的一次函数最值问题） 2 2 (2)023011(2)0230F x x x F x x ?->--+>?????-<-+>??? 2b a ∴-=
导数压轴题处理专题讲解
导数压轴题处理专题讲解（上） 专题一双变量同构式（含拉格朗日中值定理）..................................................... - 2 -专题二分离参数与分类讨论处理恒成立（含洛必达法则）.................................... - 4 -专题三导数与零点问题（如何取点） .................................................................. - 7 -专题四隐零点问题整体代换.............................................................................. - 13 -专题五极值点偏移 ........................................................................................... - 18 -专题六导数处理数列求和不等式....................................................................... - 25 -
专题一 双变量同构式（含拉格朗日中值定理） 例1. 已知（1）讨论的单调性 （2）设，求证：例2. 已知函数，。（1）讨论函数的单调性；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m （2）证明：若，则对任意x ，x ，x x ，有 。 例3. 设函数. （1）当（为自然对数的底数）时，求的最小值； （2）讨论函数零点的个数； （3）若对任意恒成立，求的取值范围. ()()21ln 1f x a x ax =+++()f x 2a ≤-()()()121212 ,0,,4x x f x f x x x ?∈+∞-≥-()2 1(1)ln 2 f x x ax a x = -+-1a >()f x 5a <12∈(0,)+∞1≠21212 ()() 1f x f x x x ->--()ln ,m f x x m R x =+ ∈m e =e ()f x ()'()3 x g x f x = -()() 0, 1f b f a b a b a ->><-m
导数经典题
1．抛物线的弦与过弦的端点的两条切线所围成的三角形常被称为阿基米德三角形，阿基米德三角形有一些有趣的性质，如:若抛物线的弦过焦点，则过弦的端点的两条切线的交点在其准线上.设抛物线px y 22=p (＞)0，弦AB 过焦点，△ABQ 为其阿基米德三角形，则△ABQ 的面积的最小值为 A ．22 p B ．2p C ．22p D ．24p 【答案】B 2．已知 x x x f -=3 )(，如果过点),2(m 可作曲线)(x f y =的三条切线，则m 的取值范围是 A. 6在点(,())a f a 处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为54，则a =( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．18 【答案】B 试题分析：因为，2()(0)f x x x =>，所以，'()2(0)f x x x =>曲线2()(0)f x x x =>在点(,())a f a 处的切 线斜率为2a (0)a >，2()f a a =，所以，切线方程为220ax y a --=，其纵、横截距分别为2,2 a a -， 从而215422 a a ??=，a =6，选B. 考点：导数的几何意义，直线方程，三角形面积公式. 5．已知函数()f x 在R 上可导，其导函数为()f x '，若()f x 满足：(1)[()()]0'-->x f x f x ， 22(2)()--=x f x f x e ，则下列判断一定正确的是 （ ） A ．(1)(0)f ef C ．3(3)(0)>f e f D ．4 (4)(0)x 时，()()()[]()()()()0001>-'?>-'?>-'---x f e x f e x f x f x f x f x x x ，令 ()()()()()0>-'='?=---x f e x f e x F x f e x F x x x ，所以()x F 在区间[)+∞∈,1x 上单调递增，所 以()()23F F >，即()()2323f e f e -->；又22(2)()--=x f x f x e ，则()()2 20-=e f f ，于是()()033f f e >-，即3(3)(0)>f e f .
(新高考专用)专题 导数(含详细解析)
初高中数学学习资料的店 初高中数学学习资料的店 第 1 页 共 13 页 专题12 导数 1．已知函数()()211ln ,022 f x x a x a R a =--∈≠. （1）当3a =时，求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间； （3）若对任意的[)1,x ∈+∞，都有()0f x ≥成立，求a 的取值范围. 【答案】（1）22y x =-+（2）当0a <时，函数()f x 的递增区间为()0,∞+； 当0a >时，函数()f x 的递增区间为 )+∞ ，递减区间为(； （3）()(],00,1-∞ 【解析】（1）3a =时，()2113ln 22f x x x = --，()10f =()3f x x x '=-，()12f '=- ∴()y f x =在点()() 1,1f 处的切线方程为22y x =-+故答案为：22y x =-+; （2）()()20a x a f x x x x x -'=-=>①当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+ ②当0a >时，令()0f x '= ，解得x = x = 所以函数()f x 的递增区间为+∞，递减区间为( 当0a <时，()20x a f x x -'=>恒成立，函数()f x 的递增区间为()0,∞+; 当0a >时，函数()f x 的递增区间为)+∞，递减区间为(. （3）对任意的[)1,x ∈+∞，使()0f x ≥成立，只需任意的[)1,x ∈+∞，()min 0f x ≥ ①当0a <时，()f x 在[)1,+∞上是增函数，所以只需()10f ≥而()111ln1022f a =--= 所以0a <满足题意；
导数经典练习题及答案
1．设函数f(x)在0x 处可导，则x x f x x f x ?-?-→?) ()(lim 000 等于 A ．)('0x f B ．)('0x f - C ．0'()f x - D ．0'()f x -- 2．若13)()2(lim 000 =?-?+→?x x f x x f x ，则)('0x f 等于 A ．32 B ．2 3 C ．3 D ．2 3．若函数f(x)的导数为f ′(x)=-sinx ，则函数图像在点（4，f （4））处的切线的倾斜角为 A ．90° B ．0° C ．锐角 D ．钝角 4．对任意x ，有34)('x x f =，f(1)=-1，则此函数为 A ．4)(x x f = B ．2)(4-=x x f C ．1)(4+=x x f D ．2)(4+=x x f 5．设f(x)在0x 处可导，下列式子中与)('0x f 相等的是 （1）x x x f x f x ??--→?2)2()(lim 000 ； （2）x x x f x x f x ??--?+→?) ()(lim 000； （3）x x x f x x f x ??+-?+→?)()2(lim 000 （4）x x x f x x f x ??--?+→?)2()(lim 000. A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（2）（3） D ．（1）（2）（3）（4） 6．若函数f(x)在点0x 处的导数存在，则它所对应的曲线在点))(,(00x f x 处的切线程是___. 7．已知曲线x x y 1+ =，则==1|'x y _____________. 8．设3)('0-=x f ，则=---→h h x f h x f h ) 3()(lim 000 _____________. 9．在抛物线2x y =上依次取两点，它们的横坐标分别为11=x ，32=x ，若抛物
高考压轴题：导数题型及解题方法总结很全.
高考压轴题：导数题型及解题方法 （自己总结供参考） 一．切线问题 题型1 求曲线)(x f y 在0x x 处的切线方程。方法： )(0x f 为在0x x 处的切线的斜率。 题型2 过点),(b a 的直线与曲线 )(x f y 的相切问题。 方法：设曲线 )(x f y 的切点))(,(00x f x ，由b x f x f a x )()()(000 求出0x ，进而解决相关问题。 注意：曲线在某点处的切线若有则只有一，曲线过某点的切线往往不止一条。例 已知函数f （x ）=x 3 ﹣3x ． （1）求曲线y=f （x ）在点x=2处的切线方程；（答案：0169y x ） （2）若过点A )2)(,1(m m A 可作曲线)(x f y 的三条切线，求实数 m 的取值范围、 （提示：设曲线 )(x f y 上的切点（)(,00x f x ）；建立)(,00x f x 的等式关系。将问题转化为关于 m x ,0的方 程有三个不同实数根问题。（答案： m 的范围是2,3） 题型3 求两个曲线)(x f y 、)(x g y 的公切线。方法：设曲线)(x f y 、)(x g y 的切点分别为（ )(,11x f x ）。（)(,22x f x ）； 建立 21,x x 的等式关系，12112)()(y y x f x x ，12 212 )()(y y x f x x ；求出21,x x ，进而求出 切线方程。解决问题的方法是设切点，用导数求斜率，建立等式关系。 例 求曲线 2 x y 与曲线x e y ln 2的公切线方程。（答案02e y x e ） 二．单调性问题 题型1 求函数的单调区间。 求含参函数的单调区间的关键是确定分类标准。分类的方法有：（1）在求极值点的过程中，未知数的系数与 0的关系不定而引起的分类；（2）在求极值点的过程中，有无极值点引起的分类（涉及到二次方程问题时，△与 0的 关系不定）；(3) 在求极值点的过程中，极值点的大小关系不定而引起的分类；(4) 在求极值点的过程中，极值点与区间的关系不定而引起分类等。注意分类时必须从同一标准出发，做到不重复，不遗漏。例 已知函数x a x x a x f )1(2 1ln ) (2 （1）求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点的大小关系分类）（2）若 e x ,2，求函数)(x f 的单调区间。（利用极值点与区间的关系分类） 题型2 已知函数在某区间是单调，求参数的范围问题。 方法1：研究导函数讨论。 方法2：转化为 0) (0) (' ' x f x f 或在给定区间上恒成立问题， 方法3：利用子区间（即子集思想） ；首先求出函数的单调增区间或减区间，然后让所给区间是求的增或减区间的子 集。 注意：“函数)(x f 在 n m,上是减函数”与“函数)(x f 的单调减区间是b a,”的区别是前者是后者的子集。 例已知函数2 () ln f x x a x + x 2在 , 1上是单调函数，求实数 a 的取值范围． （答案 , 0） 题型 3 已知函数在某区间的不单调，求参数的范围问题。 方法1：正难则反，研究在某区间的不单调方法2:研究导函数是零点问题，再检验。方法3:直接研究不单调，分情况讨论。 例 设函数 1) (2 3 x ax x x f ，R a 在区间 1,2 1内不单调，求实数 a 的取值范围。 （答案： 3, 2a ） ）三．极值、最值问题。 题型1 求函数极值、最值。基本思路：定义域 → 疑似极值点 → 单调区间 → 极值→ 最值。 例 已知函数12 1)1() (2 kx x e k x e x f x x ，求在2,1x 的极小值。 （利用极值点的大小关系、及极值点与区间的关系分类） 题型 2 已知函数极值，求系数值或范围。 方法：1.利用导函数零点问题转化为方程解问题，求出参数，再检验。方法2.转化为函数单调性问题。 例 函数1)1(2 1)1(3 14 1) (2 3 4 x p p px x p x x f 。0是函数)(x f 的极值点。求实数 p 值。（答案：1）
专题13 导数(知识梳理)(新高考地区专用)(解析版)
专题13 导数（知识梳理） 一、基本概念 1、导数定义：函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率x x f x x f x f x x ?-?+=??→?→?) ()(lim lim 0000，我们称它为函数)(x f y =在0x x =处的导数，记作)(0x f '或0|x x y ='，即x x f x x f x f x f x x ?-?+=??='→?→?)()(lim lim )(00000。 附注：①导数即为函数)(x f y =在0x x =处的瞬时变化率； ②定义的变化形式：x x x f x f x y x f x x ??--=??='→?→?)()(lim lim )(0000； 000) ()(lim lim )(0x x x f x f x y x f x x x --=??='→→?；x x f x x f x f x ?--?-='→?-)()(lim )(000； 0x x x -=?，当0→?x 时，0x x →，∴0 0) ()(lim )(0 x x x f x f x f x x --='→。 ③求函数)(x f y =在0x x =处的导数步骤：“一差；二比；三极限”。 2、基本初等函数的八个必记导数公式 3(1))()(])()([x g x f x g x f '±'='±； (2))()()()(])()([x g x f x g x f x g x f '?+?'='?； (3)[]2 )() ()()()(])()([ x g x g x f x g x f x g x f '-'= '(0)(≠x g )。 特别提示：)(])([x f C x f C '?='?，即常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数。 4、复合函数的导数 (1)复合函数定义：一般地对于两个函数)(x f y =和)(x g u =，如果通过变量u ，y 可以表示成x 的函数，就称这个函数为)(x f y =和)(x g u =的复合函数，记作)]([x g f y =。 (2)复合函数求导法则：复合函数)]([x g f y =的导数和函数)(x f y =、)(x g u =的导数的关系为x u x u y y '?'='， 即y 对x 的导数等于y 对u 的导数与u 对x 的导数的乘积。 例1-1．求函数23x y =在1=x 处的导数。 分析：先求2)(6)1()1(x x f x f y f ?+?=-?+=?=?，再求 x x f ?+=??6，再求6lim 0=??→?x f x 。
导数有关知识点总结、经典例题及解析、近年高考题带答案
导数及其应用 【考纲说明】 1、了解导数概念的某些实际背景（如瞬时速度，加速度，光滑曲线切线的斜率等）；掌握函数在一点处的导数的定义和导数的几何意义；理解导函数的概念。 2、熟记八个基本导数公式；掌握两个函数和、差、积、商的求导法则，了解复合函数的求导法则，会求某些简单函数的导数。 3、理解可导函数的单调性与其导数的关系；了解可导函数在某点取得极值的必要条件和充分条件(导数在极值点两侧异号)；会求一些实际问题(一般指单峰函数)的最大值和最小值。 【知识梳理】 一、导数的概念 函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ?，那么函数y 相应地有增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0），比值x y ??叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即x y ??=x x f x x f ?-?+)()(00。如果当0→?x 时，x y ??有极限，我们 就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f’（x 0）或y’|0x x =。 即f （x 0）=0lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f ?-?+)()(00。 说明：
（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→?x 时，x y ??有极限。如果x y ??不存在极限，就说函数在点x 0处不可导， 或说无导数。 （2）x ?是自变量x 在x 0处的改变量，0≠?x 时，而y ?是函数值的改变量，可以是零。 由导数的定义可知，求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： （1）求函数的增量y ?=f （x 0+x ?）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ??=x x f x x f ?-?+) ()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=x y x ??→?0lim 。 二、导数的几何意义 函数y=f （x ）在点x 0处的导数的几何意义是曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率。也就是说，曲线y=f （x ）在点p （x 0，f （x 0））处的切线的斜率是f’（x 0）。相应地，切线方程为y －y 0=f/（x 0）（x －x 0）。 三、几种常见函数的导数 ①0;C '= ②() 1;n n x nx -'= ③(sin )cos x x '=; ④(cos )sin x x '=-; ⑤();x x e e '=⑥()ln x x a a a ' =; ⑦ ()1ln x x '= ; ⑧()1 l g log a a o x e x '=. 四、两个函数的和、差、积的求导法则 法则1：两个函数的和(或差)的导数,等于这两个函数的导数的和(或差)， 即： ( .)' ''v u v u ±=± 法则2：两个函数的积的导数,等于第一个函数的导数乘以第二个函数,加上第一个函数乘以第二个函数的导数， 即： .)('''uv v u uv += 若C 为常数,则' ''''0)(Cu Cu Cu u C Cu =+=+=.即常数与函数的积的导数等于常数乘以函数的导数： .)(''Cu Cu = 法则3：两个函数的商的导数，等于分子的导数与分母的积，减去分母的导数与分子的积，再除以分母的平方： ? ?? ??v u ‘=2' 'v uv v u -（v ≠0）。 形如y=f [x (?])的函数称为复合函数。复合函数求导步骤：分解——求导——回代。法则：y ＇|x = y ＇|u ·u ＇|x 五、导数应用 1、单调区间： 一般地，设函数)(x f y =在某个区间可导，
2017年高考真题分类汇编(理数)专题2导数(解析版)
2017年高考真题分类汇编（理数）：专题2 导数 一、单选题（共3题；共6分） 1、（2017?浙江）函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图所示，则函数y=f（x）的图象可能是（） A、 B、 C、 D、 2、（2017?新课标Ⅱ）若x=﹣2是函数f（x）=（x2+ax﹣1）e x﹣1的极值点，则f（x）的极小值为（） A、﹣1 B、﹣2e﹣3 C、5e﹣3 D、1 3、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x2﹣2x+a（e x﹣1+e﹣x+1）有唯一零点，则a=（） A、﹣ B、 C、 D、1 二、解答题（共8题；共50分）
4、（2017?浙江）已知函数f（x）=（x﹣）e﹣x（x≥ ）． （Ⅰ）求f（x）的导函数； （Ⅱ）求f（x）在区间[ ，+∞）上的取值范围． 5、（2017?山东）已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=e x（cosx﹣sinx+2x﹣2），其中e≈2.17828…是自然对数的底数．（13分） （Ⅰ）求曲线y=f（x）在点（π，f（π））处的切线方程； （Ⅱ）令h（x）=g （x）﹣a f（x）（a∈R），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值．6、（2017?北京卷）已知函数f（x）=e x cosx﹣x．（13分） (1)求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程； (2)求函数f（x）在区间[0，]上的最大值和最小值． 7、（2017·天津）设a∈Z，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x3﹣3x2﹣6x+a在区间（1，2）内有一个 零点x0， g（x）为f（x）的导函数． （Ⅰ）求g（x）的单调区间； （Ⅱ）设m∈[1，x0）∪（x0，2]，函数h（x）=g（x）（m﹣x0）﹣f（m），求证：h（m）h（x0）＜0；（Ⅲ）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且∈[1，x0）∪（x0， 2]，满足| ﹣x0|≥ ． 8、（2017?江苏）已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a＞0，b∈R）有极值，且导函数f′（x）的极值点是f（x）的零点．（极值点是指函数取极值时对应的自变量的值） （Ⅰ）求b关于a的函数关系式，并写出定义域； （Ⅱ）证明：b2＞3a； （Ⅲ）若f（x），f′（x）这两个函数的所有极值之和不小于﹣，求a的取值范围． 9、（2017?新课标Ⅰ卷）已知函数f（x）=ae2x+（a﹣2）e x﹣x．（12分） (1)讨论f（x）的单调性； (2)若f（x）有两个零点，求a的取值范围． 10、（2017?新课标Ⅱ）已知函数f（x）=ax2﹣ax﹣xlnx，且f（x）≥0． （Ⅰ）求a； （Ⅱ）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e﹣2＜f（x0）＜2﹣2． 11、（2017?新课标Ⅲ）已知函数f（x）=x﹣1﹣alnx． （Ⅰ）若 f（x）≥0，求a的值； （Ⅱ）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+ ）（1+ ）…（1+ ）＜m，求m的最小值．
导数题型方法总结绝对经典
第一章 导数及其应用 一.导数的概念 1..已知x f x f x x f x ?-?+=→?) 2()2(lim ,1 )(0 则的值是（ ） A. 4 1- B. 2 C. 41 D. －2 变式1：()()()为则设h f h f f h 233lim ,430--='→（ ） A ．－１ Ｂ．－2 C ．－3 D ．1 变式2：()()()00003,lim x f x x f x x f x x x ?→+?--??设在可导则等于 （ ） A ．()02x f ' B ．()0x f ' C ．()03x f ' D ．()04x f ' 导数各种题型方法总结 请同学们高度重视： 首先，关于二次函数的不等式恒成立的主要解法： 1、分离变量；2变更主元；3根分布；4判别式法 5、二次函数区间最值求法：（1）对称轴（重视单调区间） 与定义域的关系 （2）端点处和顶点是最值所在 其次，分析每种题型的本质，你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”，创建不等关系求出取值范围。 最后，同学们在看例题时，请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型：函数的单调区间、极值、最值；不等式恒成立； 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决： 第一步：令0)(' =x f 得到两个根； 第二步：画两图或列表； 第三步：由图表可知； 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题， 2、常见处理方法有三种： 第一种：分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论（>0,=0,<0） 第二种：变更主元（即关于某字母的一次函数）-----（已知谁的范围就把谁作为主元）； （请同学们参看2010省统测2） 例1：设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x '，()f x '在区间D 上的导数为()g x ，若在区间D 上， ()0g x <恒成立，则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”，已知实数m 是常数，432 3()1262 x mx x f x =-- （1）若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”，求m 的取值范围； （2）若对满足2m ≤的任何一个实数m ，函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”，求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- 2()3g x x mx ∴=-- （1） ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”， 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一：从二次函数的区间最值入手：等价于max ()0g x <
