人教新课标版数学高一-必修2 直线与平面平行的性质
高中数学直线、平面平行的判定及其性质教案新人教版必修2
§2.2 直线、平面平行的判定及其性质§2.2.1 直线与平面平行的判定一、教材分析空间里直线与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的关系，它不仅应用较多，而且是学习平面与平面平行的基础.空间中直线与平面平行的定义是以否定形式给出的用起来不方便，要求学生在回忆直线与平面平行的定义的基础上探究直线与平面平行的判定定理.本节重点是直线与平面平行的判定定理的应用.二、教学目标1．知识与技能（1）理解并掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理；（2）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2．过程与方法学生通过观察图形，借助已有知识，掌握直线与平面平行、平面与平面平行的判定定理.3．情感、态度与价值观（1）让学生在发现中学习，增强学习的积极性；（2）让学生了解空间与平面互相转换的数学思想.三、教学重点与难点如何判定直线与平面平行.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习复习直线与平面平行的定义：如果直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行.（二）导入新课思路1.(情境导入)将一本书平放在桌面上，翻动书的封面，封面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的位置关系？思路2.(事例导入)观察长方体（图1），你能发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面的位置关系吗？图1（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间直线与平面的位置关系.②若平面外一条直线平行平面内一条直线，探究平面外的直线与平面的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的判定定理.④试证明直线与平面平行的判定定理.活动：问题①引导学生回忆直线与平面的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用反证法证明.讨论结果：①直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行.②直线a在平面α外，是不是能够断定a∥α呢？不能！直线a在平面α外包含两种情形：一是a与α相交，二是a与α平行，因此，由直线a在平面α外，不能断定a∥α.若平面外一条直线平行平面内一条直线，那么平面外的直线与平面的位置关系可能相交吗？既然不可能相交，则该直线与平面平行.③直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.符号语言为：.图形语言为：如图2.图2④证明：∵a∥b，∴a、b确定一个平面，设为β.∴a⊂β，b⊂β.∵a⊄α，a⊂β，∴α和β是两个不同平面.∵b⊂α且b⊂β，∴α∩β=b.假设a与α有公共点P,则P∈α∩β=b，即点P是a与b的公共点，这与已知a∥b矛盾.∴假设错误.故a∥α.（四）应用示例思路1例1 求证空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边的平面.已知空间四边形ABCD中，E、F分别是AB、AD的中点.求证：EF∥面BCD.活动：先让学生思考或讨论，后再回答，经教师提示、点拨，对回答正确的学生及时表扬，对回答不准确的学生提示引导考虑问题的思路.证明：如图3,连接BD,图3EF∥面BCD.所以,EF∥面BCD.变式训练如图4,在△ABC所在平面外有一点P，M、N分别是PC和AC上的点，过MN作平面平行于BC，画出这个平面与其他各面的交线，并说明画法.图4画法：过点N在面ABC内作NE∥BC交AB于E，过点M在面PBC内作MF∥BC交PB于F，连接EF，则平面MNEF为所求，其中MN、NE、EF、MF分别为平面MNEF与各面的交线.证明：如图5,图5.所以,BC∥平面MNEF.点评：“见中点，找中点”是证明线线平行常用方法，而证明线面平行往往转化为证明线线平行. 例2 如图6，已知AB 、BC 、CD 是不在同一平面内的三条线段，E 、F 、G 分别为AB 、BC 、CD 的中点.图6求证：AC∥平面EFG ，BD∥平面EFG.证明：连接AC 、BD 、EF 、FG 、EG.在△ABC 中，∵E、F 分别是AB 、BC 的中点,∴AC∥EF.又EF ⊂面EFG ，AC ⊄面EFG,∴AC∥面EFG.同理可证BD∥面EFG.变式训练已知M 、N 分别是△ADB 和△ADC 的重心，A 点不在平面α内，B 、D 、C 在平面α内，求证：MN∥α. 证明：如图7,连接AM 、AN 并延长分别交BD 、CD 于P 、Q ，连接PQ.图7∵M、N 分别是△ADB、△ADC 的重心， ∴NQAN MP AM ==2.∴MN∥PQ. 又PQ ⊂α，MN ⊄α,∴MN∥α.点评：利用平面几何中的平行线截比例线段定理,三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.思路2例题 设P 、Q 是边长为a 的正方体AC 1的面AA 1D 1D 、面A 1B 1C 1D 1的中心,如图8,（1）证明P Q∥平面AA 1B 1B ；（2）求线段PQ 的长.图8(1)证法一：取AA 1,A 1B 1的中点M,N,连接MN,NQ,MP, ∵MP∥AD,MP=AD 21,NQ∥A 1D 1,NQ=1121D A , ∴MP∥ND 且MP=ND.∴四边形PQNM 为平行四边形.∴PQ∥MN.∵MN ⊂面AA 1B 1B,PQ ⊄面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.证法二：连接AD 1,AB 1,在△AB 1D 1中,显然P,Q 分别是AD 1,D 1B 1的中点,∴PQ∥AB 1,且PQ=121AB . ∵PQ ⊄面AA 1B 1B,AB 1⊂面AA 1B 1B,∴PQ∥面AA 1B 1B.(2)解:方法一:PQ=MN=a N A M A 222121=+. 方法二：PQ=a AB 22211=. 变式训练如图9，正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，E 在AB 1上，F 在BD 上，且B 1E=BF.图9求证：EF∥平面BB 1C 1C.证明：连接AF 并延长交BC 于M ，连接B 1M.∵AD∥BC,∴△AFD∽△MFB. ∴BFDF FM AF =. 又∵BD=B 1A ，B 1E=BF,∴DF=AE. ∴BFDF FM AF =. ∴EF∥B 1M ，B 1M ⊂平面BB 1C 1C. ∴EF∥平面BB 1C 1C.（五）知能训练已知四棱锥P —ABCD 的底面为平行四边形,M 为PC 的中点,求证:PA∥平面MBD.证明：如图10,连接AC 、BD 交于O 点,连接MO,图10∵O 为AC 的中点,M 为PC 的中点,∴MO 为△PAC 的中位线.∴PA∥MO.∵PA ⊄平面MBD,MO ⊂平面MBD,∴PA∥平面MBD.（六）拓展提升如图11，已知平行四边形ABCD 和平行四边形ACEF 所在的平面相交于AC,M 是线段EF 的中点.图11求证:AM∥平面BDE.证明：设AC∩BD=O ，连接OE ，∵O、M 分别是AC 、EF 的中点，ACEF 是平行四边形，∴四边形AOEM 是平行四边形.∴AM∥OE.∵OE ⊂平面BDE ，AM ⊄平面BDE ，∴AM∥平面BDE.（七）课堂小结知识总结：利用线面平行的判定定理证明线面平行.方法总结：利用平面几何中的平行线截比例线段定理，三角形的中位线性质等知识促成“线线平行”向“线面平行”的转化.（八）作业课本习题2.2 A组3、4.§2.2.3 直线与平面平行的性质一、教材分析上节课已学习了直线与平面平行的判定定理,这节课将通过例题让学生体会应用线面平行的性质定理的难度，进而明确告诉学生：线面平行的性质定理是高考考查的重点，也是最难应用的两个定理之一.本节重点是直线与平面平行的性质定理的应用.二、教学目标1．知识与技能掌握直线与平面平行的性质定理及其应用.2．过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型性质及其应用.3．情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力.（2）进一步体会类比的作用.（3）进一步渗透等价转化的思想.三、教学重点与难点教学重点：直线与平面平行的性质定理.教学难点：直线与平面平行的性质定理的应用.四、课时安排1课时五、教学设计（一）复习回忆直线与平面平行的判定定理：（1）文字语言：如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行.（2）符号语言为：（3）图形语言为：如图1.图1（二）导入新课思路1.(情境导入)教室内日光灯管所在的直线与地面平行，是不是地面内的所有直线都与日光灯管所在的直线平行？思路2.(事例导入)观察长方体（图2），可以发现长方体ABCD—A′B′C′D′中，线段A′B所在的直线与长方体ABCD—A′B′C′D′的侧面C′D′DC所在平面平行，你能在侧面C′D′DC所在平面内作一条直线与A′B 平行吗？图2（三）推进新课、新知探究、提出问题①回忆空间两直线的位置关系.②若一条直线与一个平面平行，探究这条直线与平面内直线的位置关系.③用三种语言描述直线与平面平行的性质定理.④试证明直线与平面平行的性质定理.⑤应用线面平行的性质定理的关键是什么？⑥总结应用线面平行性质定理的要诀.活动:问题①引导学生回忆两直线的位置关系.问题②借助模型锻炼学生的空间想象能力.问题③引导学生进行语言转换.问题④引导学生用排除法.问题⑤引导学生找出应用的难点.问题⑥鼓励学生总结，教师归纳.讨论结果：①空间两条直线的位置关系：相交、平行、异面.②若一条直线与一个平面平行，这条直线与平面内直线的位置关系不可能是相交（可用反证法证明）,所以，该直线与平面内直线的位置关系还有两种，即平行或异面.怎样在平面内作一条直线与该直线平行呢（排除异面的情况）？经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.③直线与平面平行的性质定理用文字语言表示为：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.这个定理用符号语言可表示为：这个定理用图形语言可表示为：如图3.图3④已知a∥α，a β，α∩β=b.求证：a∥b.证明：⑤应用线面平行的性质定理的关键是：过这条直线作一个平面.⑥应用线面平行性质定理的要诀：“见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线”.（四）应用示例思路1例1 如图4所示的一块木料中，棱BC平行于面A′C′.图4(1)要经过面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开，应怎样画线？(2)所画的线与面AC是什么位置关系？活动:先让学生思考、讨论再回答，然后教师加以引导.分析：经过木料表面A′C′内的一点P和棱BC将木料锯开,实际上是经过BC及BC外一点P作截面,也就是找出平面与平面的交线.我们可以由线面平行的性质定理和公理4、公理2作出.解：（1）如图5，在平面A′C′内，过点P作直线EF,使EF∥B′C′，图5并分别交棱A′B′、C′D′于点E、F.连接BE、CF.则EF、BE、CF就是应画的线.(2)因为棱BC平行于面A′C′，平面BC′与平面A′C′交于B′C′，所以BC∥B′C′.由（1）知，EF∥B′C′，所以EF∥BC.因此BE 、CF 显然都与平面AC 相交.变式训练如图6，a∥α,A 是α另一侧的点，B 、C 、D ∈a ，线段AB 、AC 、AD 交α于E 、F 、G 点，若BD=4，CF=4，AF=5，求EG.图6解：A ∉a ，∴A、a 确定一个平面，设为β.∵B∈a ，∴B∈β.又A ∈β，∴AB ⊂β.同理AC ⊂β，AD ⊂β.∵点A 与直线a 在α的异侧,∴β与α相交.∴面ABD 与面α相交，交线为EG.∵BD∥α，BD ⊂面BAD ，面BAD∩α=EG,∴BD∥EG.∴△AEG∽△ABD. ∴ACAF BD EG =.(相似三角形对应线段成比例) ∴EG=920495=⨯=∙BD AC AF . 点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，直线与交线平行，如果再需要过已知点，这个平面是确定的.例2 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，求证另一条也平行于这个平面.如图7.图7已知直线a,b,平面α,且a∥b,a∥α,a,b 都在平面α外.求证：b∥α.证明：过a 作平面β,使它与平面α相交,交线为c.∵a∥α,a ⊂β,α∩β=c,∴a∥c.∵a∥b,∴b∥c.∵c ⊂α,b ⊄α,∴b∥α.变式训练如图8,E 、H 分别是空间四边形ABCD 的边AB 、AD 的中点，平面α过EH 分别交BC 、CD 于F 、G.求证：EH∥FG.图8证明：连接EH.∵E、H 分别是AB 、AD 的中点,∴EH∥BD.又BD ⊂面BCD ，EH ⊄面BCD,∴EH∥面BCD.又EH ⊂α、α∩面BCD=FG,∴EH∥FG.点评：见到线面平行，先过这条直线作一个平面找交线，则直线与交线平行.思路2例 1 求证：如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条，那么它们的交线和这条直线平行.如图9.图9已知a∥b,a ⊂α，b ⊂β，α∩β=c.求证：c∥a∥b.证明：变式训练求证：一条直线与两个相交平面都平行，则这条直线与这两个相交平面的交线平行.图10已知：如图10,a∥α,a∥β,α∩β=b ，求证：a∥b.证明：如图10，过a 作平面γ、δ，使得γ∩α=c ，δ∩β=d ，那么有点评：本题证明过程，实际上就是不断交替使用线面平行的判定定理、性质定理及公理4的过程.这是证明线线平行的一种典型的思路.例2 如图11，平行四边形EFGH 的四个顶点分别在空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上，求证：BD∥面EFGH ，AC∥面EFGH.图11证明：∵EFGH 是平行四边形变式训练如图12，平面EFGH 分别平行于CD 、AB ，E 、F 、G 、H 分别在BD 、BC 、AC 、AD 上，且CD=a ，AB=b ，CD⊥AB.图12（1）求证：EFGH 是矩形；（2）设DE=m,EB=n,求矩形EFGH 的面积.(1)证明：∵CD∥平面EFGH ，而平面EFGH∩平面BCD=EF,∴CD∥EF.同理HG∥CD,∴EF∥HG.同理HE∥GF，∴四边形EFGH 为平行四边形.由CD∥EF，HE∥AB，∴∠HEF 为CD 和AB 所成的角.又∵CD⊥AB，∴HE⊥EF.∴四边形EFGH 为矩形.（2）解：由（1）可知在△BCD 中EF∥CD，DE=m ，EB=n, ∴DB BE CD EF =.又CD=a,∴EF=a nm n +. 由HE∥AB,∴DBDE AB HE =. 又∵AB=b,∴HE=b n m m +. 又∵四边形EFGH 为矩形,∴S 矩形EFGH =HE·EF=ab n m mn a n m n b n m m 2)(+=+∙+. 点评：线面平行问题是平行问题的重点，有着广泛应用.（五）知能训练求证：经过两条异面直线中的一条有且只有一个平面和另一条直线平行.已知：a 、b 是异面直线.求证：过b 有且只有一个平面与a 平行.证明：(1)存在性.如图13，图13在直线b 上任取一点A ，显然A ∉a.过A 与a 作平面β,在平面β内过点A 作直线a′∥a,则a′与b 是相交直线，它们确定一个平面，设为α,∵b ⊂α，a 与b 异面，∴a ⊄α.又∵a∥a′，a′⊂α，∴a∥α.∴过b 有一个平面α与a 平行.(2)唯一性.假设平面γ是过b 且与a 平行的另一个平面,则b ⊂γ.∵A∈b ，∴A∈γ.又∵A∈β，∴γ与β相交，设交线为a″，则A ∈a″.∵a∥γ，a ⊂β，γ∩β=a″,∴a∥a″.又a∥a′，∴a′∥a″.这与a′∩a″=A 矛盾.∴假设错误，故过b 且与a 平行的平面只有一个.综上所述，过b 有且只有一个平面与a 平行.变式训练已知：a∥α，A ∈α，A ∈b ，且b∥a.求证：b ⊂α.证明：假设b ⊄α，如图14，图14设经过点A 和直线a 的平面为β，α∩β=b′, ∵a∥α，∴a∥b′(线面平行则线线平行). 又∵a∥b，∴b∥b′,这与b∩b′=A 矛盾.∴假设错误.故b ⊂α.（六）拓展提升已知：a,b 为异面直线,a ⊂α,b ⊂β,a∥β,b∥α,求证:α∥β.证明：如图15，在b 上任取一点P ，由点P 和直线a 确定的平面γ与平面β交于直线c ，则c 与b 相交于点P.图15变式训练已知AB 、CD 为异面线段，E 、F 分别为AC 、BD 中点，过E 、F 作平面α∥AB.（1）求证：CD∥α;（2）若AB=4，EF=5，CD=2，求AB 与CD 所成角的大小.（1）证明：如图16，连接AD交α于G，连接GF,图16∵AB∥α，面ADB∩α=GF AB∥GF.又∵F为BD中点,∴G为AD中点.又∵AC、AD相交，确定的平面ACD∩α=EG,E为AC中点，G为AD中点,∴EG∥CD.（2）解：由（1）证明可知：∵AB=4,GF=2,CD=2,∴EG=1,EF=5.在△EGF中，由勾股定理,得∠EGF=90°,即AB与CD所成角的大小为90°.（七）课堂小结知识总结:利用线面平行的性质定理将直线与平面平行转化为直线与直线平行.方法总结:应用直线与平面平行的性质定理需要过已知直线作一个平面,是最难应用的定理之一;应让学生熟记:“过直线作平面，把线面平行转化为线线平行”.（八）作业课本习题2.2 A组5、6.§2.2.2 平面与平面平行的判定§2.2.4 平面与平面平行的性质一、教材分析空间中平面与平面之间的位置关系中，平行是一种非常重要的位置关系，它不仅应用较多，而且是空间问题平面化的典范.空间中平面与平面平行的判定定理给出了由线面平行转化为面面平行的方法；面面平行的性质定理又给出了由面面平行转化为线线平行的方法，所以本节在立体几何中占有重要地位.本节重点是平面与平面平行的判定定理及其性质定理的应用.二、教学目标1、知识与技能（1）理解并掌握平面与平面平行的判定定理；（2）掌握两个平面平行的性质定理及其应用（3）进一步培养学生观察、发现的能力和空间想象能力；2、过程与方法学生通过观察与类比，借助实物模型理解及其应用3、情感、态度与价值观（1）进一步提高学生空间想象能力、思维能力；（2）进一步体会类比的作用；（3）进一步渗透等价转化的思想。
人教新课标版数学高一-人教必修2直线与平面平行的性质
课时提升卷(十一)直线与平面平行的性质（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.已知直线m∥直线n,直线m∥平面α,过m的平面β与α相交于直线a,则n与a的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.以上均有可能2.(2013·长白山高一检测)设a,b是两条直线,α,β是两个平面,若a∥α,a β,α∩β=b,则α内与b相交的直线与a的位置关系是( )A.平行B.相交C.异面D.平行或异面3.若l∥α,A∈α,则下列说法正确的是( )A.过A在平面α内可作无数条直线与l平行B.过A在平面α内仅可作一条直线与l平行C.过A在平面α内可作两条直线与l平行D.过A在平面α内可作与l平行的直线的条数与A的位置有关4.如图,四棱锥P-ABCD中,M,N分别为AC,PC上的点,且MN∥平面PAD,则( )A.MN∥PDB.MN∥PAC.MN∥ADD.以上均有可能5.(2013·深圳高一检测)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点D为AC的中点,点D1是A1C1上的一点,若BC1∥平面AB1D1,则等于( )A. B.1 C.2 D.3二、填空题(每小题8分,共24分)6.平面α过正方体ABCD-A1B1C1D1的三个顶点B,D,A1,且α与底面A1B1C1D1的交线为l,则l与B1D1的位置关系是.7.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,点P是平面AA1D1D的中心,点Q是B1D1上一点,且PQ∥平面AB1,则线段PQ长为.8.长方体ABCD-A1B1C1D1的底面ABCD是正方形,其侧面展开图是边长为8的正方形.E, F分别是侧棱AA1,CC1上的动点,AE+CF=8.P在棱AA1上,且AP=2,若EF∥平面PBD,则CF= .三、解答题(9题,10题14分,11题18分)9.如图,在△ABC所在平面外有一点P,D,E分别是PB与AB上的点,过D,E作平面平行于BC,试画出这个平面与其他各面的交线,并说明画法的依据.10.如图所示,四边形ABCD是矩形,P∉平面ABCD,过BC作平面BCFE交AP于E,交DP于F.求证:四边形BCFE是梯形.11.(能力挑战题)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,点E,F分别是棱CC1,BB1上的点,点M是线段AC上的动点,EC=2FB=2,若MB∥平面AEF,试判断点M在何位置.答案解析1.【解析】选A.因为直线m∥平面α,m⊂β,α∩β=a,所以m∥a,又m∥n,所以n∥a.2.【解析】选C.因为a∥α,a⊂β,α∩β=b,所以a∥b.又因为a与α无公共点,所以α内与b相交的直线与a异面.3.【解析】选B.直线l与点A只能确定惟一的一个平面,此平面与平面α的交线与l平行.4.【解析】选B.因为MN∥平面PAD,平面PAC∩平面PAD=PA, MN⊂平面PAC,所以MN∥PA.5.【解析】选B.连接A1B交AB1于O,则O为A1B的中点,因为BC1∥平面AB1D1,BC1⊂平面A1BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1=OD1,所以BC1∥OD1,所以D1为A1C1的中点,即=1.6. 【解析】因为ABCD-A1B1C1D1是正方体,所以BD∥B1D1.又BD⊄平面A1B1C1D1,B1D1⊂平面A1B1C1D1,所以BD∥平面A1B1C1D1,又BD⊂平面α,平面α∩平面A1B1C1D1=l,所以BD∥l,所以l∥B1D1.答案:平行7. 【解析】连接AB1,AD1,因为点P是平面AA1D1D的中心,所以点P是AD1的中点,因为PQ∥平面AB1,PQ⊂平面AB1D1,平面AB1D1∩平面AB1=AB1,所以PQ∥AB1,所以PQ=AB1=.答案:8.【解题指南】设AC与BD的交点为O,由EF∥平面PBD得EF∥PO,再由题意构造中位线得QC∥PO,证出EFCQ为平行四边形再由题意求CF.【解析】连接AC交BD于O,连接PO.因为EF∥平面PBD,EF⊂平面EACF,平面EACF∩平面PBD=PO,所以EF∥PO,在PA1上截取PQ=AP=2,连接QC,则QC∥PO,所以EF∥QC,所以EFCQ为平行四边形,则CF=EQ,又因为AE+CF=8,AE+A1E=8,所以A1E=CF=EQ=A1Q=2,从而CF=2.答案:29.【解析】记过D,E所作平面为α,因为BC∥α,且BC⊂平面PBC,BC⊂平面ABC,所以平面α与平面PBC和平面ABC的交线都与BC平行.据此作平面α如下:连接DE,过点D作DG∥BC交PC于点G,过点E作EF∥BC交AC于点F,连接GF,平面DEFG即为平面α.(如图)10.【证明】因为四边形ABCD是矩形,所以AD∥BC.又BC⊂平面BCFE,所以AD∥平面BCFE.又因为AD⊂平面PAD,平面PAD∩平面BCFE=EF,所以AD∥EF,且AD ≠EF,所以EF∥BC且EF≠BC,所以四边形BCFE是梯形.11.【解析】若MB∥平面AEF,过F,B,M作平面FBMN交AE于N,连接MN,NF.因为BF∥平面AA1C1C,BF⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AA1C1C=MN,所以BF∥MN.又MB∥平面AEF,MB⊂平面FBMN,平面FBMN∩平面AEF=FN, 所以MB∥FN,所以BFNM是平行四边形,所以MN∥BF,MN=BF=1.而EC∥FB,EC=2FB=2,所以MN∥EC,MN=EC=1,故MN是△ACE的中位线.所以M是AC的中点时,MB∥平面AEF.【拓展提升】立体几何中“思维定式”的应用解答立体几何问题通常有比较固定的方法.举例如下:(1)作辅助线时,有“中点”考虑中位线,等腰三角形的性质.(2)证明线面平行,通常用判定定理,也就是证明平面外的直线与平面内的一条直线平行.(3)证明面面平行,通常用其判定定理,也就是证明一个平面内有两条相交直线与另一个平面平行.(4)题目条件中有线面平行时,一定要想到线面平行的性质定理,也就是见到“线面平行”就要考虑过已知直线找(或作)出平面与已知平面相交,得到交线与已知直线平行.。
高一数学2.2.2直线与平面平行的性质
师：投影问题，学生回答 . 生：当平面内的直线与这 条直线共面时两条直线平行 .
下，平面 内的直线与这条直线
师：为什么？
平行？
生：由条件知两条直线没
2．例 1 如图 a∥ a ， 有公共点，如果它们共面，那
= b. 求证： a∥b.
么它们一定平行 .
师投影例 1 并读题，学生
∴ AB
同理 AC , AD
∵点 A 与直线 a 在 的异侧 ∴ 与 相交，
∴面 ABD 与面 相交，交线为 EG ∵ BD∥ ， BD 面 BAD ，面 BAD
=EG
∴ BD∥ EG， ∴△ AEG∽△ ABD . ∴ EG AF (相似三角形对应线段成比例 ) BD AC
∴ EG
AF BD
5
20
一平面与 相交 c，则 a 与交线 c 平行，又 a∥ b ∴b∥ c
师表扬，并共同完成板书 过程
能力， 转化 化归能力 及书写表 达能力 .
因为 a∥ b，所以 b∥ c 又因为 c , b ，所以
b∥ . 1．如图，正方体的棱长是
a， C，D 分别是两条棱的中点 .
学生独立完成 1．答案： （ 1）如图， CD ∥ EF， EF ∥ AB， CD ∥AB. 又 CD ≠ AB，所
第二课时 直线与平面平行的性质
讲练结合
教学过程
教学内容 1．直线与平面平行的判定 定理
师生互动 投影幻灯片，师生共同复 习，并讨论思考题 .
新课导入
2．直线与平面的位置关系 3．思考：如果直线和平面 平行、那么这条直线与这个平面 内的直线是有什么位置关系？
直线与平面平行的性质 1．思考题：一条直线与一
人教版高中数学必修2《直线与平面平行》PPT课件
D′
P
F α
E B′
C′ C
AC外，所以EF//平面AC．
A
B
显然， BE，CF都与平面AC相交．
例题 如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，
M，N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l//BC； （2）MN与平面APD是否平行？ 试证明你的结论．
Pl N
D
C
又 MN平面PAD，AE平面PAD， D
C
∴ MN//平面PAD．
A
M
B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
（1）与AB平行的平面是
；
D′
（2）与AA′平行的平面是 （3）与AD平行的平面是
； A′ ．
线线平行
线面平行
D
在长方体中找到与已知直线 A 平行的直线有哪些？
C′ B′
C B
1.如图，在长方体ABCD-A′B′C′D′中，
解析：“×”
b Pa
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（4）如果直线a，b和平面α满足a//b，a//α， b ， 那么， b//α．
解析：“√”
b
a
α
3.判断下列命题，正确的打“√”，错误的打“×”．
（1）如果直线a//b，那么a平行于经过b的任何平面． （2）如果直线a和平面α满足a//α，那么a与α内的任
请同学们考虑用图形语言和符号语言如何
表示定理？
βa
α
b
它可以用符号表示：
a//，a ，
= b a//b
直线与平面平行的性质定理揭示了直线与 平面平行中蕴含着直线与直线平行，这也给出 了一种作平行线的方法．
人教新课标A版高一数学《必修2》2.2.3直线与平面平行的性质
直线与平面平行的性质定理：如果一条直线与一个平面平行, 那么经过该直线 的任意一个平面与已知平面的交线与该直线平行.
课堂探究
探究点2 直线与平面平行的判定定理的应用
例1 如图所示的一块木料中,棱BC平行于面A1C1.
（1）要经过面A1C1内的一点P和棱BC将木料锯开,应怎样画线？ D1 （2）所画的线和面AC是什么位置关系？ F A1 P 解 （1）在面A1C内,过点P画直线EF, 使EF//B1C1,EF交棱A1B1、C1D1于点E、F, 连接BE、CF，则EF、BE、CF就是应画的线. A B
b
b
a
答：经过直线a的平面β，与平面α的交线b与直线a平行.
课堂探究 符号表示：
探究点1 直线与平面平行的判定定理
a b
证明 因为a//α，所以直线a与平面α没有公共点.
又因为α∩β=b，所以b α 且b β.
所以直线 a 与直线 b 没有公共点. 又因为a β且b β，所以a//b.
第二章 点、直线、平面之间的位置关系
2.2 直线、平面平行的判定及其性质 2.2.3直线与平面平行的性质
2.2.3 直线与平面平行的性质
1、理解并掌握直线与平面平行的性质定
理，进一步培养观察、发现的能力和空间
想象能力；
2、通过观察图形，借助已有知识，掌握
利用直线与平面平行的性质定理证线线平
行；
3、了解空间与平面互相转换的数学思想.
复习回顾 1.直线与平面 平行的判定：
直线与平面、平面与平面平行的判定方法
（由线线平行证线面平行）
2.两个平面平
行的判定：
（由线面平行证面面平行）
人教课标版高中数学必修2知识归纳：直线、平面平行的判定及其性质
2.2 直线、平面平行的判定及其性质
2.2.1 直线与平面平行的判定
1.判定定理的符号表示为：.
2.证明线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定.
2.2.2 平面与平面平行的判定
1.面面平行判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行．用符号表示为：
.
2.垂直于同一条直线的两个平面平行.
3.平面α上有不在同一直线上的三点到平面β的距离相等，则α与β的位置关系是平行或相交.
2.2.3 直线与平面平行的性质
1.线面平行的性质定理：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行.
即：.
2.直线和平面平行的判定定理及性质定理在解题时往往交替使用．证线面平行往往转化为证线线平行，而证线线平行又将转化为证线面平行．循环往复直至证得结论为止.
2.2.4 平面与平面平行的性质
1.面面平行的性质：如果两个平行平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行.用符号语言表示为：.
2. 其它性质：
①；
②；
③夹在平行平面间的平行线段相等.。
【人教版】高中数学必修二：《直线与平面平行的性质》ppt课件
线面平行 线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的 平面和这个平面相交，那么这条直线和交线平行。
思考：
（1）如果一条直线和一个平面平行，那么这条
直线和这个平面内的直线有怎样的位置关系？
a
a
b
b
α
α
（2）已知直线 a∥平面α，如何在平面α 内找出和直线 a 平行的一条直线？
求证：a∥b．
证明：（反证法）． 假设直线a不平行于直线b．
o
∴ 直线a与直线b相交，假设 交点为O，则a∩b＝O．
∴a∩α＝O，这与“a∥α”矛盾 ．
∴a∥b．
线面平行的性质定理
一条直线和一个平面平行，则过这条直线的任一 平面与此平面的交线与该直线平行。
l ∥α
l
α∩β= m
线面平行
l ∥m
β
l
m
α
线线平行
练习：
如果一条直线和一个平面平行，则这条直线（ D ） A 只和这个平面内一条直线平行； B 只和这个平面内两条相交直线不相交； C 和这个平面内的任意直线都平行； D 和这个平面内的任意直线都不相交。
例题1 已知平面外的两条平行直线中的一条 平行于这个平面， 求证：另一条也平行于这个平面。
a b
c
例题分析
例题2 有一块木料，棱BC平行于面A1C1 要经
过面A1C1内一点P和棱BC锯开木料，应该怎样 画线？ 这线与平面AC有怎样的关系？
D1
E
C1
P
A1
F
B1
D
ห้องสมุดไป่ตู้
C
B A
小结
线面平行的判定定理
线线平行 线面平行 如果不在一个平面内的一条直线和平面内的 一条直线平行,那么这条直线和这个平面平行。
高中数学人教必修二直线与平面_平面与平面平行的性质定理
(4)平面外的两平行线同平行于同一个平面.
例 已知平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面 , 求证另一条也平行于这个平面.
已知a // , a // b, b , 求证 : b // .
证明:过直线a作平面，使得 a // a
c.
a // c b // c c b b // a // b c
证明 : 直线a与直线b没有公共点. 又 a ,b a // b.
back
练习
1.已知直线AB平行于平面α ，经过AB的两个平面和平面α相交 于直线a，b. 求证：a ∥ b. A B
β
A
B
α
a
b
α
C
D
2.如图，已知AB ∥平面α ，AC ∥ BD，且AC、BD与α分别相交 于点C，D. 求证：AC=BD. 证明:∵AC ∥ BD ∴AC与BD确定一个平面β ,与平面α相交于CD. 又∵AB ∥平面α ，∴AB ∥ CD 又由AC ∥ BD，得 ABDC是平行四边形. ∴AC=BD
精讲精练P27 例3+ P28 5/9/10
E B
H D G F C
练习
3.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，N是PB 的中点，E为AD的中点. 过A，D，N三点的平面与PC交于M点. P 求证:EN//DM.
MN//BC，又
E为AD中点，四边形ABCD为平行四边形 1 DE//BC且DE= BC.即有DE//MN且DE=MN. 2 故四边形DENM为平行四边形. EN//DM
我们发现: 面DBB1D1 面ABCD=DB 面DBB1D1 面ＡＢＣＤ １ １ １ １=D1B1
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课堂10分钟达标练
1.下列判断正确的是 ( )
A.a∥α,b⊂α,则a∥b
B.a∩α=P,b⊂α,则a与b不平行
C.a⊄α,则a∥α
D.a∥α,b∥α,则a∥b
【解析】选B.对于A,直线a,b可能平行也可能异面;a∩α=P,b⊂α,则a与b相交或异面,故不平行,B正确;对于C,直线a可能和平面α相交;对于D,直线a,b不一定平行.
2.如图过正方体ABCD-A′B′C′D′的棱BB′作一平面交平面CDD′C′于EE′,则BB′与EE′的位置关系是( )
A.平行
B.相交
C.异面
D.不确定
【解析】选A.因为BB′∥平面CDD′C′,BB′⊂平面BB′E′E,
平面BB′E′E∩平面CDD′C′=EE′,
所以BB′∥EE′.
3.已知直线m∥平面α,则下列命题中正确的是( )
A.α内所有直线都与直线m异面
B.α内所有直线都与直线m平行
C.α内有且只有一条直线与直线m平行
D.α内有无数条直线与直线m垂直
【解析】选D.A、如图,直线m∥平面α,存在n⊂α,n∥l,从而n∥m,A 错;B、如图,直线m∥平面α,存在n⊂α,n与l相交,从而m,n异面,m,n 不平行,B错; C、如图,α内凡是与l平行的直线n,e…均与m平行,C 错;D、如图,α内凡是与l垂直的直线a,b…均与m垂直,D对.
4.如图,△ABC的边BC∥α,AB∩α=M,AC∩α=N,则MN与BC的位置关系是________.
【解析】因为BC∥α,平面ABC∩α=MN,所以MN∥BC.
答案:平行
5.如图三棱锥S-ABC中,E,F分别是SB,SC上的点,且=,求
证:EF∥BC.
【证明】因为=,所以EF∥平面ABC,又EF⊂平面SBC,平面SBC∩平面ABC=BC,所以EF∥BC.
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