高考数学一轮复习 4.4平面向量的综合问题课件 文 湘教版
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高考数学一轮复习 4.4平面向量的综合问题课件 文 湘教版
； ； ．
α－β＝kπ(k∈Z)
1.已知向量 a=(cos75°，sin75°)，b=(cos15°，sin15°)，那么|a－b|的值是（ A．
）
1 2
B．
2 2
C．
3 2
D．1
【解析】 |a－b|2=(a－b)·(a－b)=a2－2a·b+b2=1－2cos(75°－15°)+1=1,所以|a－b|=1． 【答案】 D
，∵b⊥x 轴， ∴b=(0,－1)， 3 C 2 ∴b+c＝(cos A, 2cos 2 －1)=(cos A, cos C)，
(2)由题意得 B= ∴|b+c|2=cos2A+cos2C=1+ (cos2A+cos2C)=1+ ［cos2A+cos2( =1+ cos(2A+
1 2
1 2
2 －A)］ 3
4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为 O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则 AO·BC＝ .
【解析】 AO BC ＝ AO ·( AC － AB ) ＝ AO · AC － AO · AB ， ∵ OA ＝ OB ，
1 ∴ AO 在 AB 上的投影为 | AB |， 2
1 ∴ AO · AB ＝ | AB |·| AB |＝2， 2
以平面向量为载体，进行三角函数计 算．求解这一类问题时，除了正确运用平面向 量的运算(如线性运算或数量积计算等)外，还 需要灵活运用好三角函数中的有关公式．
已知向量 a=(2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 （1）求向量 b；
3 ，且 a·b=-2. 4
C （2）向量 c=(cos A, 2cos 2 ） ，其中 A、C 是△ABC 的内角， 若三角形的三内角 A、B、C 依
平面向量的综合问题课件-2025届高三数学一轮复习
◆ 索引：不理解各心的概念致误.
4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
重
OP = OA + λ AB + AC ，λ ∈ 0, +∞ ，则点P的轨迹一定过△ ABC的____心.
[解析] 由原等式得OP − OA = λ AB + AC ，即AP = λ(AB + AC)，
（2）在平面四边形ABCD中，若AC ⊥
AD2 +BC2 − AB2 +CD2
2
2
BD，则有AD
（3）在平面四边形ABCD中，有cos⟨AC，BD⟩ =
4.极化恒等式： ⋅ =
1
[
4
+
2
− −
+
2
BC
=
.
2
AB
+
AD2 +BC2 − AB2 +CD2
2 AC BD
2
CD .
.
2]
即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差
（2） λ
MA
MA
+
MB
MB
= MP ⇔ MP 是∠AMB的平分线.
（3）在▱ABCD中， AB + AD ⋅ AB − AD = 0 ⇔ ▱ABCD 是菱形；
AB + AD = AB − AD ⇔ ▱ABCD 是矩形.
3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论
（1）在平面四边形ABCD中，有AC ⋅ BD =
向量运算
（2）通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足
重
OP = OA + λ AB + AC ，λ ∈ 0, +∞ ，则点P的轨迹一定过△ ABC的____心.
[解析] 由原等式得OP − OA = λ AB + AC ，即AP = λ(AB + AC)，
（2）在平面四边形ABCD中，若AC ⊥
AD2 +BC2 − AB2 +CD2
2
2
BD，则有AD
（3）在平面四边形ABCD中，有cos⟨AC，BD⟩ =
4.极化恒等式： ⋅ =
1
[
4
+
2
− −
+
2
BC
=
.
2
AB
+
AD2 +BC2 − AB2 +CD2
2 AC BD
2
CD .
.
2]
即向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线长”与“差
（2） λ
MA
MA
+
MB
MB
= MP ⇔ MP 是∠AMB的平分线.
（3）在▱ABCD中， AB + AD ⋅ AB − AD = 0 ⇔ ▱ABCD 是菱形；
AB + AD = AB − AD ⇔ ▱ABCD 是矩形.
3.平面四边形对角线向量定理及其相关结论
（1）在平面四边形ABCD中，有AC ⋅ BD =
向量运算
（2）通过____________，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；
（3）把运算结果“翻译”成几何关系.
2020版高考数学(文)一轮复习通用版课件平面向量的综合应用
返回
[解题技法] 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路
(1)若给出的向量坐标中含有三角函数，求角的大小，解题 思路是运用向量共线或垂直的坐标表示，或等式成立的条件 等，得到三角函数的关系式，然后求解．
(2)若给出的向量坐标中含有三角函数，求向量的模或者 向量的其他表达形式，解题思路是利用向量的运算，结合三角 函数在定义域内的有界性或基本不等式进行求解．
第四 节
平面向量的综合应用
[典例] (2019·石家庄模拟)在平行四边形 ABCD 中，|―A→B |＝12返，回
|―A→D |＝8.若点 M，N 满足―BM→＝3―M→C ，―D→N ＝2―N→C ，则―AM→·―NM→＝
()
A．20 [解析]
法一：由B．―B1M→5 ＝3―M→C ，C―．D→N36＝2―N→C D知．，6点 M 是 BC
故|―PA→＋―P→B ＋―P→C |＝ －12a ＋37，
所以当 a ＝－1 时，|―PA→＋―P→B ＋―P→C |取得最大值 49＝7. [答案] B
返回
[解题技法] 向量在解析几何中的 2 个作用 向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类
载体 问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”， 作用 导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜
＝c(R 为△ABC 外接圆半径)，且 a cos B＋b cos A＝csin C，所 以 c＝csin C，所以 sin C＝1，又 C∈(0，π)，所以 C＝π2，所 以 B＝π－π3－π2＝π6. 答案：C
返回
[典例] 已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，且 AB⊥BC.
若点 P 的坐标为(2,0)，则|―PA→＋―P→B ＋―P→C |的最大值为 ( )
2024版新教材高考数学总复习：第四节平面向量的综合应用课件
AB AC
△ABC的( ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
答案：A
题型二 向量与三角函数
例 2设向量a＝(cos x，sin x)，b＝( 3sin x，sin x)． (1)若a∥b，求cos 2x的值； (2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点．
题后师说 向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标 运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决．
第四节 平面向量的综合应用
关键能力·题型突破 题型一 向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC ＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
答案：C
(2)[2023·辽 宁 沈 阳 模 拟 ] 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ，
故选A.
微专题4 平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆
的圆心)．
(2)O是△ABC的内心⇔OA·( AB − AC )＝OB·( BA − BC )＝OC·( CA −
AB AC
BA BC
CA
CB )＝0.
CB
例4 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP＝OA＋λ( AB + AC )，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过
专题突破❺ 平面向量与三角形的“四心” 微专题1 平面向量与三角形的重心 (1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
△ABC的( ) ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ．内心 B．垂心 C．重心 D．外心
答案：A
题型二 向量与三角函数
例 2设向量a＝(cos x，sin x)，b＝( 3sin x，sin x)． (1)若a∥b，求cos 2x的值； (2)设函数f(x)＝(b－a)·a，x∈[－π，π]，求f(x)的零点．
题后师说 向量与三角函数综合问题的解法
解决平面向量与三角函数的交汇问题的关键：准确利用向量的坐标 运算化简已知条件，将其转化为三角函数问题解决．
第四节 平面向量的综合应用
关键能力·题型突破 题型一 向量与平面几何
例 1(1)在平行四边形ABCD中，M、N分别在BC、CD上，且满足BC ＝3MC，DC＝4NC，若AB＝4，AD＝3，则△AMN的形状是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形
答案：C
(2)[2023·辽 宁 沈 阳 模 拟 ] 如 图 ， 在 直 角 梯 形 ABCD 中 ， AD∥BC ，
故选A.
微专题4 平面向量与三角形的内心
(1)三角形的内心：三角形的三个内角角平分线的交点(三角形内切圆
的圆心)．
(2)O是△ABC的内心⇔OA·( AB − AC )＝OB·( BA − BC )＝OC·( CA −
AB AC
BA BC
CA
CB )＝0.
CB
例4 O是平面上一定点，A，B，C是平面上不共线的三个点，动点P 满足：OP＝OA＋λ( AB + AC )，λ∈[0，＋∞)，则P的轨迹一定通过
专题突破❺ 平面向量与三角形的“四心” 微专题1 平面向量与三角形的重心 (1)三角形的重心：三角形的三条中线的交点．
湘教版高考总复习一轮数学精品课件 第七章 平面向量、复数 第二节 平面向量基本定理及向量坐标运算
由已知得 =
3
2
2
,
3
+n =m +
3
2
+ = 1,
解得
4
+ 3 = 1,
4
3
=
3
,设 =m+n ,则 =m+n
4
=
.因为 D,F,C 三点共线,B,F,E 三点共线,所以
1
= 3,
1 故
= 2,
=
1
3
1
+ 2 .故选
考点三
平面向量共线的坐标表示
题组(1)(2023·湖北宜昌高三月考)已知向量 a=(1-sin
π
“θ=±4 ”是“a∥b”的(
设e1,e2是平面上两个
不共线
向量,则
(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y
是实数.
(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则
x=x',y=y'.
平面上不共线的两个向量e1,e2组成的集合称为平面上的一组
,
5
5
.
3√5 6√5
,或
5
5
解析 由于 a∥b,可设 a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ).又因为|a|=3,所以 2 + (2)2 =3,
解得
3√5
λ=± ,于是
5
3√5 6√5
a=( , )或
5
5
3√5 6√5
a=(- ,- ).
5
5
3
2
2
,
3
+n =m +
3
2
+ = 1,
解得
4
+ 3 = 1,
4
3
=
3
,设 =m+n ,则 =m+n
4
=
.因为 D,F,C 三点共线,B,F,E 三点共线,所以
1
= 3,
1 故
= 2,
=
1
3
1
+ 2 .故选
考点三
平面向量共线的坐标表示
题组(1)(2023·湖北宜昌高三月考)已知向量 a=(1-sin
π
“θ=±4 ”是“a∥b”的(
设e1,e2是平面上两个
不共线
向量,则
(1)平面上每个向量v都可以分解为e1,e2的实数倍之和,即v=xe1+ye2,其中x,y
是实数.
(2)实数x,y由v=xe1+ye2唯一决定.也就是:如果v=xe1+ye2=x'e1+y'e2,则
x=x',y=y'.
平面上不共线的两个向量e1,e2组成的集合称为平面上的一组
,
5
5
.
3√5 6√5
,或
5
5
解析 由于 a∥b,可设 a=λb=λ(1,2)=(λ,2λ).又因为|a|=3,所以 2 + (2)2 =3,
解得
3√5
λ=± ,于是
5
3√5 6√5
a=( , )或
5
5
3√5 6√5
a=(- ,- ).
5
5
2024年高考数学一轮复习(新高考版)《平面向量的综合应用》课件ppt
C.－38
D.－14
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
建立如图所示的平面直角坐标系，设P(x，y)， 则A(0,0)，B(1,0)，C(1,2)， 所以P→B＝(1－x，－y)， P→A＋P→C＝(－x，－y)＋(1－x,2－y)＝(1－2x,2－2y)， 故(P→A＋P→C)·P→B＝(1－2x)(1－x)＋(2－2y)(－y)＝2x－342＋2y－122－58， 所以当 x＝34，y＝12时，平面向量与复数
§5.4 平面向量的综合 应用[培优课]
题型一 平面向量在几何中的应用
例 1 (1)如图，在△ABC 中，cos∠BAC＝14，点 D 在线段 BC 上，且 BD ＝3DC，AD＝ 215，则△ABC 的面积的最大值为____1_5__.
设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， 因为 BD＝3DC，A→D＝14A→B＋34A→C， 又 AD＝ 215，cos∠BAC＝14， 所以A→D2＝14A→B＋34A→C2＝116c2＋196b2＋38bccos∠BAC ＝116c2＋196b2＋332bc，
试用
a，b
表示D→E为__32_b_－__12_a_，若A→B⊥D→E，则∠ACB
π 的最大值为___6___．
D→E＝C→E－C→D＝32b－12a， A→B＝C→B－C→A＝b－a， 由A→B⊥D→E得(3b－a)·(b－a)＝0，
即3b2＋a2＝4a·b， 所以 cos∠ACB＝|aa|·|bb|＝34b|2a＋||ba| 2≥24|3a||a|b|||b|＝ 23，
又145＝116c2＋196b2＋332bc＝41c2＋43b2＋332bc≥2×14c×43b＋332bc＝1352bc， 当且仅当c＝3b时，等号成立. 所以 bc≤8，又 sin∠BAC＝ 415， 所以 S△ABC＝12bcsin∠BAC≤12×8× 415＝ 15.
2020年高考数学一轮复习第四章平面向量第4讲平面向量的应用举例课件理
2，即所求的最大值为 2.故选 C.
方法二，因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，展开(a－c)·(b－c)＝0 后， 得|c|2＝c·(a＋b).由于 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故|a＋b|＝ 2.设〈a＋b，c〉＝θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cos θ. 当|c|≠0 时，|c|＝|a＋b|·cos θ＝ 2cos θ≤ 2，故|c|的最大值是 2. 故选 C.
结合二次函数的性质可知，当 λ＝14时，A→E·B→E取得最小值2116. 故选 A.
答案：A
图 D30
(4)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，
则B→D·C→D＝( )
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析：因为B→D·C→D＝B→D·B→A＝B→A＋B→C·B→A＝B→A2＋B→C·B→A＝ a2＋a2cos 60°＝32a2.故选 D.
r＝ 25，即圆的方程为(x－2)2＋y2＝45.
图 D32 A→P＝(x，y－1)，A→B＝(0，－1)，A→D＝(2,0). 若满足A→P＝λA→B＋μA→D，
则xy＝ －21μ＝，－λ.
即μ＝2x， λ＝1－y.
λ＋μ＝2x＋1－y.
令 z＝2x－y＋1，即2x－y＋1－z＝0，因为点 P(x，y)在圆
(5)(2016 年上海)如图 4-4-4，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0， －1)，P 是曲线 y＝ 1－x2上一个动点，则O→P·B→A的取值范围是 ______.
图 4-4-4
解析：由题意，设 P(cos α，sin α)，则O→P＝(cos α，sin α). 又B→A＝(1,1)，所以O→P·B→A＝cos α＋sin α＝ 2sinα＋π4∈[－1，
方法二，因为|a|＝|b|＝1，a·b＝0，展开(a－c)·(b－c)＝0 后， 得|c|2＝c·(a＋b).由于 a，b 是平面内两个互相垂直的单位向量， 故|a＋b|＝ 2.设〈a＋b，c〉＝θ，则|c|2＝c·(a＋b)＝|c|·|a＋b|cos θ. 当|c|≠0 时，|c|＝|a＋b|·cos θ＝ 2cos θ≤ 2，故|c|的最大值是 2. 故选 C.
结合二次函数的性质可知，当 λ＝14时，A→E·B→E取得最小值2116. 故选 A.
答案：A
图 D30
(4)(2015 年山东)已知菱形 ABCD 的边长为 a，∠ABC＝60°，
则B→D·C→D＝( )
A.－32a2
B.－34a2
C.34a2
D.32a2
解析：因为B→D·C→D＝B→D·B→A＝B→A＋B→C·B→A＝B→A2＋B→C·B→A＝ a2＋a2cos 60°＝32a2.故选 D.
r＝ 25，即圆的方程为(x－2)2＋y2＝45.
图 D32 A→P＝(x，y－1)，A→B＝(0，－1)，A→D＝(2,0). 若满足A→P＝λA→B＋μA→D，
则xy＝ －21μ＝，－λ.
即μ＝2x， λ＝1－y.
λ＋μ＝2x＋1－y.
令 z＝2x－y＋1，即2x－y＋1－z＝0，因为点 P(x，y)在圆
(5)(2016 年上海)如图 4-4-4，已知点 O(0,0)，A(1,0)，B(0， －1)，P 是曲线 y＝ 1－x2上一个动点，则O→P·B→A的取值范围是 ______.
图 4-4-4
解析：由题意，设 P(cos α，sin α)，则O→P＝(cos α，sin α). 又B→A＝(1,1)，所以O→P·B→A＝cos α＋sin α＝ 2sinα＋π4∈[－1，
2020届高考数学一轮复习第5章平面向量第25节平面向量的综合应用课件文
形成型·微题组
归纳演绎·形成方法
向量在平面几何中的应用
1．已知 O 是平面上的一定点，A，B，C 是平面上不共线的三个
动点，若动点 P 满足O→P＝O→A＋λ(A→B＋A→C)，λ∈(0，＋∞)，则点 P 的
轨迹一定通过△ABC
D．垂心
【答案】C
【解析】由原等式，得O→P－O→A＝λ(A→B＋A→C)，即A→P＝λ(A→B＋A→C)， 根据平行四边形法则，知A→B＋A→C是△ABC 的中线 AD(D 为 BC 的中 点)所对应向量A→D的 2 倍，所以点 P 的轨迹必过△ABC 的重心．
2．在平行四边形 ABCD 中，AD＝1，∠BAD＝60°，E 为 CD 的 中点．若A→C·B→E＝1，则 AB＝________.
【答案】12
【解析】在平行四边形 ABCD 中，取 AB 的中点 F， 则B→E＝F→D，∴B→E＝F→D＝A→D－12A→B， 又∵A→C＝A→D＋A→B，
∴A→C·B→E ＝(A→D＋A→B)·A→D－12A→B ＝A→D2－12A→D·A→B＋A→D·A→B－12A→B2 ＝|A→D|2＋12|A→D||A→B|cos60°－12|A→B|2 ＝1＋12×12|A→B|－12|A→B|2＝1. ∴12－|A→B||A→B|＝0， 又|A→B|≠0，∴|A→B|＝12.
微技探究 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法 把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标 表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解 决． (2)基向量法 适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构 造关于未知量的方程进行求解．
1.(2018 天津河西区一模)如图在平行四边形 ABCD 中，已知 AB
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4
4.如图，△ABC 的外接圆的圆心为 O，AB＝2，AC＝3，BC＝7，则 AO·BC＝
. 【解析】 AO BC ＝ AO ·( AC － AB )
＝ AO · AC － AO · AB ，
∵ OA ＝ OB ，
∴ AO 在 AB 上的投影为 1 | AB |， 2
∴ AO · AB ＝ 1 | AB |·| AB |＝2， 2
则 cos θ＝ a·b ＝cos αcos β＋sin αsin β＝ cos(α－β) ；
－＝＋k(kZ)
此时，a⊥b cos(α－β)＝0
2
；
a∥b sin(α－β)＝0 α－β＝kπ(k∈Z) ．
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2
1.已知向量 a=(cos75°，sin75°)，b=(cos15°，sin15°)，那么|a－b|的值是（ ）
同理 AO · AC ＝ 1 | AC |·| AC |＝ 9 ，
2
2
故 AO · BC ＝ 9 －2＝ 5 .
2
2
【答案】 5 2
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5
5.（2014·昆明质检)在直角三角形ABC中，∠C＝ ， AC＝3，取点D使BD＝2DA，那么CD·CA= . 2
【解析】如图，CD＝CB＋BD，
又∵BD＝2DA，
∴CD＝CB＋ 2 BA＝CB＋ 2 （CA－CB)，
即CD＝ 2
3
CA＋
1
CB.
3
3Байду номын сангаас
3
∵∠C＝ ，∴CA·CB＝0，
2
∴CD·CA＝ 2CA 1CB
＝6.
3 3
＝
2 3
CA2＋ 1 CB·CA
3
【答案】6
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6
平面向量与三角函数的计算
以平面向量为载体，进行三角函数计 算．求解这一类问题时，除了正确运用平面向 量的运算(如线性运算或数量积计算等)外，还 需要灵活运用好三角函数中的有关公式．
1.已知
a＝sin
α，32，b＝cos
α，13，α∈R.
(1)若 a⊥b，求实数 α 的值；(2)若 a∥b，试求2ssiinnαα－＋ccoossαα的值；(3)求|a＋b|的取值范围．
【解析】 (1)由 a⊥b，∴a·b＝0，即 sin αcos α＋32×13＝0，
∴12sin 2α＋12＝0，即 sin 2α＝－1，∴2α＝2kπ＋π(k∈Z)，即 α＝kπ＋π2(k∈Z)． (2)由已知13sin α－32cos α＝0，∴tan α＝92，∴2ssiinnαα－＋ccoossαα＝2ttaannαα－＋11＝270.
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11
建立了平面向量与三角函数之间的联系．
【思考探究】平面向量与三角函数的这种联系的意义何在？
提示： 使得可以将平面向量知识与三角函数知识相综合命题，使得可以以
平面向量为工具来研究三角函数的性质．
ppt精选
1
2．平面向量的数量积与三角函数
设 a＝(cos α，sin α)，b＝(cos β，sin β)，<a，b>＝θ，
(3)∵a＋b＝sin α＋cos α，161，∴|a＋b|＝ （sin α＋cos α）2＋13261＝ 13567＋sin 2α，
∵－1≤sin 2α≤1，∴161≤|a＋b|≤ 1693即为所求范围．
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平面向量与解三角形
平面向量运算的几何意义，决定了平面向量与三角形有着密切 的联系，因此在三角形中结合向量知识命题成为高考命题中的 一种常态．求解此类问题时，注意向量语言和向量条件的转化， 一般解题的落脚点还是正弦定理、余弦定理及三角变换的应 用．
的投影为－4，则 sin 2θ＝( )
A．－ 3
B.
3 2
C．－12
D．－
3 2
【解析】 由已知|a|cos θ＝－4，∴cos θ＝－12，注意到 0≤θ≤π，∴sin θ＝ 23，∴sin 2θ＝2sin θcos
θ＝－ 23，即正确选项为 D.
【答案】 D
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3.设非零向量a，b，c满足|a|＝|b|＝|c|，a＋b＝c，则向量a，b 的夹角为（） A.150° B.120° C.60° D.30° 【解析】如图，作AB＝a，BC＝b， 由三角形法则，可知a＋b＝AC＝c， 又|a|＝|b|＝|c|， 所以△ABC是一个等边三角形， 故∠B＝60°，〈a，b〉＝180°－60°＝120°. 【答案】B
4.4 平面向量的综合问题
1．平面向量与三角函数 设向量 a，若将其起点平移至原点，得到向量O→P，此时点 P 的坐标就是向 量 a 的坐标，若设 P(x，y)，以原点为顶点，Ox 的非负半轴为始边，OP 为终
边的一个角为 θ，则 P 点到原点的距离为 |OP|r x2y2 ，此时 P 点的 坐标为 (rcosθ，rsinθ) ，从而 a＝O→P＝(rcos θ，rsin θ)．这一表达式帮助
A． 1 2
B． 2 2
C． 3 2
D．1
【解析】 |a－b|2=(a－b)·(a－b)=a2－2a·b+b2=1－2cos(75°－15°)+1=1,所以|a－b|=1．
【答案】 D 2．(2010·黄冈中学)e 是单位向量，向量 a 与 e 的夹角是 θ，若|a|＝8，且向量 a 在 e 的方向上
∴|b+c|2=cos2A+cos2C=1+ 1 (cos2A+cos2C)=1+ 1 ［cos2A+cos2( 2 －A)］
2
2
3
1
=1+
cos(2A+
),∵0<A<
2
，∴
<2A+
<
5
，
2
3
3 3 33
∴－1≤cos(2A+ )<12，∴可得
2 ≤|b+c|<
5
.
3
2
2
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【变式训练】
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已知向量 a=(2,2)，向量 b 与向量 a 的夹角为 3 ，且 a·b=-2. 4
（1）求向量 b；
C （2）向量 c=(cos A, 2cos2 2 ），其中 A、C 是△ABC 的内角， 若三角形的三内角 A、B、C 依
次成等差数列，且向量 b 与 x 轴垂直，试求|b+c|的取值范围．
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【解析】
(1)设 b=(x,y),
则
2x+2y=－2,且|b|=
a
ab cos 3
1
x2 y2 ．
4
∴解得
x y
1
或
0
x
y
0
,b=(－1,
1
0)或
b=(0,－1)；
(2)由题意得 B= ，∵b⊥x 轴， ∴b=(0,－1)， 3
C ∴b+c＝(cos A, 2cos2 2 －1)=(cos A, cos C)，