黄克智版张量分析习题解析
合集下载
02张量分析
1.矢量场的旋度 令 a aP 是位置矢量P的矢量值函数，于是 aP 的左旋度 curla 定义为
Tik ek x i
divTk
类似地，二阶张量场 T TP 的右散度 d ivT 定义为
T i Tik ik Tik ,i xi
d ivT T
(2.2.19)
ij
a j xi
ai i ai xi
18
显然
a1 a 2 a3 x1 x 2 x3
(2.3.03)
但在T为对称张量的情况下， divT divT ，现证明如下：
divT
diva d iva
因此，今后我们对于矢量场的左散度和右散度不加区别，统一地记为
16
dQ T dQ Q Q dt dt
由式(1.9.10)知
(2.1.11)
dQ dQ T Q Q dt dt
于是
T
T
(2.1.12)
dQ T dQ T dt Q dt Q
所以
2.1
标量的张量值函数的导数
设 T Tt 是标量t(例如时间)的张量值函数。T对t的导数由下式定义：
dTij dT dT 的分量 给出。 由T的分量的导数 dt dt dt ij de 事实上，因为 Tij e i T e j ，又因 i 0 ，故有 dt dTij d ei T e j dt dt dT ei e j dt dT dt ij
(2.2.09)
f i
于是f的微分可写成
f x i
(2.2.04)
df f P dP f P f dx xi i
张量分析第三章
s′ r′
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
s′
t′
a⋅⋅ p′q′r′
s ′r ′
设一个五阶混合张量 a⋅⋅ lmn , 令n=j时, 则 证：
ij
a⋅⋅⋅lmj = a⋅lm
ij i
是一个三阶张量
l m n
a
s ′t ′ ⋅⋅ p′q′r ′
设 t' = r' 并求和:
∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ij = i a j p′ q′ r ′ ⋅⋅lmn ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x
3
1′
2′
a1=xy=x1x2 a2=2y-z2=2x2-(x3)2 a 3= x 1x 3
3 2 2′ 1 3
= (sin x 2′ cos x3′ )( x1 x 2 )
2′ 3′ 2
+(sin x sin x )(2 x − ( x ) ) + (cos x )( x x )
= (sin θ cos ϕ )(r 2 sin 2 θ sin ϕ cos ϕ )
j
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
1
1′
2′
x =x
则
1
3
3′
2 3
∂x ∂x ∂x a1′ = 1′ a1 + 1′ a2 + 1′ a3 ∂x ∂x ∂x
x = x cos x 2 1′ 2′ x = x sin x
则
1
1′
2′
x =x
1
3
3′
2 3
a1 = 2x1 - x3 , a 2 = ( x 1) 2 x 2 , a3 = x2 x3 ,
3
1′
2′
∂x ∂x ∂x a3′ = 3′ a1 + 3′ a2 + 3′ a3 ∂x ∂x ∂x 2 3 = x x = ρ z sin ϕ
黄克智版张量分析 习题解析
因为 detU≠0，所以 vx=vy=vz=0 是唯一零解，即：v=0。
1.4 已知：矢量 u，v，求证： u v u v
证明： u v u v sinu,v u v
1.5 求证： a b 0 a，b 线性相关。
证明： 即
i jk a b ax ay az
bx by bz
aybz azby i azbx axbz j axby aybx k 0
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×D) －D(A·B×C)
证明：
i jk
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k
2
ui u j gij , vi v j gij
uu12 u3
g11 g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
u1 u 2 u 3
ห้องสมุดไป่ตู้
2 1 1
1 2 1
1 2 6
1231
7 3
v1 g11
v2 v3
g21 g31
g12 g22 g32
g13 g23 g33
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j BxDy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
弹性力学张量分析学习—对于初学者很有用
ei ej＝ ij
34
符号ij 与erst
当三个基矢量ei , ej , ek 构成右手系时，有
ei e j eijk ek
而对于左手系，有：
ei e j eijk ek
e3
e1 e1
e3 e2
e2
35
符号ij 与erst
2. 矢量的点积：
a b (a j e j ) (bk ek ) a j bk (e j ek ) a j bk jk a j b j ak bk
Advanced Mechanics of Composite Materials
补充材料 : 张量分析初步
1
目 录
引言
张量的基本概念，爱因斯坦求和约定
符号ij与erst
坐标与坐标转换
张量的分量转换规律，张量方程 张量代数，商法则 常用特殊张量，主方向与主分量 张量函数及其微积分
描述一些复杂的物理量需要二阶（或高阶）张量；
低阶张量的梯度； 低阶张量的并积； 更高阶张量的缩并，等。
张量基本概念
应力张量
张量基本概念
张量的三种记法：
实体记法：
分解式记法：
11e1e1 12e1e2 13e1e3 + 21e2e1 22e2e2 23e2e3 + 31e3e1 32e3e2 33e3e3
31
符号ij 与erst
erst 符号 (排列符号或置换符号，Eddington)
定义(笛卡尔坐标系)
1 erst 1 0
当r, s, t为正序排列时 当r, s, t为逆序排列时 当r, s, t中两个指标值相同时
张量分析书籍附详尽易懂
n个
称为n维仿射空间。E n 中旳每一种元素称为点。
记：
o (0, ,0),
x (x1,, xn ) ,
(x1, , xn )
且分别称为放射空间旳原点、位置矢量和负矢量。
对于n维仿射空间，全部旳位置矢量构成一种集合：
V0 x (x1,, xn ) xi , xi F,1 i n
(1 t)(1,1) t(1,1) a t b
(1 2t,1 2t) a t b
当 t b 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
当 t a 时：
(2t 1,2t 1) (1,1)
由此可得 a 0 ，b 1 。显然 r1 等 r2 价。
r1 与 r5 ： (取 s b5 b1 )
域上旳矢量空间。且仍记为V0 。
数域上旳矢量空间V0 具有如下性质：x, y, z V0 ,、 F
（1）
x yyx
（2）
(x y) z x ( y z)
（3）V0中存在称为有关加法旳单位元素o，使得：
xo x
x V0
（4）V0中每一种元素x都存在唯一旳(-x )，使得：
x (x) o
当t=b时：位置矢量标
定b点。即：
S
(4b 2,3 2b) (2,1)
由此拟定b=1 。
x2
当t=a时：位置矢量标
3
2
定a点。即：
1
(4a 2,3 2a) (1,1.5 )
由此拟定a=0.75 。
图中画出了计算成果 。
x2 3
2 u ab
1
2 (a)
u xy
x1
4
6
u xy u ab
1
2
。 Vx空间中旳矢量称为约束矢量。
张量分析提纲及部分习题答案
y
对静止的连续介质，有
ζ n fd 0 ， ζd fd 0 ，
A
ζ f 0。
（21） 证明应力是一个张量； 记 ij ：表示在给定基 g i 下，在面 g j 上，单位面积受力 F j 在 g i 方向上的分量为
对斜圆锥面上任一点 （图中黑点处） ， 不难由相似三角形得到，
z z R cos C i R sin j zk ，进而可得， H H r Rz sin zR cos r R cos C R g i j， gz i sin j k ， H H z H H r
dx g dx I g dx II 1 4 x I 2 dx I 6 x I x II 2 dx II Pdx I Q dx II 11 12 1 1 I 。 2 4 dxII g 21dx I g 22 dx II 6 x I x II dx I 9 x II dx II P2 dx I Q2 dx II
Pi Qi 时，坐标 xI , xII 才可能存在。即向量场 P, Q 无旋时，其在两点间 x II x I Pi Qi 的路径积分与路径无关，积出的值就是坐标。本例中， II I ，故相应的“协 x x
当 变坐标”不存在。 （正因为如此，坐标也没有逆变、协变之说。 ） （9） 有点类似曲面第一基本型（1.3.12） 。 （10） Lame 常数定义（1.3.13）在非正交系中也成立，但此时（1.3.12a）不成立。
1.9-1.13：略； 1.14： 注意，所谓斜圆锥是指， O 点沿 z 方向在大圆平面上的投影 M 在大圆的直径上。
张量分析(最后附题目)
●
矢量微分元
线元，面元，体元v v v v 例： ∫ F ⋅ dl , ∫ B ⋅ dS , ∫ ρ dV
v v 其中：dl , dS dV 称为微分元。
v dl
v dS
A.直角坐标系 在直角坐标系中，坐标变量为(x,y,z)，如图，做一微分体元。 v v r r 线元： dlx = dxa x 面元： dS x = dydzax v v r r dS y = dxdza y dl y = dya y v r v r dS z = dxdyaz dlz = dzaz v r r r 体元： dV = dxdydz dl = dxax + dya y + dzaz
（对各向同性、线性电介质） 电极化率，表征了电介质的性质 r r 对各向异性、非线性电介质， 并不和 E 简单成正比， P 其方向也不一定平行，“电极化率”不是一个简单的数。 r r r P 当 E 不太强时， 和 E 的对应关系仍然是线性关系， 可以用分量表示为：
r r ∑ pi 单位体积内所有分子 电极化强度矢量：P = 的电偶极矩矢量和 ΔV r r P = αE
直角坐标系（笛卡尔坐标系:Cartesian coordinates ） 右手坐标系： r 如果由 e1按右手螺 r r 旋旋转到 e2 可以得到 e3 左手坐标系： r 如果由 e1按左手螺 r r e2 e3 旋旋转到 可以得到 b .矢量不变特性
r e3
r e1
r e2
r e3
r e1
r e2
α ϕ x
β
ρ
cosα = (x/r) cosβ = (y/r) cos γ = (z/r) cos2α +cos2β +cos2 γ = 1
张量分析作业答案
张量分析作业1.2题 证明：()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()C B AD D B A C D C B A U B A D C B A D C A B U B A U A B B A U A B U BA U AB U B A U B A DC wv u v w u w v u U D C B A D C D C B A ⨯∙-⨯∙=⨯⨯⨯=⨯⨯∙-⨯∙=∙-∙=∙+∙-∙+∙-=⨯⨯-=⨯⨯⨯-∙-∙=⨯⨯=⨯⨯⨯⨯-=⨯⨯⨯令同理可证得：利用点积交换律得：得：，利用公式设1.5 求证：0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
证明： a b ⨯=xy z xy zij ka a ab b b =()()()0y z z y z x x z x y y x a b a b i a b a b j a b a b k -+-+-= ∴i j j i a b a b =即i ji ja a kb b == i i a kb = i j k i j k k k k a i a j a k b i b j b k ∴++=++即k =a b ,a b ∴线性相关 同理可证 当,a b 线性相关时，0a b ⨯= ∴0a b ⨯=⇔,a b 线性相关。
1-7解：c mb a =+ ()1,2,3c =()2,,2mb m m m =- (),,a x y z =22021223x y z m x m y z m +-=+=+=-=解得1320234,,,9999x y z m ====-132023999a i j k =++1.8 试求线元d kx 的长度d k s 。
解：d d d d =d d d k ki k k ki i i x g x x x g r g r r δ=⇒==⇒1.10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1-10、解：（1）由公式g 1=g1(g 2×g 3)g 2=g 1(g 3×g 1)g 3=g1(g 1×g 2)又g =[g 1 g 2 g 3]=k ×i ·j ，得g 1=j i k jk i k j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 2=j i k kj k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯g 3=ji k jk k i j i ∙⨯⨯+⨯+⨯（2）g rs =323121g g g g g g g g s r ∙+∙+∙=⨯=()()()()()()j i k i j i k j k i k j +∙+++∙+++∙+ =222j k i ++1.17求：题1.13所示圆柱坐标和球坐标i x ,与笛卡尔坐标j x '的转换系数'i j β与'j i β。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
i jk
C D Cx Cy Cz Dx Dy Dz
Cy Dz Cz Dy i Cz Dx CxDz j CxDy Cy ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx k
i jk B C Bx By Bz
Cx Cy Cz
ByCz BzCy i BzCx BxCz j BxCy ByCx k
Ax Cy Dz Cz Dy Ay Cz Dx CxDz Az CxDy Cy Dx
Bxi By j Bzk
Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx CxDz Bz CxDy Cy Dx
Axi Ay j Azk
Bx Ay Cz Dx CxDz Az CxDy Cy Dx Ax By Cz Dx CxDz Bz CxDy Cy Dx i By Ax Cy Dz Cz Dy Az CxDy Cy Dx Ay Bx Cy Dz Cz Dy Bz CxDy Cy Dx j Bz Ax Cy Dz Cz Dy Ay Cz Dx CxDz Az Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx CxDz k
1.1 求证：u×(v×w)=(u·w)v－(u·v) w 并问： u×(v×w) 与 (u×v)×w 是否相等？u，v，w 为矢量。
证明：
i jk
v w vx vy vz wx wy wz
vywz vzwy i vzwx vxwz j vxwy vywx k
i
j
k
u v w ux
1.3 求证矢量的非退化性。即：若矢量 v 与它所属的矢量空间 中的任意矢量 u 都正交，即：u·v=0，则矢量 v=0。
证明：因为 u 为任意，所以可取 u1，u2，u3，使得
u1x u1y u1z det U u2x u2 y u2z 0
uy
uz
vy wz vz wy vz wx vxwz vxwy vy wx
uy vxwy vywx uz vzwx vxwz i uz vywz vzwy ux vxwy vywx j ux vzwx vxwz uy vywz vzwy k
uyvz uzvy i uzvx uxvz j uxvy uyvx k
i
j
k
u v w uyvz uzvy uzvx uxvz uxvy uyvx
wx
wy
wz
wz uzvx uxvz wy uxvy uyvx i wx uxvy uyvx wz uyvz uzvy j
i jk B D Bx By Bz
Dx Dy Dz
By Dz Bz Dy i Bz Dx BxDz j Bx Dy By Dx k
i
A B C D Ay Bz Az By
Cy Dz Cz Dy
j Az Bx Ax Bz Cz Dx Cx Dz
k Ax By Ay Bx Cx Dy Cy Dx
A • C D Ax Cy Dz Cz Dy Ay Cz Dx Cx Dz Az Cx Dy Cy Dx B • C D Bx Cy Dz Cz Dy By Cz Dx Cx Dz Bz Cx Dy Cy Dx
BA • C D AB • C D
A • B D Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx Bx Dz Az Bx Dy Cy Dx A • B C Ax ByCz BzCy Ay BzCx BxCz Az BxCy ByCx
CA• B D DA• BC
Ax By Dz Bz Dy Ay Bz Dx BxDz Az Bx Dy By Dx
Cxi Cy j Czk
Ax ByCz BzCy Ay BzCx BxCz Az BxCy ByCx
Dxi Dy j Dzk
Cx Ax By Dz Bz Dy Bx Az Dy Ay Dz Dx Ax ByCz BzCy Bx AzCy AyCz i Cy Ay Bz Dx BxDz By AxDz Az Dx Dy Ay BzCx BxCz By AxCz AzCx j Cz Az BxDy By Dx Bz Ay Dx AxDy Dz Az BxCy ByCx Bz AyCx AxCy k
wy uyvz uzvy wx uzvx uxvz k
uv w uv w
1.2 求证： (A×B) ×(C×D)=B(A·C×D) －A(B·C×D) =C(A·B×D) －D(A·B×C)
证明：
i jk
A B Ax Ay Az Bx By Bz
Ay Bz Az By i Az Bx AxBz j AxBy Ay Bx k
uy vxwy vywx uz vzwx vxwz i uz vywz vzwy ux vxwy vywx j ux vzwx vxwz uy vywz vzwy k
uv w u • wv u • vw
i jk
uv ux uy uz vx vy vz
u • wv uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk
u • vw uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk
u • wv u • vw
uxwx uywy uzwz vxi vy j vzk uxvx uyvy uzvz wxi wy j wzk