赋范线性空间中强增生算子方程的迭代解

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应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解

i1 1 i i
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4

带误差的Ishikawa迭代程序的收敛性及其应用

这些结果推广或发展了包括文献［ —７、９—１］１］［３在内的近期许多相关的结果．
＝（１一口）＋ｎＤ＋，ｎ≥ ０，
式中｛。｝｝。［，）ｎ｝和为０１中满足某些条件的实
数列；｛
。｛｝：为中满足某些条件的实与ｕ。Ｉ＿：。）（，
序列，通常为两可和序列。或｛
ｌ｛ｕＩ【” ．ｉｍ＿０ｓ
１定义和引理
设为一实赋范线性空间，是的对偶空
显然，ｉ）（Ｅ含熟知的ｌｉｗ迭代程序和ｍｍＳｓｋａｈａ迭代程序的特例．
关键词：强曲压缩算子；强增生算子；带误差的Ｉｉａａｓｋｗ迭代程序；定性ｈ稳分类号：中图）７１（９１ＭＲ４Ｈ９４Ｈ０４Ｈ１（Ｏ１７９；１９）７０，７１，７７文献标识码：Ａ
非线性算子迭代程序的收敛性是非线性分析中研
间，正规对偶映射Ｊ：２定义为一
究的热点之一，中关于用ｌｉｗ迭代程序逼近其ｓｋａｈａＬｐｃｉ强增生算子的方程解和Ｌｐｃｉｉｓｔｈｚｉｈｔｓｚ强伪压缩算子的不动点的方法已为许多学者所研究 “ 由于迭 “
代过程往往是非精确的，时常存在误差，故因而，研究
２
宁夏大学学报（自然科学版）ｘｊ‰ 一ｑ【ｊｊ＋Ｌｊｊ＋２Ｌ
的ｌｉａａ迭代程序逼近Ｌｐｃｉ强伪压缩算子的ｓｋｗｈｉｈｚｓｔ

《实变函数与泛函分析基础》第二版程其襄第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)

第十章巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。

证明必要性。

若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。

若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。

令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。

对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。

因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。

由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。

f 显然满足条件（1）和（2）。

证毕。

2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。

证明记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。

在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。

其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。

强伪压缩算子和强增生算子方程迭代的稳定性

Ｉｉｗ迭代过程的稳定性，ｓｋａｈａ并给出了含强增生算子的非线性方程解带误差的Ｉｉｗ迭代过程的稳定ｓｋａｈａ
性。结果是Ｏｉｋ，ｅｇＣｉｕ，ｅｇ以及Ｌｕ的相关结果的改进和推广：ｓｉｅＺｎ，ｈｄｍｅＤｎｌｉ
设ｘ为一实Ｂｎｃａａｈ空间，是它的对偶空间，
上的恒等算子。引理１ “ 设｛｝｛是非负实数列，ｎ％，ｂ｝满足％＋ ≤
０＋ｂ， ≥０女果０≤ ≤ １ｌ＝０贝ｌ＝０ｔｔ＇，口，ｍｂｉ，４ｉｍａ。
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２００２年５月
重庆大学学报
（自然科学版）
Ｖ０．５Ｎｏ．１２５Ｍａ２０２ｙ．Ｏ
第２５卷第５期
ＪｕｎｌｆｈｎｑｇＵｉｒｔ（ａｒｃｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏＣｏｇｉｎｖｓｙＮｔａＳｉｃｄｔｎｎｅｉｕｌｅｉ
＜ｘ—ＡＪ —Ｙ）≥ ０Ａｙ，（）（）１
算子Ａ：Ａ）ｃＸ— 称为强增生的，果对Ｄ（如
一
（）４
切的，Ｙ∈ Ｄ（，在Ｊ —ＹＡ）存．（）∈ Ｊ —Ｙ及常（）（ｘ—ＡＪ —Ｙ）≥ ｋｌ —ＹｌＡｙ，（）ｌ１
＝／（）且｝｝Ｔ，，收敛到７的不动点１
是中任一序列，Ｅ＝Ｉ令ｌ
一（Ｔ，
）ｌ如果ｌＥ＝０有ｌＹ＝ ’ 则称迭代过程Ｉ。ｉａｒ，ｉ，ａｒ

迭代法求解增生算子扰动方程

对任意， ∈Ｄ（，在 ≥ ０使得不等式ＹＣ）存，
『 ≤ 一．ｃ —ｃ『『ｙ『
成立．ｋ称为Ｌｐｃｉｉｓｈｔ数．别地，Ｏ ≤ １则ｚ常特若 ≤ ，Ｃ称为非膨胀映射；Ｏ１则Ｃ称为严格压缩若 ≤ ＜，
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第１１卷第４期
２＇２年ｌ月０）２
淮
海
工
Байду номын сангаас学院
学
报
Ｖｏ１１．１
Ｎｏ．４
ＪｕｎｌｆＨｕｉａｎｔｕｅｏｃｎｌｇｏａａｈｉＩｓｉｔｆＴｅｈｏｏｙｒｏｔ
Ｄｅｃ．２００２
文章编号：０ — ４９２０）４００－４１８３９（０２０ — ０１００
迭代法求解增生算子扰动方程
李育强，隋福利
（海工学院基础科学系．苏连云港２２０）淮江２０５
Ａｂｔａｔ：ＡｎｉｅａｔｖｅｈｏｉｅｉｓｒｃｔｒｉｅｍｔｄｓｄｓｇｎｅｏａａｃｔｓｋａａｔｒｔｏｎｄｏｌｐｒｕｂｄｄｔｄｖｎｅｈｅＩｈｉｗｉｅａｉｎａｓｖｅｅｔｒｅｅａｔｏｏａｃｅｉｅｐｅａｏｓＯｂｔｉｎａｉｅａｉｅｐｏｍａｉｎｏｔｓｕｔｏｎｏｈｑｕｉｎｓｆｃｒｔｖｏｒｔｒ．ａｎｉｇｎｔｒｔｖａｐｒｘｉｔｏｆｒｈｅｏｌｉｔｔｅ

φ-强增生算子方程的迭代解

一０满足对任意－Ｄ（，．ｒ∈ 丁）ｑ∈ Ｆ（，在Ｊｚ— ｇ丁）存（）∈ Ｌ（厂ｚ— ｇ，）使
如果对Ｖ，Ｙ∈ Ｄ（’（Ｙ代替ｇ有上式成立，丁称为一强伪压缩算子，取（）一ｋ，Ｊ）用７）则若ｆｔｋ∈ （，Ｏ
基金项目：宁省教育厅科研基金资助项目（：０５２）辽Ｎｏ２０００．
作者简介：树义（９０）男，授，事非线性泛函分析教学科研工作张１６一，教从
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—
称为一半压缩算子，如果Ｆ（非空且存在严格增加函数：［，ｏ）［，ｏ）且（）丁）Ｏ十ｏ一Ｏ＋。，Ｏ
（Ｔｘ一丁ｇｊｘ— ｇ＞，（） ≤ ＩＩｚ— ｑＩ一（Ｉ — ｑＩ）Ｉ — ｑＩ。。ＩＩＩＩＩ
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第２９卷第３期
２００８年９月
渤海大学学报（自然科学版）
ＪｕｎｌｆＢｈｉｎｖｒｉｙ（ｔｒｌＳｉｎｅＥｉｏ）ｏｒａｏａｉｅｓｔＮａｕａｃｅｃｄｔｎｏＵｉ
厂有解。称为强增生的，丁若对Ｖｚ，Ｙ∈ Ｄ（，在ｊｘ— ）∈ Ｊｘ— ）使（ｘ一丁ｊｘ— ） ≥ 丁）存（（，Ｔ，（）ｋｌｚ—Ｙｌ对某个常数ｋ＞０Ｔ是强增生的当且仅当是（ｌｌ．丁一ｋ）生的。映象Ｔ：丁）Ｘ— ，Ｉ增设Ｄ（

关于Lipschitz强增生算子迭代程序的稳定性问题

关于Lipschitz强增生算子迭代程序的稳定性问题
金茂明
【期刊名称】《贵州大学学报（自然科学版）》
【年(卷),期】2002(019)004
【摘要】本文在一般的Banach空间中讨论Lipschitz强增生算子方程解和严格伪压缩算子不动点迭代程序的一类新的稳定性问题,推广和改进了近期的相关结果.【总页数】6页(P297-301,305)
【作者】金茂明
【作者单位】涪陵师范学院数学系,重庆,涪陵,408003
【正文语种】中文
【中图分类】O177.91
【相关文献】
1.Lipschitz强增生算子方程解的Ishikawa迭代逼近 [J], 曾六川
2.Lipschitz强增生算子的非线性方程解的迭代逼近 [J], 曾六川;刘瑞娟
3.Lipschitzian强增生算子方程解的带误差迭代逼近 [J], 胡雁玲
4.Lipschitz强增生算子方程逼近解的带误差的Ishikawa迭代程序 [J], 曾六川
5.L_p（1＜P＜2）空间中Lipschitz强增生算子的迭代程序 [J], 刘理蔚
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关于强增生算子方程解的迭代逼近

引理１设｛，：满足Ｐ１（Ｐｏ｝ ≤ １一ｒ），＋ＳＷ其中Ｐ０， ≥ ０Ｖ ≥ ０，Ｐ，＋， ≥ Ｓ，，
收稿日期：０２—０２０２—２３作者简介：改然魏学士讲师
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述两个不等式知，是严格伪压缩的，Ｔ当且仅当Ｊ— Ｔ是强增生的（表示恒等算子）ｊ。
近年来，多人对方程解的Ｉｈｋｗａ迭代逼近条件进行研究，如：ｈｄｍｅ¨，立许ｓｉａ例ＣｉｕＣ刘
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第１９卷第３期２０年８月０２
河北省科学院学报
ＪｕｎｌｆｔｅＨｅｅａｅｆＳｉｎｅｏｒａｏｈｂｉＡｃｄｍｙｏｃｅｃｓ
Ｖｏ１１．９Ｎｏ．３Ａｕ２０ｇ．０２
ｓｉｓｕｔ．
ＫｅｗｏｄｓＢａａｈｓｃ；ｒｎｙａｃｅｉｅ；ｒｃｌｅｄｏｔａｔｖｐｒｔｒＩｈｋａｔｒ — ｙｒｎｃｐａｅＳｔｏｇｌｃｒｔｖＳｔｉｔｙｐｓｕｏｃｎｒｃｉｅｏｅａｏ；ｓｉｗａｉｅａ
第３期
魏改然：于强增生算子方程解的迭代逼近关
１９３
≥ ≥ｏａｎｙｎ＿＋ ∞ ）
—
．０Ｖ（
ｓｎ＜＋ ∞ ，ｌｍＰｎ＝０。￣ｉ］１
一
２主要结果
定理１设Ｔ：一．是强增生算子且在Ｘ的任何有界子集上是一致连续的，意给定厂．７Ｃ７Ｃ任

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ｆ一ｆ
一
２Ｈ，（＋（Ｊ一＿一
≤ｌｌ
・
ｌ一２ｌ＋ｌａｌ１一
ｌ＋ｌ一
引理１２．
设｛ｏ
，ｂ｝．｛｝是三个非负实数列，足条件，在正整数ｎ，｛和；满存。
当ｎ≥ｎ时，６ ≤（＋ｂｏｎ其中 ∑ ｂ＜，ｃ， … 存在０有ｌ１＋Ｃ，） ∑ ＜则ｉｍ
，
Ｙ∈ Ｄ（）存在（ —ＹＡ，）∈ ． —Ｙ，足，（）满
（ｘ—Ａ，（ —Ｙ）≥ ｋＩ —ＹＩＡｙ）Ｉ
其中的ｋ称为４的强增生常数．
（．）１１
２００２年ＣｉｕｅＣＥ与Ｚｇｙ在一般赋范线性空间研究了强增生零点的最速下降法的ｈｄｍｅｅｅＨ逼近问题．近，小玲，理蔚证明了如下结果：最李刘
赋范线性空间中强增生算子方程的迭代解
张树义
（渤海大学数学系，锦州１１０）２００
Hale Waihona Puke 摘要：在去掉｛，）｝界的条件下，实赋范线性空间中研究了强增生映象零点的最速下降法（～有在的迭代逼近问题，而改进和发展了近期的相关结果．从
第ｌ卷第１２期２０１０年３月
应用泛函分析学报
ＡＣＴＡＡＮＡＬＩＵＮＣ０ＮＡＬＳＡＰＰＩＡＴＹＳＳＦＴ１ＩＬＣＡ
Ｖ０１．１２Ｍａｃｒｈ，
Ｎｏ．１２００１
文章编号：１０ —３７（０００．０５００９１２２１）１０７ —４
一ＯＡ一ｎｌｘｎ一
ｊＪ））））
≤ｌ一ｌ
＝
ｌ一２Ａ＋一）ｌａ（ｘ，（。）一２Ｍ，（＋ — （Ｊｌｆｆ。一２＋ａ＜１一Ａ】＋Ａ～Ａ，（＋一ｘ＋Ｊｌ））＋２ｌＡＩ—Ａ，ｌａｌｘ＋ｘｌｉｌ
．）＝｛，（ｆ∈ Ｅ（ｆ；，）＝ＩＩ＝ｌｌ｝｝ｌ１。厂】
．
其中（，）示Ｅ和Ｅ的广义对偶组．・・表
定义１１映象４：４）ｃＥ一Ｅ称为强增生的，果存在常数 ∈ （，）使得对任给的。Ｄ（＋如０１，
引理：
＝
一Ａ一ｕｘ强收敛于强增生算子方程Ａｘ＝０的唯一解．此需要如下两个为
引理１１．
设Ｅ是赋范线性空间，，一２是正规对偶映象，Ｖ，．：则Ｙ∈ Ｅ，有
Ｉ＋Ｙｌ ≤ ｌＩ＋２Ｙ，（＋Ｙ）Ｖ＋ＹＩｌＩ（），（）∈ ．＋Ｙ，（）
～Ｉ一ｌ ‘ 一
收稿日期：２０ —４２０８０ —４
基金项目：宁管教育厅科研资助项日（０５２）辽２０００
７６
应
用
泛
函
分
析
学
报
第ｌ２卷
２主要结果
定理２１设Ｅ是赋范线性空间，Ｅ— Ｅ是强增生映象，．Ａ：
。
为Ａｘ：０的唯一解．对任给
∈ Ｅ，定义带误差的最速下降迭代序列ｔ｝如下
＋ｌ＝一ａＡ一 “ Ｉｘ，ｔ１，≥ （１２．）
其中｛｝。一实数｛｝。ａ为非负列，“ 为Ｅ中的列，足 ∑ ａ；序满：∞，ｆ＜． ∑ ｆｆ若ｆｕ
定理Ａ
设是赋范线性空间，４ — 是强增生映象，，：
为Ａｘ＝０的唯一解．任给・对
∈ Ｅ，义序列｛｝下定如
其中｛｝一正实序列，ａ为满足０＜ｈ≤ ａ＜１，则｛｝收敛于强
ａ：．若Ｉｘ｛一ＡＩ一０ｎ— ）Ａ＋ｊ（，
关键词：赋范线性空间；增生映象；速下降法强最中图分类号：Ｏ１７９７．１
’
１引言与预备知识
设Ｅ是一实赋范线性空问，Ｅ是Ｅ的对偶空间，规对偶映象．：一２定义为正，Ｅ
ＩＡ一１一０ｎ— ｏ）则｛｝收敛于（Ｊｏ，强．
一）∈ Ｊ＋（。一）使，证明由（．），２１式引理１１（．），知存在（．和１１式可
Ｊ＋Ｉ一
ｆ＝ｌＪＪ
当且仅当｛ — Ａ｝界．（）有＜１的条件下，明了｛证。强收敛于成
本文在没有｛，一Ａ）有界和０＜ｈ≤ （，
立．我们的证法与文献［］１中定理３４证法完全不同，里我们建立了带误差项的最速下降法的．这迭代序列