强概率收缩对与概率赋范空间中非线性算子方程组的解
应用数学基础第三章-赋范线性空间和有界线性算子详解
则 d 为 X 上的度量，但这种度量不满足
d(x,y) d(x, y)
1.2 收敛函数与连续映射
定义2：设 X 为赋范线性空间，{xn}n1 X
如果存在
x0 X ，使得
lim
n
xn
x0
0，
则称 {xn} 依范数收敛于 x0，记为
lim
n
xn
x0
这时也称 x0 为序列{xn}n1 的极限。
10 如果 ||•||1 和 ||•||2 等价，则{xn} 为 (X, ||•||1) 中的 Cauchy 序列 {xn} 为 (X, ||•||2) 中的 Cauchy 序列；
20 如果 ||•||1 与 ||•||2 等价，则 {xn} 依范数 ||•||1 收敛于x {xn} 依范数 ||•||2 收敛于 x；
由连续映射的定义易知：
(1) f 在点 x0 X 处连续 对 {xn} X ，如
果 xn x0 ，则 f (xn ) f (x0 ) ； (2) 范数 ||•||：X R 是连续映射；
(3) X 上线性运算（加法与数乘）也是连续映射；
(4) 内积空间中内积运算是连续映射。
1.3 Cauchy 序列与 Banach 空间
第三章
§1 赋范线性空间
1.1 定义及示例
定义1：设 X 是数域 K 上的线性空间，
如果存在映射 ||•||：X→R，并满足：
(1) 非负性：对 xX, ||x||0, 并且
||x||=0 x=0
(2) 齐次性：对 xX，K，||x||=||||x|| (3) 三角不等式：对 x,yX，||x+y|| ||x||+||y||
定义4
算子（operator）和算法（Algorithm）
算⼦（operator）和算法（Algorithm）算⼦(operator)和算法(Algorithm)1、算⼦算⼦是⼀个函数空间到函数空间上的映射O：X→X。
⼴义上的算⼦可以推⼴到任何空间，如内积空间等。
中⽂名：算⼦外⽂名：operator别名：算符定义：⼀个函数空间到函数空间上的映射应⽤领域：数理科学1.1、算⼦解释⼴义的讲，对任何函数进⾏某⼀项操作都可以认为是⼀个算⼦，甚⾄包括求幂次，开⽅都可以认为是⼀个算⼦，只是有的算⼦我们⽤了⼀个符号来代替他所要进⾏的运算罢了，所以⼤家看到算⼦就不要纠结，他和的没区别，它甚⾄和加减乘除的基本运算符号都没有区别，只是他可以对单对象操作罢了(有的符号⽐如⼤于、⼩于号要对多对象操作)。
⼜⽐如取概率P{X<x}，概率是集合{X<x}(他是属于实数集的⼦集)对[0,1]区间的⼀个映射，我们知道实数域和[0,1]区间是可以⼀⼀映射的(这个后⾯再说)，所以取概率符号P，我们认为也是⼀个算⼦，和微分，积分算⼦算⼦没区别。
总⽽⾔之，算⼦就是映射，就是关系，就是变换。
1.2、常见算⼦常见的算⼦有微分算⼦，梯度算⼦，散度算⼦，拉普拉斯算⼦，哈密顿算⼦等。
狭义的算⼦实际上是指从⼀个函数空间到另⼀个函数空间（或它⾃⾝）的映射。
⼴义的算⼦的定义只要把上⾯的空间推⼴到⼀般空间，可以是向量空间。
赋范向量空间，内积空间，或更进⼀步，Banach空间，Hilbert 空间都可以。
算⼦还可分为有界的与⽆界的，线性的与⾮线性的等等类别。
1.3、特征值对于⼀个输⼊和输出函数类型相同的算⼦T，满⾜的k称为T的特征值，相应的称作T关于k的特征函数。
1.4、可交换对两个输⼊和输出函数类型相同的算⼦和，如果，则称和为可交换的，可交换意味着和拥有同样的特征函数（但对应的特征值不同）。
1.5、认知⼼理学在⼼智技能形成的第⼀阶段，即认知阶段，要了解问题的结构，即起始状态，要到达的⽬标状态，从起始状态到⽬标状态所需要的步骤。
《实变函数与泛函分析基础》第二版 程其襄 第十章答案 10§1-7,答案剖析(word文档良心出品)
第十章 巴拿赫(Banach)空间中的基本定理1. 设X 是赋范线性空间，12,,,k x x x 是X 中K 个线性无关向量，12,,,k ααα是一组数，证明：在X 上存在满足下列两条件：（1）(),1,2,,v v f x v k α==,(2) M f ≤ 的线性连续泛函f 的充要条件为：对任何数12,,,k t t t ，11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑都成立。
证明 必要性。
若线性连续泛函f 满足（1）和（2），则1111()kkkkv vv v v vv vv v v v t f t x ft xMt xα=====≤≤∑∑∑∑充分性。
若对任意数12,,,k t t t ，有11kkv vv vv v t Mt xα==≤∑∑。
令0X 为12,,,k x x x 张成的线性子空间。
对任意01kv vv t xX =∈∑，定义上线性泛函：0011:()k kv v v v v v f f t x t α===∑∑。
因0111()k kkv v v v v v v v v f t x t Mt x α====≤∑∑∑，故0f是有界的，且0f M ≤。
由泛函延拓定理，存在X 上的线性连续泛函f ，使f 限制在0X 上就是0f 。
f 显然满足条件（1）和（2）。
证毕。
2．设X 是赋范线性空间，Z 是X 的线性子空间，0x X ∈，又0(,)0d x Z >，证明存在'f X ∈，满足条件： 1）当x Z ∈时，()0f x =； 2）00()(,)f x d x Z = ；3）1f = 。
证明 记0{,}M x y C y Z λλ=+∈∈。
在M 上定义泛函0f ：000()(,)f x y d x Z λλ+=，则以下三条件成立：1）当y Z ∈时，0()0f y =； 2）00()(,)f x d x Z =；3）0f 在M 上有界，且01Mf =。
其中3）可以这样证明：若0x y M λ+∈，则00000()(,)yf x y d x Z x x y λλλλλ+=≤+=+，所以01Mf ≤。
优化理论
有限维空间的优化理论与算法
引言
刘红英 数学与系统科学学院
1.1 数学描述与例子
• 目 标：系统性能的一种“量的度量”(利润、时间、 势能)－－任何数量或某些量的组合－－数
• 变 量：目标所依赖的系统的“某些可控的特征” • 约束条件：经常变量以某种方式受限制(分子中电子密度
的量、贷款利率的量，不能是负的)
故必要条件即对所有 p，有
等价地
(一阶条件)，G*半正定(二阶条件)
稳定点/驻点(stationary point)：使得 g(x*)=0 的 x*
局部极小点的充分条件
定理. x*是严格局部极小点的充分条件是 ，G*正定.
例.考虑Rosenbrock函数
在x*=(1, 1)处 严格局部极小点－全局极小点 充分非必要：
优化问题的一般模型－－数学规划问题
一个小例子
• 可行域/可行集 • 最优解/解 • 图解法
1
优化建模(modeling)： 识别出给定问题的目标、变量和约束的过程。
• 建立恰当模型：第一步、最重要的一步(太简单－不能给 实际问题提供有用的信息；太复杂－不易求解)
• 选择特定算法：很重要--决定求解速度及质量(无通用优化 算法，有求解特定类型优化问题的算法)
积极(约束指标)集 x2
x*
x1 Lagrange函数：
一阶条件：KKT条件
正则性假设1：
定理(一阶条件). 若 x* 是局部极小点且在 x* 处正则性假设1成立，则存在
Lagrange乘子 使得
满足
◎ Karush-Kuhn-Tucker条件, KKT条件/KKT点
局部极小的条件－充分条件(续)
定理.可微凸函数的稳定点是全局极小点
Z-P-S空间中非线性算子方程解的存在性定理
Ｓ ｍ ｅ ｎ ｗ ｉ ｅ ｏ ｎｔｔ ｅ ｒ ｍ ｓ ｉ ＿ － ｐａ ｅ ｏ ｅ ｆｘ ｄ ｐ ｉ ｈ ｏ ｅ ｎ Ｚ－ Ｓ ｓ ｃ Ｐ＿
ＴＡＮＧ Ｃｈａ ， ｏ ＣＨ ＥＮＧ — ｉ 。 ＣＨ ＥＮ Ｌｉｙ ｎｇ ， Ｃｈｕ ｆ ｎ ｎ—ａ ｇ。
文 章 编 号 ：０ ６０ ６ （０ ２０ －１００ １ ０—４ ４ ２ １） ２０ １—４
ＺＰ Ｓ空 间 中非 线 性 算 子 方程 解 的存 在 性 定 理 ——
唐 超 程 丽英 陈春 芳。 ， ，
（． １ 江西 电力 职 业 技 术 学院 公 共 教 育 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ；． 西科 技 师 范 大学理 工 江 江 ３０ ８
（ ． ｐ ｒｍｅ ｔｏ ｕ ｌ ｕ ａｉｎ Ｊａ ｇ ｉＶｏ ａｉｎ ｌ＆ Ｔｅ ｈ ｉａ ｏｌｇ ｆＥｌｃｒｃｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ Ｃｈｎ ； １ Ｄｅ ａ ｔ ｎ ｆＰ ｂｉ Ｅｄ ｃ ｔ ，ｉｎ ｘ ｃｔｏ ａ ｃ ｏ ｃ ｎｃ ｌＣ ｌ ｅｏ ｅｔｉｉ ｅ ｙ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ２， ｉａ ２ Ｐ ｌｔｃ ｎｃＩ ｓｉ ｔ 。ｉｎ ｘ ｃｅ ｃ ＆ Ｔｅｈ ｏｏ ｙＮｏｍ ａ Ｕｎｖ ｒ ｉ ， ｎ ｈ ｎ ３ ０ ８ Ｃｈ ｎ ； ． ｏ ｙｅｈ ｉ ｎ ｔｔ ｅ Ｊａ ｇ ｉ ｉｎ ｅ ｕ Ｓ ｃ ｎ ｌｇ ｒ ｌ ｉｅ ｓｔ Ｎａ ｃ ａ ｇ ３ ０ ３ ， ｉａ ｙ
３ 南 昌大 学 数 学 系 ， 西 南 昌 ３ ０ ３ ） ． 江 ３ ０ １
摘
要： 自提 出 Ｚ Ｐ Ｓ空 间这 一 概 念 以来 ， 要 探 讨 了 不 动 点 和算 子 方 程 解 两 方 面 的 理 论 ， 立 了许 多 新 的定 理 。 －— 主 建
关于概率赋范线性空间上的线性算子的一致收敛
关于概率赋范线性空间上的线性算子的一致收敛
在概率赋范线性空间上，线性算子收敛一致性甚至被认为是统计力学上的一个
重要理论基石。
线性算子收敛一致性定义为：使用概率赋范空间上的可积分函数序列来描述的线性算子的若干特征值随着函数数量不断增加，而这些特征值是有限的，表示它们会随着这些函数数量的不断增加而不变。
在现在这一阶段，研究者们正专注于实证研究，以验证由特定线性算子引起的概率赋范空间上的可积分函数序列的若干特征值的收敛性。
实证研究结果表明，对于多数具有线性结构的概率赋范空间上的可积分函数序
列而言，其特征值确实会随着函数数量的不断增加而不变，从而表明线性算子收敛一致性成立。
另一方面，为了使概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性成立，除了实证
研究，还需要开展多方面的理论分析研究，即深入分析和检验线性算子在此类空间上的内在收敛性。
这方面的研究牵涉到计算数学、概率论、线性空间理论等不同领域的知识，因此其复杂性较高，需要许多领域内的联合研究。
综上所述，概率赋范线性空间上的线性算子收敛一致性的理论研究至今尚未完
全站稳脚跟，而实证研究也仍处于初期阶段，后续的理论分析和实证验证工作肯定会极大的推动该课题的发展，为统计力学提供更多的支持。
F＊空间中φn-型拟范收缩与非线性算子方程的解
Ｖ ， Ｘ Ｙ Ｅ （） １
Ｈａｓｏｆ拓 扑线性 空 间［（ ｕｄ ｒ ６ 简称 Ｆ 空 间 ）本 文在 ］ ．
Ｆ 空间的框架下引入拟范收缩 的概念 ， 并研究 Ｆ
空 间 中具有 这类 拟范 收缩 的非 线性算 子方程 解 的存 在 与唯一性 ． 利用 此 结论 得 到此 类 空 间 的相 应 不动 点定 理 ，改进 Ｂ ｎｃ 间的相应 结果． ａ ａｈ空 以下均设 Ｎ是 非 零 自然 数集 ，Ｒ ＋是 非 负实 数 集 ，Ｋ是实 （ 数 集． 复）
一 一
引理 １ ］ 设 （ ｒ是 Ｆ 空间， ［ ７ Ｘ， ） 则在 ｘ上存在
－
Ｎ拟范数 Ｍ一｛Ｊ ：∈Ｎ 满足 ： ｌ・ ）
并且 由该 拟范 数 列 Ｍ 导 出 的 Ｘ 上 的拓扑 ｒ Ｍ与 Ｘ
上的原拓扑 ｒ 相一致 ， 中 一（ １ｍ）九ｍＥ 其 Ｕ（ ，／ ：， Ｎ） 是关 于 Ｔ Ｍ上 ０的一组 邻域基 ，这里
Ｕ（ ， ｍ 一 ｛ Ｘ：Ｉ ＜ １ｍ） （） ｎ １ ） ｚ∈ ／ Ｉ ｌ ｌ ｚ ／ ２ 反之， Ｍ一｛Ｉ ： 设 Ｉ・ ∈Ｎ 是线性空 间 Ｘ上 的 ） 列拟范数 ， 满足 （ －）（ －） 则在 Ｘ上存在唯 Ｑ １一Ｑ ４ ，
ｓ ｃ ｕ ｓ ｎ ｒ ｃ ｎ ｒ ｃｏ ｓ ａ ｅｗｅｅｓｕ ｉｄ ｕ ｈ ｑ ａ ｉ ｏ ｍ ｏ ｔａ ｔ ｒｉ Ｆ ｐ ｃ ｒ ｔ ｄｅ ．Ｂｙｕ ｉｇ ｔ ｅ ，ｓ ｍ ｅｃ ｒｅ ｐ ｎ ｉｇ ｆ ｅ ｏｎ ｈ — － ｎ ｓｎ ｈ ｍ ｏ ｏ ｒ ｓ ｏ ｄｎ ｉ ｄｐ ｉｔｔ ｅ ｘ
概率收缩与概率赋范空间中非线性方程的解
概率收缩与概率赋范空间中非线性
方程的解
概率收缩：概率收缩是一种基于概率论的最优化方法，它可以用来解决非线性最优化问题。
概率收缩算法通过收缩空间中的参数，使得最优化问题转化为更容易求解的子问题，从而解决最优化问题。
当把非线性方程带入到概率收缩空间中时，可以将原始非线性方程收缩成更小的子问题，然后使用相应的方法来求解收缩的子问题，最后得到非线性方程的解。
概率赋范空间：概率赋范空间是一种衡量多个变量之间关系的技术，可以用于分析复杂系统中变量之间的相关性。
它可以用来解决非线性方程，可以将原始非线性方程转换为概率赋范空间中的线性方程，然后使用线性代数方法求解线性方程，最后得到非线性方程的解。
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１ Ｎ．Ｎ 分别 是 （ ， △ ）和 （ ， ， ） 的 Ｂ（ ， ， ）零 元 邻 域 基所 导 出 的拓 扑 ． 射 ． ，， Ｆ， ｙ △ 上 ０ ￡Ａ 一 映
收 稿 日期 ：２ ０ — １０ ０ ８０ —２
基金项 目： 国家 自然 科 学 基 金 （０ ６０ ７ ０ ６ ０ ７ ；江 西 省 自然 科 学 基 金 （ ４ １４ ， ０ ７ Ｚ ２ ５ ） 江 西 省 １４ １ ０ ，１ ７ １ ０ ） ０ １０ ３ ２ ０ Ｇ Ｓ ０ １ ； 教 育 厅 科 研 项 目（ｏ ６ ８ ） ２ｏ ［ ］
第 ｌ 期
王 圣 ， ： 概 率 收缩 对 与 概 率 赋 范 空 间 中非 线 性 算 子 方 程 组 的 解 等 强
７
Ｐ： Ｄ ｃ Ｘ— Ｙ称 为是 Ｎ 闭 的 ， 果对 任 意序列 ｛ ｝ 当 如 ｃ Ｄ，
且 Ｐ ＝ Ｙ． ｘ
，
Ｙ 有 ∈ Ｄ ，
定 义 １４ 令 ， ．… ｙ是非 空集 合 ， Ｄ ｃ 一 ２ 其 中 ２ 示 ｙ的所 有非 空子 集 ） 集值 Ｐ： （ 表 是 映射 ． 值映 射 ｐ： 一 】称 为 Ｐ的选 择 映射 ， 单 Ｄｃ ， 如果 对 任意 ∈ Ｄ， Ｐ ）∈ Ｐ（ ． 有 （ ）
中图 分 类 号 ： Ｏ １ ． ； １ ７ ９ ２ １３ ０ ７ ．１
１ 引
言
表示 一切 非负实 数 的集 合 ． 映象 ＿ Ｒ一 称 为分 布 函数 ， 厂 ： 如
设 尺表示一 切实数 的集合 ，
果它是 非减 的 ， 左连 续 的 ， 且满 足下列 条件 ：
ｎ ￡ ｆ（ ）＿０ 譬 （ ｆ ， ）： １
对给定 的 Ｙ ∈ Ｙ 如果 存在 。 ，
有 解 …
∈ Ｄ使 得 ， 。 Ｐ（ ） 那 么就 说方 程 ｙ Ｙ ∈ ， 。∈ Ｐ（ 在 Ｄ 中 ）
２ 主 要 结 论
定 义 ２ １ 令 （ ， △ ）和 （ ， ， ） 别 是 Ｍ ｎｅ Ｐ ． Ｆ， Ｙ △ 分 ｅｇｒ Ｎ空 间 ， — （ ， ） ｉ： １ ２ ｒ： １ ， ， ，． Ｐ， Ｄ ｃ 一 ２ Ｑ： 是集 值 映射 ， ｑ Ｄ ｃ Ｘ— ｙ 别 是 Ｐ， ｐ， ： 分 Ｑ的选 择映 射 ．ｒ ， ： 称 为 Ｐ， （ ｒ ） Ｑ在 Ｙ 。∈ Ｙ的强概 率 收缩对 ， 果存 在 函数 ：０ ＋∞） ［ ， 如 ［， 一 ０ ＋∞） 合条 件 （ 和 。∈ （ ， ）使 符 中） ０１ ， 得对 任意 ｔ≥ ０ ∈ Ｄ， ， Ｙ∈ Ｙ和 给定 的 Ｙ 。∈ Ｙ有 下列 条 件成立 ：
（ Ｎ４ Ｐ 一）对 任意 ， Ｙ∈ Ｅ，．ｔ ｔ，２∈ Ｒ 有 ＋ ｔ ＋ ｔ）≥ Ａ （ （， ， （ ） ， （． ： ｔ） ｔ） ．
空 间 （ ， △ ） 为 非 Ａｃｉ ｅｅｎ Ｍ ｎｅ Ｎ 空 间 （ 称 Ｎ．Ａ．Ｍ Ｐ 空 间 ） 如 果 它 是 Ｆ， 称 ｒ ｍ ｄａ ｅｇｒＰ ｈ 简 —Ｎ ， Ｍ ｎｅ Ｎ空 间 ， 对 所 有 的 ， ， ∈ Ｅ 和 ｔ，：≥ ０有 ｅｇｒ Ｐ 且 Ｙ ，ｔ （ Ｎ５ 一（ ａ ｛。 ｔ｝ Ｐ 一） ：ｍ ｘ ｔ，： ）≥ △ （ 一（ 。 ， 一（ ） ． ｔ） ｔ ）
强 概 率 收缩 对 与概 率 赋 范 空 间 中
非 线性 算 子 方 程 组 的解
王 圣 ， 朱传喜
（ 昌大 学 数 学 系 ，南 昌 南 ３０３ ） ３０ １
摘 要 ： 在 Ｍ ｎｅ Ｐ ｅｇｒ Ｎ空 间 引 入 强概 率 收 缩 对 的概 念 ， 研 究 了具 有 强 概 率 收 缩 对 的 非 线性 算子 方程 组 并 解 的存 在 性 和 唯 一性 ． 些 结 果 改进 和推 广 了非 ＡｃｉｅｅｎＭｅｇｒ Ｎ空 间 中 相 应 的 结果 ． 这 ｒ ｍ ｄａ ｎｅ Ｐ ｈ 关 键 词 ： 强 概 率 收 缩 对 ； Ｎ空 间 ； 值 映 射 ； 线 性 算 子 ＭＰ 集 非
第 ｌ卷 第 １ ２ 期 ２０１０年 ３月
应 用 泛 函分 析 学 报
ＡＣＴ ＡＮＡＬ Ａ ＹＳ Ｓ Ｆ Ｉ ＵＮＣ ＯＮＡＬ Ｓ ＡＰ １ ＴＩ Ｉ ＰＬ ＣＡＴＡ
Ｖｏ １．１２
Ｍａ ｃ ｒ ｈ，
Ｎｏ ．１
２ ０ ０１
文 章 编 号 ：１０ ．３ ７（０ ０）叭一０ ６０ ０ ９１ ２ ２ １ ０ ０ —５
本 文 皆假定 ｔ 范数 △ 是连 续 的 ， ∑表 示一 切分布 函数 的集合 ． 一 用
空 间 （ Ｆ， ） 为 Ｍ ｎｅ 概 率 线 性 赋 范 空 间 。 Ｍ ｎｅ Ｎ 空 间 （ 称 Ｍ Ｐ 空 间 ） 如 果 Ｅ， Ａ 称 ｅｇｒ 即 ｅｇｒ Ｐ 简 —Ｎ ，
Ｅ是一个实线性空间， 映象／Ｅ ∑ （ ：一 记分布函数Ｌ 为 ， （） 在￡ 厂 （ 又 ￡表示 ） ∈Ｒ的值） ，
这 里 厂∈ Ｆ， 足 下 面 的 条 件 ： 满
（ Ｎ一 ） （ ） ＝ ０ Ｖ ∈ Ｅ； Ｐ １ ０ ，
（Ｎ ２ （ ）＝ Ｈ（ ） Ｖｔ∈ Ｒ， 且 仅 当 ＝ ０ Ｐ 一） ｔ ｔ， 当 ；
／
（ ＿ 对 意 数ａ ｏ ） ｆ Ｔ Ｐ ３ 任 实 ≠ ， （ ＝ｘ － Ｎ） Ｌ （ Ｊ
由条 件 （ Ｎ５ 易知 ， 一 一
定 义 １ １ 函数 ：０ ＋∞） ［ ， 。 称为 符合条 件 （ ） 如果它 是严 格递增 的 ， （ ） ．㈩ ［， 一 ０ ＋。） ， ０
＝
０ 且 对 任 意 ｔ＞ ０ ｌ （ ）＝＋ ∞ ． ， 有 ｉ ａ ｒ ｔ
定义 １２ ． 数 △ 称 为 ｈ一 的 ， ．…ｔ 范 型 如果 ｛ △ （ ）： ， ｔ＝ １ 是等度 连续 的 ， 中 ｔ｝： 在 处 其
△ ｔ （ ）： Ａ （ ， ） Ａ （ ）： Ａ （ ｔ ， ） ｔ∈ ［ ， ］ ｔｔ ， ｔ Ａ一 （ ） ｔ ， ０ １ ，ｍ ＝２ ３ … ，， 定义 １ ３ 令 （ Ｆ， ） （ ， △） ．… ｘ， Ａ 和 ｙ Ｆ， 是两 个 Ｍ ｎｅ Ｐ ｅｇｒ Ｎ空 间 ， 且 △ 满 足 ：ｓ ｐＡ （ ， ） 并 ｕ ｔｔ