非线性方程组的求解
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牛顿法及基于牛顿算法下的Steffensen加速法求解非线性方程组方法例题及答案
1. 非线性方程组求解1．分别用牛顿法，及基于牛顿算法下的Steffensen 加速法。
(1) 求ln(sin )x x +的根。
初值0x 分别取0.1，1，1.5，2，4进行计算。
(2) 求sin =0x 的根。
初值0x 分别取1，1.4，1.6，1.8，3进行计算。
分析其中遇到的现象与问题。
（1）牛顿法牛顿法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程()0f x =逐步归结为某种线性方程来求解。
将已知方程()0f x =在近似值k x 附近展开，有()()()()'0k k k f x f x f x f x x ≈+-=，构造迭代公式，则1k x +的计算公式为：()()1',0,1,,k k k k f x x x k f x +=-= (1-1)根据Taylor 级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解()0f x =的过程，第一次迭代()()'1000/x x f x f x =-，其中()()'00/f x f x 的几何意义很明显，就是0x 到1x 的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代()()'2111/x x f x f x =-，其中()()'11/f x f x 的几何意义很明显，就是1x 到2x 的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x 的取值在不断逼近真实解*x 。
如图1-1所示：图1-1○1求ln(sin )=0x x +的根时，迭代公式为()1ln(sin )sin 1cos k k x x x x x x x+++=++，0示。
计算结果见附录1表F.1-1所示。
初值取1.5，2，4进行计算时结果不收敛。
表 1-1 牛顿法计算结果○2求sin =0x 的根时，迭代公式为1cos k k x x x+=+，初值0x 分别取1、1.4、1.6、1.8、3计算时结果收敛，误差小于510-时，近似解如表1-2所示。
5-非线性方程组的数值解法及最优化方法
然后通过各种下降法或优化算法求出模函数的极小值点，此 极小值点即为非线性方程组的一组解。
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
非线性方程组的数值解法
不动点迭代法：根据非线性方程求根的迭代法，将方程组改 写为如下等价方程组
xi i x1, x2,, xn , i 1,2,, n
构造迭代公式
xik 1 i x1k , x2k ,, xnk , i 1,2,, n
非线性方程组的数值解法
若对任意A Cmn 都有一个实数 A 与之对应，且满足：
（1）非负性：当 A O 时， A 0 ；当A O 时，A 0；
（2）齐次性：对任何 C ，A A ；
（3）三角不等式：对任意 A, B C nn ，都有A B A B ;
（4）相容性：对任意A, B C nn ，都有 AB A B ，
…
…
18
(0.2325670051,0.0564515197)
19
(0.2325670051,0.0564515197)
max
1 i 2
xik
xik
1
0.2250 0.0546679688 0.0138638640 0.0032704648 0.0008430541 0.0001985303 0.0000519694 0.0000122370 0.0000032485 0.0000007649
10-9
非线性方程组的数值解法
练习题：用牛顿迭代法求解方程组
取 X 0 1.6,1.2T
xx1122
x22 x22
4 1
结果：1.5811,1.2247
非线性方程组的数值解法
应用经过海底一次反射到达水听器阵的特征声线传播时间， 来反演海底参数。假设水中和沉积层声速都是恒定的，海底 沉积层上界面水平，下界面倾斜。特征声线由水中声源出发 折射进入沉积层，经过沉积层的下界面反射后，再折射进入 水中，由水中水听器阵接收。特征声线的传播时间为声线在 水中和沉积层中的传播时间之和。 三维坐标关系如图所示：
《非线性方程组解法》课件
03
常见的拟牛顿法包括DFP方法 和BFGS方法等。
共轭梯度法
01
共轭梯度法是一种基于共轭方向和梯度方向的迭代方法，通过 不断逼近方程的解。
02
共轭梯度法的优点是避免了存储和计算海森矩阵，适用于大规
模非线性方程组的求解。
常见的共轭梯度法包括Fletcher-Reeves方法和Polak-Ribiere方
机械工程
非线性方程组可以用来描述机械 系统的行为和性能，如车辆动力 学、机器人运动等。
航空航天工程
非线性方程组可以用来描述飞行 器的运动和性能，如飞机和火箭 的发射和导航等。
电子工程
非线性方程组可以用来描述电子 系统的行为和性能，如电路设计 和电磁波传播等。
04
非线性方程组的求解软件
MATLAB
强大的矩阵计算能力
MATLAB提供了高效的矩阵运算功能，适用于 大规模的非线性方程组求解。
内置优化工具箱
MATLAB的优化工具箱提供了多种非线性优化 算法，如牛顿法、拟牛顿法等。
用户友好性
MATLAB的用户界面简洁直观，易于学习和使用。
Python的SciPy库
丰富的数学函数库
SciPy库包含了大量的数学函数和算法，可用于非线 性方程组的求解。
《非线性方程组解法》PPT课件
• 非线性方程组概述 • 非线性方程组的解法 • 非线性方程组的应用 • 非线性方程组的求解软件 • 非线性方程组解法的挑战与展望
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义
总结词
非线性方程组是由多个非线性方程组成的数学模型。
详细描述
非线性方程组是指包含多个非线性方程的数学模型，这些方程通常包含未知数和未知数的非线性函数 。
第六章 非线性方程(组)的求解
* * 又当 n 充 分 大[ 以 a ,b 后 ] ， (x ,x ), 于是 m 为偶数 n n 时， x [ a ,b ],f (x ) 0 ,不 变 号 了 ！ n n
2）二分法线性收敛，收敛因子为1/2。
* x x n 1 1 * 1 * x x ( x a ) ( x x ), . n n 1 n 1 n 1 * 2 2 x x2 n 1
f (x) m(x x*)m1h(x) h(x) g(x) 1 (x x*)g(x),h(x*) 0, m f (x) (x) x x 1 (x-x* )g(x) / h(x), f (x) m (x*) 1 1 , (x*) 1 1 1 , m m 牛顿迭代线性收敛，且 随 m的增加收敛性越来越差 。 重根时的改进：
或
定理一的条件太强，不便于实际应用。下面给出一个局部 收敛定理。
由迭代（ 6 -1 -1 ） 产产生的 x 均收 数 敛收敛 n * 1 x x x x n n n 1 1 L n L * 或 x x x x n 1 L1 0
* * * 定理二 :如果 (x ) 连续 (x ， ) L 1, 则 x N (x ， 0 δ )
关于初值的问题： 一般来说采用试探法，但对于一些实际问题初值的选择并 不困难，它是明确的。
关于重根的问题：
* 设 x 是 f( x ) 的 m 重零 m 点 1) , 此 （时 * m * f( x ) ( x x ) g ( x ), g ( x ) 0 , 1 * m 1 * f ( x ) m ( x x ) [ g ( x ) ( x x ) g ( x )], m
称算法（6-1-1）为牛顿迭代法。 f (x) 证明：令 (x) x ,则 xN (x*), f (x) 0 x (x) f (x) (x) f *) 0 (x) 1 f ( x ), ( x ,牛顿迭代收敛 2 [ f (x)] () * * 又 xn1 x (xn) (x ) (xn x*)2; 2 xn1 x* () c,至少二阶收敛。 2 2 (x x*)
非线性方程组数值解法课件
非线性方程组数值 解法课件
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
目 录
• 非线性方程组概述 • 迭代法求解非线性方程组 • 牛顿法求解非线性方程组 • 拟牛顿法求解非线性方程组 • 非线性方程组数值解法的应用
01
非线性方程组概述
非线性方程组的定义与分类
定义
非线性方程组是由多个非线性方 程组成的数学模型，描述了多个 变量之间的关系。
在工程问题中的应用
航空航天工程
土木工程
非线性方程组数值解法用于设计和优 化飞行器、卫星和火箭的结构和性能。
在建筑设计、桥梁和高层建筑的结构 分析中，非线性方程组数值解法用于 模拟结构的承载能力和稳定性。
机械工程
在机械设计中，非线性方程组数值解 法用于分析复杂机械系统的动力学特 性和稳定性。
在金融问题中的应用
拟牛顿法的收敛性分析主要基于Hessian 矩阵的条件数和近似矩阵的误差界。在适 当的条件下，拟牛顿法能够保证全局收敛 性和局部超线性收敛性。
拟牛顿法的实现
总结词
拟牛顿法的具体实现可以通过不同的算法实 现，如DFP算法和BFGS算法等。
详细描述
DFP算法（Davidon-Fletcher-Powell）和 BFGS算法（Broyden-Fletcher-GoldfarbShanno）是两种常见的拟牛顿算法。它们 的主要区别在于近似矩阵的更新方式。DFP 算法采用三对角化方法更新近似矩阵，而 BFGS算法采用迭代更新的方式。在实际应 用中，BFGS算法通常比DFP算法更受欢迎， 因为它在大多数情况下都能提供更好的收敛 效果。
05
非线性方程组数值解法的 应用
在物理问题中的应用
量子力学方程
非线性方程组数值解法在 量子力学中用于描述微观 粒子的行为和相互作用。
非线性方程(组)的解法
lnim(bn
an )
lim
n
2n1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
取
x
cn
1 2
(an
bn
)为
x 的近似解。
7
二分法
迭代终止准则
an - bn
即
x - cn
bn an 2
2
8
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式 如： x3 x 1 0 x 3 x 1
12
例题
例2.2.1 试用迭代法求方程 f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由 x 3 x 1建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…… 计算结果如下:
13
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
14
例题 但如果由x x3 1建立迭代公式
xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1.5，则有 x1 2.375 ，x2 12.39 显 然结果越来越大，{xk }是发散序列
15
2.3 Newton迭代法
设x*是方程f (x) = 0的根， 又x0 为x* 附近的一个值，
将f (x) 在x0 附近做泰勒展式：
f (x)
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
b, c1
1 2
(a1
b1 )
若 f (a1) f (c1) 0，则[a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1]为有根区间
解非线性方程组的牛顿法
§6 解非线性方程组的迭代法
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)
考虑非线性方程组
f1(x1, x2, , xn ) 0,
f2(x1, x2, , xn ) 0,
fn (x1, x2, , xn ) 0. 利用向量记号写为
F (X ) O. 这里F (X )是定义在某区域D Rn上向量值函数. 若存在 X* D, 使得F (X*) O, 则称X*为非线性方程组的解.
.
逐次迭代得结果.
Step 5 Set x x y
Step 6 If y TOL then OUTPUT(x)
Step7 Set k k 1
STOP.
Step8 OUTPUT (‘Maximum number of iterations exceeded’) STOP.
为了说明上述算法，我们可以看看下面的例子。设
s1
145 272
，
145 272
T
.
x2 x1 s1 0.092，3.092 T .
显然，我们只经过两步计算，所得到的 x2就已经非常靠近 解 0，3T .
例1 用牛顿法求解方程组
k x (k) 0 (1.5, 1.0)T
f1( f2(
x1 x1
,x2 ,x2
) )
x1 2 x12
定理 2 设G : D Rn Rn在D内有一不动点X *且G在X *可导,
(G(X*)) 1, 则存在开球 S S( X*, ) D, 对X (0) S, 迭代序列{X (k)}
收敛于X *.
牛顿迭代公式：
X (k1) X (k) F( X (k) ) 1 F ( X (k) ),
其中
f1
F
(
X
(k
)
)
非线性代数方程(组)的解法
06
应用举例与算法实现
应用举例
经济学
非线性方程组在经济学中广泛应用于描述市场均衡、消费者行为等问题。例如，求解供需平衡价格时，可以通过构建 非线性方程组来表示供给和需求函数，进而求解市场均衡价格。
工程学
在机械、电子等工程领域，非线性方程组常用于描述系统的动态行为。例如，在控制系统中，通过建立非线性状态方 程来描述系统的状态变化，可以求解系统的稳定性、响应特性等问题。
拟牛顿法是对牛顿法的改进，通过近 似计算雅可比矩阵或其逆矩阵来减少 计算量。常见的拟牛顿法有BFGS方 法、DFP方法等。程序设计时，需要 实现拟牛顿法的迭代过程，包括选择 合适的拟牛顿公式、更新近似矩阵等 步骤。
信赖域方法
信赖域方法是一种全局收敛的非线性 方程组求解算法，其基本思想是在每 次迭代中构造一个信赖域，然后在该 区域内寻找使目标函数充分下降的试 探步。程序设计时，需要实现信赖域 方法的迭代过程，包括构造信赖域、 求解子问题、更新信赖域半径等步骤 。
04
解析解法分离变量法源自01 适用于可将方程中的变量分离为两个或多个独立 函数的情况。
02 通过将方程两边同时积分，得到各变量的通解。 03 需要注意积分常数的确定，以及解的合理性验证。
行波法
01
适用于可化为行波形式的非线性方程。
02
通过引入行波变换，将原方程化为关于行波参数的常微分方 程。
03
步骤
1. 选定适当的坐标轴，将方程的变量表 示为坐标轴上的点。
等倾线法
定义：等倾线法是一种通过绘 制等倾线（即斜率相等的线） ，从而找出方程解的方法。
步骤
1. 将方程转化为斜率形式， 即 y' = f(x, y)。
3. 通过观察等倾线的交点、 切线等性质，可以判断方程 的解的存在性、唯一性等。
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代数方法 ：
设有x只小鸡，y只小兔 ，
x y 17 ( I) 2 x 4 y 48
(-2)*(i) +(ii) , 得
(i) (ii)
高斯消 去法
48 17 2 7 只小兔 2
10只小鸡
x y 17 (II) (4 2) y 48 - 17 2 48 17 2 y 7 只小兔 42
科学计算解题过程
建立数学模型 选取计算方法
编写上机程序
计算得出结果
一、计算数学的产生和早期发展 计算数学是数学的一个古老的分支，虽然数学不仅仅
是计算，但推动数学产生和发展的最直接原因还是
计算问题。 二、二十世纪计算数学的发展 数值代数 最优化计算 数值逼近 计算几何 概率统计计算 蒙特卡罗方法 微分方程的数值解法 微分方程的反演问题
整的解题步骤，称为算法。 描述算法可以有不同的方式。例如，可 以用日常语言和数学语言加以叙述，也可以 借助形式语言（算法语言）给出精确的说明，
也可以用框图直观地显示算法的全貌。
例1：一群小兔一群鸡，两群合到一群里，要数腿共48，
要数脑袋整17，多少小兔多少鸡？
算术方法 ：
若没有小兔，则鸡应是17只 总腿数 ：2＊17＝34 一只小兔增加 2条腿， 应该有
则 R4
计算 0 e -x
1
2
dx 的总体误差 0 .005 0 .001 0 .006
据说，美军 1910 年的一次部队的命令传递是这样的:
营长对值班军官: 明晚大约 8点钟左右，哈雷彗星将可能在这个地区 看到，这种彗星每隔 76年才能看见一次。命令所有士兵着野战服在操 场上集合，我将向他们解释这一罕见的现象。如果下雨的话，就在礼 堂集合，我为他们放一部有关彗星的影片。 值班军官对连长: 根据营长的命令，明晚8点哈雷彗星将在操场上空出 现。如果下雨的话，就让士兵穿着野战服列队前往礼堂，这一罕见的 现象将在那里出现。
数值计算的主要内容
数值代数：方程求根、线性方程组求解、 特征值和特征向量的计算、非线性方程 组的求解； 数值逼近：插值、数值微分和积分、 最小二乘法； 微分方程数值解：常微分方程 数值解； 偏微分方程数值解： 差分法 有限元法、有限体积法
§2
一、算法的概念
算 法
定义：由基本运算及运算顺序的规定所构成的完
例：近似计算
1
0
e
x2
dx = 0.747… …
解法之一：将 e 作Taylor展开后再积分 大家一起猜？ 4 6 8 1 1
x2
0
e x dx
2
x x x ... ) dx 0 4! 12 ! 2 3! x 1 1 1 1 1 1 1 1 e dx 1 /e 1 ... 0 3 2! 5 3! 7 4! 9 (1 x 2
算法的研究和应用正是本课程的主题 ！
没有软件的支持，超级计算机只是一堆 废铁而已； 软件的核心就是算法。算法犹 如乐谱，软件犹如CD盘片，而硬 件如同CD唱机。
现代科学研究的三大支柱
理 论 研 究
科 学 实 验
科 学 计 算
计算数学
21世纪信息社会的两个主要特征：
“计算机无处不在”
“数学无处不在” 21世纪信息社会对科技人才的要求： --会“用数学”解决实际问题 --会用计算机进行科学计算
•
提问：计算方法是做什么用的？
输入复杂问题或运算
x, a ,
x
l n x,
Ax b , ......
a
b
f ( x )dx,
d f ( x ), dx
数值 分析
近似解
计算机
§1
数值计算方法的意义、内容与方法
20 世纪最伟大的科学技术发明---计算机 ， 计算机是对人脑的模拟，它强化了人的思 维智能； 计算机的发展和应用，已不仅仅 是一种科学技术现象，而且成了一 种政治、军事、经济和社会现象；
二、算法的优劣
计算量小
例：用行列式解法求解线性方程组: n阶方程组，要计算n + 1个n阶行列式的值，
总共需要做n! (n - 1) (n + 1) 次乘法运算。
n=20 需要运 算多少次？ 存贮量少 逻辑结构简单 n=100?
§3 误差的背景介绍
3.1. 来源与分类
从实际问题中抽象出数学模型 —— 模型误差 通过测量得到模型中参数的值 —— 观测误差 求近似解 —— 方法误差 (截断误差） 机器字长有限 —— 舍入误差
连长对排长: 根据营长的命令，明晚8点，非凡的哈雷彗星将身穿野战 服在礼堂中出现。如果操场上下雨，营长将下达另一个命令，这种命 令每隔76年才会出现一次。
排长对班长: 明晚8点，营长将带着哈雷彗星在礼堂中出现，这是每隔 76年才有的事。如果下雨的话，营长将命令彗星穿上野战服到操场上 去。 班长对士兵: 在明晚8点下雨的时候，著名的76岁哈雷将军将在营长的 陪同下身着野战服，开着他那“彗星”牌汽车，经过操场前往礼堂。
取 0 e
1
x2
dx S4 ,
S4
R4
/* Remainder */
1 1 1 1 由留下部分 ... 称为截断误差 /* Truncation Error */ 4! 9 5! 11 /* included terms */ 1 1 这里 R4 引起 0 .005 由截去部分 4! 9 /* excluded terms */ 1 1 1 S4 1 1 0.333 0. 1 0.024 0.747 引起 3 10 42 | 舍入误差 /* Roundoff Error */ | 0.0005 2 0.001
记为 * 1 1 x 1 I 0 e dx 1 0 .63212056 I0 0 注意此公式精确成 e e 8 立 则初始误差 E0 I 0 I 0 0 .5 10
3.2. 传播与积累
例：蝴蝶效应 —— 纽约的一只蝴蝶翅膀一拍，风和日 丽的北京就刮起台风来了？！
NY
BJ
以上是一个病态问题 关于本身是病态的 问题，我们还是留给数学家去头痛吧！
1 1 n x 例：计算 I n x e dx , e 0
n 0 , 1 , 2 , ......
公式一： I n 1 n I n1