(第2章 非线性方程与方程组的数值解法)
(第2章 非线性方程与方程组的数值解法) 1
方程的有根区间为 [1.3,1.4].
f ' ( x) 3x 2 1 0, x [1.3,1.4]
又 即 f ( x) 0在 [1.3,1.4] 有唯一根。
9
二、二分法 求根
用二分法(将区间平分)求解。
令 a1 a, b1 b, c1 1 2 (a1 b1 ) 若 f (a1 ) f (c1 ) 0 ，则 [a1 , c1 ] 为有根区间， 否则 [c1 , b1 ] 为有根区间 记新的有根区间为 [a2 , b2 ] ， 则
1 取 x cn (an bn ) 2
n
n
* x 为 的近似值。
12
求方程f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间[a, b] 的a, b值及精度控制量 ;
(2) if f (a ) f (b) 0 then 返回第 1步, 重新输入a, b值 else 转第3步;
2) while | b1 a1 | 时做
0
(二分法求根)
1 1 x (a1 b1 );计算f ( x ); 2
14
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 30 if if f ( x ) 0转(3); f ( a1 ) f ( x ) 0 then else endwhile; h 3)输出 : x; a1 x ; b1 a1 h; 10 endwhile;
第2章
非线性方程与方程组 的数值解法
1
本章的两类问题
本章重点介绍求解非线性方程 f ( x) 0的几种常见和有 效的数值方法，同时也对非线性方程组
fi ( x1, x2 ,, xn ) 0
数值计算方法第2章2-1节
（2）计算
f
(
a
2
b)
。
（3）若
f
(
a
2
b
)
0
，计算停止；若
f
(
a
2
b
)
f
(a)
0
，用
若
f
(
a
2
b)
f
(b)
0
，以
a
2
b
代替
a
。
a
2
b
代替
b
；
（4）反复执行第二步与第三步，直到区间长缩小到允许误差范围
之内，此时区间中点即可作为所求的近似解。
18
证明方程 x3 3x2 6x 1 0 在区间（0，1）内有唯一的实根，并
在[－1,－0.25]，[0.5，1.25]，[1.25，2]各区间内至少有一个实根。
10
2.1.3 区间二分法
定理 函数f(x)在[a,b]上单调连续，且f(a)f(b)<0， 则方程f(x)=0在区间[a,b]上有且仅有一个实根x*。
二分法的基本思想 将有根的区间二分为两个小区间，然后判断根在那 个小区间，舍去无根的小区间，而把有根的小区间 再一分为二，再判断根属于哪个更小的区间，如此 反复 ，直到求出满足精度要求的近似根。
5
有根区间
介值定理 若函数 f (x) 在[a, b] 连续，且
f (a) f (b) 0 ，则方程 f ( x) 0 在(a,b) 内至
少有一个实根。将[a, b] 称为 f (x) 的有根区间。
6
2.1.2 逐步搜索法
假设f(x)在区间[a,b]内有一
个实根x*,若 b – a较小，则可 在(a,b)上任取一点x0作为初始 近似根。
非线性方程与方程组数值解法
2.2 二分法
表2-2 计算结果
k
0 1 2 3 4 5 6 7
ak
1 1 1.25 1.25 1.3125 1.3125 1.3125 1.3203
bk
2 1.5 1.5 1.375 1.375 1.3438 1.3281 1.3281
xk
1.5 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242
ab ；否则，回 2
5.2 二分法
说明：
x*
(ⅰ)上述计算步骤（2）和（3）每执行一次就把新的区间分成两份，根的范围也 缩小一半. 如果第 k 次二分后得到的区间记 为 [ak , bk ]，根的近似值记为 xk ，则 ba (a b ) 有 bk ak k ， xk k k ，那么当时 k ， bk ak 0，这说明如果二分过 2 2 程无限继续下去，这些区间必将收敛于一点，即为所求根. (ⅱ) 第
3
2 f ( x ) 3 x 1 0, x [1, 2] 解 已知 f (1) 1 0, f (2) 5 0 且 ，
则方程
f ( x) x 3 x 1 0
在区间
(1, 2)
内只有一个实根.
当 k 1 ， x1
bk ak 102 ，继续二分；
2.1 引言
通常隔离区间的确定方法为 （1）作 y f ( x) 的草图, 由 y f ( x)与横轴交点的大致位置来确定； 或 者将 f1 ( x) f 2 ( x) 改写成 f ( x) 0 ， 根据 y f1 ( x) 和 y f 2 ( x) 交点横坐标来确定
根的隔离区间.
当 k 2 ， x2
非线性方程数值解法详解
1 ( p) (
p!
)( xk
)
p
xk1
1
p!
(
p)
(1
)(
xk
)p
lim
k
xk1 xk p
1 ( p) ( )
p!
0
必要性 （略）
例 能不能用迭代法求解方程x=4-2x，如果不能
时，试将方程改写成能用迭代法求解的形式.
方程为x-4+2x =0.设f(x)= x-4+2x ，则f(1)<0，f(2)>0， f‘(x)= 1+2x ln2>0,故方程f(x)=0仅在区间(1, 2)内有唯一根.
(1) f(a)f(b)<0; (2) f'(x)0, x[a, b]; (3) f''(x)不变号, x[a, b]; (4) 初值x0 [a, b]且使f''(x0) f(x0)>0; 则 Newton 迭代法收敛于f(x)=0在[a, b]内的惟一 根.
例 研究求
a的Newton公式xk 1 Nhomakorabeaxk 1 xk
f (xk ) f (xk )
(k 0,1, 2,L )
逐次逼近方程f(x)=0的根α ，这种求根算法称为 Newton法（切线法），此公式称为 Newton迭代公式.
Newton迭代法的收敛性及收敛阶
Newton法的迭代函数是 (x) x f (x)
从而
(x)
f (x) f (x) [ f (x)]2
或f(x)的零点. 设有正整数m使得f(x)=(x-α)mg(x)
且g(α)0 ，则当m2时，称α为f(x)=0的m 重根；当m=1时，称α为f(x)=0的单根. 若α为f(x)=0的m重根，则
非线性方程和方程组的数值解法
1. 使用二分法求3250x x --=在区间[2，3]上的根，要求误差不超过30.510-⨯.解：首先确定二分次数，根据误差估计式得，取k=10即可。
使用二分法计算10次，结果见下表2. 利用0)ln(=+x x 构造收敛的迭代格式，并求在0.5附近的根.解 首先考虑迭代格式1ln ,0,1,2,...k k x x k +=-=，相应的迭代函数()ln ,x x ϕ=-容易计算'1()x xϕ=-，在0.5附近有 ''()2,()21x x ϕϕ≈-≈>.迭代格式1ln ,0,1,2k k x x k +=-=不收敛，利用上题结论，函数()ln x x ϕ=-的反函数1()x x e ϕ--=，建立迭代格式1,0,1,2,...,k x k x e k -+==取初值00.5x =，计算结果见下表：最后*180.5671408x x≈=3.求方程310x x--=在]2,1[上的唯一正根，精度410-解考虑函数3()1, f x x x=--显然(1)10,(2)50f f=-<=>，故在[1,2]上方程有根存在；另外'2()312,[1,2],f x x x=-≥∈因此在[1,2]上方程有唯一的根。
建立迭代格式1nx+=迭代函数()xϕ=在[1,2]上满足23'131()(1)3x xϕ-=+<根据收敛性定理，迭代格式1nx+=[1,2]x∈均收敛。
例如，取初值x=1.5，并计算结果如下：方程31x x--=0在[]1,2上的精确解是* 1.324718x=4.利用简单加速方法，求方程xx e-=在x=0.5附近得一个根，精度510-。
解考虑'(),()0.6x xx e x e Lϕϕ--==-=≈-.利用简单加速方法()1111111n nnn nL Lx xx x xϕ+++--⎧=⎪⎨=-⎪⎩得()1111 1.60.6nxnnn nx ex x x-+++⎧=⎪⎨=+⎪⎩取初值00.5x =，计算结果列表如下：5. 利用Newton 法解方程x=cosx ，取初值0x =1.解 考虑()cos f x x x =-，建立Newton 迭代格式：()()01'1,,0,1,2.....n n n n x f x x x n f x +=⎧⎪⎨=-=⎪⎩方程x=cosx 的精确解是*x =0.739 085 133……。
计算方法的课后答案
《计算方法》习题答案第一章 数值计算中的误差1．什么是计算方法？（狭义解释）答：计算方法就是将所求的的数学问题简化为一系列的算术运算和逻辑运算，以便在计算机上编程上机，求出问题的数值解，并对算法的收敛性、稳定性和误差进行分析、计算。
2．一个实际问题利用计算机解决所采取的五个步骤是什么？答：一个实际问题当利用计算机来解决时，应采取以下五个步骤： 实际问题→建立数学模型→构造数值算法→编程上机→获得近似结果 4．利用秦九韶算法计算多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值，并编程获得解。
解：400)(2345-+⋅+-⋅+=x x x x x x P ，从而 1 0 -1 0 1 -4 -3 -3 9 -24 72 -2191-38-2473-223所以，多项式4)(53-+-=x x x x P 在3-=x 处的值223)3(-=-P 。
5．叙述误差的种类及来源。
答：误差的种类及来源有如下四个方面：（1）模型误差：数学模型是对实际问题进行抽象，忽略一些次要因素简化得到的，它是原始问题的近似，即使数学模型能求出准确解，也与实际问题的真解不同，我们把数学模型与实际问题之间存在的误差称为模型误差。
（2）观测误差：在建模和具体运算过程中所用的一些原始数据往往都是通过观测、实验得来的，由于仪器的精密性，实验手段的局限性，周围环境的变化以及人们的工作态度和能力等因素，而使数据必然带有误差，这种误差称为观测误差。
（3）截断误差：理论上的精确值往往要求用无限次的运算才能得到，而实际运算时只能用有限次运算的结果来近似，这样引起的误差称为截断误差（或方法误差）。
（4）舍入误差：在数值计算过程中还会用到一些无穷小数，而计算机受机器字长的限制，它所能表示的数据只能是一定的有限数位，需要把数据按四舍五入成一定位数的近似的有理数来代替。
这样引起的误差称为舍入误差。
6．掌握绝对误差（限）和相对误差（限）的定义公式。
(完整版)数值分析重点公式
第一章 非线性方程和方程组的数值解法 1）二分法的基本原理，误差：~12k b ax α+--<2）迭代法收敛阶：1lim0i pi ic εε+→∞=≠，若1p =则要求01c <<3）单点迭代收敛定理：定理一：若当[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈且'()1x l ϕ≤<，[],x a b ∀∈，则迭代格式收敛于唯一的根；定理二：设()x ϕ满足：①[],x a b ∈时，[](),x a b ϕ∈， ②[]121212,,, ()(),01x x a b x x l x x l ϕϕ∀∈-≤-<<有 则对任意初值[]0,x a b ∈迭代收敛，且：110111i i iii x x x ll x x x lαα+-≤---≤--定理三：设()x ϕ在α的邻域内具有连续的一阶导数，且'()1ϕα<，则迭代格式具有局部收敛性；定理四：假设()x ϕ在根α的邻域内充分可导，则迭代格式1()i i x x ϕ+=是P 阶收敛的 ()()()0,1,,1,()0j P j P ϕαϕα==-≠L （Taylor 展开证明）4）Newton 迭代法：1'()()i i i i f x x x f x +=-，平方收敛 5）Newton 迭代法收敛定理：设()f x 在有根区间[],a b 上有二阶导数，且满足： ①：()()0f a f b <； ②：[]'()0,,f x x a b ≠∈；③：[]'',,f x a b ∈不变号④：初值[]0,x a b ∈使得''()()0f x f x <；则Newton 迭代法收敛于根α。
6）多点迭代法：1111111()()()()()()()()()i i i i i i i i i i i i i i i f x f x f x x x x x f x f x f x f x f x f x x x -+-----=-=+----收敛阶：P =7）Newton 迭代法求重根（收敛仍为线性收敛），对Newton 法进行修改 ①：已知根的重数r ，1'()()i i i i f x x x rf x +=-（平方收敛） ②：未知根的重数：1''()(),()()()i i i i u x f x x x u x u x f x +=-=，α为()f x 的重根，则α为()u x 的单根。
第2章-非线性方程与方程组的数值解法市公开课获奖课件省名师示范课获奖课件
xn
(yn xn )2 zn 2yn xn
Steffensen迭代格式
也能够改写成
xn1 (xn )
其中迭代函数
(n 0,1,......)
(x) x [(x) x]2 ((x)) 2(x) x
Steffensen迭代法收敛旳充要条件
定理2.2.3 设函数(x) C1， [x* , x* ], 为足够小的正数，且(x*) 1，则
不满足压缩映像原理，故不能肯定 xn1 (xn ) n 0,1,.... 收敛到方程旳根。
简朴迭代收敛情况旳几何解释
2.2.2 Steffensen加速收敛法
迭代法收敛旳阶
设序列
收敛到 { x，n}0若有实数x*
零常p 数 1C，使得 lim
n
en1 enp
C
和非
其中，en xn x*，则称该序列是p 阶收敛旳， C 称为渐进误差常数。
故{xn }0 收敛到x*。
敛速是线性旳
因为lim n
en1 en
lim
n
(
xn ) xn
(
x*
x*
)
(x*)
0
所以{xn }0
x*
线性收敛到 。
Steffensen迭代格式
由线性收敛知
lim en2 lim en1 C 0
e e n
n
n1
n
当n充分大时有
en2 en1 en1 en
x (a,b)
压缩映像原理
再证根旳唯一性
设有 x1 , x2 [a, b]均为方程旳根
则
|
x1
x2
|| (x1 )
(
x
2
)
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3)输出:
x; a1
x
h 10
; b1
a1
h;
endw hile;
14
例题
例1 设方程 f (x) x3 x 1,[a,b] [1,2]
解：取h=0.1,扫描得：
f (1.3) 0.61 0 f (1.4) 0.344 0
方程的有根区间为[1.3,1.4].
又 f ' (x) 3x2 1 0, x [1.3,1.4] 即 f (x) 0在 [1.3,1.4] 有唯一根。
6
等步长扫描算法
算法：（求方程 f (x) 0的有根区间）
(1) 输入 a,b, h ；
(2) f0 f (a) ；
(3) x a h, 停机。
f1
f (x)，若
x b 输出失败信息，
(4)若 f1 0。输出x ，已算出方程的一个根，停
机。
7
等步长扫描算法
(5) 若 f0 f1 0 。输出 a, x,[a, x] 为有根区间， 停机
15
2.2一般迭代法
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f (x) 0 有时可以写成 x (x) 形式
如：
x3 x 1 0 x 3 x 1
或 x 1 x3
x cosx 0 x cosx
16
迭代法及收敛性
考察方程 x (x) 。
这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。
但如果给出根的某个猜测值 x0， 代入 x (x) 中的右端得到 x1 (x0 ) ，
记新的有根区间为 [a2 ,b2 ] ， 则
[a1,b1 ] [a2 ,b2 ]
且
b2
a2
1 2
(b1
a1 )
9
二分法
对 [a2 ,b2 ]重复上述做法得
[a1, b1 ] [a2 ,b2 ] ...... [an ,bn ] ......
且
bn
an
1 2 n1
(b
a
)
10
二分法
再以x1 为一个猜测值， 代入 x (x) 的右端得 x2 (x1)
反复迭代得
xk1 (xk ) k 0,1,......
17
迭代法及收敛性
若{xk }收敛，即
lim
k
xk
x
则得 x 是 x (x) 的一个根
lim
n
xn
1
lim
n
(
xn
)
(lim n
xn
)
x
(x)
18
迭代法的几何意义
2
2.1二分法 求非线性方程 f (x) 0 的根的方法
分为两步：
确定方程的有根区间(等长扫描法) 计算根的近似值（二分法）
3
概念：
有根区间：存在根 隔根区间：唯一根
4
首先确定有限区间：依据零点定理。 设 f (x) C[a,b]，且 f (a) f (b) 0 ，则
方程 f (x) 0 在区间(a,b) 上至少有一个根。 如果 f ' (x) 在(a,b)上恒正或恒负，则此根唯 一。
endw hile;
(4)输出x
1
(a
b).
2
12
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
(1) 输入 : a,b,h,;
(2) a1 a; b1 a1 h; (3) while b1 b 时做
1) while f (a1) f (b1) 0做a1 a;b1 a1 h; endwhile;
x
(x)
y
y
x
(x)
交点的横坐标
y=x
x* x2
x1
x0
19
简单迭代法 将f (x) 0变为另一种等价形式 x (x)。
选取 x的某一近似值 x0 [a,b] ，则按递推 关系 xk1 (xk ) k 0,1,......产生的迭代序列 {xk } 。这种方法算为简单迭代法。
20
例题
(2) if f (a) f (b) 0 then 返回第1步,重新输入a,b值
else 转第3步; (3)while | a b | 时做
1)令x 1 (a b),计算f (x); 2
2)if f (a) f (x) 0 then [a,b][a, x];
else [a,b][x,b].
2) while | b1 a1 | 时做
10
x
1 2
(a1
b1); 计算f
( x);
13
求方程f(x)=0的全部实根的二分法算法
20 if f (x) 0转(3);
30 if f (a1) f (x) 0 then [a1, b1][a1, x]
else [a1, b1][x, b1].
endw hile;
5
等步长扫描法 求有根区间
用计算机求有根区间：等步长扫描法。
设h>0是给定的步长，取 x0 a, x1 a h ，
若 f (x0 ) f (x1) 0 则扫描成功；否则令 x0 x1, x1 x0 h，继续上述方法，直到成
功。如果 x1 b 则扫描失败。再将h 缩小，
继续以上步骤。
第2章
非线性方程与方程组 的数值解法
1
本章重点介绍求解非线性方程 f (x) 0的几种常见和有
效的数值方法,同时也对非线性方程组
fi (x1, x2,, xn ) 0 (i 1,2,, n)
求解,简单介绍一些最基本的解法.无论在理论上,还是在 实际应用中,这些数值解法都是对经典的解析方法的突 破性开拓和补充,许多问题的求解,在解析方法无能为力 时,数值方法则可以借助于计算机出色完成.
(6) a x ，转 3） 注：如果对足够小的步长h 扫描失败。
说明：
➢ 在 [a,b] 内无实根 或 ➢ 在 [a,b] 内有偶重根
8
二分法
用二分法(将区间对平分)求解。
令
a1
a, b1
)
若 f (a1) f (c1) 0 ，则 [a1, c1] 为有根区间，否 则 [c1,b1] 为有根区间
例2.2.1 试用迭代法求方程
f (x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。 解：由x 3 x 1 建立迭代关系
xk1 3 xk 1 k=0,1,2,3…….
计算结果如下:
21
例题
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
设 所求的根为 x，
则 x [an ,bn ] n 1,2......
即 an x bn n 1,2......
1
lnim(bn
an )
lim
n
2 n 1
(b
a)
0
lim
n
an
lim
n
bn
x
x 取
x
cn
1 2
(an
bn )
为
的近似解
11
求方程f(x)=0的根的二分法算法
(1) 输入 : 有根区间 [a,b]的a,b值及精度控制量 ;