非线性方程与非线性方程组的迭代解法(一)
非线性方程和非线性方程组的迭代解法
敛：ｐ＝２，ｃ＞０称序列至少平方收敛；若ｋ≥ｋ．，时，有Ｘｋ＝ｘ４成立，或
ｌｉｍ堕：。二型 ＝０
“‘｜｜Ｘ“一Ｘ＋旷 则称事列（Ｘ）为超ｐ阶收敛
定义４［１３假定迭代序列（ｘ。｝收敛于ｘ＋，量
！抽婪∑梨，当ｘｔ≠ｘ·对ｋ≥ｋ。 。
（１）公式的建立
设ｘ＋是方程ｆ（ｘ）＝ｏ的解，ｆ（ｘ）在ｘ＋的某邻域Ａ＝｛ｘｊ ｘ—ｘ４≤６｝存在
二阶导数，且ＶＸ∈Ａ，ｆ’（Ｘ）≠０，设ｘ。∈△为ｆ的近似值，将ｆ（ｘ）在Ｘ。处 展为一次Ｔａｙｌｏｒ多项式ｆ（Ｘ）＝ｆ（ｘｋ）＋ｆ ７（ｘ。）（ｘ—ｘ。），记ｐ（Ｘ）＝ｆ（ｘ．）十 ｆ’（Ｘ：）（Ｘ—Ｘ．），显然Ｐ（Ｘ）≈ｆ（ｘ）．令Ｐ（ｘ）＝Ｏ，解得
应用这个方法求解了非线性偏微分方程ｕ．＋“萎生等｝＜如Ｖ＞。Ｑ，ｓ（ｕ）＝。，其中
Ｑ“ｕ）２与竿导，万—ｉｉＦ数值计算中得到的非线性方程组，并通过迭代公
式（４－３）与Ｎｅｗｔｏｎ法的数值实验结果的比较，晚明了在相同精度要求卜Ｉ求解这 个问题时，ｆ＝｝｝式ｆ ４—３）优于＼ｅｎｔＯｔｌ法的几个方面．
第一章解非线性方程的常用迭代格式
在第三章写出了这几个迭代公式的相应算法设计，并将这些格式的数值实验 结果与Ｎｅｗｔｏｎ法、 弦截法、Ｍｕｌｌｅｒ法的数值实验结果进行了比较，说明了这 几个迭代格式的有效性．
在第四章中将预测式迭代法推广到了求解非线性方程组，分析了它的收敛 性、收敛阶，给出了其算法设计并进行了数值实验证明了方法的有效性．特别地，
兰州大学 硕士学位论文 非线性方程和非线性方程组的迭代解法及 姓名：尚秀丽 申请学位级别：硕士 专业：计算数学 指导教师：周宇斌
20041101
求解非线性方程的三种新的迭代法
求解非线性方程的三种新的迭代法迭代法是一种通过反复递推计算得到逼近解的方法，对于非线性方程求解而言，迭代法通过不断更新变量的值，使得方程逐渐趋近于真实解。
下面将介绍三种新的迭代法：逐次缩小区间法、割线法和弦截法。
第一种迭代法是逐次缩小区间法。
逐次缩小区间法是一种通过不断递推缩小变量的取值范围来求解非线性方程的方法。
算法步骤如下：1. 选取一个初始区间[a, b]，使得f(a)和f(b)异号，即f(a)*f(b)<0。
2. 将区间[a, b]均分，得到区间的中点c=(a+b)/2。
3. 比较f(a)*f(c)和f(b)*f(c)，如果f(a)*f(c)<0，则说明解在区间[a, c]内；如果f(b)*f(c)<0，则说明解在区间[c, b]内。
4. 重复步骤2和步骤3，直到得到精度要求的解。
逐次缩小区间法的优点是简单易懂，计算量较小；但缺点是需要事先给出一个初始区间，初始区间的选择对结果有影响，并且对于复杂的方程可能需要很多次均分才能逼近解。
第二种迭代法是割线法。
割线法是一种通过利用连续两个点的斜率来逼近解的方法。
算法步骤如下：1. 选取两个初始点x0和x1，计算出对应斜率f(x0)和f(x1)。
2. 利用斜率和已知点构造直线方程，得到直线和x轴的交点x2，并将x1更新为新的x0，x2更新为新的x1。
3. 重复步骤2，直到满足精度要求。
割线法的优点是不需要计算导数，因此适用于不易求导的情况；但缺点是可能出现迭代过程不收敛的情况，需要事先给出两个初始点，并且计算量相对较大。
弦截法与割线法相似，也是通过利用连续两个点的连线来逼近解的方法，但不同之处在于弦截法的直线是通过前两个点的连线来构造的。
弦截法的优缺点与割线法类似，不需要计算导数，但迭代过程可能不收敛。
三种新的迭代法均有各自的特点和适用范围，适合于不同类型的非线性方程。
在实际应用中，需要根据具体的方程和精度要求选择合适的迭代方法。
计算方法 6 非线性方程迭代法资料
推论 设 C[a, b]满足上面的条件1),且对x [a, b],存在常数L (0,1)，使
| ( x) | L 1， 则 ( x)在[a, b]上存在唯一的不动点.
充分性条件
迭代法的全局收敛性
定理2.2. 设 C[a, b]满足定理2.1中的条件,则对x0 [a, b],由格式
产生的序列{xk }收敛到的不动点x* ,且有误差估计 收敛速度？误差估计？
1)如果对x [a, b],有a ( x) b,则 ( x)在[a, b]上一定存在不动点.
2)在条件1)的基础上，且存在常数L (0,1)，使对x, y [a, b]都有
| ( x) - ( y) | L | x - y |， 称为全局Lipschitz条件
则不动点唯一.
证明. 令g( x) x- ( x), 注意到，
是：a2 : a1; b2 : x1.
否：a2 : x1; b2 : b1. 可知,[a2,b2 ] [a1,b1]. 上述过程继续下去
长度为b - a . 22
可得出一系列有根区间 [ak ,bk ] [a2,b2] [a1,b1] [a,b]. 区间[ak ,bk ]的长度为b2-ka .
事前误差估计
| xk
-
x*
|
L 1 L
|
xk
xk 1
|,
k
1, 2,
| xk
事后误差估计
-
x*
|
Lk 1 L
|
x1
x0
|,
k
1, 2,
称序列是适定的，它表明 迭代法算出的每个点是有 意义的！
证明. 设x*是在[a, b]上的唯一不动点.由格式产生的序列{xk }[a, b],
数值分析(颜庆津) 第4章 学习小结
第4章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法--------学习小结一、本章学习体会本章我们主要学习了非线性方程的几种解法，主要有对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
这几种方法都有其思想，并且它们的思想彼此之间有一定的联系。
本章的思路大致可以理解为：1.如何选取迭代公式；2.如何判断迭代公式的收敛速度；3.如何进行迭代公式的修正，以加速收敛；4.如何选取最适合的迭代方法 。
二、本章知识梳理具体求根通常分为两步走，第一步判断根是否存在，若存在，确定根的某个初始近似值；第二步，将初始近似值逐步加工成满足精度要求的结果。
求初始近似值，即确定根的大致区间（a, b ），使（a, b ）内恰有方程的一个根。
本章的学习思路：针对一种迭代方法，找出迭代公式，并判断其收敛性，一般选取收敛速度最快的迭代公式，所以自然的提出了如何使收敛加速的问题。
4.1非线性方程的迭代解法非线性方程的迭代解法有：对分法、简单迭代法、steffensen 迭代法、Newton 法、割线法等。
4.1.1对分法设()[]()()0,<∈b f a f b a C x f 且，根据连续函数的介值定理，在区间()b a ,内至少存在有一个实数s ，使()0=s f 。
现假设在()b a ,内只有一个实数s ，使()0=s f 并要把s 求出来，用对分法的过程： 令b b a a ==00, 对于M k ,....,2,1,0=执行计算2kk k b a x +=若()ηε≤≤-k f a b k k 或，则停止计算取k x s ≈否则转（3）()()k k k k k k b b a a a f x f ==<++11,,0则令()()k k k k k k b b x a a f x f ==>++11,,0则令 若M k =则输出M 次迭代不成功的信息；否则继续。
对分法的局限：对分法只能求实根，而且只能求单根和奇数重根，不能求偶数根和复数根4.1.2简单迭代法及其收敛性迭代法是一种逐次逼近法,用某个固定公式反复校正根的近似值,使之逐步精确化,最后得到满足精度要求的解。
解非线性方程的一个非线性迭代法
解非线性方程的一个非线性迭代法
一、非线性迭代法
非线性迭代法是一种解决非线性方程的迭代算法，它可以用来解决某
些不是很复杂的非线性方程。
它的原理很简单，根据拟合函数的结果，依次迭代计算，求出每一步迭代值，知道最终结果。
非线性迭代法，又被称为迭代算法，它可以通过多次迭代来求解特定
问题，通常用它来解决非线性方程，特别是特定的不可分的非线性方程。
在这个过程中，首先，给出非线性方程某个变量的初值，进行迭
代计算，每一次迭代都会用计算结果来更新变量的值，而最终的变量
值就是方程的根。
二、迭代步骤
1. 预选择初值:在使用非线性迭代法解决问题时，第一步就是给出一个
初值，这个初值可以通过此时此刻的数据估算，也可以通过判断函数
和它的导数表达式变量的变化范围来选择；
2. 迭代计算:根据计算非线性方程拟合函数，计算下一步迭代值，直到
找到根，或者迭代次数受限；
3. 指定精度:设定比较迭代值的精度，如果到达指定的精度，则可以认为找到了近似的根，完成迭代。
三、优劣
1. 优点:非线性迭代法简单易懂，而且有良好的稳定性，可以用来解决某些比较简单的非线性方程，也可以考虑不同的变量值，来获取更准确的结果；
2. 缺点:虽然非线性迭代法简单易懂，但是计算时间较长，对于一些复杂方程，无法收敛到足够的精度，需要引入其他更加精确的方法。
第十章非线性方程及非线性方程组解法
(
x
)
n
lim
n
x
n
若
{x
}
n
收敛，即
lim xn x*，则：
n
x* (x*) f (x*) 0
迭代过程的几何表示
x (x) :
y x 交点即真根。
y (x)
yx
y
Q1
Q2
P* P2
O x* x2
P1
x1
y (x)
P0
x0
x
例：求方程 f (x) x3 x 1 0 在x0 1.5附近的根x*. 解：（1） 将方程改写为 x 3 x 1
第十章 方程求根
求解非线性方程
f (x) 0 f 是非线性函数，
例：代数方程
a x a x a x a f (x) n
n1 L
0, n 1。
n
n1
1
0
例: 超越方程
f (x) ex sin x 0
§1. 非线性方程实根的对分法(二分法)
设 f (x) 在[a,b] 上连续且 [a,b] 有且仅有一个根又
xn1 (xn ) (n 0,1,L )
均收敛于x*，并有
x* xn
Ln 1 L
x1 x0
收敛充分性定理(一、2)
证：由条件（2）知(x)在[a, b]上连续。 令 (x) x (x),则 (x)在[a,b]上连续，且
(a) a (a) 0, (b) b (b) 0 故存在 [a,b]，使得（） 0,即 （）, 所以方程x (x)在[a,b]内有根。
可先用二分法或经验确定迭代初值x0 0.5，再按牛
顿公式进行迭代。
Newton法具有收敛快，稳定性好，精度高等优点，是求 解非线性方程的有效方法之一。但它每次迭代均需计算函 数值与导数值，故计算量较大。而且当导数值提供有困难 时， Newton法无法进行。
Newton迭代法求解非线性方程
Newton迭代法求解非线性方程一、 Newton 迭代法概述构造迭代函数的一条重要途径是用近似方程来代替原方程去求根。
因此，如果能将非线性方程f (x )=0用线性方程去代替，那么，求近似根问题就很容易解决，而且十分方便。
牛顿(Newton)法就是一种将非线性方程线化的一种方法。
设k x 是方程f (x )=0的一个近似根，把如果)(x f 在k x 处作一阶Taylor 展开，即：)x x )(x ('f )x (f )x (f k k k -+≈ (1-1)于是我们得到如下近似方程：0)x x )(x ('f )x (f k k k =-+ (1-2)设0)('≠k x f ，则方程的解为：x ̅=x k +f (x k )f (x k )́(1-3)取x ~作为原方程的新近似根1+k x ，即令： )x ('f )x (f x x k k k 1k -=+, k=0,1,2,…(1-4)上式称为牛顿迭代格式。
用牛顿迭代格式求方程的根的方法就称为牛顿迭代法，简称牛顿法。
牛顿法具有明显的几何意义。
方程：)x x )(x ('f )x (f y k k k -+= (1-5)是曲线)x (f y =上点))x (f ,x (k k 处的切线方程。
迭代格式(1-4)就是用切线式(1-5)的零点来代替曲线的零点。
正因为如此，牛顿法也称为切线法。
牛顿迭代法对单根至少是二阶局部收敛的，而对于重根是一阶局部收敛的。
一般来说，牛顿法对初值0x 的要求较高，初值足够靠近*x 时才能保证收敛。
若要保证初值在较大范围内收敛，则需对)x (f 加一些条件。
如果所加的条件不满足，而导致牛顿法不收敛时，则需对牛顿法作一些改时，即可以采用下面的迭代格式：)x ('f )x (f x x k k k 1k λ-=+,⋯=,2,1,0k (1-6)上式中，10<λ<，称为下山因子。
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
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2.087348
3 2.094217
2.096517
4 2.094501
2.094017
迭代格式（三） 2 1 -5
-125 -1953005
5 2.094543
2.094697 7.4492071018
定理4.2：设s s, x在包含s的某个开区间内连续,如果 s 1, 则 存在 0 , 当 x0 s , s 时 , 由简单迭代法 (3)产生的序列 xk s , s
收敛的。
定理4.4：设 mx在包含 s的某个开区间内连续 (m 2) , s s , 如果 is 0 , i 1,2, , m 1 , ms 0 , 则存在 0 , 当 x0 s , s 但 x0 s时 , 由简单迭代法 (3) 产生的序列 xk 以m阶收敛速度收敛于 s。
x x
构造迭代公式
（2）
xkx01
xk
R
,
k
0,1,2,
（3）
由此产生一迭代序列
xk
k 1
。在一定的条件下我们希望该序列
是收敛的，于是当k充分大时，可取 xk 作为方程（1）的近似根。
迭代法（3）称为求解方程（1）的简单迭代法，x 称为
迭代函数。
注：xk1 xk , 两边取极限 , s s , 即s 是迭代函数 x不动点 。
3 x 3x2 1 , L3 26
一阶
例2的改进：
x3 2x 5 0 , 3x3 2x 2x3 5 , x 2x3 5 3x2 2
xk1
2xk3 5 , x 6x x3 2x 5
3xk2 2
3x2 2 2
, s 0
至少二阶收敛速度。
4、迭代法收敛的加速
问题：设有非线性方程
f x 0
（1）
其中 f x 为一元非线性函数。若常数 s 使得 f s 0 ，则称 s 是方程（1）的根（或 f x 的零点）。若
f x x sm gx
其中 g s 0 ，则称 s是（方程1）的m重根（或 f x 的m重
零点。当m=1时，s 称为方程（1）的单根或 f x 的单零点。
故简单迭代法又称为不动点迭代法。
收敛情形
不收敛情形
问题1：这样求根的近似值的理论依据是什么？
问题2：怎样构造等价方程？
问题3：序列xk
k 1
是否收敛？收敛的条件是什么？
2、收敛条件
定理4.1：设函数 xCa,b, 在a,b内可导 , 且满足以下条件
（1） 当x a,b时 , xa,b；
（2） 当x a,b时 , x L 1, 其中L为一常数；
注2：条件(2)中由于 xy x y , 故满足条件(2)的迭代函数x是 a, b上的一个压缩映射。
注3：结论(3)的第一式称为先验估计 , 第二式称为后验估计。 利用第一式可求
出达到指定精度 所需的最少迭代次数 ; 利用第二式可给出迭代 终止的条件。
注4：L 1时 , 即使 xk xk1 很小, 但误差 s xk 还可能很大源自 此时收敛缓慢；且收敛于 s。
3、收敛阶
定义1：设序列 xk 收敛于 s , 并且 ek s xk 0 , k 0,1,2, 。如果存在常
数 r 1和常数c 0 , 使得 lim ek1 c 成立 , 或者使得当k K (某个正整数)
e k
r
k
时,有
ek 1 ek r
c 成立 , 则称序列 xk 收敛于s 且具有r 阶收敛速度，简称 xk
第四章 非线性方程与非线性方程组的迭代解法
一、非线性方程（组）的近似求解的必要性
（1）单个方程情形：在非线性方程的求解中，多项式求根是常见且最简单 的情形。根据代数基本定理，在复数域内，n次多项式至少有一个根， 而由Galois（伽罗华）理论，5次以上（含5次）的多项式无根式求解。 从而近似求解方程就成为必需的了。除多项式求根以外，更多的是超 越方程求根问题。例如天体力学中有如下Kepler（开普勒）方程：
Steffensen迭代法 Aitken迭代法
4.1 对分法和简单迭代法
一、对分法 基本思想：对有根区间不断进行对分，即逐渐二分有根区间，得
一系列有根区间 ak , bk ak1 , bk1 a1 , b1 a0 , b0 ，当k 充分大时，取 ak , bk 的中点作为根的近似值。
设 f xC a,b , 并且 f a f b 0 , 对分法具体算法流程参 page67。
x t sin x 0 , 0 1
其中t表示时间，行星运动的轨道x是t的函数。该方程不能精确解出运 动轨道位置x(t)。
（2）多个方程情形：在用数值方法求解常微分方程组时经常遇到非 线性方程组求根问题。
二、非线性方程（组）求解研究的难点 （1）解的存在性、唯一性不易确定； （2）迭代解法求解； （3）迭代法的收敛性往往为局部收敛。 三、求解非线性方程的近似解的步骤 （1）判断根的存在性； （2）确定根的分布区间； （3）根的精确化。
L愈小 , xk 收敛愈快。
例2：用简单迭代法求 f x x3 2x 5在 2，,3 上的根。
解：迭代格式 （1） xk1 3 2xk 5
(2)
xk1
2 5 xk
(3) xk1 xk3 xk 5
k 迭代格式（一） 迭代格式（二）
0
2
2
1 2.080084
2.121320
2 2.092351
k N , s ak ,bk , xk
ak bk 2
,
xk s
bk ak 2
ba 2k 1
lim
k
xk
s
优点：算法简单方便，其收敛性总能保证； 缺点：可能漏根。
例1：求 f x x 22 x2 1 的根。
二、简单迭代法及其收敛性
1、基本思想 将方程（1）改写成等价形式
是 r 阶收敛的 , 常数 c 称为渐近收敛常数 (收敛因子)。
r=1；r=2；r>1
定理4.3：设函数 xCa,b, xCa,b , 且满足以下条件
（1） 当x a,b时 , xa,b；
（2） 当x a,b时 , x 0 , x L 1, 其中L为一常数； 则对任取的 x0 a,b,由简单迭代法 (3)所产生的序列 xk 收敛于 方程 (2)在a,b区间内的唯一的根 s , 并且当 x0 s时 , xk 是线性
则有如下结论：
(1) 方程（2）在区间a,b上有唯一的根 s；
（2）
对任取的x0
a, b ,
简单迭代法（3）产生的序列xk
k 0
a, b ,
且收敛于 s；
(3) 成立误差估计式
s xk
Lk 1 L
x1 x0
s xk
L 1 L
xk xk1
注1：满足条件 (1)的迭代格式称为是适定 的。 xk1 xk , 若xk a,b , 则 xk1 a,b , 其迭代过程进行不下去 。条件(1)也可理解为映射 a,b于自身。
例题3： f x x3 2x 5 , x 2,3
迭代格式(1) xk1 3 2xk 5 , 1x 3 2x 5
1x
1 3
2x
2
2
53
0 , L1
2 93 3
一阶
迭代格式(2)
xk1
2 5 xk
, 2 x
2 5 x
2 x
2
1 2
5
5 x2
0
,
L2
5 12
2
x
迭代格式 (3) xk1 xk3 xk 5 , 3 x x3 x 5