非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法【开题报告】
毕业论文开题报告信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、选题的背景和意义=的系数矩阵具有两非线性问题是近代数学研究的主流之一，随着计算问题的日益复杂化Ax b个明显的特点：大型化和稀疏化。
大型化指系数矩阵阶数可达上万甚至更高，稀疏性指A的零元素占绝大多数对这样的A作直接三角分解，稀疏性会遭到破坏，零元素被大量填入变为非零元素，因此迫切需要新的数值方法，适用于大型稀疏线性方程，以节省储存空间和计算时间，即提高计算效=是数值计算的重要任务，但是率，迭代法在这样的背景下得到关注和发展，求解线性方程组Ax b大多数科学和实际问题本质上是非线性的，能做线性化的毕竟有限，对这些非线性问题是各种解决方案，常常归纳为求解一个非线性方程组，而与线性方程相比非线性方程组的求解要困难和复杂的多，计算量也大的多，现有的理论研究还比较薄弱。
而对于非线性方程，一般都用迭代法求解。
二、国内外研究现状、发展动态近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
三、研究的主要内容，拟解决的主要问题（阐述的主要观点）非线性的迭代法是解非线性方程组的基本途径，是数值计算中非线性方程组求根的重要工具，也是研究非线性方程组整体性质和具体分布的重要工具。
就因为这样，很多专家学者对非线性方程组的迭代法进行研究。
在前人研究的基础上，本文首先介绍非线性方程组迭代法的产生背景以及国内外状况，然后从数值计算的定义及理论定理出发来研究非线性方程组的迭代法的一些相关的结论，包括非线性方程组的基于不动点原理的迭代法、newton迭代法及其收敛性、非线性方程组的迭代法及其收敛性、最小二乘法、迭代法的收敛加速性等，进一步讨论非线性方程组迭代解法的收敛性质以及其他一些相关定理，以便我们更好、更清楚的看到非线性方程组和迭代法之间的联系，以及收敛和加速。
7、解非线性方程的迭代法
§3 迭代收敛的加速方法
一、埃特金加速收敛方法
对于收敛的迭代过程，由迭代公式校正一次得 x1 = ϕ ( x0 ),
二分法优、缺点； 用途。
§2
一、不动点迭代
迭代法
将非线性方程f ( x) = 0化为等价形式 x = ϕ ( x).
(2.1)
f ( x*) = 0 ⇔ x* = ϕ ( x*) ; 称x * 为函数ϕ ( x)的一个不动点.
给定初始近似值x0 , 可以得到x1 = ϕ ( x0 ). 如此反复，构造迭代公式 xk +1 = ϕ ( xk ), k = 0,1,2,⋯. 称ϕ ( x)为迭代函数. (2.2)
(ϕ ( x) − x) 2 . ψ ( x) = x − ϕ (ϕ ( x)) − 2ϕ ( x) + x
(3.4)
(3.5)
定理5 定理5 若x * 为ψ ( x)的不动点, 则x * 为ϕ ( x)的不动点. 反之， x * 为ϕ ( x)的不动点，设ϕ ′′( x)存在, ϕ ′( x*) ≠ 1，则x * 为ψ ( x) 的不动点，且斯蒂芬森迭代法(3.3)是2阶收敛的.
k +1
.
(1.ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ)
例2 求x3 − x − 1 = 0在[1.0,1.5]内的一个实根，准确到 小数点后2位.
k ak 0 1.0 1 1.25 2 3 1.3125 4 5 6 1.3203 bk 1.5 1.375 1.3438 1.3281 xk 1.25 1.375 1.3125 1.3438 1.3281 1.3203 1.3242 f(xk)符号 − + − + + − −
牛顿迭代法解非线性方程（组）
牛顿迭代法解非线性方程（组）在辨识工作中，常常需要对辨识准则或者判据进行求极值，这往往涉及到求非线性方程（组）的解问题。
牛顿迭代法是一种常用方法。
下面把自己对牛顿迭代法的学习和理解做个总结。
1.一元非线性方程的牛顿迭代公式和原理以一元非线性方程 f(x)=0 为例，对函数 f(x)进行Taylor级数展开（只展开至线性项）得f(x) = f(x0)+f'(x0)(x-x0)所以方程可写成f(x0)+f'(x0)(x-x0) = 0其中x0是给定的已知值，则不难推导出方程的解（当然，只是近似解，毕竟Taylor展开过程中只取了线性项）x = x0 - f(x0) / f'(x0)其中x不是真实解，但是相比之前的x0更靠近真实解了，因此可以多重复几次上述过程，从而使得到的解非常接近准确值。
所以，对于一元非线性方程，牛顿拉夫逊迭代公式为：x(k+1) = x(k) - f(x(k)) / f'(x(k))根据Taylor级数的几何意义我们可以从几何上形象的看牛顿迭代法的求解f(x)=0的过程。
第一次迭代x1 = x0 - f(x0) / f'(x0)，其中f(x0) / f'(x0)的几何意义很明显，就是x0到x1的线段长度（这可以从直角三角形的知识得到）。
第二次迭代x2 = x1 - f(x1) / f'(x1)，其中f(x1) / f'(x1)的几何意义很明显，就是x1到x2的线段长度。
同理可以进行第三次迭代第四次迭代，可以明显的看出x的取值在不断逼近真实解x*。
可能有人问，迭代求得的结果会不会不收敛，也就是x会不会偏离x*。
由于x0是在x*附近区域取值的，因此x0到x1这段曲线应该认为是平滑的没有转折的，因此切线与x轴的交点只会越来越接近真实解x*。
但是如果x0的取值离x*比较远的话，那么x0到x1这段曲线上可能有“转折”，这样就可能引起迭代的不收敛。
【文献综述】非线性方程组的迭代解法
文献综述信息与计算科学非线性方程组的迭代解法一、国内外状况 近年来，国内外专家学者非线性方程组的迭代解法的研究兴趣与日俱增，他们多方面、多途径地对非线性方程组进行了广泛的领域性拓展（科学、物理、生产、农业等），取得了一系列研究成果。
这些研究，既丰富了非线性方程组的内容，又进一步完善了非线性方程组的研究体系，同时也给出了一些新的研究方法，促进了数值计算教学研究工作的开展，推动了课程教学改革的深入进行。
非线性问题是数值分析中一种研究并解决数值计算问题的近似解的数学方法之一。
数值是各高校信息与计算科学专业的一门核心基础课程。
它既有数学专业课理论上的抽象性和严谨性，又有解决实际问题的实用性。
80年代以前，数值分析课程只在计算数学专业和计算机专业开设，限于计算机的发展，课程的重心在数学方法理论分析方面，是一门理论性较强的课程。
近年来，随着计算机技术的迅速发展，以及计算机的普及和应用，数值分析课程也在国内外各大高校得到了迅速的推广。
特别是Mathworks公司对Matlab软件的研发，给数值分析课程注入了新的活力。
利用Matlab 所含的数值分析计算工具箱，可以进行数值计算方法的程序设计，同时利用图形图像处理功能，可以对数值分析的近似解及误差进行可视化分析，特别是对非线性问题的求解，利用软件计算求解的方法简单多了。
二、进展情况经过多年的不断研究探索，非线性问题的理论性质得到了更多的认证，我们通过对理论的学习，将它融入其他知识体系中比如：动力学，农业学等等。
非线性问题在经过人们不断的探索努力下发现了很多定理定义，比如不动点迭代法，牛顿法，拟牛顿法，以及各种迭代法。
并且对于各种迭代法的收敛性质和收敛速度进行了深入的研究，从而了解了迭代法的构造、几何解释、并对它的收敛性（全部收敛和局部收敛）、收敛阶、误差估计等。
由于迭代法的计算步骤比较多，计算量大且复杂，很多学者对迭代法的加速方法进行了研究。
而对非线性方程组的迭代解法也初步有了研究的进展。
非线性方程组的迭代解法11公开课获奖课件
f
'
' ( x0 2!
)
(x
x0
)2
取其线性部分做为f(x)近似，有：
f (x0 ) f '(x0 )(x x0 ) 0
若 f '(x0 ) 0, 则有
x x0
f (x0 ) f '(x0 )
记为 x1
y
同'(x1)
x*
x
x0
第22页
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第二章 非线性方程(组)求根措施
问题：f : Rn Rn的非线性函数,求x Rn使f (x) 0。 若 n=1, 称为非线性方程求根问题； n>1，称为非线性方程组求解问题。
理论问题：
（1）解存在性。即有解还是无解，有多少解。 （2）解性态。即孤立解区域，解重数，光滑性。
有关解存在性及其性态，不是数值分析所讨论问题。我
这样一直下去，我们可以得到迭代序列
xn1 xn
f (xn ) f '(xn )
(n 0,1,2)
(2)
—— 牛顿迭代算法(切线法)
Newton迭代迭代函数
f (x) 0 x (x) x f (x)
f '(x)
其他构造措施
(1) 待定函数法: (x) x f (x)h(x)
x
(2) 数值积分法:
措施3
措施4
1.5000
1.5000
0.8165
1.3484
2.9969
1.3674
0-2.9412i 1.3650 6次
不收敛
1.3653
1.3652
1.3652
*收敛与否，以及收敛快
15次
4.2非线性方程组的迭代解法
连续,则F在x处可微,并称F在x处连续可微,且
f i ( x) F ( x) x j nn
（2）若F（x）在 x int D 可微，则F在x处连续；
（3）中值定理
f1( x 1h)T T f 2 ( x 2 h) F ( x h) F ( x ) h T f n( x n h)
f f f
1
( x) 0 ( x) 0 ( x) 0
2
2
n
n
令
F ( x) 0
向量形式
x1 x2 x x n
4.2 非线性方程组的迭代解法
一、 一般概念 1.非线性方程组的一般形式
f f f
一、 一般概念 1.非线性方程组的一般形式
f f f
1
( x1 , x 2 ,, x n ) 0 ( x1 , x 2 ,, x n ) 0 ( x1 , x 2 ,, x n ) 0
f1 ( x) f 2 ( x) F ( x) f ( x) n
x a 0
lim F ( x) l 0
3.向量值函数的极限、连续、可导、可微 （1）极限 F ( x) l lim F ( x) l (l R m ) xlim a 0
x a
0
lim f i ( x) lim f i ( x1 , x2 ,, xn ) li
这里
c ( f x1 ( p0 ), f x2 ( p0 ), , f xn ( p0 ))
f f f T f ( x) ( , ,, ) x1 x2 xn
42 非线性方程组的迭代解法讲解
x ( k ) x ( k 1) x
(k )
；
2o 由
L知简单迭代法是线性收敛的；
3o 对线性方程组迭代函数G ( x ) Bx d , 有L= B <1是收敛的充分 必要条件。
局部收敛定理 定理5(局部收敛定理 ) 设G：D R n R n ,x * int( D )
其中, 0 k 1, k 1, 2,
, n。
三、收敛向量序列的收敛速度
定义3 设向量序列 xk 收敛于 x * , ek x * xk 0,
k 1,2,
, 如果存在常数r 1和常数c 0，使极限
lim
k
e
k
e k 1
r
c
r
成立，或者使得当k K (某个常数)时，有 ek 1 ek
（4Байду номын сангаас2.2）
其中，F : D R n R n是定义在区域D R n上的向量 值函数。 若存在x * D , 使F ( x * ) ，则称x *是方程组(4.2.1)或 (4.2.2)的解。
二、多元微分学补充
定义1 设f ：D R n R，x int( D ) (即x是D的内点)， 若存在向量l ( x ) R n ,使极限
L (k ) ( k 1) L(1 L ) ( k ) ( k 1) x x x x 1 L 1 L L * (k ) 再让m , 得 x x x ( k ) x ( k 1) ■ 1 L
m
i 1 i 1
说明
1o 简单迭代法的精度控制与终止条件e( k ) x * x ( k +1) x x
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组的迭代解法
非线性方程组是指由非线性函数组成的方程组，它们通常无法使用数学公式解出解析解。
一种常用的求解非线性方程组的方法是迭代法。
迭代法是一种近似求解方法，它通过不断进行迭代来逼近解。
常用的迭代法有牛顿迭代法、共轭梯度法、线性共轭法等。
牛顿迭代法是一种常用的迭代法，它使用了泰勒展开式来逼近非线性函数，并使用这个近似函数的零点来迭代求解非线性方程组。
共轭梯度法是一种高效的迭代法，它使用了共轭梯度来求解非线性方程组。
线性共轭法是一种高效的迭代法，它通过使用共轭梯度来求解非线性方程组，并使用线性共轭条件来加速收敛。
这些迭代法都是基于迭代的方法，需要给定初始解和终止条件，并且在迭代过程中可能会出现收敛问题，所以需要设计合适的迭代步骤来保证收敛性。
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则 方 程 组 可 表 示 为 F () x
（ 4 . 2 . 2 ）
n n n 其 中 ， F : D RR 是 定 义 在 区 域上 D R 的 向 量
值 函 数 。
* * * 若 存 在使 xD ,F () x ， 则 称 x 是 方 程 组 ( 4 . 2 . 1 ) 或
T i i h θ
h
n n 成 立 ， 与 存 在 矩 阵 A ( x ), R 使 ( 4 . 2 . 4 ) 式 成 立 是 等 价 的 ， T T T T 并 且 A ( x ) l ( x ) , l ( x ) ,, l ( x ) , 即 1 2 n f ( x ) ( i 1 , 2 , , n ) 在 x 处 可 微 是 F ( x ) 在 x 处 可 微 的 充 分 必 i
F ( x h ) F ( x ) A ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 4 ) h θ h
成 立 ， 则 称 Fx 在 处 可 微 ， 矩 阵 A ( x ) 称 为 Fx 在 处 的 导 数
记 为 F ( x ) A ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 FD 在 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 FD 在 内 可 微 。
充 分 条 件 。
定理1证明 证 明 ： 记 l ( x ) l ( x ) , l ( x ) , , l ( x ) , 取 h e ( 实 数 12 n j
j
T
0 , e 是 n 维 基 本 单 位 向 量 ) ,( 由 于 4 . 2 . 3 ) 成 立 ， 故 有 j
定理1
说明：
f f f f (x ) , , , x x x 1 2 n
T
o 1 f在 x处 的 导 数 f (x ) 又 称 为 f在 x处 的 梯 度 ， 可 记
为 g r a d f(x ) 或 f(x ) ；
o 2 梯 度 f(x ) 存 在 只 是 函 数 f在 x 处 可 微 的 必 要 条 件 而 非
( 4 . 2 . 1 )
n 其 中 ， f ( i 1 , 2 , ,) n 是 定 义 在 区 域 D R 上 的 n 元 实 i
值 函 数 ， 且 f 中 至 少 有 一 个 是 非 性 性 函 数 。 i
令 x x , x , , x F () x fx () , fx () , , fx () ， , 1 2 n 1 2 n
成 立 ， 则 称 f 在 x 处 可 微 ， 向 量 l ( x ) 称 为 f 在 x 处 的 导 数 ，
记 为 ： f ( x ) l ( x ) ； 若 D 是 开 区 域 且 f 在 D 内 每 一 点 都 可 微 ， 则 称 f 在 D 内 可 微 。
n 定 理 1 若 f : DR R 在 x i n t ( D ) 处 可 微 , 则 f 在 x 处 f 关 于 各 自 变 量 的 偏 导 数( j 1 , 2 , , n ) 存 在 ， 且 有 x j
f (x ) f1(x ) 1 x x 1 2 fi(x ) (x F ) x j n n ) fn(x ) fn(x x 1 2 x
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f1(x ) x n fn(x ) x n
n n 定理 2值 定 理 2 设 FD : R R 为 向 量 函 数 , 则 F 在 x i n t ( D )
处 可 微 的 充 分 必 要 条 件 是 F 的 所 有 分 量 f ( i 1 , 2 , , n ) 在 i x 处 可 微 ； 若 F 在 x 处 可 微 , 则 有
( 4 . 2 . 2 ) 的 解 。
二、多元微分学补充
n 定 义 1 设 f ： D R R ， x i n t () D ( 即 x 是 D 的 内 点 ) ， n 若 存 在 向 量 l () x R , 使 极 限
T f ( x h ) -( f x ) l ( x ) h l i m 0 ( 4 . 2 . 3 ) h θ h
§4.2 非线性方程组的迭代解法
§4.2.1 预备知识 一、一般非线性方程组及其向量表示法
含 有 n 个 方 程 的 n 元 非 线 性 方 程 组 的 一 般 形 式 为
(x ,x , ,x ) 0 f 1 1 2 n f (x,x, ,x) 0 2 1 2 n (x ,x , ,x ) 0 n 1 2 n f
f ( xe ) f ( x ) f ( x ) 从 而 l i m lx ( ) , j 1 , 2 ,, n x
0
j 0 j
f ( xe ) f ( x ) lx ( ) j j l i m 0 , j1 , 2 ,, n
f f f 存 在 ， 且 有 fxl ( ) ( x ) , ,, ■ xx x 1 2 n
T
向量值函数的可微性
n n A () x R , 使 极 限
n n 定 义 2 设 F ： D R R ， x i n t ( D ) ， 若 存 在 矩 阵
称 为 F 在 x 处 的 J a c o b i 矩 阵 。
证 明 ： 由 于 F ( x ) f ( x ) , f ) ( x , , f ( x ) , 所 以 ， 存 在 定理 12 n
T
n 向 量 lx () R , 使 极 限 i
2证 fx ( h ) -( f x ) -( lx ) h 明 l i m 0 i 1 , 2 ,, n