第三章 概率与概率分布要点
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高中数学概率与分布知识点总结
高中数学概率与分布知识点总结概率与分布在高中数学中是一个重要的章节，也是学生们相对较难理解与掌握的内容之一。
本文将对概率与分布的基本概念、常见分布和相关的计算方法做一个综合总结。
一、基本概念1. 概率：指某一事件在随机试验中发生的可能性。
用P(A)表示事件A发生的概率，0≤P(A)≤1。
2. 样本空间：指一个随机试验中所有可能结果的集合，用Ω表示。
3. 事件：指某一特定结果或一组结果的集合，属于样本空间Ω的子集。
4. 互斥事件：指两个事件不可能同时发生，其交集为空集。
5. 独立事件：指两个事件的发生与否互不影响。
二、常见分布1. 二项分布：描述了在n次独立同分布的伯努利试验中成功次数的概率分布。
记为B(n, p)，其中n表示试验次数，p表示每次试验中成功的概率。
2. 泊松分布：当某事件在单位时间（或单位面积）内发生的平均次数为λ时，该事件在单位时间（或单位面积）内发生k次的概率由泊松分布描述。
3. 正态分布：也称为高斯分布，是概率论与统计学中最为重要的概率分布之一。
它在自然界和社会科学中具有广泛的应用。
4. 均匀分布：指在一定区间内各个取值都是等可能的分布。
三、计算方法1. 互斥事件的概率：对于互斥事件A和事件B，它们的概率可以通过P(A ∪ B) = P(A) + P(B)来计算。
2. 独立事件的概率：对于独立事件A和事件B，它们的概率可以通过P(A ∩ B) = P(A) × P(B)来计算。
3. 条件概率：指在事件B已经发生的条件下，事件A发生的概率。
用P(A|B)表示，计算公式为P(A|B) = P(A ∩ B) / P(B)。
4. 排列组合：在概率与分布的计算中，排列组合是常用的计数方法。
包括排列（有序选择）和组合（无序选择）两种情况。
四、解题方法1. 利用树状图：对于复杂的问题，可以通过绘制树状图来分析事件之间的关系，便于计算概率。
2. 列表法：适用于事件较少且互斥的情况，将每个事件列出，通过计算每个事件的概率得到最终结果。
第3章 常用概率分布(田间试验与统计分析 四川农业大学)
P（“至少1粒种子出苗”） = P(x=1)+P(x=2)+…+P(x=6) = C610.6710.335 C62 0.6720.334 C66 0.6760.330 = 0.0157＋0.0799＋0.2162 ＋0.3292＋0.2672＋0.0905 = 0.9987
二项分布的应用条件：
在统计学上，把小概率事件在一次试验中 看成是实际不可能发生的事件称为小概率事件 实际不可能性原理，亦称为小概率原理(small probability principle)。
小概率事件实际不可能性原理是统计学上 进行假设检验（显著性检验）的基本依据。
第二节 概率分布
事件的概率表示了一次试验某一个结果发生的 可能性大小。
标准正态分布的概率密度函数及分布函数分别 记作ψ(u)和Φ(u)。
(u)
1
u2
e2
2
(u) 1
u 1u2
e 2 du
2
u～N(0，1)
对于任何一个服从正态分布N(μ,σ2)的随 机变量x，都可以通过标准化变换：
u x
将其变换为服从标准正态分布的随机变量u。
一、正态分布的定义及其特征
（一） 正态分布的定义 若连续型随机变 量 x 的概率分布密度函数为
其中μ为平均数，σ2为方差，则称随机变量 x 服从正 态分布(normal distribution) ， 记为x~N(μ, σ2)。
相应的概率分布函数为：
F(x) 1
e dx x
(
x) 2 2
对于样本是取自连续型随机变量的情况，这 条函数曲线将是光滑的。这条曲线排除了抽样和 测量的误差，完全反映了水稻行产量的变动规律。 这条曲线叫概率分布密度曲线，相应的函数叫概 率分布密度函数 。
第三章 概率分布
f(0)
0.0039
0.0039
f(1)
0.0469
0.0508
f(2)
0.2109
0.2617
f(3)
0.4219
0.6836
f(4) 总和
0.3164 1.0000
1.0000
NP(x) 0.39 4.69 21.09 42.19 31.64 100.00
精品课件
例2：某批鸡种蛋的孵化率是0.90，今从该 批种蛋中每次任选5个进行孵化，试求孵出 小鸡的各种可能概率。
（2）当p值趋于0.5时，分布趋于对称。
精品课件
图4—9 n值不同的二项分布比较
图4—10 p值不同的二项分布比 较
精品课件
2、二项分布的参数 • 总体平均数（次数）：
μx=np • 总体标准差（次数）：
σx= npq
如例1，n=4, p=0.75，可求红花出现的株数为 4×0.75=3株，σ=(4×0.75×0.25)1/2=0.866株
在一般情况下，随机事件的概率p是不可能准确 得到的。通常以试验次数n充分大时随机事件A的 频率作为该随机事件概率的近似值。
即
P（A）=p≈m/n （n充分大）
精品课件
概率有如下基本性质：
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
精品课件
三、概率计算
（一）事件的相互关系 1、和事件
事件A和事件B至少有一件发生而构成的新 事件称为事件A和事件B的和事件，以A＋ B表示。 2、积事件 事件A和事件B同时发生，以A·B表示
精品课件
3、互斥事件 事件A和事件B不能同时发生，A·B=V 如新生儿男为A，女为B
第3章+概率与概率分布-精品文档
3 - 13
统计学
STATISTICS
概率的统计定义
若在相同的条件下重复进行的n次试验中，事件 A发生了m次，当试验次数 n 很大时，事件A发 生频率m/n 稳定地在某一常数 p 上下波动，而
且这种波动的幅度一般会随着试验次数增加而 缩小，则定义 p 为事件A发生的概率
P(A)pmn
当n相当大时，可用事件发生的频率m/n作为其 概率的一个近似值——计算概率的统计方法（频 率方法）
十五的月 亮比初十
圆！
变化结果是事先可以确定的，一定的条件必然导 致某一结果
这种关系通常可以用公式或定律来表示 十五的夜
随机现象（偶然现象、不确定现象）
晚能看见 月亮？
在一定条件下可能发生也可能不发生的现象
个别观察的结果完全是偶然的、随机会而定
大量观察的结果会呈现出某种规律性
（随机性中寓含着规律性） ——统计规律性
3-5
统计学
STATISTICS
随机试验
严格意义上的随机试验满足三个条件：
试验可以在系统条件下重复进行 试验的所有可能结果是明确可知的 每次试验前不能肯定哪一个结果会出现
广义的随机试验是指对随机现象的观察 （或实验）
实际应用中多数试验不能同时满足上述条 件，常常从广义角度来理解
3-6
必然事件的概率为1，表示为P ( )=1 不可能事件发生的可能性是零，P( )=0
随机事件A的概率介于0和1之间，0≤P(A) ≤1
概率的三种定义，给出了确定随机事件概 率的三条途经
3 - 10
统计学
STATISTICS
概率的古典定义
古典概型（等可能概型）
——具有以下两特点
每次试验的可能结果有限（即样本空间中基 本事件总数有限）
第三章++概率与概率分布
解读贝努力大数定律
• 当试验条件不变时，重复次数n接 近无限大时事件A发生的频率W(A) 与其理论概率P（A）的差值必定小 于一个任意小的正数ε，即W(A)与P （A）可以基本相等，这几乎是一个 必然发生的事件，即P=1。
几种常见的理论分布
• 间断性随机变量： • 二项分布、泊松分布； • 连续性随机变量： • 正态分布
两种不同药物杀灭螟虫，其结果如下：
死亡（A） 存活
和
药物甲（B） 96
24
120
药物乙（C） 64
16
80
和
160
40
200
从 200 只被调查的虫子中任取一只，该虫是死虫的概率为： P(A)=160/200=0.8 从被调查的 200 只中，任取 1 只，该虫接受了甲药物的概率为： P(B)=120/200=0.6 从 被 调 查 的 200 只 中 ， 任 取 1 只 ， 该 虫 接 受 了 甲 药 物 且 死 亡 的 概 率 为 ： P(AB)=96/200=0.48 因此，死亡的虫子接受药物甲的条件概率为： P(BIA)=P(AB)/P(A)=0.48/0.8=0.60
• 间断性随机变数X的期望
E)( X x if(x i)
• 间断性随机变数X的方差 Va (x)r2 (xi)2
N
总体原点矩和总体中心矩
• 记随机变量的k阶原点矩为：
k' p(y)yk
• 记随机变量的k阶中y心矩为：
k p(y)Y ( )k
• 从中不难看出：随k 机变量的一阶原点矩就是数学 期望，即平均数，一阶中心矩为零
• 独立事件：事件A与事件B的发生没有关系，即事件A的发生 不影响事件B的发生，反之依然，称事件A与事件B为独立事 件；
概率及概率分布
例1a （连续型随机变量）
某厂加工一种圆孔套件，轴与孔径的间隙为随机变量X(cm），其概率分布密度函数为：
1、若间隙大于0.8则不合格，问该厂加工的废品率是多少？ 2、优等品（间隙小于0.4）的比例是多少？ 3、求间隙的均值、总体中位数和方差。
计算1、废品率：
面积即为概率
计算2、优等品率：
面积即为概率
典型应用2
F 分布
设随机变量V和W相互独立，且 推论：
典型应用1
的100（1-α）%置信期间为：
两个正态总体方差比值的期间估计： 分别从X1~N(μ1, σ12)， X2~N(μ2, σ22) 中抽取n1、n2个样本，S12和S22为样本的方差，显然：
X
1
2
3
4
P(X=x)
0.4
0.1
0.1
0.4
三、常用的概率分布
单击此处添加文本具体内容
PART.01
伯努利分布(Bernoulli distribution） 伯努利实验：一个实验只有两种可能的结果：“成功”和“失败”，概率分别为p和1-p。 定义随机变量X：实验成功则X=1，否则为0 称X是服从参数为p的伯努利分布，记为： 易得：
计算3、均值、总体中位数和方差：
例1b （离散型随机变量）
某保险公司设计一款一日游健康保险产品。根据市场调查，产品设计为：轻伤赔付500元（平均发生比例1%），重伤赔付10000元（平均发生比例0.1%），死亡赔付200000元（平均发生比例0.01%）。问按照盈亏平衡原则的收费最少为多少？
分析
续
进一步计算出Y的条件密度函数为：
Y的期望条件为：
可以证明，对于任意两个随机变量均有：
相关系数
某厂加工一种圆孔套件，轴与孔径的间隙为随机变量X(cm），其概率分布密度函数为：
1、若间隙大于0.8则不合格，问该厂加工的废品率是多少？ 2、优等品（间隙小于0.4）的比例是多少？ 3、求间隙的均值、总体中位数和方差。
计算1、废品率：
面积即为概率
计算2、优等品率：
面积即为概率
典型应用2
F 分布
设随机变量V和W相互独立，且 推论：
典型应用1
的100（1-α）%置信期间为：
两个正态总体方差比值的期间估计： 分别从X1~N(μ1, σ12)， X2~N(μ2, σ22) 中抽取n1、n2个样本，S12和S22为样本的方差，显然：
X
1
2
3
4
P(X=x)
0.4
0.1
0.1
0.4
三、常用的概率分布
单击此处添加文本具体内容
PART.01
伯努利分布(Bernoulli distribution） 伯努利实验：一个实验只有两种可能的结果：“成功”和“失败”，概率分别为p和1-p。 定义随机变量X：实验成功则X=1，否则为0 称X是服从参数为p的伯努利分布，记为： 易得：
计算3、均值、总体中位数和方差：
例1b （离散型随机变量）
某保险公司设计一款一日游健康保险产品。根据市场调查，产品设计为：轻伤赔付500元（平均发生比例1%），重伤赔付10000元（平均发生比例0.1%），死亡赔付200000元（平均发生比例0.01%）。问按照盈亏平衡原则的收费最少为多少？
分析
续
进一步计算出Y的条件密度函数为：
Y的期望条件为：
可以证明，对于任意两个随机变量均有：
相关系数
5.1 第三章 常用概率分布10.14
相等。
设有一个总体 ，总体平均数为 μ,方差为σ2，总 体中各变数为 x， 将 此总体称为原总体。现从这个 总体中随机抽取含量为n的样本，样本平均数记为 。 可以设想，从原总体中可抽出很多甚至无穷多个 x 含量为n的样本。由这些样本算得的平均数有大有小， 不尽相同，与原总体平均数μ相比往往表现出不同程 度的差异。这种差异是由随机抽样造成的 ，称为 抽 样误差(sampling error)。 显然，样本平均数也是一个随机变量，其概率分 布叫做样本平均数的抽样分布。由样本平均数构成的 总体称为样本平均数的抽样总体。
由(4-11) 式及正态分布的对称性可推出 下列关系式， 再借助附表1 ， 便能很方便地 计算有关概率：
P(0≤u＜u1)＝Φ(u1)-0.5
P(u≥u1) =Φ(-u1)
P(｜u｜≥u1)=2Φ(-u1)
P(｜u｜＜u1＝＝1-2Φ(-u1)
P(u1≤u＜u2)＝Φ(u2)-Φ(u1)
【例4.6】 已知u～N(0，1)，试求： (1) P(u＜-1.64)＝?
P(｜u｜≥1.96)=1-0.95=0.05
P(｜u｜≥2.58)=1-0.99=0.01
（二）一般正态分布的概率计算
正 态 分 布 密度曲线和横轴围成的一个区
域，其面积为1，这实际上表明了“随机变量x
取值在-∞与+∞之间”是一个必然事件，其概
率为1。
若随机变量 x服从正态分布N(μ,σ2)，则x
即大数定理
x2 2. 若随机变量x服从平均数是 μ，方差是 σ2的分布(不是正态分布)； x1， x 2 ，…， x n 是 x 由此总体得来的随机样本，则 统 计 量 x =Σx／n的概率分布，当n相当大时逼近正态分 布N(μ,σ2／n)。这就是中心极限定理。
第3章-概率与概率分布PPT课件
2021
6
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
3 结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固 有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
2021
8
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
2021
9 二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
2021
和事件 11
互斥事件
非互斥事件
积事件
2021
对立事件
6
例如，为了确定1粒小麦种子发芽这个事件的概 率，在下表中列出了小麦种子发芽试验记录。
试验种子 粒数n
发芽种子 粒数m
频率 m/n
100 65 0.650
200 300 400 500 600 700 155 204 274 349 419 489 0.675 0.680 0.685 0.698 0.6983 0.6986
3 结果呈现偶然性、不确定性； 但在相同条件下进行大量重复试验时，其试验结果却呈现出某种固 有的特定的规律性——频率的稳定性，通常称之为随机现象的统计 规律性。
随机试验（random trial）：一个试验如果满足下述三个特 性， 则称其为一个随机试验
试验可以在相同条件下多次重复进行； 每次试验的可能结果不止一个，并且事先知道会有哪些可能的结果； 每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前
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8
概率的性质
1、对于任何事件A，有0≤P（A）≤1； 2、必然事件的概率为1，即P（U）=1； 3、不可能事件的概率为0，即P（V）=0。
2021
9 二、概率的计算
事件的相互关系：
和事件 （Sum event）事件A和B至少有一件发生而构成的新事件称为
事件A和B的和事件，以A+B 或
表示。
独立事件 （independent event）：事件A的发生与事件B 的发生毫无关系，反之，事件B的发生也与事件A的发生毫 无关系，则称A和B为独立事件。 例如，播种两粒玉米，第一粒发芽为事件A，第二粒 发芽为事件B，则他们发芽互不影响。
2021
和事件 11
互斥事件
非互斥事件
积事件
2021
对立事件
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B= A
种子的发芽与不发芽；新生婴儿的性别；
5 独立事件
事件A和事件B的发生无关，事件B的发生与 事件A的发生无关，则事件A和事件B为独立 事件。
例如，事件A为“花的颜色为黄色”，事件B为 “产量高”，显然如果花的颜色与产量无关，则事 件A和B相互独立。
如果多个事件A1、A2、A3、…、An 彼此独立， 则称之为独立事件群。
（二）概率的计算法则 1 互斥事件加法定理 定理: 若事件A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)
试验的全部结果包含n个基本事件，事件A包含其中m1个 基本事件，事件B包含其中m2个基本事件。由于A和B互斥， 因而它们各包含的基本事件应该完全不同。所以事件A＋B所 包含的基本事件数为m1+m2。
容量n相当大，则频率分布就趋于稳定，我们将
它近似地看成总体概率分布。
对于一个连续型随机变量x，取值于区间[a,b]内的概 率为函数f(x)从a到b的积分，即：
P(a x b) f ( x)dx
a
b
连续型随机变量的概率由概率分布密度函数所确定。
P( x ) f ( x)dx 1
随机事件：在一定条件下，可能出现也可能不出现的
现象，叫随机事件。为了研究随机现象，需要进行大量 重复的调查、实验、测试等，这些统称为试验。
（二）频率（frequency）
若在相同的条件下，进行了n次试验，在这n 次试验中，事件A出现的次数m称为事件A出现的 频数，比值m/n称为事件A出现的频率(frequency)， 记为W(A)=m/n。
作为该随机事件概率的近似值。
任何事件
必然事件 不可能事件 随机事件
0≤P(A)≤1 P(U)=1
P(V)＝0
0<P(A)<1
二、概率的计算
（一）事件的相互关系
和事件 积事件 互斥事件 对立事件 独立事件 完全事件系
1 和事件
事件A和事件B中至少有一个发生而构成的新 事件称为事件A和事件B的和事件，记作A+B。
P(A+B)=m1/n+m2/n=P(A)+P(B)
1 互斥事件加法定理
推理1 P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An) 推理2 P(A)=1-P(A) 推理3 完全事件系的和事件的概率为1。
1 互斥事件加法定理 例：玉米田中，一穗株(A)占67.2%，双穗株(B)占30.7%，空 穗株(C)占2.1%，试计算一穗株和双穗株的概率。 P(A+B)=P(A)+P(B)=0.672+0.307=0.979 因为P(A)+P(B)+P (C) =1 P(A+B)=1-P(C)=1-0.021=0.979
概率密度函数f(x)曲线与x轴所围成的面积为1。
随机变量可能取得的每一个实数值 或某一范围的实数值是有一个相应概率
于其对应的，这就是所要研究和掌握的
规律，这个规律称为随机变量的概率分
布。
四、大 数 定 律
大数定律：是概率论中用来阐述大量随机
现象平均结果稳定性的一系列定律的总称。 主要内容：样本容量越大，样本统计数与 总体参数之差越小。
对离散型变量x的一切可能值xi(i=1,2,3…), 及其对应的概率pi P (x=xi) = pi, i=1,2,3…
离散型变量的概率分布的特点
Pi≥ 0
(i=1,2,…)
Pi
i 1
=1
（二）连续型变量的概率分布
当试验资料为连续型变量，一般通过分组
整理成频率分布表。如果从总体中抽取样本的
3 互斥事件（互不相容事件）
事件A和事件B不能同时发生，则称这两个事 件A和B互不相容或互斥。
n个事件两两互不相容，则称这n个事件互斥。 例如棉花纤维长度“＜28毫米”和“等于28毫米” 不可能同时发生，为互斥事件。
4 对立事件
事件A和事件B必有一个发生，但二者不能同 时发生，且A和B的和事件组成整个样本空间。 即A+B=U，AB=V。我们称事件B为事件A的 对立事件。
n个事件的和，可表示为A1+A2+…+An 例如测定棉花的纤维长度，以＜28毫米为事件A， 28至30毫米为事件B，则抽取一根≤30毫米的这一新 事件为A＋B。
2 积事件
事件A和事件B中同时发生而构成的新事件称 为事件A和事件B的积事件，记作A•B。
n个事件的积，可表示为A1 • A2 • … • An 例如某小麦品种，以发生锈病为事件A，发生白粉 病为事件B，则锈病和白粉病同时发生这一新事件 为AB。
0≤W(A) ≤1
（三）概率（probability,P)
统计定义：设在相同的条件下，进行大量重复试 验，若事件A的频率稳定地在某一确定值p的附近 摆动，则称p为事件A出现的概率。
m m P(A) = p=lim n n
在一般情况下，随机事件的概率P是不可能准确得到 的。通常以试验次数n充分大时，随机事件A的频率
2 独立事件乘法定理
定理: 事件A和事件B为独立事件，则事件A与事 件B同时发生的概率为各自概率的乘积。 P(AB)=P(A)P(B)
推理：A1、A2、…An彼此独立，则
P(A1A2A3…An)=P(A1)P(A2)P(A3)…P(An)
三、概 率 分 布
（一）离散型变量的概率分布
要了解离散型随机变量x的统计规律，必须知道 它的一切可能值xi及取每种可能值的概率pi。
伯努利大数定律
辛钦大数定律
（1)伯努利大数定律 设m是n次独立试验中事件A出现的次数， 而p是事件A在每次试验中出现的概率，则对 于任意小的正数ε，有如下关系：
第三章 概 率
与 概率分布
第Байду номын сангаас节：概率基础知识
一、概率的概念 二、概率的计算 三、概率的分布 四、大数定律
一、概率基本概念
（一）事件 定义：在一定条件下，某种事物出现与否 就称为是事件。
确定性事件
必然事件（U)(certain event)
不可能事件（V)(impossible event)
6
完全事件系
如果多个事件A1、A2、A3、…、An两两互斥， 且每次试验结果必然发生其一，则称事件A1、 A2、A3、…、An为完全事件系。 完全事件系的和事件概率为１，任何一个事 件发生的概率为1/n。即：
P（A1＋A2＋…＋An）＝１
例如对于棉花纤维长度，＜28毫米、≥28毫米和＜ 30毫米、≥30毫米均构成了完全事件系。