基本不等式的实际应用PPT教学课件
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不等式基本不等式实际应用ppt
柯西不等式
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
通过比较序列的方差和乘积来证明 不等式。
Hale Waihona Puke 代数证明方法排序原理
利用排序原理，比较序列的大 小来证明不等式。
反证法
通过假设反面命题成立，然后 推导出矛盾，从而证明原命题
成立。
拉格朗日中值定理
利用微积分中的拉格朗日中值 定理，通过比较函数在两点的
值来证明不等式。
微积分证明方法
01
极值定理
利用微积分中的极值定理，通过比较函数在某点的导数值与该点的函
《不等式基本不等式实际应 用ppt》
xx年xx月xx日
目录
• 不等式与基本不等式介绍 • 基本不等式的证明方法 • 不等式在实际问题中的应用 • 基本不等式在数学竞赛中的应用 • 不等式与基本不等式的扩展应用
01
不等式与基本不等式介绍
不等式的定义及性质
定义
用不等号连接两个解析式，得到 的不等式是定义。如：x^2<y^2 。
详细描述
在优化问题中，需要在一个约束条件下找到一个最优解。这个约束条件通常由不等式表示。通过建立不等式并 求解，可以找到满足这个约束条件的最优解。例如，在交通运输中，可以利用不等式求解在一定时间内完成最 多运输量的最优方案。
极值问题
总结词
不等式可以用于求解函数的极值问题，通过建立不等式并求解，可以找到函数在 某一点处的极值。
经济领域
在经济领域中，基本不等式可以用于解决一些最优问题，例如，在制定经济政策时，利用 基本不等式可以得到社会福利最大化的资源分配方案。
02
基本不等式的证明方法
几何证明方法
平行线定理
利用平行线性质，通过比较两 条平行线上的线段长度来证明
不等式。
基本不等式的应用(课件)
求证给定数字之和的平均值大于等于这 些数字的算术平均值
1
数学推理
通过使用基本不等式和数学推理，可以证明给定数字之和的平均值大于等于这些数字的 算术平均值。
2
数学不等式
根据基本不等式的定义，可以得到相应的数学不等式。
3
举例论证
通过例证法和具体数字的应用，可以说明这一结论的正确性。
证明乘积最大化
1 数学推理
通过几何解释和图形表示，可以更直
观地理举例，可以说明面积最 大化在解决实际问题中的重要性。
求证余弦定理
数学证明
通过使用基本不等式和三角 函数性质，可以证明余弦定 理。
几何解释
通过几何解释和图形表示， 可以更直观地理解余弦定理。
实际应用
通过实际应用案例，可以说 明余弦定理在解决实际问题 中的重要性。
1
数学归纳法
2
采用数学归纳法可以证明基本不等式
在所有情况下均成立。
3
数学推理
通过使用数学运算和逻辑推理，可以 证明基本不等式的正确性。
例证法
通过举例证明基本不等式对于特定数 值的成立。
如何使用基本不等式
求解数列极值
通过应用基本不等式，可以 找到数列中的最大值或最小 值。
求证数列单调性
利用基本不等式，可以证明 数列的单调递增或单调递减。
通过使用基本不等式和 数学推理，可以证明乘 积的最大化问题。
2 应用案例
3 几何解释
通过实际应用案例，可 以说明乘积最大化在解 决实际问题中的重要性。
通过几何解释和图形表 示，可以更直观地理解 乘积最大化。
证明三角形的面积最大化
1
推理过程
通过使用基本不等式和几何知识，可
《基本不等式的应用》课件教学课件
03
基本不等式的扩展和应用
基本不等式的扩展
推广到多元形式
基本不等式可以推广到多元形式，例如对于$n$个变量，可以使用平均值不等式来获得更一般的不等式形式。
积分形式
基本不等式还可以通过积分的形式来表达，例如对于某个函数$f(x)$，其积分形式为$\int_{a}^{b}f(x)dx \geqslant \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$。பைடு நூலகம்
基本不等式的性质
传递性
若$a \geq b$和$b \geq c$，则$a \geq c$。
对称性
对于任意实数x，y，有$(x+y)/2 \geq \sqrt{xy} \Leftrightarrow (y+x)/2 \geq \sqrt{yx}$。
基本不等式的证明方法
利用导数证明
对于任意实数x，y，当且仅当$x=y$时， 等式$(x+y)/2 = \sqrt{xy}$成立。
THANKS
谢谢您的观看
基本不等式的应用实例
投资组合优化
在金融学中，投资组合优化是一个重要的问题，基本 不等式可以应用于求解最优投资组合的权重分配。例 如，假设有$n$种风险资产和一种无风险资产，其收 益率分别为$r_1, \cdots, r_n$，则可以通过基本不等 式来求解最优投资组合的权重分配。
资源分配问题
在生产计划中，经常需要将有限的资源分配给不同的 产品或部门，以获得最大的总收益。基本不等式可以 应用于求解最优资源分配方案。例如，假设有$n$个 产品，其单位收益分别为$a_1, \cdots, a_n$，而总的 可用资源为$A$，则可以通过基本不等式来求解最优 资源分配方案。
总结词
基本不等式课件(共43张PPT)
02
基本不等式的证明方法
综合法证明基本不等式
利用已知的基本不等式推导
01
通过已知的不等式关系，结合不等式的性质（如传递性、可加
性等），推导出目标不等式。
构造辅助函数
02
根据不等式的特点，构造一个辅助函数，通过对辅助函数的分
析来证明原不等式。
利用数学归纳法
03
对于涉及自然数n的不等式，可以考虑使用数学归纳法进行证明。
分析法证明基本不等式
寻找反例
通过寻找反例来证明某个不等式不成 立，从而推导出原不等式。
利数，可以利用中间值定理 来证明存在某个点使得函数值满足给 定的不等式。
通过分析不等式在极限情况下的性质， 来证明原不等式。
归纳法证明基本不等式
第一数学归纳法
通过对n=1和n=k+1时的情况进行归纳假设和推导，来证 明对于所有正整数n，原不等式都成立。
拓展公式及其应用
要点一
幂平均不等式
对于正实数$a, b$和实数$p, q$，且$p < q$，有 $left(frac{a^p + b^p}{2}right)^{1/p} leq left(frac{a^q + b^q}{2}right)^{1/q}$，用于比较不同幂次的平均值大小。
要点二
切比雪夫不等式
算术-几何平均不等式（AM-GM不等式）：对于非负实数$a_1, a_2, ldots, a_n$，有 $frac{a_1 + a_2 + ldots + a_n}{n} geq sqrt[n]{a_1a_2ldots a_n}$，用于求解最值问题。
柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz不等式）：对于任意实数序列${a_i}$和${b_i}$，有 $left(sum_{i=1}^{n}a_i^2right)left(sum_{i=1}^{n}b_i^2right) geq left(sum_{i=1}^{n}a_ib_iright)^2$，用于证明与内积有关的不等式问题。
2.2.2 基本不等式的应用 课件(42张)
出积、和为常数的形式,然后再利用基本不等式.也要注意应用条件.
【类题通法】利用基本不等式求最值的方法 利用基本不等式解决条件最值的关键是构造和为定值或积为定值,主要有两种 思路: (1)常用构造定值条件的技巧变换: ①加项变换;②拆项变换;③统一变元;④平方后利用基本不等式. (2)条件变形,进行“1”的代换求目标函数最值.
第2课时 基本不等式的应用
关键能力探究
探究点一 利用基本不等式求最值、范围
【典例1】(1)若x< 5 ,则f(x)=4x-2+ 1 的最大值为________.
4
4x－5
(2)若正数x,y满足x+3y=5xy,则3x+4y的最小值为______.
【思维导引】在利用基本不等式求最值时,要根据式子的特征灵活变形,配凑
x＋y
x＋y
λ的最小值为2.
答案:2
探究点三 基本不等式的综合问题
【典例3】若不等式9x+ a2 ≥a+1(常数a>0)对一切正实数x成立,求a的取值范
x
围.
【思维导引】将问题等价转化成对一切x>0,9x+ a2 的最小值不小于a+1.
x
【类题通法】 (1)a≤f(x)恒成立⇔a≤f(x)的最小值. (2)a≥f(x)恒成立⇔a≥f(x)的最大值.
【定向训练】
已知正数x,y满足x+2 2xy ≤λ(x+y)恒成立,则实数λ的最小值为________.
【解析】依题意得x+2
2xy≤x+(x+2y)=2(x+y),即
x＋2 2xy x＋y
≤2(当且仅当x=2y
时取等号),即 x＋2 2xy 的最大值为2.又λ≥ x＋2 2xy 恒成立,因此有λ≥2,即
不等式讲基本不等式及其应用课件pptx
柯西-施瓦茨不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
在实数域上，柯西-施瓦茨不等式是一个基本的不等式， 它在线性代数和数学分析中都有重要的应用。
范德蒙公式
范德蒙公式是柯西不等式的推广，它在线性代数和概率论 中都有重要的应用。
排序不等式的推广
排序不等式是一种重要的组合不等式，它在线性代数、概 率论和统计学中都有广泛的应用。对排序不等式进行扩展 和推广，可以得到更为广泛和深刻的不等式。
排序不等式的证明
通过构造一个满足排序不等式的数组 ，利用数学归纳法和排序不等式的性 质得出。
排序不等式的应用
在优化、经济、计算机科学等领域有 广泛应用。
03
基本不等式的应用
最大值与最小值的求法
代数法
利用基本不等式，结合代数变形技巧，求出函数 的最值。
三角法
利用基本不等式，结合三角函数性质，求出函数 的最值。
在最大利润问题中，常常需要利用基本不等式来建立数学模型，通过优化资源配 置或制定合理价格策略来达到最大利润。例如，在投资组合理论中，利用基本不 等式可以确定最优投资组合比例，使得投资组合的期望收益最大。
资源分配问题
总结词
通过基本不等式，合理分配资源，实现整体效益最大化。
详细描述
在资源分配问题中，常常需要利用基本不等式来确定资源的 分配比例，以实现整体效益最大化。例如，在电力系统规划 中，可以利用基本不等式来确定各地区的电力分配比例，以 保证整个系统的稳定性和可靠性。
基本不等式的形式
算术平均数与几何平均数
算术平均数：一组数的和除以这组数的个数。 算术平均数不总是大于或等于几何平均数。
几何平均数：两个正数的乘积的平方根。 当且仅当两数相等时，算术平均数等于几何平均数。
柯西不等式
柯西不等式
基本不等式ppt课件
对于任意实数a和b，$(a-b)^2 \geq 0$，即 $a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
利用均值不等式证明
对于任意实数a和b，$a^2 + b^2 \geq 2ab$，即$(a-b)^2 \geq 0$。
利用导数证明
对于任意实数a和b，设f(x) = x^2 - 2x(a+b) + (a+b)^2，则f'(x) = 2x - 2(a+b) = 2(x-ab)，当x≥a+b时，f'(x) ≥0；当x ≤ a+b时， f'(x) ≤0。故f(x)在区间[a+b, +\infty)上单调 递增，在区间(-\infty, a+b]上单调递减。于 是有f(x) ≥ f(a+b) = a^2 - 2ab + b^2 ≥0 。
02
基本不等式的应用
几何意义
直线和圆
利用基本不等式可以判断直线和圆的 位置关系，以及求解圆中弦长等几何 问题。
面积和体积
利用基本不等式可以求解一些涉及面 积和体积的问题，例如在给定周长的 条件下，求矩形或立方体的最大面积 或体积等。
代数意义
方程
利用基本不等式可以求解一些涉及方程的问题，例如利用基本不等式求根，判 断方程解的个数等。
证明方法
利用代数公式和实数的性质进行 证明。
基本不等式的性质
非负性
对于任意实数a和b，总有$(a-b)^2 \geq 0$，即$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$。
等号成立条件
当且仅当a=b时，基本不等式取等号。
传递性
若a≥b，c≥d，则ac≥bd。
基本不等式的证明
《基本不等式的应用》课件
01
02
03
确定要最化的函数
在使用基本不等式求最值 时，需要先确定要优化的 函数，通常为f(x) = x + 4/x。
找到极值点
通过导数的方法，可以找 到函数的极值点，即x = 2 。
计算最值
在x = 2处，函数取得极小 值2√4=4，无极大值。
利用基本不等式证明不等式
确定要证明的不等式
01
在利用基本不等式证明不等式时，需要先确定要证明的不等式
在生产计划中的应用
Байду номын сангаас总结词
基本不等式可以帮助我们在生产计划中做出最优决策 ，使得生产成本最低、产量最高。
详细描述
在生产计划中，我们通常需要考虑多个因素，如原材 料成本、劳动力成本、设备成本等。利用基本不等式 ，我们可以建立数学模型，分析这些因素之间的关系 ，从而制定出最优的生产计划。例如，在安排工作时 间时，我们可以利用基本不等式来确定工作时间的最 优分配，使得总生产成本最低。此外，在考虑生产设 备的更新和维修时，我们也可以利用基本不等式来分 析设备的经济效益和维修成本之间的关系，从而做出 最优决策。
收敛，则 $\left(\sum{i=1}^{\infty} a_i bi\right)^2 \leq \left(\sum{i=1}^{\infty} ai^2\right) \left(\sum{i=1}^{\infty} b_i^2\right)$。
基本不等式的推广形式
• 排序不等式：若 $a_1 \leq a_2 \leq \ldots \leq a_n$，且 $b_1 \leq b_2 \leq \ldots \leq bn$，则有 $\sum{i=1}^{n} a_i bi \leq \sum{i=1}^{n} ai \sum{i=1}^{n} b_i$，当且仅当 $a_1=a_2=\ldots=a_n$ 或 $b_1=b_2=\ldots=b_n$ 时取 等号。
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解得x＞40或x＜－50（不合实际意义， 舍去），
这表明乙车的车速超过40km／h，超 过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理， 实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70 元，不加收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元 要征税R元（叫做税率R％），则每年的 销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项 经营中所收取的附加税不少于112万元，R 应怎样确定？
解不等式组中的两个二次不等式，
由x>0，解得
x 4 15 1 15
0
x
≤
23 3
1
因此 4 15 1 x ≤ 2 3 1
15
3
因为 4 15 1 0.033 3.3%
15 2 3 1 0.155 15.5%
3
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到 小康水平，那么他们的食品消费额的年增 长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值， 也就是说，平均每年的食品消费额至多是 增长15.5%。
分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车 的车速．
解：由题意知，对于甲车， 有0.1x＋0.01x2＞12， 即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题 意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速 不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2000＞0，
x
由于x>8，则原不等式化简为:
9x2－150x+400≤0，
即 (3x－10)(3x－40)≤0，
解得 10 ≤ x ≤ 40
3
3
从而 8 x ≤ 40
3
答：桶的最大容积为 40 升。 3
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计， 2003年每户家庭年平均消费支出总额为1 万元，其中食品消费额为0.6万元。预测 2003年后，每户家庭年平均消费支出总额 每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民 生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数 n满足条件40%<n≤50%），试问这个乡 镇每户食品消费额平均每年的增长率至多 是多少？（精确到0.1）
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《高中数学》
必修5
3.4.2《基本不等式 -实际应用》
审校：王伟
教学目标
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题.
• 教学重点：
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民 用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地 面积，而窗户的总面积与占地面积的比值 越大，住宅的采光条件越好，同时增加相 等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条 件是绳子能围成一个面 积大于600ｍ2的矩形吗？当长、宽分别为 多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形的一边长为x（ｍ），则另一 边的长为50－x（ｍ），0＜x＜50．
由题意，得x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0．解得20＜x＜30．
所以，当矩形的一边长在（20，30）的范 围内取值时，能围成一个面积大于600ｍ2 的矩形． 用S表示矩形的面积，则
分析：如果桶的容积为x升，那么第一次 倒出8升纯农药药液后，桶内剩下的纯农 药药液还有(x－8)升，用水加满，桶内纯 农药药液占容积的 x 8 ，
x
第二次又倒出4升，则倒出的纯农药药液 为 4(x 8) ，此时桶内还有纯农药药液
x
[(x 8) 4(x 8)] 升
x
解：设桶的容积为x升，显然x>8， 依题意有(x 8) 4(x 8) ≤ 28% x ，
解：由题意得生产销售的酒为(100－10R) 万瓶，可以卖得70×(100－10R)万元，
解：由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)≥1300，
化简得x2－65x＋900≤0， 解之得 20≤x≤45，
因此，该厂日产量在20件至45件时，日 获利不少于1300元．
3. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车 后还要继续向前滑行一段距离才能停住， 我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距 离是分析事故的一个重要因素．
分析：只要比较增加相等的面积后，窗户 的总面积和占地面积的比值的大小，即可 作出正确的判断。
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面 积好占地面积的值，m表示窗户和占地所 增加的值（面积单位都相同），
由题意得0<a<b，m>0，
， 则 a m a ab bm ab am m(b a)
bm b
b(b m)
b(b m)
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0，
又因为a<b，所以m(b－a)>0，
因此 a m a 0
bm b
即 am a
bm b
答：窗户和住宅的占地同时增加相等的 面积，住宅的采光条件变好了。
例2．由纯农药药液一桶，倒出8升后用水 加满，然后又倒出4升后再用水加满，此 时桶中所含纯农药药液不超过桶的容积的 28%，问桶的容积最大为多少升？
S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625（0＜x＜50）
当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25 即当矩形长、宽都为25ｍ时，所围成的矩形 的面积最大．
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x件与货价p（元／件）之间的关系为p＝ 160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋ 30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不 少于1300元？
在一个限速为40km／h的弯道上，甲、 乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同 时刹车，但还是相碰了．
事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12m，乙车的刹车距离略超过10m， 又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与 车速x（km／h）之间分别有如下关系： s甲 ＝0.1x＋0.01x2，s乙 ＝0.05x＋0.005x2, 问：甲、乙两车有无超速现象？
解：设食品消费额的平均每年的增长率为 x (x>0)， 则到2005年，食品消费额为0.6(1+x)2万元,
消费支出总额为1+2×0.3=1.6万元。
依题意得 40% 0.6(1 x)2 ≤ 50%
1.6
即
15x2 30x 1 0
3x2
6x
1≤
0
15x2 30x 1 0
3x2
6x
1≤ 0
这表明乙车的车速超过40km／h，超 过规定限速．
4. 国家为了加强对烟酒生产的宏观管理， 实行征收附加税政策．已知某种酒每瓶70 元，不加收附加税时，每年大约销售100 万瓶；若政府征收附加税，每销售100元 要征税R元（叫做税率R％），则每年的 销售量将减少10R万瓶．要使每年在此项 经营中所收取的附加税不少于112万元，R 应怎样确定？
解不等式组中的两个二次不等式，
由x>0，解得
x 4 15 1 15
0
x
≤
23 3
1
因此 4 15 1 x ≤ 2 3 1
15
3
因为 4 15 1 0.033 3.3%
15 2 3 1 0.155 15.5%
3
所以该乡镇居民生活如果在2005年达到 小康水平，那么他们的食品消费额的年增 长率就应在3.3%到15.5%的范围内取值， 也就是说，平均每年的食品消费额至多是 增长15.5%。
分析：根据汽车的刹车距离可以估计汽车 的车速．
解：由题意知，对于甲车， 有0.1x＋0.01x2＞12， 即x2＋10x－1200＞0，
解得x＞30，或x<40（不合实际意义舍去）,
这表明甲车的车速超过30km／h．但根据题 意刹车距离略超过12m，由此估计甲车车速 不会超过限速40km／h．
对于乙车，有0.05x＋0.005x2＞10， 即x2＋10x－2000＞0，
x
由于x>8，则原不等式化简为:
9x2－150x+400≤0，
即 (3x－10)(3x－40)≤0，
解得 10 ≤ x ≤ 40
3
3
从而 8 x ≤ 40
3
答：桶的最大容积为 40 升。 3
例3．根据某乡镇家庭抽样调查的统计， 2003年每户家庭年平均消费支出总额为1 万元，其中食品消费额为0.6万元。预测 2003年后，每户家庭年平均消费支出总额 每年增加3000元，如果2005年该乡镇居民 生活状况能达到小康水平（即恩格尔系数 n满足条件40%<n≤50%），试问这个乡 镇每户食品消费额平均每年的增长率至多 是多少？（精确到0.1）
新课标人教版课件系列
《高中数学》
必修5
3.4.2《基本不等式 -实际应用》
审校：王伟
教学目标
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题.
• 教学重点：
• 掌握建立不等式模型解决实 际问题
例1．一般情况下，建筑民用住宅时。民 用住宅窗户的总面积应小于该住宅的占地 面积，而窗户的总面积与占地面积的比值 越大，住宅的采光条件越好，同时增加相 等的窗户面积和占地面积，住宅的采光条 件是绳子能围成一个面 积大于600ｍ2的矩形吗？当长、宽分别为 多少米时，所围成的矩形的面积最大？
解：设矩形的一边长为x（ｍ），则另一 边的长为50－x（ｍ），0＜x＜50．
由题意，得x(50－x)＞600，
即x2－50x＋600＜0．解得20＜x＜30．
所以，当矩形的一边长在（20，30）的范 围内取值时，能围成一个面积大于600ｍ2 的矩形． 用S表示矩形的面积，则
分析：如果桶的容积为x升，那么第一次 倒出8升纯农药药液后，桶内剩下的纯农 药药液还有(x－8)升，用水加满，桶内纯 农药药液占容积的 x 8 ，
x
第二次又倒出4升，则倒出的纯农药药液 为 4(x 8) ，此时桶内还有纯农药药液
x
[(x 8) 4(x 8)] 升
x
解：设桶的容积为x升，显然x>8， 依题意有(x 8) 4(x 8) ≤ 28% x ，
解：由题意得生产销售的酒为(100－10R) 万瓶，可以卖得70×(100－10R)万元，
解：由题意，得 (160－2x)x－(500＋30x)≥1300，
化简得x2－65x＋900≤0， 解之得 20≤x≤45，
因此，该厂日产量在20件至45件时，日 获利不少于1300元．
3. 汽车在行驶中，由于惯性的作用，刹车 后还要继续向前滑行一段距离才能停住， 我们称这段距离为“刹车距离”．刹车距 离是分析事故的一个重要因素．
分析：只要比较增加相等的面积后，窗户 的总面积和占地面积的比值的大小，即可 作出正确的判断。
解：设a，b分别表示住宅原来窗户的总面 积好占地面积的值，m表示窗户和占地所 增加的值（面积单位都相同），
由题意得0<a<b，m>0，
， 则 a m a ab bm ab am m(b a)
bm b
b(b m)
b(b m)
因为b>0，m>0，所以b(b+m)>0，
又因为a<b，所以m(b－a)>0，
因此 a m a 0
bm b
即 am a
bm b
答：窗户和住宅的占地同时增加相等的 面积，住宅的采光条件变好了。
例2．由纯农药药液一桶，倒出8升后用水 加满，然后又倒出4升后再用水加满，此 时桶中所含纯农药药液不超过桶的容积的 28%，问桶的容积最大为多少升？
S＝x(50－x)＝－(x－25)2＋625（0＜x＜50）
当x＝25时，S取得最大值，此时50－x＝25 即当矩形长、宽都为25ｍ时，所围成的矩形 的面积最大．
2．某小型服装厂生产一种风衣，日销货量 x件与货价p（元／件）之间的关系为p＝ 160－2x，生产x件所需成本为C＝500＋ 30x元，问：该厂日产量多大时，日获利不 少于1300元？
在一个限速为40km／h的弯道上，甲、 乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同 时刹车，但还是相碰了．
事后现场勘查测得甲车的刹车距离略超过 12m，乙车的刹车距离略超过10m， 又知甲、乙两种车型的刹车距离s（m）与 车速x（km／h）之间分别有如下关系： s甲 ＝0.1x＋0.01x2，s乙 ＝0.05x＋0.005x2, 问：甲、乙两车有无超速现象？
解：设食品消费额的平均每年的增长率为 x (x>0)， 则到2005年，食品消费额为0.6(1+x)2万元,
消费支出总额为1+2×0.3=1.6万元。
依题意得 40% 0.6(1 x)2 ≤ 50%
1.6
即
15x2 30x 1 0
3x2
6x
1≤
0
15x2 30x 1 0
3x2
6x
1≤ 0