2013年江苏省高考数学试卷及答案(Word解析版)

2013年普通高等学校统一考试试题【江苏卷】一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相印位置上. 1、函数)42sin(3π+=x y 的最小正周期为 、【答案】π【解析】T ＝|2πω |＝|2π2 |＝π、2、设2)2(i z -=【i 为虚数单位】，则复数z 的模为 、 【答案】5【解析】z ＝3－4i ，i 2＝－1，| z |＝＝5、3、双曲线191622=-y x 的两条渐近线的方程为 、 【答案】x y 43±= 【解析】令：091622=-y x ，得x x y 431692±=±=、 4、集合}1,0,1{-共有 个子集、【答案】8【解析】23＝8、5、右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 、 【答案】3【解析】n ＝1，a ＝2，a ＝4，n ＝2；a ＝10，n ＝3；a ＝28，n ＝4、 6则成绩较为稳定【方差较小】的那位运动员成绩的方差为 、 【答案】2【解析】易得乙较为稳定，乙的平均值为：9059288919089=++++=x 、方差为：25)9092()9088()9091()9090()9089(222222=-+-+-+-+-=S 、 7、现在某类病毒记作n m Y X ，其中正整数m ，n 【7≤m ，9≤n 】可以任意选取，则n m ， 都取到奇数的概率为 、 【答案】6320【解析】m 取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n 取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则n m ，都取到奇数的概率为63209754=⨯⨯、 8、如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ，，分别是1AA AC AB ，，的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V 、【答案】1：24【解析】三棱锥ADE F -与三棱锥ABC A -1的相似比为1：2，故体积之比为1：8、又因三棱锥ABC A -1与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：3、所以，三棱锥ADE F -与三棱柱ABC C B A -111的体积之比为1：24、9、抛物线2x y =在1=x 处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D (包含三角形内部和边界) 、若点),(y x P 是区域D 内的任意一点，则y x 2+的取值范围是 、 【答案】[—2，12 ]【解析】抛物线2x y =在1=x 处的切线易得为y ＝2x —1，令z ＝y x 2+，y ＝—12 x ＋z2 、 画出可行域如下，易得过点(0，—1)时，z min ＝—2，过点(12 ，0)时，z max ＝12 、10、设E D ，分别是ABC ∆的边BC AB ，上的点，AB AD 21=，BC BE 32=， 若21λλ+=【21λλ，为实数】，则21λλ+的值为 、 【答案】12【解析】)(32213221AC BA AB BC AB BE DB DE ++=+=+= AC AB AC AB 213261λλ+=+-=xAB C1A DE F1B 1C所以，611-=λ，322=λ，=+21λλ12 、 11、已知)(x f 是定义在R 上的奇函数.当0>x 时，x x x f 4)(2-=，则不等式x x f >)( 的解集用区间表示为 、【答案】(﹣5，0) ∪(5，﹢∞)【解析】做出x x x f 4)(2-= (0>x )的图像，如下图所示.由于)(x f 是定义在R 上的奇函数，利用奇函数图像关于原点对称做出x ＜0的图像.不等式x x f >)(，表示函数y ＝)(x f 的图像在y ＝x 的上方，观察图像易得：解集为(﹣5，0) ∪(5，﹢∞).12、在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的标准方程为)0,0(12222>>=+b a by a x ，右焦点为F ，右准线为l ，短轴的一个端点为B ，设原点到直线BF 的距离为1d ，F 到l 的距离为2d ，若126d d =，则椭圆C 的离心率为 、 【答案】33【解析】如图，l ：x ＝c a 2，2d ＝c a 2－c ＝c b 2，由等面积得：1d ＝a bc.若126d d =，则cb 2＝6a bc ，整理得：06622=--b ab a ，两边同除以：2a ，得：0662=+⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛a b a b ，解之得：a b ＝36，所以，离心率为：331e 2=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=a b 、xyy ＝xy ＝x 2—4P (5,5)13、在平面直角坐标系xOy 中，设定点),(a a A ，P 是函数xy 1=【0>x 】图象上一动点， 若点A P ，之间的最短距离为22，则满足条件的实数a 的所有值为 、 【答案】1或10 【解析】14、在正项等比数列}{n a 中，215=a ，376=+a a ，则满足n n a a a a a a 2121>+++的 最大正整数n 的值为 、 【答案】12【解析】设正项等比数列}{n a 首项为a 1，公比为q ，则：⎪⎩⎪⎨⎧=+=3)1(215141q q a q a ，得：a 1＝132 ，q ＝2，a n ＝26－n、记521212-=+++=n n n a a a T ，2)1(212nn n n a a a -==∏ 、n n T ∏>，则2)1(52212n n n ->-，化简得：5211212212+->-n n n，当5211212+->n n n 时，12212113≈+=n 、当n ＝12时，1212∏>T ，当n ＝13时，1313∏<T ，故n max ＝12、 二、解答题：本大题共6小题，共计90分、请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤、 15、【本小题满分14分】 已知)sin ,(cos )sin ,(cos ββαα=b a ，＝，παβ<<<0、【1】若2||=-b a ，求证：b a ⊥；【2】设)1,0(=c ，若c b a =+，求βα,的值、 解：【1】a －b ＝(cosα－cosβ，sin α－sin β)，|a －b |2＝(cosα－cosβ)2＋(sin α－sin β)2＝2－2(cosα·cosβ＋sin α·sin β)＝2， 所以，cosα·cosβ＋sin α·sin β＝0， 所以，b a ⊥、 【2】⎩⎨⎧=+=+②1sin sin ①0cos cos βαβα，①2＋②2得：cos(α－β)＝－12 、 所以，α－β＝π32，α＝π32＋β，带入②得：sin(π32＋β)＋sin β＝23cosβ＋12 sin β＝sin(3π＋β)＝1， 所以，3π＋β＝2π、 所以，α＝65π，β＝6π、16、【本小题满分14分】如图，在三棱锥ABC S -中，平面⊥SAB 平面SBC ，BC AB ⊥，AB AS =，过A 作SB AF ⊥，垂足为F ，点G E ，分别是棱SC SA ，的中点、求证： 【1】平面//EFG 平面ABC ；【2】SA BC ⊥、 证：【1】因为SA ＝AB 且AF ⊥SB ， 所以F 为SB 的中点、 又E ，G 分别为SA ，SC 的中点， 所以，EF ∥AB ，EG ∥AC 、又AB ∩AC ＝A ，AB ⊂面SBC ，AC ⊂面ABC ， 所以，平面//EFG 平面ABC 、 【2】因为平面SAB ⊥平面SBC ，平面SAB ∩平面SBC ＝BC ，AF ⊂平面ASB ，AF ⊥SB 、 所以，AF ⊥平面SBC 、 又BC ⊂平面SBC ， 所以，AF ⊥BC 、又AB ⊥BC ，AF ∩AB ＝A ， 所以，BC ⊥平面SAB 、 又SA ⊂平面SAB ， 所以，SA BC ⊥、17、【本小题满分14分】如图，在平面直角坐标系xOy 中，点)3,0(A ，直线42:-=x y l 、设圆C 的半径为1，圆心在l 上、 【1】若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线， 求切线的方程；【2】若圆C 上存在点M ，使MO MA 2=，求圆心C 的横坐 标a 的取值范围、 解：【1】联立：⎩⎨⎧-=-=421x y x y ，得圆心为：C (3，2)、设切线为：3+=kx y ，d ＝11|233|2==+-+r k k ，得：430-==k or k 、A BSG F E故所求切线为：343+-==x y ory 、【2】设点M (x ，y )，由MO MA 2=，知：22222)3(y x y x +=-+，化简得：4)1(22=++y x ，即：点M 的轨迹为以(0，1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D 、 又因为点M 在圆C 上，故圆C 圆D 的关系为相交或相切、 故：1≤|CD |≤3，其中22)32(-+=a a CD 、解之得：0≤a ≤125 、18、【本小题满分16分】如图，游客从某旅游景区的景点A 处下山至C 处有两种路径.一种是从A 沿直线步行 到C ，另一种是先从A 沿索道乘缆车到B ，然后从B 沿直线步行到C 、现有甲、乙两 位游客从A 处下山，甲沿AC 匀速步行，速度为min /50m 、在甲出发min 2后，乙从 A 乘缆车到B ，在B 处停留min 1后，再从匀速步行到C 、假设缆车匀速直线运动的速度为min /130m ，山路AC 长为m 1260，经测量，1312cos =A ，53cos =C 、 【1】求索道AB 的长；【2】问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？ 【3】为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内？解：【1】如图作BD ⊥CA 于点D ， 设BD ＝20k ，则DC ＝25k ，AD ＝48k ， AB ＝52k ，由AC ＝63k ＝1260m ，知：AB ＝52k ＝1040m 、【2】设乙出发x 分钟后到达点M ，此时甲到达N 点，如图所示、 则：AM ＝130x ，AN ＝50(x ＋2)，由余弦定理得：MN 2＝AM 2＋AN 2－2 AM ·AN cos A ＝7400 x 2－14000 x ＋10000，其中0≤x ≤8，当x ＝3537 (min)时，MN 最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短、 【3】由【1】知：BC ＝500m ，甲到C 用时：126050 ＝1265 (min)、若甲等乙3分钟，则乙到C 用时：1265 ＋3＝1415 (min)，在BC 上用时：865 (min) 、 此时乙的速度最小，且为：500÷865 ＝125043 m/min 、若乙等甲3分钟，则乙到C 用时：1265 －3＝1115 (min)，在BC 上用时：565 (min) 、 此时乙的速度最大，且为：500÷565 ＝62514 m/min 、C B ADMN故乙步行的速度应控制在[125043 ，62514 ]范围内、19、【本小题满分16分】设}{n a 是首项为a ，公差为d 的等差数列)0(≠d ，n S 是其前n 项和、记cn nS b nn +=2， *N n ∈，其中c 为实数、【1】若0=c ，且421b b b ，，成等比数列，证明：k nk S n S 2=【*,N n k ∈】； 【2】若}{n b 是等差数列，证明：0=c 、 证：【1】若0=c ，则d n a a n )1(-+=，2]2)1[(a d n n S n +-=，22)1(ad n b n +-=、当421b b b ，，成等比数列，4122b b b =，即：⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ，得：ad d 22=，又0≠d ，故a d 2=、由此：a n S n 2=，a k n a nk S nk 222)(==，a k n S n k 222=、 故：k nk S n S 2=【*,N n k ∈】、【2】cn a d n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(， c n a d n ca d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( cn a d n ca d n ++--+-=222)1(22)1(、 (※) 若}{n b 是等差数列，则Bn An b n +=型、 观察(※)式后一项，分子幂低于分母幂，故有：022)1(2=++-cn ad n c，即022)1(=+-a d n c ，而22)1(a d n +-≠0， 故0=c 、经检验，当0=c 时}{n b 是等差数列、20、【本小题满分16分】设函数ax x x f -=ln )(，ax e x g x-=)(，其中a 为实数、【1】若)(x f 在),1(+∞上是单调减函数，且)(x g 在),1(+∞上有最小值，求a 的取值范围；【2】若)(x g 在),1(+∞-上是单调增函数，试求)(x f 的零点个数，并证明你的结论、 解：【1】a x x f -='1)(≤0在),1(+∞上恒成立，则a ≥x 1，)1(∞+∈，x 、 故：a ≥1、a x g x -='e )(，若1≤a ≤e ，则a x g x -='e )(≥0在),1(+∞上恒成立，此时，ax e x g x -=)(在),1(+∞上是单调增函数，无最小值，不合；若a ＞e ，则ax e x g x -=)(在)ln 1(a ，上是单调减函数，在)(ln ∞+，a 上是单调增函数，)ln ()(min a g x g =，满足、 故a 的取值范围为：a ＞e 、【2】a x g x -='e )(≥0在),1(+∞-上恒成立，则a ≤e x ，故：a ≤1e 、)0(11)(>-=-='x xax a x x f 、(ⅰ)若0＜a ≤1e ，令)(x f '＞0得增区间为(0，1a )； 令)(x f '＜0得减区间为(1a ，﹢∞)、当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹣∞；当x ＝1a 时，f (1a )＝﹣ln a －1≥0，当且仅当a ＝1e 时取等号、 故：当a ＝1e 时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f (x )有2个零点、 (ⅱ)若a ＝0，则f (x )＝﹣ln x ，易得f (x )有1个零点、 (ⅲ)若a ＜0，则01)(>-='a xx f 在)0(∞+，上恒成立， 即：ax x x f -=ln )(在)0(∞+，上是单调增函数， 当x →0时，f (x )→﹣∞；当x →﹢∞时，f (x )→﹢∞、 此时，f (x )有1个零点、综上所述：当a ＝1e 或a ＜0时，f (x )有1个零点；当0＜a ＜1e 时，f (x )有2个零点、。