等腰三角形的判定方法
等腰三角形的判定
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为“藏传佛教的八大神山之首。”我们到达梅里雪山的时候是在早晨，结束了几天的地下生活，到了梅里雪山脚下，阳光刺的我睁不 开眼睛，过了一会终于适应了。阳光明媚，山上的雪被阳光照得熠熠生辉，极蓝与极白相交辉映，看着这样的风景好像心也被洗干净 了，空气里都满是雪的味道。我现在终于体会到什么是壮观，在大自然的面前人类是多么的渺小。巍峨的雪山直插云霄，真是雾笼云 遮缥缈中，浑然浩气贯苍穹。山神说拉着我的手，我啊了一声，有点不好意思，脸红的发烫，感觉都红到耳根了。山神看着我说： “想什么呢，拉着我，我们飞上去，这样会节省不少时间。”这是要是有一条地缝，不管多小，我都要挤进去。可等了半天，山神也 没什么动静，他的手依旧如此冰凉。我以为他还在酝酿，只见他眉头紧皱，我说怎么了，我们怎么还在这里。山神说：“在这里，我 居然不能使用法术，我的法术好像被什么禁锢了一样，没法使出来。”我心想这座山这么厉害，居然连山神的法力都被禁锢了，看来， 我们凶多吉少了，真是壮士一去兮不复返啊。我说：“这样啊，那我们还是走吧，万一在这里挂掉了，我还好，你可怎么办啊，多不 划算啊。”我边说边往回走。山神说：“来都来了，再说了，怕什么，这是神山，不会有什么妖怪的。看来，我们只有爬上去了”。 这里有十三座峰，主峰卡瓦格博峰海拔高达6740米，看着主峰，我咽了口唾沫，心想这次不死也要退层皮了。我们修整了一会开始爬 山，我们就一直走，也无心欣赏身边的风景了，山很陡峭，有几次险些摔倒下去，我们一直提心吊胆地走了一天，到傍晚的时候终于 到达了雪线，我们又继续往前走，天也渐渐暗下来了，想想开始露出来，星星离我们很近，温度逐渐降低，风越来越大，尽管穿着很 厚很厚地冬衣，依然感觉很冷，只要一张口，风吹着雪就直往喉咙里灌，山神怕我摔倒后爬不起来，就一直拉着我走，满眼的白色， 一直看着白色突然头一阵眩晕，一不小心就跌了个狗**。山神连忙把我扶起来。山神还是一身玄色衣服，他无论在什么样的恶劣条件 都是这样，丝毫不受影响。走到后来就是他拖着我走了，他怕我失去意识，就一直不停的跟我说话。我们又走了一夜，到第二天中午， 我们来到了一个山洼里，这的山洼很奇怪，它很宽很大，周围长满了野花和野草，还能看到很多蝴蝶，一条清澈的小溪从旁边流过， 这里这的是一处世外桃源啊，想不到大山之中还能有这样的地方不受风雪的侵扰。山神的眼睛很尖，一下就看到了被草掩埋的相机， 拿起来一看，这是尼康FM3A上面的金属机身已经长锈了，相机更新速度很快，现在已经停产了，我们也不能评这个就判断时间，万一 他是胶卷相机的忠实用户呢，这也说不定，随后我们又找到
9 等腰三角形的性质判定
已知：如图，在△ABC中，∠B=∠C
求证： AB=AC
A
B
D
C
例：如图，∠EAC是△ABC的外角， AD平分∠EAC，且AD∥BC. 求证：AB=AC
E
A
D
B
C
如果AB=AC，AD∥BC，那么 AD平分∠EAC吗？
E
A
D
B
C
练 习
证明：等边三角形的每个角都 等于 60 0 证明：线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等。
B
C
例：如图1，等边△ABC中，D是AB上的一动点， 以CD为一边向上作等边△EDC，连AE，
求证：AE∥BC
（2）如图2，将（1）中等边△ABC改为以BC为 底边的等腰三角形所作△EDC改为相似于△ABC， 请问：是否仍有AE∥BC？证明你的结论。
A D B E D C A
E
B
图1
C
图2
如图，点C为线段AB上的一点△ACM，△CBN 是等边三角形线段AN、CM相交于点E，线段 BM、CN相交于点F。（1）求证：AN=BM （2）△CEF是等边三角形
900 ， （3）将△ACM绕点C逆时针方向旋转
在图2中补出符合条件的的图形，并判断（1） （2）两题的结论是否仍然成立，证明你的结论。
M N E A C F B M A C N
B
等腰三角形的性质和判断
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
你能用几种方法证明？
定理：等腰三角形的两个底角相等 （“等边对等角”）
已知：如图，在△ABC中，AB=AC 求证：∠B=∠C
A
B
D
C
定理：等腰三角形的顶角 平分线、 底边上的中线和高是同一条直线。 （三线合一）
等腰三角形的判定
等腰三角形的判定判定等腰三角形的基本方法：一是从定义入手，证明两条边相等；二是从角入手，证明一个三角形的两个角相等。
在实际的阶梯中，有些常用的技巧就是构造等腰三角形从而利用等腰三角形的性质为解题服务，常用的构造方法有1、“角平分线+平行线”构造等腰三角形。
2、“角平分线+垂线”构造等腰三角形。
3、用“三角形中角的2倍关系”构造等腰三角形。
例题求解【例题1】如图，在△ABC中，AB=7，AC=11，点M是BC的中点，AD是∠BAC的平分线，MF//AD。
则FC的长为________。
【例题2】如图，已知直角△ABC中，∠A=30°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB是等腰三角形，则符合条件的P点有_____个。
【例题3】如图，△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B=2∠C，求证：AB+BD=CD.【例题4】两个全等的含有30°、60°的三角板ADE和三角板ABC，如图所示放置，E，A，C三点在一条直线上，连接BD，取BD的中点M，连接ME，MC．试判断△EMC的形状，并说明理由．【例题5】如图，△ABC中，∠C=90°，∠CAD=30°，AC=BC=AD，求证：CD=BD。
学力训练基础夯实1、如图，∠ABC=50°，AD垂直平分线段BC于点D，∠ABC的角平分线BE交AD 于E，连接EC；则∠AEC等于（2、如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=36°，D，E是BC上的两点，且∠B A D=∠D A E=∠EAC，则图中等腰三角形的个数是（）3、如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB+BD=AC,则∠B：∠C的值是_______。
4、已知等腰△ABC中，AB=AC，D是BC边上一点，连接AD，若△ACD和△ABD都是等腰三角形，则∠C的度数是________．5、如图所示，在△ABC中，∠BAC=106°，EF、MN分别是AB、AC的中垂线，E、N在BC上，则∠EAN=（）6、如图所示，在△ABC中，∠B=2∠C，则AC与2AB之间的关系式______。
等腰三角形的判定定理
A
图中有哪些角相等?
∠ B= ∠ C.
B
在三角形中等边C中， ∠ B= ∠ C， AB=AC 成立吗？
探索思考
1，作一个三角形，有两个角 相等，这两个角所对的边是否
相等？
A
分析: 在ΔABC中, ∠B=∠C作∠BAC
的平分线交BC于D, 则
12
∠ 1=∠2, 又∠B=∠C, 由三角形
内角和的性质得∠ADB=∠ADC, B D C
沿直线
AD折叠∠ADB=∠ADC ,
∠1= ∠2, 所以射线DB与射线DC重合, 射线AB与射线
AC重合, 从而点B与点C重合, 因此AB=AC
等腰三角形有以下的判定方法:
如果一个三角形有两个角相等，那么这个三角形是等腰三 角形.
简单地说；在同一个三角形中，
2.4等腰三角形的判定定理
复习引入
等腰三角形有哪些特征呢？ 1.等腰三角形的两腰相等.
2.等腰三角形的两个底角相等, （简称“等边对等角”）.
3.等腰三角形顶角的平分线、 底边上的中线和底边上的高互 B 相重合.（简称“三线合一”）
4.等腰三角形是轴对称图形,对称轴 是底边的中垂线.
A C
1.如图:ΔABC中,已知AB=AC,
A
D
B
C
练习5
2.如图，在等腰△ABC 中，AB=AC，两底角的 平分线BE和CD相交于 点O，那么△OBC是什 D 么三角形？ 为什么？
B
A
E O
C
小结
名称 图 形
等
腰
三
角
A
形
概念
性质与边角关系
判定
有两边 相等的 三角形 是等腰 三角形
等腰三角形的判定
A
B
D
C
方法一：作BC边上的高AD 方法二：作∠A的角平分线AD
方法三：“作BC边上的中线AD”可行吗？ 不行!
归纳总结
在△ABC中， ∵ ∠B=∠C ( 已知 ) ∴ AC= AB ( 等角对等边 ) B
A
C
如果一个三角形有两个角相等，
那么 那么这个三角形是等腰三角形 这两个角所对的边也相等。 简写成 “等角对等边”
∴ ∠1= ∠2=90° 在⊿ABD和⊿ACD中， B ∠B=∠C， ∠1=∠2 AD=AD ∴ ⊿ABD≌ ⊿ACD（ AAS ） ∴AB=AC（ 全等三角形的对应边相等 ）
即：⊿ABC是等腰三角形
1 2 D
C
已知：⊿ABC中，∠B=∠C 求证：AB=AC： 证明：作∠BAC的平分线AD ∴ ∠1=∠2 在⊿ABD和⊿ACD中， ∠B=∠C ∠1=∠2 AD=AD B
D
C
考考大家：
• 例：已知等腰三角形的底边为a，底边上的 高的长为b，求作这个等腰三角形.
M
a
b
A
B 作法：（1）作线段BC，使BC=a； D （2）作BC的垂直平分线MN，交BC于D N ； （3）在MN上截取DA=h,得A点； （4）连结AB、AC，则△ABC即为所求等 腰三角形。
C
练习：如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB， DF⊥AC，E、F是垂足，DE＝DF，求证：AB＝AC.
1 2
C B
∵∠1=∠2 （已知） ∴ DC=BC （等角对等边）
错，因为∠1和∠2 不是同一个三角形的内角。
例1：求证：如果三角形一个外角的平分线平行于 外角 平分线 平行于
三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。 三角形的一边 ∥
2.4等腰三角形的判定定理
D
2 1
36 72° °
答： ∠1= 72°, ∠2= 36°
△ABC、 △ABD、 △BDC是等腰三角形。 、 B
（2）
C
例：一次数学实践活动的内容是测量河宽，如图，即测 量A,B之间的距离.同学们想出了许多方法,其中小聪的 方法是：从点Ａ出发,沿着与直线AB成60°角的AC方向
前进至C，在C处测得∠C＝30°.量出AC的长，它就是河
2. 已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（在同一个三角形中，等 角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C B D 1
A
2 E
C
∴AB=AC（在同一个三角形中，等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC
即 BD=CE
D
B
H
C F E
3:如图，AD平分△ABC的外角∠EAC，AD//BC，则 △ ABC是等腰三角形吗？说明你的理由。
证明：∵AD∥BC， ∴∠1=∠B（两直线平行，同位角相等） ∠2=∠C（两直线平行，内错角相等）
E
∵ ∠1=∠2， ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边）
B
1 A 2 D
C
△ODE的周长=BC=16
O D E C
B
名 图 形 称 等 腰 三 角 形
A
概念
性
质
判 定 两边相等
有两边 两腰相等
相等的
三角形
B C
等边对等角 等角对等边 三线合一
是等腰
三角形
说能出你这节课的收获和体验让大家 与你分享吗？
2.已知：△ABC中，AB=AC，D是AB上一点， 延长AC至点E，使CE=BD，连结DE交BC于F。 A 求证：DF=EF
等腰三角形的性质与判定
等腰三角形的性质与判定1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论：等腰三角形顶角平分线平分底边并且垂直于底边。
即等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。
（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。
③等腰三角形的三边关系：设腰长为a ，底边长为b ，则2b <a ④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=2180A ∠-︒ 2、等腰三角形的判定等腰三角形的判定定理及推论：定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：等角对等边）。
这个判定定理常用于证明同一个三角形中的边相等。
等腰三角形知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角等腰三角形的两个底角 .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（ ）A ．30oB ．40oC ．45oD ．36o同步检测一：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，①若∠A ＝70°，则∠B ＝ °，∠C ＝ °②若∠B ＝40°，则∠A ＝ °2.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（ ）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65°知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的 、 、 互相重合。
例2：如图，在△ABC 中，AD ＝AE ，BD ＝CE ，求证：AB ＝AC同步检测二：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 的中点，∠B ＝70°，BC ＝10㎝，则BD ＝ ，∠BAD ＝ °A B CD E F知识点三：等腰三角形的判定——等角对等边在△ABC 中，如果∠A ＝∠B ，则有 ＝例3：如图，已知BD 是∠ABC 的角平分线，DE ∥BC 交AB 于E ，求证：△BED 是等腰三角形．1.在△ABC 中∠A ＝50°，∠B ＝80°，BC ＝10㎝，则AB ＝ ㎝ 【证明题典例】例4:已知：如图，AC 和BD 相交于点O ，AB ∥CD ，OA=OB ，求证：OC=OD例5:求证：等腰三角形两腰上的中线相等.例6:在△ABC 中，∠ABC、∠ACB 的平分线相交于点O ，过点O 作DE∥BC，分别交AB 、AC 于点D 、E ．求证：DE=BD+EC ．A B C DE随堂检测：1、已知ABC ∆中，AB AC =．36A ∠=︒，则C ∠______．2、若等腰三角形中有一个角等于50︒，则这个等腰三角形的顶角的度数为( )A ．50︒ Ｂ．80︒ Ｃ．65︒或50︒ Ｄ．50︒或80︒3、等腰三角形一腰为3cm,底为4cm,则它的周长是 ；4、已知等腰三角形的周长为24cm ，一腰长是底边长的2倍，则腰长是( )A ．4.8cmB ．9.6cmC ．2.4cmD ．1.2cm 5、如图，若已知36A ∠=︒，72C ∠=︒，BD 平分ABC ∠交AC 于D ，若已知 4AD =cm ， （5题图)则BC ＝ cm ．6、如图，等腰ABC △中，底边BC a =，36A ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于D ，BCD ∠的平分线交BD 于E ，则图中等腰三角形共有（ ）个．A ．3B ．4C ．5D ．67、如图，已知OC 平分∠AOB ，CD ∥OB ，若OD ＝3㎝，则CD ＝ ㎝（6题图) （7题图) (8题图)8．如图，△ABC 中，AB ＝AC ， ∠B ＝30°，EF 垂直平分AB 如CF ＝8，则BF ＝ ．9、如图，在△ABC 中，∠B 和∠C 的平分线相交于点O ，且OB=OC ，请说明AB=AC 的理由.（9题图)10、（1）已知：OD 平分∠AOB ，EO=E D.请说明：ED ∥OB.（2）已知：ED ∥O B ，EO=ED.请说明：OD 平分∠AOB. (10题图）11、已知：如图所示，在△ABC 和△DCB 中，∠A=∠D=90°，AC 与BD 相交于点O ，AC=DB ．求证：△OBC 为A B D CE D C BAA B CO等腰三角形．12、（1）已知：如图，在△ABC 中，D 是BC 的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E 、F ，且DE=DF ．求证：△ABC 是等腰三角形．（2）求证：等腰三角形底边的中点到两腰的距离相等．【课后作业】1．在△ABC 中，AB=AC,BD 是角平分线，如果∠A=40 o ，那么∠BDC= .2. 在△ABC 中，点D 在CB 上，且AB=AD=CD,∠C=25 o ,那么∠BA C= .3.下列说法正确的是（ ）A.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合B.顶角相等的两个等腰三角形全等 (2题图)C.等腰三角形一边不可是另一边的两倍D.等腰三角形的两个底角相等4、如图，在△ABC 中，已知∠B 和∠C 的平分线相交于点F ，过Ｆ作DE ∥BC ，交AB 于点D ，交AC 于点E ，若BD+CE=9， 则线段DE 的长为（ ）.(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 65.如图，在△ABC 中，D 是BC 上的一点，DE 平分∠ADB ，DF 平分∠ADC ，且EF ∥BC ，若EF 交AD 于M ，EF=12，则DM = .(5题图) (6题图)6.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAD ＝20o ，AD ＝AE ，则∠EDC= ．7.已知：如图，△ABC 的两条高BE 、CD 相交于点O ，且OB=OC ，求证：△ABC 是等腰三角形．E D C BA。
等腰三角形判定
⑶过点A作y轴的垂线交y轴于E，F为x轴负半轴上一点，
G在EF的延长线上，以EG为直角边作等腰Rt△EGH， 过A作x轴垂线交EH于点M，连FM，等式 是否成立？若成立，请证明：
已知:如图,DE∥BC,∠1=∠2.
求证:BD=CE.
证明: ∵∠1=∠2（已知）
∴AD=AE（等角对等边） ∵DE∥BC（已知） ∴∠1=∠B，∠2=∠C ∴∠B=∠C ∴AB=AC（等角对等边） ∴AB－AD=AE－AC B D 1
A
2 E
C
即 BD=CE
例3、如图，把一张矩形的纸沿对角线折叠，重合 的部分是一个等腰三角形吗？为什么？ 2 解：重合部分是等腰三角形。 理由：由ABDC是矩形知 AD∥BC A ∴∠ 3= ∠ 2 由沿对角线折叠知 1 ∠1=∠3 B 3 ∴ ∠ 1= ∠ 2 ∴ BF=DF（等角对等边）
3、注意：该方法不能直接使用，只能提供一种证等腰 的基本思想，要运用必须予以证明。
1、已知:如图,AD交BC于点O, AB∥CD,OA=OB. 求证:OC=OD
证明:
∵OA=OB(已知) ∴∠A=∠B(等边对等角）
∵AB∥CD(已知) C
A O
B
D
∴∠C= A=∠D. D,∠B=∠C(两直线平行,内错 角相等) ∴OC=OD(等角对等边）
C 110° 20° 50°
A
B
比较本题和练习册P37 7的不同之处。
1、对∠A进行讨论
2、对∠B进行讨论
3、对∠C进行讨论
C
20° 20°
C
65° 65° 50° 35°
C
110° 35°
A C
20° 20°
BA C
50°