二次函数对称性的专题复习

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北京中考真题模考真题二次函数对称性增减性综合大题

二次函数（对称性、增减性）一、对称性、增减性1、（2021.北京26题）在平面直角坐标系xOy 中，点(1，m )和点(3，n )在抛物线()20y ax bx a =+>上.(1)若m =3，n =15，求该抛物线的对称轴；(2)已知点123()()()124y y y -，，，，，在该抛物线上，若mn <0，比较123y y y ，，，的大小，并说明理由【答案】（1）1x =-;（2）213y y y <<解析：二次函数综合，考察点和对称轴的位置判断函数值的大小. ①当m <0,n >0时，由二次函数恒过（0，0）点知此时抛物线开口向下，a <0,与a >0矛盾；②当m >0,n <0时，对称轴为13,22x <<故351357(1),2,4.222222x x x <--<<-<<-< ∴()214x x x -<--<- ∵0a > ∴213y y y <<2、（2020.北京26题）在平面直角坐标系xOy 中，()11,M x y ，()22,N x y 为抛物线()20y ax bx c a =++>上任意两点，其中12x x <．（1）若抛物线的对称轴为=1x ，当1x ，2x 为何值时，12y y c ==；（2）设抛物线的对称轴为=x t ．若对于123x x +>．都有12y y <，求t 的取值范围．【解析】：(1)当12y y c ==时∴令y c =时，代入()20y ax bx c a =++>()20c ax bx c a ∴=++> ()0x ax b ∴=+120,b x x a ∴==-1,22bx b a a=-==-又对称轴即 222ax a-∴=-= (2)作点M 关于x t =的对称点,M 设点M ()31,x y132x x t ∴+= 1212,3y y x x <+>1232,2x x t t t ∴+>≤≤即23,注：此时，是可以取等值的，一定要特别注意。

初二数学二次函数的轴对称性

初二数学二次函数的轴对称性二次函数是数学中常见的一种函数形式，具有很多独特的性质。

其中，轴对称性是二次函数最为显著的特征之一。

本文将介绍二次函数的轴对称性及相关概念，并以数学实例来加深理解。

一、轴对称性的定义及性质1. 轴对称性的定义：二次函数的图像关于某一条直线对称。

2. 轴对称性的性质：若二次函数f(x)的图像关于直线x=a对称，则有以下性质：- 对任意x，有f(a+x) = f(a-x)；- 若(x1, y1)是f(x)的图像上的任意一点，则(a+x1, y1)也是f(x)的图像上的一点；- 轴对称线的方程为x=a。

二、轴对称函数的图像轴对称函数的图像是一种特殊的图形，具有左右对称的特点。

以二次函数 f(x) = ax^2 + bx + c （a≠0）为例，其轴对称线的方程为x = -b/2a。

当a>0时，二次函数的图像开口向上，形如“U”字形，轴对称线为对称图形的最低点；当a<0时，二次函数的图像开口向下，形如倒置的“U”字形，轴对称线为对称图形的最高点。

三、轴对称性的证明证明某一函数具有轴对称性可以采用以下两种方法。

1. 利用代数方法，求解f(x)与f(-x)的关系：若f(x) = f(-x)，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = x^2 - 4，有f(x) = f(-x)，因此该函数具有轴对称性。

2. 利用几何方法，观察二次函数的图像关于x轴对称：绘制二次函数的图像，并将图像沿x轴折叠。

如果左右对称，则二次函数具有轴对称性。

例如，对于二次函数f(x) = (x-1)^2 - 2，绘制其图像后，可以发现图像相对于x轴呈左右对称的关系，因此该函数具有轴对称性。

四、轴对称性在数学问题中的应用1. 轴对称性在函数图像的绘制中的应用：在绘制二次函数的图像时，可以利用轴对称性简化计算。

通过确定函数的最高点或最低点及其坐标，再结合对称性，可以得到更多其他点的坐标，从而绘制出准确的图像。

二次函数的图象和性质——对称性专题训练卷(含答案详解)

1.2.8二次函数的图象和性质——对称性1．函数f(x)＝x3＋1的奇偶性为()．A．奇函数B．偶函数C．既是奇函数又是偶函数D．非奇非偶函数2．已知函数f(x)＝(m－1)x2＋2mx＋3是偶函数，则f(x)在(－∞，0)上()．A．递增B．递减C．先增后减D．先减后增3．函数f(x)＝x2＋2x＋2，x∈(1,4]的值域是()．A．(5,26] B．(4,26]C．(3,26] D．(2,26]4．f(x)是定义在R上的奇函数，下列结论中，不正确的是()．A．f(－x)＋f(x)＝0B．f(－x)－f(x)＝－2f(x)C．f(x)·f(－x)≤0D．()1 ()f xf x=--5．若偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上是递增函数，则()．A．f(－1)＜f(－1.5)＜f(2)B．f(－1.5)＜f(－1)＜f(2)C．f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)D．f(2)＜f(－1)＜f(－1.5)6．若函数y＝x(ax＋1)是奇函数，则实数a＝__________. 7．已知函数f(x)＝x3＋ax＋1，f(1)＝3，则f(－1)＝__________.8．已知f(x)是偶函数，其定义域为R，且在[0，＋∞)上是递增函数，则74f⎛⎫- ⎪⎝⎭与f(2)的大小关系为__________．9．已知二次函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b为常数)满足f(0)＝f(1)，方程f(x)＝x有两个相等的实数根．(1)求函数f(x)的解析式；(2)当x∈[0,4]时，求函数f(x)的值域．10．求函数f(x)＝x2－2ax－1在闭区间[0,2]上的最大值和最小值．参考答案1.答案：D解析：函数定义域为R，且f(－x)＝－x3＋1，∴f(x)≠f(－x)，且f(x)≠－f(－x)．因此，此函数既不是奇函数也不是偶函数．2.答案：A解析：由f(x)是偶函数知2m＝0，即m＝0.此时f(x)＝－x2＋3，开口向下，对称轴为y轴，所以在(－∞，0)上单调递增．选A．3.答案：A解析：由于f(x)＝(x＋1)2＋1，对称轴为直线x＝－1，因此f(x)在(1,4]上是单调递增的，所以当x∈(1,4]时，f(1)＜f(x)≤f(4)，即5＜f(x)≤26，故选A．4.答案：D解析：()1()f xf x=--当f(－x)＝0时不成立，故选D．5.答案：C解析：f(x)是偶函数，且在(－∞，－1]上是递增函数．而f(2)＝f(－2)，且－2＜－1.5＜－1，所以f(－2)＜f(－1.5)＜f(－1)．即f(2)＜f(－1.5)＜f(－1)，故选C．6.答案：0解析：由于f(x)＝x(ax＋1)＝ax2＋x，又f(x)是奇函数，必有a＝0.7.答案：－1解析：由f(x)＝x3＋ax＋1得f(x)－1＝x3＋ax.∵f (x)－1为奇函数，∴f(1)－1＝－[f(－1)－1]，即f(－1)＝－f(1)＋2＝－3＋2＝－1.8.答案：74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)解析：∵f(x)是偶函数，且在[0，＋∞)上是增函数，则7744f f⎛⎫⎛⎫-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，而724<，∴74f⎛⎫- ⎪⎝⎭＜f(2)．9.解：(1)∵f(x)＝x有两个相等的实数根．∴x2＋(a－1)x＋b＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝(a－1)2－4b＝0.①又f(0)＝f(1)，∴a＋b＋1＝b.②由①，②知a＝－1，b＝1，∴f(x)＝x2－x＋1.(2)∵213()24f x x⎛⎫=-+⎪⎝⎭，x∈[0,4]，∴12x=时，f(x)有最小值34.又f(0)＝1，f(4)＝13，∴f(x)的最大值为13.∴f(x)的值域为3,13 4⎡⎤⎢⎥⎣⎦.10.解：∵f(x)＝x2－2ax－1＝(x－a)2－a2－1，∴f(x)的图象是开口向上，对称轴为x＝a的抛物线，如下图所示．当a＜0时〔如图(1)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f(x)的最小值为f(0)＝－1；当0≤a≤1时〔如图(2)〕，f(x)的最大值为f(2)＝3－4a，f (x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当1＜a＜2时〔如图(3)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(a)＝－a2－1；当a≥2时〔如图(4)〕，f(x)的最大值为f(0)＝－1，f(x)的最小值为f(2)＝3－4a.。

二次函数的对称性

一、引入f x=x2的图像关于y 轴对称,为啥子呢?答案一: 折叠能重合.答案二:f x=x2关于y轴对称的点都在f x=x2上.（作y=x2图像）（线由点构成）讲:设（a,b）是f x=x2上任意一点,则b=f a=a2.而（a,b）关于y轴的对称点为（−a,b），则f−a=a2=b.∴（−a,b）在f x=x2图像上. ∴f x=x2关于 y轴对称.∴f−a=f(a). ﹡对函数f x来讲, 将﹡式用文字语言描述: 自变量互为相反数, 函数值相等, 称之为偶函数. 对所以图像关于轴对称的函数都有此性质吗? 用余弦函数图像说明混脸熟.二、新课1、如果对一切使F x有定义的x, F−x也有定义, 并且F−x=F x成立, 则称F x为偶函数。

类比:如果对一切使F x有定义的x,F−x也有定义, 并且F−x=−F x成立, 则称F x为奇函数.2、从函数三要素来分析奇函数、偶函数.①定义域：在数轴上关于原点对称.②解析式举例: 奇函数: x n（n为奇数），偶函数：x n（n为偶数）.③值域：无限制。

例1. 判断下列函数的奇偶性。

（1）f x=|x+1|+|x−1|.（2）f x=1−x2x+1.（3）f x=12x2+1 x>0;−12x2−1 x<0.（4）f x=1−x2|x+2|.例2. 已知f x为R上奇函数. 当x>0时, f x=−2x2+3x+1.(1) 求f x解析式.(2) 做出函数f x的图像.小结：基本知识: 1.奇、偶、定义域特点.2.判断函数奇偶性的方法.数学习惯: 符号语言, 文字语言, 图形语言的转换.数学思想: 类比, 函数思想——用研究函数的方法研究函数(三要素、性质). 作业：一、复习引入回顾上节小结的内容（具体化）.二、新课1、具有奇偶性的函数, 其单调性如何？举例：f x=x2,g x=1x.结论：奇函数在关于原点对称的区间上单调性相同.偶函数在关于原点对称的区间上单调性相反.2、二次函数f x=a(x−1)2+1a≠0的对称轴是x=1为什么？①图像上观察：1+t,a t2+1,(1−t,a t2+1)②解析式：f1+t=f1−t,t∈R成立.③将上式翻译成文字语言：对来说，自变量和为2，函数值相等.④一般化：f x=a(x−h)2+k关于x=h对称.f x= ax2+bx+c对称轴为x=−b2a.点: 对任意x∈R， f h+t=f h−t.自变量和为2h，则图像关于x=h对称.⑤更一般化：对其它（非二次函数）. 若f a+x=f a−x, x∈R成立，则函数f x图像关于x=a对称.3、二次函数图像的分类y= ax2+bx+c a≠0①②③④⑤⑥课外思考题：从偶函数图像关于y轴对称，解析式满足f−x=f x可得出：一般函数图像关于x=a对称，其解析式满足f a+x=f a−x.用类比方法, 得出函数图像关于a,0对称, 其解析式满足的条件, 并翻译成文字语言.例1. 已知二次函数f x同时满足①f1+x=f1−x②f(x)的最大值为15 ③f x=0的两根立方和等于17, 求f x的解析式.优化方案P35, 随堂自测.(1)、（2）、（3）、（4）小结：（1）f(x)= ax2+bx+c a≠0的对称性.（2）f(x)对称轴x=a f a+x=f a−x对一切x∈R成立.数学思想：①特殊到一般②类比方法上类比结论上类比作业：。

九年级数学上册第1章二次函数专题训练巧用抛物线对称性解题 (新版)浙教版

巧用抛物线对称性解题►类型之一二次函数与三角形的综合图3－ZT－11．如图3－ZT－1，抛物线y＝－x2＋2x＋3与y轴交于点C，点D(0，1)，P是抛物线上的动点．若△PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为____________．2．如图3－ZT－2，在平面直角坐标系中，点A在y轴的负半轴上，点B，C在x轴上，OA＝8，AB＝AC＝10，点D在AB上，CD与y轴交于点E，且满足S△COE＝S△ADE，求过点B，C，E的抛物线的函数表达式．图3－ZT－23．如图3－ZT－3，已知二次函数y＝ax2＋bx＋3(a≠0)的图象经过点A(3，0)，B(4，1)，且与y轴交于点C，连结AB，AC，BC.(1)求该二次函数的表达式；(2)判断△ABC的形状．图3－ZT－34．如图3－ZT－4，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A(－1，0)，B(5，0)两点，已知C(0，5)，M为它的顶点．(1)求抛物线的函数表达式及顶点M的坐标；(2)求△MAB的面积；(3)求△MCB的面积．图3－ZT－45．如图3－ZT －5，抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)求该抛物线的对称轴以及顶点坐标；(3)设(1)中的抛物线上有一个动点P ，且点P 在x 轴上方．若S △PAB ＝8，请求出此时点P 的坐标．图3－ZT －56．如图3－ZT －6，一小球从斜坡上点O 抛出，球的抛出路线可以用二次函数y ＝－x 2＋4x 刻画，斜坡可以用一次函数y ＝12x 刻画．(1)请用配方法求二次函数图象最高点P 的坐标； (2)小球的落点是A ，求点A 的坐标；(3)连结抛物线的最高点P 与点O ，A 得△POA ，求△POA 的面积；(4)在OA 上方的抛物线上存在一点M (点M 与点P 不重合)，使△MOA 的面积等于△POA 的面积，请直接写出点M 的坐标．图3－ZT －6► 类型之二二次函数与特殊四边形的综合图3－ZT －77．边长为1的正方形OA 1B 1C 1的顶点A 1在x 轴的正半轴上，将正方形OA 1B 1C 1绕顶点O 顺时针旋转75°得正方形OABC (如图3－ZT －7)，使点B 恰好落在函数y ＝ax 2(a ＜0)的图象上，则a 的值为( )A ．－23B ．－12C ．－2D ．－238．如图3－ZT －8，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝ax 2＋c (a ≠0)的图象过正方形ABOC 的三个顶点A ，B ，C ，则ac 的值是________．3－ZT －83－ZT －99．二次函数y ＝3x 2的图象如图3－ZT －9，点O 为坐标原点，点A 在y 轴的正半轴上，点B ，C 在二次函数y ＝3x 2的图象上，四边形OBAC 为菱形，且∠OBA ＝120°，则菱形OBAC 的面积为__________．10．如图3－ZT －10，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2－43x ＋2过点B (1，0)．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求抛物线与y 轴的交点C 的坐标及与x 轴的另一交点A 的坐标； (3)以AC 为边在第二象限画正方形ACPQ ，求P ，Q 两点的坐标．图3－ZT －1011．如图3－ZT －11，已知抛物线y ＝－14x 2－12x ＋2与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C .(1)求点A ，B ，C 的坐标．(2)E 是此抛物线上的点，F 是其对称轴上的点，求以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积．(3)此抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得△ACM 是等腰三角形？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．图3－ZT －11详解详析1．(1＋2，2)或(1－2，2)[解析]∵△PCD 是以CD 为底的等腰三角形， ∴点P 在线段CD 的垂直平分线l 上．如图，作CD 的垂直平分线交抛物线于点P 1，P 2，交y 轴于点E ，则E 为线段CD 的中点．∵抛物线y ＝－x 2＋2x ＋3与y 轴交于点C ， ∴C (0，3)，而D (0，1)，∴点E 的坐标为(0，2)， ∴点P 的纵坐标为2.在y ＝－x 2＋2x ＋3中，令y ＝2，可得－x 2＋2x ＋3＝2，解得x ＝1±2，∴点P 的坐标为(1＋2，2)或(1－2，2)． 2．解：如图，过点D 作DG ⊥x 轴于点G . ∵OA ＝8，AC ＝AB ＝10， ∴A (0，－8)，BO ＝OC ＝6， ∴B (6，0)，C (－6，0)． ∵S △COE ＝S △ADE ，∴S △CBD ＝S △AOB ＝12×8×6＝24，∴12×BC ×||y D ＝24，解得||y D ＝4， ∴D 为AB 的中点，∴D (3，－4)．联合C 点坐标可求得直线CD 的函数表达式为y ＝－49x －83，∴E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83.设过B ，C ，E 三点的抛物线的函数表达式为y ＝a (x ＋6)(x －6)，将E ⎝⎛⎭⎪⎫0，－83代入，得a ＝227，∴过点B ，C ，E 的抛物线的函数表达式为y ＝227(x ＋6)(x －6)＝227x 2－83.3．解：(1)把A (3，0)，B (4，1)代入y ＝ax 2＋bx ＋3中，得⎩⎨⎧9a ＋3b ＋3＝0，16a ＋4b ＋3＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－52，∴该二次函数的表达式为y ＝12x 2－52x ＋3.(2)△ABC 是直角三角形．理由：过点B 作BD ⊥x 轴于点D ，易知点C 的坐标为(0，3)，∴OA ＝OC ， ∴∠OAC ＝45°.又∵点B 的坐标为(4，1)， ∴AD ＝BD ， ∴∠DAB ＝45°，∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，∴△ABC是直角三角形．4．解：(1)∵A (－1，0)，B (5，0)，∴可设表达式为y ＝a (x ＋1)(x －5)．将C (0，5)代入，得a ＝－1，∴抛物线的函数表达式为y ＝－(x ＋1)(x －5)＝－x 2＋4x ＋5.∴M (2，9)．(2)S △MAB ＝12AB ·||y M ＝12×6×9＝27. (3)过点M 作MD ⊥y 轴于点D ，则S △MCB ＝S 梯形MDOB －S △DCM －S △COB ＝12×(2＋5)×9－12×2×4－12×5×5＝15. 5．解：(1)∵抛物线y ＝x 2＋bx ＋c 与x 轴交于A (－1，0)，B (3，0)两点，∴方程x 2＋bx ＋c ＝0的两根为x ＝－1或x ＝3，∴－1＋3＝－b ，－1×3＝c ，∴b ＝－2，c ＝－3，∴该抛物线的函数表达式是y ＝x 2－2x －3.(2)∵y ＝x 2－2x －3＝(x －1)2－4，∴抛物线的对称轴为直线x ＝1，顶点坐标为(1，－4)．(3)设点P 的纵坐标为y P ，∵S △PAB ＝8，∴12AB ·|y P |＝8. ∵AB ＝3＋1＝4，∴|y P |＝4，∴y P ＝±4.∵点P 在x 轴上方，∴y P＝4.把y P ＝4代入表达式，得4＝x 2－2x －3，解得x ＝1±2 2，∴点P 的坐标为(1＋2 2，4)或(1－2 2，4)．6．解：(1)∵y ＝－x 2＋4x ＝－(x 2－4x )＝－(x 2－4x ＋4)＋4＝－(x －2)2＋4，∴最高点P 的坐标为(2，4)．(2)点A 的坐标满足方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝72，y ＝74， ∴点A 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫72，74.(3)如图，过点P 作PB ⊥x 轴交OA 于点B ，则点B 的坐标为(2，1)，∴PB ＝3，∴S △POA ＝S △OPB ＋S △APB ＝12×3×2＋12×3×32＝214. (4)如图，过点P 作PM ∥OA 交抛物线于点M ，连结OM ，则△MOA 的面积等于△POA 的面积．设直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋b ， ∵直线PM 过点P (2，4)，∴12×2＋b ＝4，解得b ＝3，∴直线PM 的函数表达式为y ＝12x ＋3. 根据题意，可列方程组⎩⎨⎧y ＝－x 2＋4x ，y ＝12x ＋3，解得⎩⎨⎧x ＝2，y ＝4 或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝154， ∴点M 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，154.7．D [解析] 如图，过点B 作BE ⊥x 轴于点E ，连结OB .依题意得∠AOE ＝75°，∠AOB ＝45°，∴∠BOE ＝30°.∵OA ＝1，∴OB ＝ 2.∵∠OEB ＝90°，∴BE ＝12OB ＝22，∴OE ＝62， ∴点B 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫62，－22. 将其代入y ＝ax 2(a ＜0)，得a ＝－23. 故选D.8．－2 [解析] 连结BC，与AO交于点D.观察图象，根据二次函数的图象与其表达式的系数之间的关系可知a<0，c>0.由图象可知，点A是抛物线的顶点，设点A的坐标为(0，c)，则OA＝c，∵四边形ABOC 是正方形，∴AO ＝BC ，AD ＝OD ，△ABD ，△ACD 是等腰直角三角形，∴AD ＝OD ＝c 2. ∵△ABD 是等腰直角三角形， ∴BD ＝c 2. ∵BD ＝c 2，OD ＝c 2， ∴点B 的坐标为(－c 2，c 2)．将点B 的坐标代入二次函数表达式y ＝ax 2＋c ，可得c 2＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－c 22＋c ，整理，得ac ＝－2.9．2 3 [解析] 连结BC 交OA 于点D .∵四边形OBAC 为菱形，∴BC ⊥OA .∵∠OBA ＝120°，∴∠OBD ＝60°，∴OD ＝3BD .设BD ＝t ，则OD ＝3t ，∴B ()t ，3t . 把B (t ，3t )代入y ＝3x 2，得3t ＝3t 2，解得t 1＝0(舍去)，t 2＝1.∴BD ＝1，OD ＝3，∴BC ＝2BD ＝2，OA ＝2OD ＝2 3，∴菱形OBAC 的面积为12×2×2 3＝2 3.10．解：(1)将B (1，0)代入y ＝ax 2－43x ＋2，得a －43＋2＝0，∴a ＝－23， ∴抛物线的函数表达式为y ＝－23x 2－43x ＋2. (2)当y ＝0时，－23x 2－43x ＋2＝0，解得x 1＝1，x 2＝－3.当x ＝0时，y ＝2，∴抛物线与x 轴的另一交点A 的坐标为(－3，0)，与y 轴的交点C 的坐标为(0，2)．(3)如图，过点P ，Q 分别作PH ⊥y 轴，QG ⊥x 轴，H ，G 分别为垂足．∵四边形ACPQ 是正方形，∴易知△AOC ≌△QGA ≌△CHP ，∴AO ＝QG ＝CH ＝3，OC ＝GA ＝HP ＝2，∴P (－2，5)，Q (－5，3)．11．解：(1)当x ＝0时，y ＝2，∴C (0，2)．当y ＝0时，－14x 2－12x ＋2＝0，解得x 1＝－4，x 2＝2，∴B (－4，0)，A (2，0)．(2)易得对称轴为直线x＝－1.当AB为对角线时，如图①，图①由点F 的横坐标为－1，易知点E 的横坐标也是－1，∴E (－1，94)， ∴▱AEBF 的面积为AB ×94×12×2＝272；当AB 为边时，如图②，图②∵AB ＝6，∴EF ＝6，∴E (5，－274)或E ′(－7，－274)， ∴以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为AB ×274＝6×274＝812. 综上，以A ，B ，E ，F 为顶点的平行四边形的面积为272或812. (3)存在，设点M 的坐标为(－1，t )．∵A (2，0)，C (0，2)，∴AC ＝22，MC ＝1＋（t －2）2，AM ＝9＋t 2.①当AC＝MC时，22＝1＋（t－2）2，解得t＝2±7，即M(－1，2＋7)或M(－1，2－7)；②当MC＝AM时，1＋（t－2）2＝9＋t2，解得t＝－1，即M(－1，－1)；③当AC＝AM时，22＝9＋t2，此方程无解．综上，此抛物线的对称轴上存在点M，使得△ACM是等腰三角形，点M的坐标为(－1，2＋7)或(－1，2－7)或(－1，－1)．感谢您的支持，我们会努力把内容做得更好！。

二次函数对称性、最值、取值范围

专题--------二次函数对称性、最值、取值范围1. （2013年海淀期末）已知：二次函数2(0)y ax bx c a =++≠中的x 和满足下表： (1) 可求得m 的值为；(2) 求出这个二次函数的解析式；(3) 当03x <<时，则y 的取值范围为.已知二次函数2(0)y ax bx c a =++<的图象经过点(2,0)A -、(0,0)O 、1(3,)B y -、2(3,)C y ）四点，则1y 与2y 的大小关系正确的是（）A ．12y y <B ．12y y >C ．12y y =D ．不能确定已知二次函数．（1）该二次函数图象的对称轴是x ；（2）若该二次函数的图象开口向下，当时，的最大值是2，求当14x ≤≤时， y 的最小值；243y ax ax a =-+=14x ≤≤y【重要】当0≤x ≤2时，求函数2314y x mx m =-++的最小值（用含m 的代数式表示）．对于二次函数223y x mx =--，有下列说法：①它的图象与x 轴有两个公共点；②如果当1x ≤时y 随x 的增大而减小，则1m =； ③如果将它的图象向左平移3个单位后过原点，则1m =-；④如果当4x =时的函数值与2008x =时的函数值相等，则当2012x =时的函数值为3-．其中正确的说法是．（把你认为正确说法的序号都填上）（2016海淀二模）27. 已知：点(,)P m n 为抛物线24y ax ax b =-+（0a ≠）上一动点．（1）1P （1，1n ），2P （3，2n ）为P 点运动经过的两个位置，判断1n ，2n 大小，说明理由（2）当14m ≤≤时，n 的取值范围是14n ≤≤，求抛物线的解析式.8、（17年西城一模）在平面直角坐标系xOy 中，二次函数y =mx 2 (2m + 1)x + m 5的图象与x 轴有两个公共点.（1）求m 的取值范围；（2）若m 取满足条件的最小的整数，①写出这个二次函数的解析式；②当n ≤ x ≤ 1时，函数值y 的取值范围是 6 ≤ y ≤ 4n ，求n 的值；（西城期末）阅读下面的材料：小明在学习中遇到这样一个问题：若1≤x ≤m ，求二次函数267y x x =-+的最大值．他画图研究后发现，1x =和5x =时的函数值相等，于是他认为需要对m 进行分类讨论．他的解答过程如下：∵二次函数267y x x =-+的对称轴为直线3x =，∴由对称性可知，1x =和5x =时的函数值相等．∴若1≤m ＜5，则1x =时，y 的最大值为2；若m ≥5，则x m =时，y 的最大值为267m m -+．请你参考小明的思路，解答下列问题：（1）当2-≤x ≤4时，二次函数2241y x x =++的最大值为_______；（2）若p ≤x ≤2，求二次函数2241y x x =++的最大值；（3）若t ≤x ≤t +2时，二次函数2241y x x =++的最大值为31，则t 的值为_______．----（海淀期末）抛物线2(3)3(0)y mx m x m =+-->与x 轴交于A 、B 两点，且点A 在点B的左侧，与y 轴交于点C ，OB=OC ．（1）求这条抛物线的解析式；（2）若点P 1(,)x b 与点Q 2(,)x b 在（1）中的抛物线上，且12x x <，PQ=n .①求2124263x x n n -++的值；②将抛物线在PQ 下方的部分沿PQ 翻折，抛物线的其它部分保持不变，得到一个新图象.当这个新图象与x 轴恰好只有两个公共点时，b 的取值范围是.（2015怀柔一模）在平面直角坐标系xoy 中，二次函数()2121y a x x =-++与x 轴有交点，a 为正整数.（1）求a 的值.（2）将二次函数()2121y a x x =-++的图象向右平移m 个单位，向下平移21m +个单位，当21x -≤≤时，二次函数有最小值3-，求实数m 的值.。

二次函数专题训练2二次函数对称性 (2)

二次函数专题训练2——对称性与增减性【选择】1、若二次函数2y ax c =+，当x 取1212,()x x x x ≠时，函数值相等，则当x 取12x x +时，函数值为（）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（A ）（21，0）（B ）（1，0）（C ）（2，0）（D ）（3，0）3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1两点，则线段AB 的长度为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．4(2)(3) (4) 4、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图(1)所示，若0>y ，则的取值范围是（）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x 5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图(2)，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（）A ．y ＜0 B ．0＜y ＜m C ．y ＞m D ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图(3)所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交点的坐标是( ) A ．(0.5，0) B ．(1，0) C ．(2，0) D ．(3，0)7、老师出示了小黑板上的题后(如图4)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 8、二次函数2y x bx c =++的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

9、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2) 10、已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 111、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 12、若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（）A. y 1<y 2<y 3 B. y 3<y 2<y 1 C. y 3<y 1<y 2 D. y 2<y 1<y 3 13、从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是( ) A 、ｙ≤0或9≥y B 、0≤ｙ≤9 C 、0≤ｙ≤1 D 、1≤ｙ≤9 14、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（） A.y 1>y 2>y 3 B.y 2>y 3>y 1 C.y 3>y 1>y 2 D.y 3>y 2>y 115、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是( ) A ．y=2x B.y=-2x+5 C ．3y=-xD ．y=-x 2+2x-1(1)16、下列四个函数：①y=2x ；②2y=-x ；③y=3-2x ；④y=2x 2+x(x≥0)，其中，在自变量x 的允许取值范围内，y 随x 增大而增大的函数的个数为( )A. 1B. 2C. 3D. 417、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( ) A.1个 B.2个 C. 3个 D. 4个(17题) （18题）（21题）18、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，-3.2）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两个根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３ B.-2.3 C.-0.3 D.-3.319、已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象经过点A(0.85,y 1)，B(1.1,y 2),C(2,y 3),则有( )(A) y 1<y 2<y 3 (B) y 1>y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 220、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（） A. 321y y y << B. 132y y y << C. 123y y y << D. 231y y y <<21、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为( ) A. 0 B. －1 C. 1 D. 2 【填空】1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________· 2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线．3、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为． 4、抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=5、y=a 2x +5与X 轴两交点分别为（x 1 ,0），（x 2 ,0）则当x=x 1 +x 2时，y 值为____6、请你写出一个b 的值，使得函数22y x bx =+在第一象限内y 的值随着x 的值增大而增大，则b 可以是．7、当22x -<<时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①2y x =；②2y x =-；③2y x =-；④268y x x =++ 8、一个关于x 的函数同时满足如下三个条件:①x 为任何实数，函数值y ≤2都能成立；②当x ＜1时，函数值y 随x 的增大而增大；③当x ＞1时，函数值y 随x 的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是。

北京市九年级中考数学二轮专题复习专题七二次函数综合题(课件)

2a
∴b＝－2a， ∴y＝ax2－2ax＋a－4＝a(x－1)2－4， ∴顶点坐标为(1，－4)；
(2)当－2≤x≤3时，y的最大值是5，求a的值； (2)若a＜0，则抛物线开口向下，y的最大值在对称轴处取得，从而y有最大值为－4， ∵当－2≤x≤3时，y的最大值是5，且抛物线的对称轴为直线x＝1， ∴函数此时在x＝1时取得最大值5，这与y有最大值－4矛盾，从而a＞0， ∴抛物线的顶点为图象的最低点． ∵1－(－2)＞3－1，
∴C(0，3)．
设直线BC的表达式为y＝kx＋b(k≠0)，
将B(3，0)，C(0，3)代入y＝kx＋b，得 ∴直线BC的表达式为y＝－x＋3, 3,
(2)垂直于y轴的直线l与抛物线交于点P(x1，y1)，Q(x2，y2)，与直线BC 交于点N(x3，y3)．若x1＜x2＜x3，结合函数的图象，求x1＋x2＋x3的取
于点A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.
(1)求直线BC的表达式；解：(1)∵抛物线y＝x2－4x＋3与x轴交于点A，B(点A在点B左侧)， ∴令y＝0，则有x2－4x＋3＝(x－3)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝3， ∴A(1，0)，B(3，0)． ∵抛物线y＝x2－4x＋3与y轴交于点C， ∴令x＝0，得y＝3，
∴当x＝－2时，y＝5，代入y＝a(x－1)2－4，得a(－2－1)2－4＝5，解得a＝1；
(3)在(2)的条件下，当t≤x≤t＋1时，y的最大值是m，最小值是n，且
m－n＝3.求t的值． (3)由(2)得，a＝1， ∴y＝(x－1)2－4. ①当t ≤ 1 ≤ t＋1时，此时0 ≤ t ≤ 1， ∴n＝－4，函数的最大值在t＋1或t处取得，即m＝t2－4或 m＝(t－1)2－4， ∴m的最大值为－3，此时m－n＝1，不符合题意，舍去；

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二次函数图象对称性的应用一、几个重要结论：1、抛物线的对称轴是直线__________。

2、对于抛物线上两个不同点P1（），P2（），若有，则P1，P2两点是关于_________对称的点，且这时抛物线的对称轴是直线_____________；反之亦然。

3、若抛物线与轴的两个交点是A（，0），B（，0），则抛物线的对称轴是__________（此结论是第2条性质的特例，但在实际解题中经常用到）。

4、若已知抛物线与轴相交的其中一个交点是A（，0），且其对称轴是，则另一个交点B的坐标可以用＿＿＿＿表示出来（注：应由A、B两点处在对称轴的左右情况而定，在应用时要把图画出）。

5、若抛物线与轴的两个交点是B（，0），C（，0），其顶点是点A，则∆ABC是＿＿＿＿三角形，且∆ABC的外接圆与内切圆的圆心都在抛物线的＿＿＿＿＿＿＿上。

二、在解题中的应用：例1已知二次函数的图象经过A（-1，0）、B（3，0），且函数有最小值-8，试求二次函数的解析式。

例2已知抛物线,设,是抛物线与轴两个交点的横坐标，且满足.（1）求抛物线的解析式；（2）设点P （，），Q （，）是抛物线上两个不同的点，且关于此抛物线的对称轴对称，求的值。

例3已知抛物线经过点A（-2，7）、B（6，7）、C（3，-8），则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是。

例4已知抛物线的顶点A 在直线上。

（1）求抛物线顶点的坐标；（2）抛物线与轴交于B、C两点，求B、C两点的坐标；（3）求∆ABC的外接圆的面积。

二次函数专题训练——对称性与增减性一、选择1、若二次函数，当x 取，（≠）时，函数值相等，则当x 取+时，函数值为（）（A ）a+c （B ）a-c （C ）-c （D ）c 2、抛物线2)1(2++=x a y 的一部分如图所示，该抛物线在y 轴右侧部分与x 轴交点的坐标是（A ）（21，0）（B ）（1，0）（C ）（2，0）（D ）（3，0）3、已知抛物线2(1)(0)y a x h a =-+≠与x 轴交于1(0)(30)A x B ，，，两点，则线段AB 的长度为（）Ａ．1 Ｂ．2 Ｃ．3 Ｄ．44、抛物线c bx x y ++-=2的部分图象如图所示，若0>y ，则的取值范围是（）A.14<<-xB. 13<<-xC. 4-<x 或1>xD.3-<x 或1>x5、函数y =x 2-x +m (m 为常数)的图象如图，如果x =a 时，y ＜0；那么x =a -1时，函数值（） A ．y ＜0 B ．0＜y ＜mC ．y ＞mD ．y =m6、抛物线y=ax 2+2ax+a 2+2的一部分如图所示，那么该抛物线在y 轴右侧与x 轴交y–1x点的坐标是( )A ．，0)B ．(1，0)C ．(2，0)D ．(3，0) 7、老师出示了小黑板上的题后(如图)，小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说：a=1；小颖说：抛物线被x 轴截得的线段长为2．你认为四人的说法中，正确的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 8、若二次函数2y ax c =+，当x 取1x 、2x （12x x ≠）时，函数值相等，则当x 取12x x + 时，函数值为（）Ａ．a c + Ｂ．a c - Ｃ．c - Ｄ．c9、二次函数c bx x y ++=2的图象上有两点(3，－8)和(－5，－8)，则此拋物线的对称轴是（）A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。

10、已知关于x 的方程32=++c bx ax 的一个根为1x =2，且二次函数c bx ax y ++=2 的对称轴直线是x =2，则抛物线的顶点坐标是（）A ．(2，－3 )B ．(2，1)C ．(2，3)D ．(3，2)11、已知函数215322y x x =---，设自变量的值分别为x 1，x 2，x 3，且-3< x 1< x 2<x 3，则对应的函数值的大小关系是（）A ．y 3>y 2>y 1B ．y 1>y 3>y 2C ．y 2<y 3<y 1D ．y 3<y 2<y 1 12、小明从右边的二次函数2y ax bx c =++图象中，观察得出了下面的五条信息：①0a <，②0c =，③函数的最小值为3-，④当0x <时，0y >，⑤当1202x x <<<时，12y y >．你认为其中正确的个数为（）Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 13、若123135(,),(1,),(,)43A yB yC y --的为二次函数245y x x =--+的图像上的三点，则y 1,y 2,y 3的大小关系是（）A. y 1<y 2<y 3B. y 3<y 2<y 1C. y 3<y 1<y 2D. y 2<y 1<y 314、从y=x 2的图象可看出，当－3≤ｘ≤－1时，ｙ的取值范围是A 、ｙ≤0或9≥yB 、0≤ｙ≤9C 、0≤ｙ≤1D 、1≤ｙ≤9 15、小颖在二次函数y =2x 2+4x +5的图象上，依横坐标找到三点(－1，y 1)，(21，y 2)，(－321，y 3)，则你认为y 1，y 2，y 3的大小关系应为（） >y 2>y 3 >y 3>y 1 >y 1>y 2 >y 2>y 1 16、下列四个函数中，y 随x 增大而减小的是()yOxPA ．y=2x =-2x+5 C ． D ．y=-x 2+2x-117、下列四个函数：①y=2x ；②；③y=3-2x ；④y=2x 2+x(x≥0)，其中，在自变量x 的允许取值范围内，y 随x 增大而增大的函数的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 418、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的图象如图所示,则下列结论: ①a,b 同号;②当1x =和3x =时,函数值相等;③40a b +=④当2y =-时, x 的值只能取0.其中正确的个数是( )个个 C. 3个 D. 4个19、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠的顶点坐标（-1，）及部分图象(如图),由图象可知关于x 的一元二次方程20ax bx c ++=的两根分别是121.3x x ==和（）Ａ．－１.３20、已知函数y=3x 2-6x+k(k 为常数)的图象过点A,y 1)，B,y 2),C(2,y 3),则有( )(A) y 1<y 2<y 3 (B) y 1>y 2>y 3 (C) y 3>y 1>y 2 (D) y 1>y 3>y 221、已知二次函数682-+-=x x y ,设自变量x 分别为321,,x x x ，且3214x x x <<<，则对应的函数值321,,y y y 的大小关系是（）A. 321y y y <<B. 132y y y <<C. 123y y y <<D. 231y y y <<22、如图，抛物线)0(2>++=a c bx ax y 的对称轴是直线1=x ，且经过点P （3，0），则c b a +-的值为A. 0B. －1C. 1D. 2二、填空1、已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过点A(-2，7)，B(6，7)，C(3，-8)，则该抛物线上纵坐标为-8的另一点的坐标是_________·2、已知二次函数2(0)y ax bx c a =++≠，其中a b c ，，满足0a b c ++=和930a b c -+=，则该二次函数图象的对称轴是直线．3、二次函数2y ax bx c =++（0a ≠，a 、b 、c 是常数）中，自变量x 与函数y 的对应请你观察表中数据，并从不同角度描述该函数图象的特征是：、、．（写出3条即可）4、一元二次方程20ax bx c ++=的两根为1x ，2x ，且214x x +=，点(38)A -，在抛物线2y ax bx c =++上，则点A 关于抛物线的对称轴对称的点的坐标为．5、抛物线cbxaxy++=2的对称轴是x=2，且过点（3,0），则a+b+c=6、y=a2x+5与X轴两交点分别为（x1 ,0），（x2 ,0）则当x=x1 +x2时，y值为____7、请写出一个b的值，使函数22y x bx=+在第一象限内y的值随着x的值增大而增大，则b可以．8、当22x-<<时，下列函数中，函数值随自变量增大而增大的是（只填写序号）①2y x=；②2y x=-；③2yx=-；④268y x x=++9、一个关于x的函数同时满足如下三个条件①x为任何实数，函数值y≤2都能成立；②当x＜1时，函数值y随x的增大而增大；③当x＞1时，函数值y随x的增大而减小；符合条件的函数的解析式可以是。

10、已知(-2,y1),(-1,y2),(3,y3)是二次函数y=x2-4x+m上的点,则y1,y2,y3从小到大用“<”排列是 .11、一个函数具有下列性质：①图象过点（－1，2），②当x＜0时，函数值y随自变量x的增大而增大；满足上述两条性质的函数的解析式是（只写一个即可）。