双曲线的定义、方程和性质(精)
(完整)双曲线的方程及其几何性质
双曲线的标准方程及其几何性质一、双曲线的标准方程及其几何性质。
1．双曲线的定义：平面内与两定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数(大于零，小于｜F 1F 2｜)的点的轨迹叫双曲线.两定点F 1、F 2是焦点,两焦点间的距离｜F 1F 2|是焦距，用2c 表示，常数用2a 表示. (1）若｜MF 1｜-|MF 2｜=2a 时，曲线只表示焦点F 2所对应的一支双曲线. (2)若｜MF 1|—｜MF 2｜=—2a 时，曲线只表示焦点F 1所对应的一支双曲线.(3)若2a =2c 时,动点的轨迹不再是双曲线，而是以F 1、F 2为端点向外的两条射线。
（4）若2a ＞2c 时，动点的轨迹不存在.2。
双曲线的标准方程：22a x -22b y =1(a ＞0,b ＞0）表示焦点在x 轴上的双曲线;22a y -22bx =1(a ＞0，b ＞0)表示焦点在y 轴上的双曲线。
判定焦点在哪条坐标轴上，不像椭圆似的比较x 2、y 2的分母的大小，而是x 2、y 2的系数的符号，焦点在系数正的那条轴上。
4.直线与双曲线的位置关系，可以通过讨论直线方程与双曲线方程组成的方程组的实数解的个数来确定。
（1）通常消去方程组中变量y (或x )得到关于变量x （或y )的一元二次方程，考虑该一元二次方程的判别式∆，则有：⇔>∆0直线与双曲线相交于两个点；⇔=∆0直线与双曲线相交于一个点；⇔<∆0 直线与双曲线无交点．（2）若得到关于x (或y ）的一元二次方程,则直线与双曲线相交于一个点，此时直线平行于双曲线的一条渐近线．(3)直线l 被双曲线截得的弦长2212))(1(x x k AB -+=或2212))(11(y y k-+，其中k 是直线l 的斜率，),(11y x ，),(22y x 是直线与双曲线的两个交点A ，B 的坐标,且212212214)()(x x x x x x -+=-，21x x +，21x x 可由韦达定理整体给出．二、例题选讲例1、中心在原点,焦点在x 轴上的双曲线的实轴与虚轴相等，一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线方程为 ( ）A ．x 2－y 2＝1 B ．x 2－y 2＝2 C ．x 2－y 2＝错误! D ．x 2－y 2＝错误!解析：由题意，设双曲线方程为x 2a2－错误!＝1(a >0)，则c ＝错误!a ，渐近线y ＝x ，∴错误!＝错误!，∴a 2＝2。
双曲线的标准方程及其性质
双曲线的标准方程及其性质一、双曲线的定义1、已知双曲线221916x y -=上一点P 到双曲线的一个焦点的距离为3，则P 到另一个焦点的距离为__________________.2、若双曲线22221x y a b-=的两个焦点为F 1、F 2，12F F ＝10，P 为双曲线上一点，122PF PF =，12PF PF ⊥，求此双曲线的方程.3、在相距1400m 的A ，B 两哨所，听到炮弹爆炸声的时间相差3s ，已知声速是340m/s ，问炮弹爆炸点在怎样的曲线上？4、已知双曲线16x 2-9y 2=144，（1）设P 为双曲线上一点，且|PF 1|⋅|PF 2|=32，求12F PF S ∆；（2）设P 为双曲线上一点，且∠ F 1PF 2=120︒，求12F PF S ∆.二、双曲线的标准方程1、已知3,4a c ==的双曲线的标准方程是__________________.2、已知双曲线方程为221205x y -=，它的焦距是__________________. 3、设m 为常数，若点(0,5)F 是双曲线2219y x m -=的一个焦点，则m =__________________. 4、若R ∈k ，则“3>k ”是“方程13322=+--k y k x 表示双曲线”的( ) （A ）充分不必要条件. （B ）必要不充分条件.（C ）充要条件. （D ）既不充分也不必要条件.5、双曲线222x y k -=的焦距是6，则实数k 的值是__________________.三、双曲线的性质1、已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为,且焦距与虚轴长之比为，则双曲线的标准方程是__________________.2、双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则m =__________________.3、若双曲线的渐近线方程为,它的一个焦点是,则双曲线的标准方程是__________________. (3,0)5:4221mx y +=4、双曲线2221(0)y x b b -=>的一条渐近线方程为y =，则b =__________________. 四、直线与双曲线的位置关系五、1、已知倾斜角为︒45的直线l 过点)2,1(-A 和点B ，B 在第一象限，23||=AB .(1) 求点B 的坐标；(2)若直线l 与双曲线1:222=-y ax C )0(>a 相交于E 、F 两点，且线段EF 的中点坐标为)1,4(，求a 的值；2、在平面直角坐标系中，已知双曲线（1）设是的左焦点，是右支上一点，若的坐标；（2）过的左焦点作的两条渐近线的平行线，求这两组平行线围成的平行四边形的面积.3、在平面直角坐标系中，已知双曲线.（1）过的左顶点引的一条渐近线的平行线，求该直线与另一条渐近线及x 轴围成 的三角形的面积；（2）设斜率为1的直线l 交于P 、Q 两点，若l 与圆相切，求证： OP ⊥OQ .4、已知双曲线C ：的一个焦点是，且。
双曲线的概念及性质
双曲线的概念及性质一，定义：平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数2a （小于|F1F2| ）的轨迹 问题：（1）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（等于|F1F2| ）的轨迹是什么？ （2）平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数（大于|F1F2| ）的轨迹是什么？（3）若a=0，动点M 的是轨迹什么？①当||MF1|-|MF2||= 2a<|F1F2|时，M 点轨迹是双曲线（其中当|MF1|-|MF2|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F2的一支； 当|MF2|-|MF1|= 2a 时，M 点轨迹是双曲线中靠近F1的一支）；②当||MF1|-|MF2||= 2a=|F1F2|时，M 点轨迹是在直线F1F2上且以F1和F2为端点向外的两条射线。
③当||MF1|-|MF2||= 2a >|F1F2|时，M 点的轨迹不存在。
④当||MF1|-|MF2||= 2a=0时，M 点的轨迹是线段F1F2的垂直平分线 。
二，双曲线的标准方程 首先建立起适当的直角坐标系，以1,2F F 所在的直线为x 轴，1,F F 的垂直平分线为y 轴，根据定义可以得到:122a F F =≥ 化简此方程得()22222222()c a x a y a c a --=- ，令222c a b -=得：22221x y a b -=，其中1F (),0c -为左焦点，2F (),0c 为右焦点思考：若焦点落在Y 轴上的时候，其标准方程又是怎样的？ 三，双曲线的性质以双曲线标准方程12222=-by a x ，)0(222>>+=a c b a c 为例进行说明.1．范围: 观察双曲线的草图，可以直观看出曲线在坐标系中的范围：双曲线在两条直线a x ±=的外侧.由标准方程可得22a x ≥，当a x ≥时，y 才有实数值；对于y 的任何值，x 都有实数值这说明从横的方向来看，直线x=-a,x=a 之间没有图象，从纵的方向来看，随着x 的增大，y 的绝对值也无限增大，所以曲线在纵方向上可无限伸展，不像椭圆那样是封闭曲线 2.对称性：双曲线不封闭，但仍具三个对称性，称其对称中心为双曲线的中心3．顶点：双曲线和对称轴的交点叫做双曲线的顶点，令0=y 得a x ±=，因此双曲线和x轴有两个交点)0,()0,(2a A a A -，它们是双曲线12222=-by a x 的顶点,对称轴上位于两顶点间的线段21A A 叫做双曲线12222=-by a x 的实轴长，它的长是2a ，a 叫半实轴长但y 轴上的两个特殊点()b B b B -,0),,0(21，在双曲线中也有非常重要的作用 把线段21B B 叫做双曲线的虚轴，它的长是2b ，b 叫做虚半轴长实轴：21A A 长为2a ，a 叫做半实轴长. 虚轴：21B B 长为2b ，b 叫做虚半轴长.4． 渐近线：经过2121B B A A 、、、作x 轴、y 轴的平行线b y a x ±=±=,，围成一个矩形，其对角线所在的直线方程为x aby ±=. （1） 定义：如果有一条直线使得当曲线上的一点M 限远离原点时，点M 条直线叫这一曲线的渐近线；（2） 直线x a by ±=与双曲线12222=-by a x 否相交？（3） 求法：在方程12222=-by ax 中，令右边为零，则0))((=+-b ya xb y a x 即x ab y ±=； 若方程为12222=-b x a y ，则渐近线方程为x ba y ±=5.离心率：ce a= ()0c a >>,所以1e > 2．问题拓展 （一）等轴双曲线1、定义：若a=b 即实轴和虚轴等长，这样的双曲线叫做等轴双曲线2、方程：222a y x =-或222a x y =-.3、等轴双曲线的性质：（1）渐近线方程为：x y ±= ；（2）渐近线互相垂直..3）等轴双曲线方程可以设为：)0(22≠=-λλy x ,当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上. （二）共轭双曲线1、定义：以已知双曲线的虚轴为实轴，实轴为虚轴的双曲线叫做原双曲线的共轭双曲线.2、方程：（1）12222=-b y a x 的共轭双曲线为12222=-a x b y ；12222=-b x a y 的共轭双曲线为12222-=-bx a y ; （2）互为共轭的一对双曲线方程合起来写成为12222±=-b y a x 或12222±=-bx a y ;3、性质：有一对共同的渐近线；有相同的焦距，四焦点共圆；4、注意：（1）共渐近线的两双曲线不一定是共轭双曲线，如121822=-y x 和1922=-y x ； （2）12222=-b y a x 与12222=-bx a y （a ≠b ）不共渐近线，有相同的焦距，四焦点共圆；（三）共渐近线的双曲线系方程问题 (1)191622=-y x 与221916y x -=;(2) 191622=-y x 与1183222=-y x 的区别? 问题: 共用同一对渐近线x aby ±=的双曲线的方程具有什么样的特征？ 双曲线2222x y a b λ-=（0λ≠）与双曲线22221x y a b-=有共同的渐近线.当0>λ时交点在x 轴，当0<λ时焦点在y 轴上.例：求与双曲线191622=-y x 共渐近线且过)3,33(-A 的双曲线的方程. 三、课堂练习：1 .双曲线2214x y k-=的离心率e ∈(1, 2)，则k 的取值范围是 A .(0, 6) B . (3, 12) C . (1, 3) D . (0, 12)2 .下列各对曲线中，即有相同的离心率又有相同渐近线的是(A)x 23-y 2=1和y 29-x 23=1 (B)x 23-y 2=1和y 2-x 23=1(C)y 2-x 23=1和x 2-y 23=1 (D)x 23-y 2=1和92x -32y =13 .方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-kB ．0>kC ．0≥kD ．1>k 或1-<k4 .以x y 3±=为渐近线，一个焦点是F （0，2）的双曲线方程为 ( )（A ）1322=-y x （B ）1322=-y x （C ）13222-=-y x （D ）13222=-y x 5 .双曲线kx 2+4y 2=4k 的离心率小于2，则k 的取值范围是 ( )（A ）（-∞,0） （B ）(-3,0) （C ）(-12,0) （D ）(-12,1)6 .已知平面内有一固定线段AB,其长度为4，动点P 满足|PA|-|PB|=3,则|PA|的最小值为 (A)1.5 (B)3 (C)0.5 (D)3.57. 设C 1：2222b y a x -=1,C 2： 2222a x b y -=1,C 3： 2222ay b x -=1,a 2≠b 2,则 ( )(A)C 1和C 2有公共焦点 (B) C 1和C 3有公共焦点 (C)C 3和C 2有公共渐近线 (D) C 1和C 3有公共渐近线8. 双曲线17922=-y x 的右焦点到右准线的距离为____________ 9. 与椭圆1251622=+y x 有相同的焦点，且两准线间的距离为310的双曲线方程为___ 10. 直线1+=x y 与双曲线13222=-y x 相交于B A ,两点，则AB =___________ 11. 求满足下列条件的双曲线的标准方程 （1）、焦点分别为（0，-5）、（0，5），离心率是23； （2）以坐标轴为两条对称轴，实轴长是虚轴长的一半，且过点(3，2)。
双曲线的定义、方程及性质
2 2
(1)
共轭 双曲线
x2 y2 y2 x2 x2 y2 − 2 = 1 与 2 − 2 = 1 即 2 − 2 = −1 互为共轭双曲线 a2 b b a a b
(2)它们有共同的焦距，渐近线；(3)设它们的离心率为 e1，e2， 则
1 e1
b2cot
θ
则双曲线的离心率为
sin(α + β ) | sin α − sin β |
2
2
+
1 e2
2
= 1 且 e1+e2≥2 2
(1) 与
x2 y2 − =1 共 渐 近 线 的 双 曲 线 方 程 为 a 2 b2
共渐近线 的双曲线
x2 y2 − = λ ( λ ≠ 0) a2 b2
b x2 y2 (2)有渐近线 y= ± x 的双曲线方程为 2 − 2 = λ ( λ ≠ 0) a a b
y= ±
渐近线
b x2 y2 x (即 2 − 2 = 0 ) a a b
y= ±
a y2 x2 x (即 2 − 2 = 0 ) b a b
1
焦点到渐 近线的距 离是
b 过焦点且垂直于焦点所在轴的弦，是过焦点的所有弦中弦长最小的.长
通径
为
2b 2 a
等轴 双曲线
(1)实轴与虚轴长相等，即 a=b (2)渐近线的方程为 y= ± x，互相垂直
(1)过双曲线焦点 F1 作直线交其左支于 A、B 两点，|AB|=m,则△ ABF2 的周长为 4a+2m
与△有关 的一些结 论（推导 也要掌 握）
(2)已知 P 为双曲线上任意一点，∠F1PF2=θ，则△F1PF2 面积为
双曲线的性质与方程解析
双曲线的性质与方程解析双曲线在数学中是一种常见的曲线类型，具有许多独特的性质与方程解析。
本文将探讨双曲线的基本定义、方程形式、性质特点以及解析方法等相关内容。
一、基本定义双曲线可以定义为平面上的一类曲线，其形状类似于打开的弓形或者两个分离的超越曲线。
具体来说，双曲线由两个分离的支线组成，每个支线都是非闭合的曲线。
二、方程形式双曲线的方程形式一般有两种常见情况：1. 标准方程：双曲线的标准方程可以表示为：(x^2/a^2) - (y^2/b^2) = 1 或者(y^2/b^2) - (x^2/a^2) = 1，其中a和b分别表示椭圆的长半轴和短半轴。
2. 参数方程：双曲线的参数方程形式可以表示为：x = a * secθ，y = b * tanθ 或者x = a * coshθ，y = b * sinhθ，其中θ是参数，a和b分别表示参数方程中的系数。
三、性质特点双曲线具有多个独特的性质和特点，包括：1. 渐近线：双曲线有两条渐近线，分别对应于横轴和纵轴方向无限延伸的情况。
这两条渐近线与曲线的分支永远不相交。
2. 焦点与准线：双曲线的焦点是曲线的特殊点，其定义决定了曲线的形状。
双曲线的准线是与焦点对称且与渐近线相切的直线。
3. 集中性质：双曲线的两个支线向外无限延伸，因此曲线逐渐集中于焦点附近。
这种集中性质在许多实际应用中都有重要的意义。
四、解析方法在解析几何中，双曲线的研究常常涉及到方程的化简、参数的确定以及曲线的绘制等问题。
以下是一些解析方法的示例：1. 方程化简：根据给定的曲线方程，可以通过代数运算将其整理为标准方程或者参数方程的形式，以便更好地研究曲线的性质。
2. 参数确定：在参数方程中，选择合适的参数取值范围，可以确定曲线的部分或者全部形状。
通过调整参数，可以观察曲线的变化情况。
3. 绘制曲线：利用计算机软件绘制双曲线图形是一种常见的方法。
通过选择适当的参数和绘图工具，可以清晰地展示双曲线的形态特征。
双曲线概念性质一览表
双曲线概念性质一览表
双曲线概念性质一览表，是对双曲线的分类和性质进行全面总结的表格，总结出双曲线的不同特征，以便于我们更好地理解双曲线的基本性质。
双曲线的概念性质一览表主要包括四个方面：
1、双曲线的定义：双曲线是一类代数曲线，它可以用一般方程式表示，它的曲线方程为y2=x2a2-1。
2、双曲线的特征：双曲线有两个焦点和一条渐近线(即y=a)，当a＞0时，双曲线是抛物线，当a＜0时，双曲线是圆锥曲线。
3、双曲线的性质：双曲线的性质是它的轴对称，它的焦点距离和它的离心率有关，它的离心率为|a|，而它的焦点距离则等于|a|。
4、双曲线的应用：双曲线在几何中有着广泛的应用，它可以用来求解三角形的内接圆，可以用来计算两个圆之间的外切线以及两个圆的相交点，还可以应用于几何图形的构造等。
双曲线概念性质一览表，是对双曲线的性质和应用作出概括性总结，它有助于我们更加全面地理解双曲线，并能够用双曲线更好地解决几何问题。
(完整版)双曲线标准方程及几何性质知识点及习题
双曲线标准方程及几何性质知识点及习题1. 双曲线第一定义：平面内与两个定点F 1、F 2的距离差的绝对值是常数（小于|F 1F 2|）的点的轨迹叫双曲线。
这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离|F 1F 2|叫焦距。
2. 双曲线的第二定义：平面内与一个定点的距离和到一条定直线的距离的比是常数e （e>1）的点的轨迹叫双曲线。
定点叫双曲线的焦点，定直线叫双曲线的准线，常数e 叫双曲线的离心率。
当曲线上一点沿曲线无限远离原点时，如果到一条直线的距离无限趋近于零，那么这条直线称为这条曲线的渐近线。
无限接近，但不可以相交。
例1. 方程11122=-++ky k x 表示双曲线，则k 的取值范围是（ ） A ．11<<-k B ．0>k C ．0≥k D ．1>k 或1-<k3. 双曲线的标准方程：（1）焦点在x 轴上的：x a y b a b 2222100-=>>()，（2）焦点在y 轴上的：y a x ba b 2222100-=>>()，（3）当a ＝b 时，x 2－y 2＝a 2或y 2－x 2＝a 2叫等轴双曲线。
注：c 2＝a 2＋b 2【例2】求虚轴长为12，离心率为54双曲线标准方程。
【例3】求焦距为26，且经过点M （0，12）双曲线标准方程。
练习。
焦点为()6,0，且与双曲线1222=-y x 有相同的渐近线的双曲线方程是（ ）A ．1241222=-y xB ．1241222=-x yC ．1122422=-x yD ．1122422=-y x【例4】与双曲线221916x y -=有公共渐进线，且经过点(3,A -练习。
求一条渐近线方程是043=+y x ，一个焦点是()0,4的双曲线标准方程，并求此双曲线的离心率．解决双曲线的性质问题，关键是找好等量关系，特别是e 、a 、b 、c 四者的关系，构造出ce a=和222c a b =+的关系式。
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程 知识精讲
高三数学第一轮复习：双曲线的定义、性质及标准方程【本讲主要内容】双曲线的定义、性质及标准方程双曲线的定义及相关概念、双曲线的标准方程、双曲线的几何性质【知识掌握】【知识点精析】1. 双曲线的定义：（1）第一定义：平面内与两定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于|F1F2|）的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做焦距。
（2）第二定义：平面内到一个定点F的距离与到一条定直线l的距离的比等于常数（e>1）的点的轨迹叫做双曲线，定点F为焦点，定直线l称为准线，常数e称为离心率。
说明：（1）若2a等于2c，则动点的轨迹是射线（即F1F2、F2F1的延长线）；（2）若2a大于2c，则动点轨迹不存在。
2. 双曲线的标准方程、图形及几何性质：标准方程)0b,0a(1byax2222>>=-中心在原点，焦点在x轴上yaxba b2222100-=>>(,)中心在原点，焦点在y轴上图形几何性质X围x a≤-或x a≥y a≤-或y a≥对称性关于x轴、y轴、原点对称（原点为中心）顶点()()1200A a A a-，、，()()1200A a A a-，、，轴实轴长122A A a=，虚轴长122B B b=离心率ecae=>()1准线2212:,:a al x l xc c=-=2212:,:a al y l yc c=-=实轴、虚轴长相等的双曲线称为等轴双曲线，焦点在x 轴上，标准方程为()2220x y a a -=≠；焦点在y 轴上，标准方程为()2220y x a a -=≠。
其渐近线方程为y＝±x 。
等轴双曲线的离心率为e =4. 基础三角形：如图所示，△AOB 中，,,,tan b OA a AB b OB c AOB a===∠=。
5. 共渐近线的双曲线系方程：与双曲线x a y b22221-=（a>0，b>0）有相同渐近线的双曲线系可设为()22220x y a b λλ-=≠，若λ>0，则双曲线的焦点在x 轴上；若λ<0，则双曲线的焦点在y 轴上。
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双曲线的定义、方程和性质
执教：钱如平班级：高二(3) 地点：本教室时间：2000．4．6
一、学习目标：
掌握双曲线的定义、方程和性质，注意与椭圆的区别和联系。
二、知识要点：
1．定义
（1）第一定义：平面内到两定点F1、F2的距离之差的绝对值等于定长2a（小于|F1F2|）的点的轨迹叫双曲线。
说明：
①||PF1|-|PF2||=2a（2a<|F1F2|）是双曲线；
若2a=|F1F2|，轨迹是以F1、F2为端点的射线；2a>|F1F2|时无轨迹。
②设M是双曲线上任意一点，若M点在双曲线右边一支上，则|MF1|>|MF2|，|MF1|-|MF2|=2a；
若M在双曲线的左支上，则|MF1|<|MF2|，|MF1|-|MF2|=-2a，故|MF1|-|MF2|=±2a，这是与椭圆不同的地方。
（2）第二定义：平面内动点到定点F的距离与到定直线L的距离之比是常数e（e>1）的点的轨迹叫双曲线，定点叫焦点，定直线L叫相应的准线。
3．几个概念
（1）等轴双曲线：实、虚轴相等的双曲线。
等轴双曲线的渐近线为y=±x，离心率为2。
（2） 共轴双曲线：以已知双曲线的实轴为虚轴，虚轴为实轴的双曲线叫原双曲线的共轴
双曲线，例：12222=-b
y a x 的共轴双曲线是122
22-=-b y a x 。
① 双曲线及其共轴双曲线有共同的渐近线。
但有共同的渐近线的两双曲线，不一定是共
轴双曲线；②双曲线和它的共轴双曲线的四个焦点在同一个圆周上。
三、 解题方法指导：
例1．设双曲线方程为12
22
=-y x ，则中心坐标为 ，焦点坐标为 ，顶点坐标为 ，实轴长为 ，虚轴长为 ，离心率为 ，准线方程为 ，渐近线方程 ，对称轴方程为 ，实轴方程为 ，共轴双曲线方程为 。
解：中心（0，0），焦点坐标（±3 ，0），顶点坐标（±2 ，0），实轴长为22，虚轴
长为2，离心率为
26，准线方程为332±=x ，准线间距离为3
3
4，渐近线方程为x y 2
2
±
=，对称轴方程x=0，y=0，实轴方程y=0，
（22≤≤-x ），共轴双曲线1222-=-y x ，即12
22
=-x y 。
说明：根据双曲线的方程熟练地写出其性质，是学习双曲线基本要求，也是一项重要基本功，对知识要点中的性质部分要熟记。
例2．设曲线C 的方程为Ax 2+By 2=|（A·B ≠0），则
① C 表示椭圆的充要条件是
②C 表示焦点在X 轴上的椭圆的充要条件是 ③C 表示焦点在Y 轴上的椭圆的充要条件是 ④C 表示双曲线的充要条件是
⑤C 表示焦点在X 轴上的双曲线的充要条件是 ⑥C 表示焦点在Y 轴上的双曲线的充要条件是 ⑦C 表示圆的充要条件是
解：C 的方程可化为)0(1112
2≠=+AB B
y A x 则①C 表示椭圆的充要条件是B 1
A 1
,0B 1
,0A 1
≠>>，即B A ,0B ,0A ≠>>，
②B ＞A ＞0， ③A ＞B ＞0， ④AB ＜0， ⑤A ＞0，B ＜0， ⑥A ＜0，B ＞0， ⑦A ＝B ＞0，
说明：方程Ax 2+By 2=1，可表示圆、椭圆、双曲线，而圆、椭圆、双曲线是有心曲线，故Ax 2+By 2=1表示有心曲线。
例3．求以2x ±3y=0为渐近线，且经过点（1，2）的双曲线方程 解法一，当x=1时，代入渐近线方程x y 3
2
=
，得232y <=。
∴ 点（1，2）一定在2x-3y=0的上方，∴ 双曲线的实轴所在的坐标轴一定是y 轴
可设方程为12222=-b x a y ，其渐近线方程为0,02222=⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛+=-a y b x a y b x b x a y
∴
2
3
=a b ∴a b 23= ①
又 ∵（1，2）在双曲线上，∴
11
422=-b
a ② ① 代入② 8,932,14
91422
2
2==∴=-b a a a
∴ 所求双曲线方程为1893222=-x y 解法二：方程4x 2
-9y 2=λ，是所有渐近线方程为032=±y x 的双曲线系方程，即共渐近线
方程，因为（1，2）点适合此方程 ∴ 4-36=λ，∴ λ=-32
∴ 方程为4x 2
-9y 2
=-32，即
189
322
2=-x y 说明：双曲线是具有渐近线的曲线，学习时要注意如下两个问题 （1） 已知双曲线方程，求出它的渐近线方程。
（2） 求已知渐近线的双曲线方程；已知渐近线方程为0=±by ax 时，可设双曲线方程为
a 2x 2-
b 2y 2=)0(≠λλ，再利用其它条件确定入的值，这求法实质上是待定系数法。
例4．设动点P （x ，y ）到定点A （5，0）的距离与它到定直线X=3的距离之比为3，求其轨迹方程。
错解：根据双曲线的第二定义A （5，0）为焦点，∴C=5，又32
=c
a ∴ a 2
=15 b 2=c 2-a 2
=25-15=10 ∴ P 点的轨迹方程为双曲线
110
y 15x 2
2=-
而此双曲线的离心率应为
331515
5≠==a c ∴所以双曲线的中心不在坐标原点。
正确解答：由动点运动的条件可得：
33
)5(2
2=++-x y x 化简后得：2x 2- y 2-8x+2=0
说明：错解错误地按曲线中心为原点得出焦点从标F （C ，0）和准线方程为c
a x 2
=的结论，
四、练习题 （一） 选择题
1．双曲线14
22
=-y x 的离心率e 为（ ） A 、
25 B 、2
3
C 、21
D 、23
2．已知双曲线以椭圆19252
2=+y x 的焦点为焦点，且它的离心率为2，则该双曲线的方程。
A 、
141222=+y x B 、112422=-y x C 、127922=-y x D 、19272
2=-y x 3．双曲线的渐近线方程为4
3
±=y ，则它的离心率e 为（ ） A 、35 B 、45 C 、45或35 D 、3
4
（二） 填空题
4．与双曲线
12052
2=-y x 有共同的渐近线，且经过点（15,5-）的双曲线方程 5．双曲线19
42
2
=-x y 的渐近线方程是 6．双曲线
19
252
2=-y x 的两焦点为F 1、F 2，此双曲线上一点P 到F 1的距离为12，则点P 到F 2的距离
7．双曲线116
92
2=-y x 上有一点P 到左准线的距离4.5，则点P 到右焦点的距离为
8．以椭圆x 2+4y 2=64的焦点为顶点，一条渐近线方程为03=+y x 的，双曲线方程
（三） 解答题： 给定双曲线12
2
=-
p
x ，过点B （1，1）能否作直线m ，使m 与所给双曲线交于两点Q 1及Q 2，且点B 是线段Q 1Q 2的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程，如果不存在说明理由。
参考答案
（一） 选择题
（1）A （2）B （3）C （二） 填空题
（4）
1401022=-y x （5）x y 61±= （6）22或者2 （7）13.5 (8)116
482
2=-y x （三） 解答题
解：假设所求的直线m 存在，其方程为y=k （x-1）+1代入双曲线方程整理得：
032)22()2(2222=-+--+-k k x k k x k ①
设Q 1(x 1y 1),Q 2(x 2y 2),则21,x x 必是方程①的两根 即2222
221--=+k k
k x x 若B 是Q 1、Q 2的中点，就有
1221=+x x ，而221=+x x ∴应有22
2222=--k k
k ∴ k 应满足
0)32)(2(4)22(2
2
2
2
≥-+----k k k k k ②
22
222
2=--k k
k ③ 由③⇒k=2代入②得，－8＜0，即k=2不满足 ∴①无解，故这样的直线M 不存在。