鲁教版八年级数学上册5.3三角形的中位线能力提升练习题3(附答案)

鲁教版八年级数学上册5.3三角形的中位线能力提升练习题3（附答案）一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（）

A．10B．12C．14D．16

2．如图，△ABC的周长为a，以它的各边的中点为顶点作△A1B1C1，再以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，再以△AB2C2各边的中点为顶点作△A3B3C3，…如此下去，则△AB n?n的周长为（）

A．a B．a C．a D．a

3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（）

A．32°B．38°C．64°D．30°

4．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）

A．2B．3C．4D．5

5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）

A．2B．3C．4D．5

6．如图，EF为△ABC的中位线，∠B＝50°，则∠EFC为（）

A．40°B．45°C．50°D．55°

7．如图，△ABC中，AB＞AC，AD，AE分别是其角平分线和中线，过点C作CG⊥AD于点F，交AB于点G，连接EF，则①EF∥AB；②∠BCG＝（∠ACB﹣∠ABC）；③EF ＝（AB﹣AC）；④（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC）．其中正确的是（）

A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④

8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）

A．12B．24C．36D．48

9．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、

G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）

A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）

10．如图在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点H，I，G分别是AD，AB，CD的中点，点P是BC边上的一动点（不与B，C重合），点E，F分别是BP，CP的中点，则当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会（）

A．一直增大B．保持不变

C．一直减小D．先增大后减小

二．填空题（共10小题）

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为．

12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD 的中点．连结EF，FM，则FM＝；线段EF的最大值为．

13．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．

14．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是．

15．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是48cm，那么△DEF的周长是．

16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝厘米．17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，则AC的长为．

18．如图，已知点D、E、F分别是AB、BC、CD的中点，S△DEF＝cm2，则S△ABC＝cm2．19．已知△ABC的3条中位线分别为3cm、4cm、5 cm，则△ABC的周长为cm．20．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝4，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，点D，E分别为AC，BC的中点，连接DE 并延长交A′B所在直线于点F，连接A′E．当△A′EF为直角三角形时，AB的长为．

三．解答题（共8小题）

21．在△ABC中，点D、E、F分别是BC、AB、AC边的中点．求证：△BED≌△DFC．

22．如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5cm，BC＝8cm，求EF的长．

23．如图，在四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，连接FE并延长，分别交CD 的延长线于点M、N，∠BME＝∠CNE，求证：AB＝CD．

24．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC，BD⊥AC于点D；CE平分∠ACB，交AB于点E，交BD于点F．

（1）求证：△BEF是等腰三角形；

（2）求证：BD＝（BC+BF）．

25．如图，在△ABC中，AB＝6cm，AC＝10cm，AD平分∠BAC，BD⊥AD于点D，BD的延长线交AC于点F，E为BC的中点，求DE的长．

26．如图，△ABC的中线AD与中位线MN相交于点O．AD与MN有怎样的关系？证明你的结论．

27．如图，△ABC中，过点A分别作∠ABC，∠ACB的外角的平分线的垂线AD，AE．D，E为垂足，求证：

（1）ED∥BC；

（2）ED＝（AB+AC+BC）．

28．如图，DE是△ABC的中位线，求证：DE∥BC，且DE＝BC．

参考答案与试题解析

一．选择题（共10小题）

1．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，AC＝10，F是DE上一点，连接AF，CF，DF＝1．若∠AFC＝90°，则BC的长度为（）

A．10B．12C．14D．16

【解答】解：如图，∵∠AFC＝90°，AE＝CE，

∴EF＝AC＝5，

∴DE＝1+5＝6；

∵D，E分别是AB，AC的中点，

∴DE为△ABC的中位线，

∴BC＝2DE＝12，

故选：B．

A．a B．a C．a D．a

【解答】解：∵以△ABC的各边的中点为顶点作△A1B1C1，

∴△A1B1C1的周长＝△AB1C1的周长＝△ABC的周长＝a，

∵以△AB1C1各边的中点为顶点作△A2B2C2，

∴△A2B2C2的周长＝△AB2C2各的周长＝△AB1C1的周长＝a＝a，

…，

∴△AB n?n的周长＝a

故选：A．

3．如图，在四边形ABCD中，AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，若∠DAC ＝20°，∠ACB＝84°，则∠FEG等于（）

A．32°B．38°C．64°D．30°

【解答】解：∵AD＝BC，E，F，G分别是AB，CD，AC的中点，

∴GF是△ACD的中位线，GE是△ACB的中位线，

∴GF＝AD，GF∥AD，GE＝BC，GE∥BC．

又∵AD＝BC，

∴GF＝GE，∠FGC＝∠DAC＝20°，∠AGE＝∠ACB＝84°，

∴∠EFG＝∠FEG，

∵∠FGE＝∠FGC+∠EGC＝20°+（180°﹣84°）＝116°，

∴∠EFG＝（180°﹣∠FGE）＝32°．

故选：A．

4．如图，△ABC的周长为32，点D，E都在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为Q，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为P，若BC＝12，则PQ的长为（）

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：∵BQ平分∠ABC，BQ⊥AE，

∴∠ABQ＝∠EBQ，

∵∠ABQ+∠BAQ＝90°，∠EBQ+∠BEQ＝90°，

∴∠BAQ＝∠BEQ，

∴AB＝BE，同理：CA＝CD，

∴点Q是AE中点，点P是AD中点（三线合一），

∴PQ是△ADE的中位线，

∵BE+CD＝AB+AC＝32﹣BC＝32﹣12＝20，

∴DE＝BE+CD﹣BC＝8，

∴PQ＝DE＝4．

故选：C．

5．如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，BC＝6，则DE的长为（）

A．2B．3C．4D．5

【解答】解：∵D，E分别是边AB、AC的中点，

∴CB＝2DE，

∵BC＝6，

∴DE＝3．

故选：B．

6．如图，EF为△ABC的中位线，∠B＝50°，则∠EFC为（）

A．40°B．45°C．50°D．55°

【解答】解：∵EF是中位线，

∴DE∥AB，

∴∠EFC＝∠B＝50°，

故选：C．

A．①②③④B．①②C．②③④D．①③④

【解答】解：∵AD平分∠BAC，

∴∠GAF＝∠CAF，

∵CG⊥AD，

∴∠AFG＝∠AFC＝90°，

在△AFG和△AFC中

∴△AFG≌△AFC（ASA），

∴GF＝CF，

∵AE为△ABC的中线，

∴BE＝CE，

∴EF∥AB，故①正确；

∵△AFG≌△AFC，

∴∠AGC＝∠ACG，∠AGF＝∠ACF，

∵∠AGC＝∠B+∠BCG，

∴∠ACG＝∠B+∠BCG，

∴∠BCG＝∠ACB﹣∠ACG＝∠ACB﹣（∠B+∠BCG），

∴2∠BCG＝∠ACB﹣∠B，

∴∠BCG＝（∠ACB﹣∠B），故②正确；∵△AFG≌△AFC，

∴AC＝AG，

∴BG＝AB﹣AG＝AB﹣AC，

∵F、E分别是CG、BC的中点，

∴EF＝BG，

∴EF＝（AB﹣AC），故③正确；

∵∠AFG＝90°，

∴∠EAF＜90°，

∵∠AFE＝∠AFG+∠EFG＞90°，

∴∠AFE＞∠EAF，

∴AE＞EF，

∵EF＝（AB﹣AC），

∴（AB﹣AC）＜AE，

延长AE到M，使AE＝EM，连接BM，

∵在△ACE和△MBE中

∴△ACE≌△MBE（SAS），

∴AC＝MB，

在△ABM中，AM＜AB+MB＝AB+AC，

∵AE＝EM，

∴2AE＜AB+AC，

∴AE＜（AB+AC），

即（AB﹣AC）＜AE＜（AB+AC），故④正确；

故选：A．

8．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE∥BC，连接BE．若AE＝6，DE＝5，∠BEC＝90°，则△BCE的周长是（）

A．12B．24C．36D．48

【解答】解：∵D是AB的中点，DE∥BC，

∴DE是△ABC的中位线．

∴点E是AC中点，

∴CE＝AE＝6．

∵DE＝5，

∴BC＝10．

∵∠BEC＝90°，

∴△BCE是直角三角形，

∴根据勾股定理得，BE＝8，

∴△BCE的周长为BC+CE+BE＝10+6+8＝24．

故选：B．

9．如图，△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，AB＝12，若点E、F、

G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，则四边形EFGH的面积为（）

A．36（+1）B．18（+1）C．12（+1）D．9（+1）【解答】解：∵△ABC和△DBC均为等腰三角形，∠A＝60°，∠D＝90°，

∴△ABC是等边三角形，△DBC等腰直角三角形，

∵AB＝12，

∴BC＝12，

∴BD＝6，

连接AD交BC于O，

∵AB＝AC，BD＝CD，

∴AD⊥BC，BO＝CO，

∴AD＝AO+OD＝6+6，

∵点E、F、G、H分别为边AB、AC、CD、BD的中点，

∴EH∥AD，EH＝AD，FG∥AD，FG＝AD，

∴EH∥FG，EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形，

∵AD⊥BC，

∴EH⊥BD，HG⊥AD，

∴EH⊥HG，

∴∠EHG＝90°，

∴四边形EFGH是矩形，

∵EH＝AD＝3+3，HG＝BC＝6，

∴四边形EFGH的面积＝18（+1），

故选：B．

A．一直增大B．保持不变

C．一直减小D．先增大后减小

【解答】解：连接IG，如图所示：

则S△IHG的值不变，

设BP＝x，则BE＝x，CF＝（BC﹣x），

S△BIE＝BI?BE＝BI×x＝x?BI，S△FCG＝CG?CF＝CG×（BC﹣x）＝CG?BC﹣x?CG，

∵在四边形ABCD中，AB＜CD，∠B＝∠C＝90°，点I，G分别是AB，CD的中点，∴CG＞BI，四边形IBCG是梯形，

∴S梯形IBCG＝?BC＝BC?BI+BC?CG，

S四边形IEFG＝S梯形IBCG﹣S△BIE﹣S△FCG＝BC?BI+BC?CG﹣x?BI﹣CG?BC+x?CG ＝（2BI+CG）BC+（CG﹣BI）x，

∵（2BI+CG）BC是定值，CG＞BI，

∴S四边形IEFG随x值的增大而增大，

∵S△IHG的值不变，

∴S五边形EFGHI随x值的增大而增大，

即当点P从B→C移动时，五边形EFGHI的面积会一直增大；

故选：A．

二．填空题（共10小题）

11．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，D、E分别是AB、AC的中点，延长BC至点F，使CF＝BC，连接DF、EF，则EF的长为．

【解答】解：连接DE，CD，

∵D、E分别是AB、AC的中点，

∴DE∥BC，DE＝BC，

∴DE∥CF，

∵CF＝BC，

∴DE＝CF，

∴四边形DCFE是平行四边形，

∴EF＝CD，

∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝2，BC＝3，

∴CD＝＝＝，

∴EF＝CD＝，

故答案为：．

12．如图，在四边形ABCD中，AB＝2，CD＝6，E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD 的中点．连结EF，FM，则FM＝1；线段EF的最大值为4．

【解答】解：连接EM，

∵E，F，M分别为边BC，AD和对角线BD的中点，

∴FM＝，EM＝，

当EF＝EM+MF时，线段EF最大，即EF＝1+3＝4，

故答案为：1；4．

13．如图，∠MAN＝90°，点C在边AM上，AC＝2，点B为边AN上一动点，连接BC，△A′BC与△ABC关于BC所在的直线对称，点D，E分别为AB，BC的中点，连接DE 并延长交A′C所在直线于点F，连接A′E，当△A′EF为直角三角形时，AB的长为或2．

【解答】解：当△A′EF为直角三角形时，存在两种情况：①当∠A'EF＝90°时，如图1，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴A'C＝AC＝2，∠ACB＝∠A'CB，

∵点D，E分别为AB，BC的中点，

∴D、E是△ABC的中位线，

∴DE∥AB，

∴∠BDE＝∠MAN＝90°，

∴∠BDE＝∠A'EF，

∴AB∥A'E，

∴∠ABC＝∠A'EB，

∴∠A'BC＝∠A'EB，

∴A'B＝A'E，

Rt△A'CB中，∵E是斜边BC的中点，

∴BC＝2A'E，

由勾股定理得：AB2＝BC2﹣AC2，

∴AE′＝，

∴AB＝；

②当∠A'FE＝90°时，如图2，

∵∠ADF＝∠A＝∠DFC＝90°，

∴∠ACF＝90°，

∵△A′BC与△ABC关于BC所在直线对称，

∴∠ABC＝∠CBA'＝45°，

∴△ABC是等腰直角三角形，

∴AB＝AC＝2；

综上所述，AB的长为或2；

故答案为：或2．

14．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝12，点D，E分别是AB，BC的中点，连接DE，CD，如果DE＝2.5，那么CD的长是 6.5．

【解答】解：∵D，E分别是AB，BC的中点，

∴AC＝2DE＝5，AC∥DE，

AC2+BC2＝52+122＝169，

AB2＝132＝169，

∴AC2+BC2＝AB2，

∴∠ACB＝90°，

∵AC∥DE，

∴∠DEB＝90°，又∵E是BC的中点，

∴直线DE是线段BC的垂直平分线，

∴DC＝BD＝AB＝6.5，

故答案是：6.5．

15．如图，点D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，连接DE、EF、FD得△DEF，如果△ABC的周长是48cm，那么△DEF的周长是24cm．

【解答】解：∵D、E分别是△ABC的边AB、BC的中点，

∴DE＝AC，

同理，EF＝AB，DF＝BC，

∴C△DEF＝DE+EF+DF＝AC+BC+AB＝（AC+BC+AC）＝×48＝24cm．

故答案为：24cm

16．如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO 的中点．若AC+BD＝24厘米，△OAB的周长是20厘米，则EF＝4厘米．

【解答】解：∵?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，

∴点O是AC、BD的中点，

∵AC+BD＝24厘米，

∴OB+0A＝（AC+BD）＝12厘米，

∵△OAB的周长是20厘米，

∴AB＝20﹣12＝8厘米，

∵?ABCD的对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是线段AO，BO的中点，

∴EF＝AB＝4厘米，

故答案为：4．

17．如图，已知EF是△ABC的中位线，DE⊥BC交AB于点D，CD与EF交于点G，若CD⊥AC，EF＝9，EG＝4，则AC的长为6．

【解答】解：∵EF是△ABC的中位线，

∴AB＝2EF＝18，EF∥AB，AF＝CF，CE＝BE，

∴G是CD的中点，

∴GE是△BCD的中位线，

∴BD＝2EG＝8，

∴AD＝AB﹣BD＝10，

∵DE⊥BC，CE＝BE，

∴CD＝BD＝8，

∵CD⊥AC，

∴∠ACD＝90°，

∴AC＝＝＝6；

故答案为：6．

18．如图，已知点D、E、F分别是AB、BC、CD的中点，S△DEF＝cm2，则S△ABC＝4 cm2．

【解答】解：∵F为CD中点，

∴DF＝FC，

∴S△DEF＝S△EFC，

同理：S△DEC＝S△BDE，S△ADC＝S△BCD，

∴S△ABC＝8S△DEF＝8×＝4．

故答案为4．