高中数学全套知识点思维导图直线与椭圆曲线的位置关系.pdf
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直线和椭圆的位置关系
2
2
总结：直线的斜率为k，被圆锥曲线截得弦AB两端 点坐标为（x1, y1 ）、（x2, y2），则有弦长公式：
| AB | ( x1 x2 ) ＋( y1 y2 )
2
2
y1 y2 2 ( x1 x2 ) [1 ( ) ] x1 x2
2
( x1 x2 ) (1 k ) 1 k |x1 x2|
2 2
练习 x y 3. 已知椭圆 1, 过右焦点F2的直 5 4 16 5 线l交椭圆于A, B两点，若 AB ， 5 求直线l的方程。
2 2
小结：
1 判别式法求直线和椭圆的关系， 将两个方程式联立．
消去y则得到关于x的一元二次方程 Ax Bx C 0 算 △＞０：相交于两点； 判 △＝０：相切； 别 △＜０：相离． 式
2
2 弦长公式：| AB |
1 k | x1 x2 |
2
作业：
1、直线l：y=x+n与椭圆 数n的取值范围。 2、在椭圆
x2 y2 1 没有交点，求实 3 2
x y 1 上求一点P使得该点到直线 3 2
2
2
l：y=x+4的距离最近。
所以： m 5 或 m 5 时，l 与 c 相离；
m 5 时，l 与 c 相切；
5 m 5 时，l 与 c 相交；
思考
直线与椭圆相交时
如何求其弦长？
例2、已知直线 l：y=x+1与椭圆
x + y2 =1相交于A、B两点，求弦AB的长。 4
2
分析：先求出交点，再用两点间距离公 式。
直线与椭圆的位置关系
高二数学直线与椭圆的位置关系(一)课件
解： (2)将y x m代入椭圆
y
1
B
5x 2mx m 1 0
2 2
A
O
1 2
由弦长公式得：
| AB | 1 k 1 12 | A|
2
x
4m2 20(m2 1) 5
2 2 5 4m 2 5
2 10 当m 0时， | AB |max 5
x (u x) 1 144 25
2 2
y
F1
169 x2 288ux 144u 2 144 25 0
o
F2
x
由 (288u)2 4 169 (144u2 144 25) 0 144u 2 169 (u 2 25) 0
u 2 169
x y 例3.已知椭圆 1的弦AB被点M （4， 2）平分，求此弦所 36 9 在直线 方程. y
x12 36 则 2 x2 36
B
O
解法2：设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，
y12 1 9 2 y2 1 9 [1] [2]
.M
A
x
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 由 [1] [2] 得： 0 36 9 y1 y2 9 x1 x2 1 2 xM 1 即 k AB . x1 x2 36 y1 y2 4 2 yM 2
0 直线和椭圆相交，有两 个公共点； 0 直线和椭圆相切，有一 个公共点； 0 直线和椭圆相离，无公 共点。
x2 y 2 例1.已知 P( x，y) 是椭圆 1 上的点， 144 25 求 u x y 的取值范围 .
y
1
B
5x 2mx m 1 0
2 2
A
O
1 2
由弦长公式得：
| AB | 1 k 1 12 | A|
2
x
4m2 20(m2 1) 5
2 2 5 4m 2 5
2 10 当m 0时， | AB |max 5
x (u x) 1 144 25
2 2
y
F1
169 x2 288ux 144u 2 144 25 0
o
F2
x
由 (288u)2 4 169 (144u2 144 25) 0 144u 2 169 (u 2 25) 0
u 2 169
x y 例3.已知椭圆 1的弦AB被点M （4， 2）平分，求此弦所 36 9 在直线 方程. y
x12 36 则 2 x2 36
B
O
解法2：设 A( x1，y1 )，B( x2，y2 )，
y12 1 9 2 y2 1 9 [1] [2]
.M
A
x
( x1 x2 )( x1 x2 ) ( y1 y2 )( y1 y2 ) 由 [1] [2] 得： 0 36 9 y1 y2 9 x1 x2 1 2 xM 1 即 k AB . x1 x2 36 y1 y2 4 2 yM 2
0 直线和椭圆相交，有两 个公共点； 0 直线和椭圆相切，有一 个公共点； 0 直线和椭圆相离，无公 共点。
x2 y 2 例1.已知 P( x，y) 是椭圆 1 上的点， 144 25 求 u x y 的取值范围 .
5.直线与椭圆的位置关系PPt
x2 y 2 变题2.椭圆 1 的焦点为F1,F2,点P为 16 4
其上的动点,当F1PF2为钝角时,点P横坐标的 取值范围是 .
x2 y2 1 例6、已知椭圆C： , 25 9
的左右焦点 分别为F1，F2，P是椭圆的动点：
（1）求|PF1|· 2|的最大值； |PF
（2）当∠F1PF2=60º 时，求△F1PF2的 面积S；
例4.已知过椭圆3x2+4y2=12的左焦点F1作直线l交椭圆于两点A、 B,O为原点，求△OAB面积的最大值并求出此时直线的倾斜角α
例5.设椭圆中心是坐标原点,长轴在x轴上,离 3 3 心率e= ,已知点P(0, 2 )到这个椭圆上点的最 2 3 3 远距离是 7 ,求这个椭圆方程,并求椭圆上到 2 2 点P的距离等于 7 的点的坐标.
直线与椭圆的位置关系
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b y
B2
O
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b y
A2 F2 B2 x
图形
A1 F1 B1
F2 A2 x
B1 F1
O
范围 对称性 顶点 离心率 准线方 程
-a≤x≤a,-b ≤y≤b
A1(-a,0), B1(0,-b),
2 = 1 1 （y y ） 4 y y 1 2 1 2 2
k
B（x2,y2）
k 表示弦的斜率，x1、x2、y1、y2表示弦的端点坐标， 一般由根与系数的关系求得 |x1-x2 | 与 | yx2+4y2=4 的右焦点F2且斜率为1的直线l与椭圆交 于A、B，求弦AB的长。 法一 弦长公式：
问题：椭圆与直线的位置关系？
新教材高中数学第三章第2课时直线与椭圆的位置关系pptx课件新人教A版选择性必修第一册
2．直线y＝x＋1与椭圆x2＋y22＝1的位置关系是(
)
A．相离 B．相切
C．相交
D．无法确定
答案：C
y = x + 1， 解析：联立ቐx2 + y2 = 1，消去y，得3x2＋2x－1＝0，
2
Δ＝22＋12＝16>0， ∴直线与椭圆相交．
3．直线x＋2y＝m与椭圆x42＋y2＝1只有一个交点，则m的值为(
解析：由于直线y＝kx＋1过定点(0，1)，故点(0，1)恒在椭圆内或椭圆上，所以 m∈[1，＋∞)．又因为m≠5，所以实数m的取值范围是[1，5)∪ 5， + ∞ ．
易错警示
易错原因
纠错心得
本题容易忽视隐含条件m≠5致 注意圆不是椭圆的特殊情况，解答此
错，错误答案为[1，＋∞)． 类问题时，一定要排除圆的情况．
y = kx + m，
联立ቐ x2
a2
+
y2 b2
=
1， 消去y得一个关于x的一元二次方程
位置关系 相交 相切 相离
解的个数 __两__解 __一__解 __无__解
Δ的取值 Δ__>__0 Δ__＝__0 Δ__<__0
状元随笔
(1)过椭圆外一点总有两条直线与椭圆相切； (2)过椭圆上一点有且只有一条直线与椭圆相切； (3)过椭圆内一点的直线与椭圆相交．
直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于Δ＝8k2－4
1 + k2
2
＝4k2－2＞0，解
得k＜－ 22或k＞ 22，所以k的取值范围为
−∞， −
2 2
∪
2 2Βιβλιοθήκη ，+∞
.
题型 3 直线与椭圆的相交弦问题
高中数学 直线和椭圆的位置关系课件 新人教A版选修2
练习：若直线 l过圆x y 4x 2 y 0 x y 的圆心M，交椭圆 9 4 1 于 A,B 两点，且 A,B 两点关于 点M对称，求直线 l 的方程
2 位置关系； 2、直线被椭圆截得弦长公式； 3、直线与椭圆的应用。
谢 谢
y x 1
变式1：若直线 y x m 与 x y 1 m 椭圆 4 2 有公共点，求 的取值范围。
2 2
变式2：若直线 y kx 1 ：与 x y 椭圆 4 2 1 交于 A, B 两点， 4 5 AB 且 3 ，求直线 l 的方程
2 2
例2已知椭圆C的中心在坐标原点，焦点 在x轴上，椭圆C上的点到焦点距离的最 大值为3，最小值为1。 （1）求椭圆C的标准方程； （2）若直线y=kx+m与椭圆C交于A，B 两点（A，B不为左右顶点），且以为 直径的圆过椭圆C的右顶点。求证：直 线过定点，并求出该点的坐标
直线和椭圆的位置关系
永安十二中 罗上尧
知识回顾 1、直线和椭圆的位置关系： 相交、相切、相离； 2、弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k ( x1 x2 ) 4 x1 x2
2 2 2
例12 、判断直线 与椭 2 x y 圆 4 2 1的位置关系，若相交， 求其弦长
直线与椭圆的位置关系(PPT)5-4
柴｜摩拳～掌｜手～破了皮。②用布、手巾等摩擦使干净：～汗｜～桌子｜～玻璃◇～亮眼睛。③涂抹：～油｜～粉｜～红水。④贴近；挨着：～黑儿｜～ 肩而过｜燕子～着水面飞。⑤把瓜果等放在礤床儿上来回摩擦，使成细丝儿：把萝卜～成丝儿。 【擦边球】名打乒乓球时擦着球台边沿的球，后来把做在规 定的界限边缘而不违反规定的事比喻为打擦边球：按规矩办事，不打政策～。 【擦黑儿】〈方〉动天色开始黑下来：赶到家时，天已经～了。 【擦屁股】? 比喻替人做未了的事或处理遗留的问题（多指不好办的）：你别净在前边捅娄子，要我们在后边～。 【擦拭】动擦?：～武器。 【擦洗】动擦拭，洗涤：～ 餐桌｜这个手表该～～了。 【擦音】ī名口腔通路缩小，气流从中挤出而发出的辅音，如普通话语音中的、、等。 【擦澡】∥动用湿毛巾等擦洗全身：擦把澡 。 【嚓】拟声形容物体摩擦等的声音：摩托车～的一声停住了。 【?】见页［礓?儿］ 【礤】〈书〉粗石。 【礤床儿】名把瓜、萝卜等擦成丝儿的器具，在 木板、竹板等中间钉一块金属片，片上凿开许多小窟窿，使翘起的鳞状部分成为薄刃片。 【偲】〈书〉多才。 【猜】①动根据不明显的线索或凭想
弦长问题
1、设直线L的斜率为K,与椭圆C相交 于A(x1,y1)，B(x2,y2),如何求弦长呢?
AB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
( x2
x1 ) 2
1
(
y2 x2
y1 )2 x1
1 k 2 (x2 x1)2 4x1x2
1 k 2 x2 x
y2
y1
一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
弦长问题
1、设直线L的斜率为K,与椭圆C相交 于A(x1,y1)，B(x2,y2),如何求弦长呢?
AB
(x2 x1)2 ( y2 y1)2
( x2
x1 ) 2
1
(
y2 x2
y1 )2 x1
1 k 2 (x2 x1)2 4x1x2
1 k 2 x2 x
y2
y1
一、判断直线和椭圆的位置关系
1.联立方程组
2.消去y(或x)得一元二次方程,考察判别式
(1)当 >0 时,直线和椭圆有两个公共点,此时直线和 椭圆相交.
(2)当 0 时,直线和椭圆有且只有一个公共点,此 时直钱和椭圆相切.
曲线的原理和应用思维导图
曲线的原理和应用思维导图1. 曲线的定义•曲线是一个在平面上有起点和终点的连续的路径。
•在数学中，曲线可以用参数方程、隐式方程、显式方程等多种形式表示。
2. 曲线的分类2.1 依据形状分类•直线：两点确定一条直线，具有恒定的斜率。
•抛物线：曲线以二次方程的形式表示，具有对称轴和焦点等特点。
•圆：所有离圆心距离相等的点组成的曲线。
•椭圆：离两个焦点和两条焦准线距离之和相等的点组成的曲线。
•双曲线：离两个焦点和两条焦准线距离之差相等的点组成的曲线。
2.2 依据方程分类•参数方程：以参数的形式表示曲线上的点，常用于描述曲线的运动状态。
•隐式方程：以 x 和 y 的关系表示曲线。
•显式方程：以 y 作为 x 的函数表示曲线。
3. 曲线的性质3.1 切线与法线•切线是曲线上某一点的切线，定义为通过该点并且与曲线在该点重合的直线。
•法线是与切线垂直的直线，与曲线在该点的切线垂直。
3.2 弧长与曲率•弧长是曲线上一点到起点的路径长度，可以用积分来计算。
•曲率是曲线在某点处的弯曲程度，可以表示为曲线的切线在该点的曲率半径的倒数。
3.3 拟合曲线•拟合曲线是将一组散点用曲线来逼近的方法，使用最小二乘法可以找到最佳拟合曲线。
4. 曲线的应用4.1 工程设计•曲线在工程设计中广泛应用，例如道路、管道、轨道等的设计中常使用曲线来使设计更合理和美观。
•曲线的参数方程可以用于机器人的路径规划，使机器人能够沿着规划好的曲线快速而安全地移动。
4.2 图像处理•曲线可以用于图像处理中的边缘检测和曲线拟合等任务，能够提取出图像中的重要特征。
•曲线插值方法可以用于图像的无缝融合，使不同图像之间的边缘更平滑自然。
4.3 经济预测•曲线的趋势预测方法可以用于经济数据的分析和预测，例如通过分析股票价格曲线来预测未来的股票走势。
•曲线的周期性分析方法可以用于经济周期的研究，帮助分析经济的发展趋势。
5. 总结曲线是数学的基础概念之一，具有广泛的应用。
高二数学直线与椭圆位置关系课件
x y 1 相交于 AB 两点，c是的 AB 中 oc 点．若 AB 2 2 ， 斜率为 2（Ｏ为原点），
2
求椭圆方程． 分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2
解：由方程组
mx2 ny 2 1
直线与椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系的判断
(1)数形结合法
１.直线x=n与椭圆的位置关系
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
iii相交
y x
y x
y x
２.直线y=m与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
y x
３.直线y=kx+b与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
围；
• （２）求椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
• 分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要
是由一元二次方程根的判别式 0
• 解１）解方程组
• 消 y 去整理得
4x2 y2 1
y xm
,
5x2 2mx m2 1 0， 4m2 20(m2 1) 20 16m2.
• （１） 由 0得20 16m2 0,
x y 1
消去 y 整理得： (m n)x2 2nx n 1 0
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 )、C(x3 , y3 )
则x1
x2
2n mn
, x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 ( x1
x2 )
2
2n mn
2m mn
2
求椭圆方程． 分析：本例是一道综合c 性比较强的问题，求解 本题要利用中点公式求出点坐标，从而得的斜 率，另外还要用到弦长公式：
AB 1 k 2 x1 x2
解：由方程组
mx2 ny 2 1
直线与椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系的判断
(1)数形结合法
１.直线x=n与椭圆的位置关系
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
iii相交
y x
y x
y x
２.直线y=m与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
y x
３.直线y=kx+b与椭圆的位置关系种类：
ⅰ. 相离
ⅱ.相切
ⅱ.相交
y x
y x
围；
• （２）求椭圆截得的最长弦所在的直线方程．
• 分析：用方程组解的情况来判断，从方程角度看，主要
是由一元二次方程根的判别式 0
• 解１）解方程组
• 消 y 去整理得
4x2 y2 1
y xm
,
5x2 2mx m2 1 0， 4m2 20(m2 1) 20 16m2.
• （１） 由 0得20 16m2 0,
x y 1
消去 y 整理得： (m n)x2 2nx n 1 0
设A(x1, y1)、B(x2 , y2 )、C(x3 , y3 )
则x1
x2
2n mn
, x1 x2
n 1 , mn
y1
y2
2 ( x1
x2 )
2
2n mn
2m mn