(完整版)混沌系统介绍及例子
混沌理论探索复杂系统的奥秘
混沌理论探索复杂系统的奥秘混沌理论起源于1960年代，是研究混沌现象和非线性系统性质的重要理论。
混沌现象是指系统的运动轨迹虽然不断演化，但是并不呈现出规律性的周期性运动。
在混沌系统中，微小的扰动可能会引起巨大的变化，这种敏感依赖于初始条件，也称为“蝴蝶效应”。
混沌系统不仅在物理学领域中广泛应用，同样具有在生物学、经济学、社会科学等领域的重要应用价值。
本文将介绍混沌理论的基本概念和应用，探索复杂系统的奥秘。
一、混沌理论的基本概念混沌理论是研究非线性系统的重要方法，是应用数学在物理、化学、生物等领域中的重要工具。
其基本概念包括混沌现象、吸引子、分岔、周期倍增等。
1.混沌现象混沌现象是一个系统即使在没有外部干扰的情况下，也表现出极其复杂、不可预测、无序的特性。
比如，天气系统、交通运输系统、生态系统等都是混沌系统。
混沌现象是由于系统在微观层面上发生轻微的变化，可能会导致其宏观运动的不同轨迹，因此具有非常高的灵敏性，使得混沌系统极其难以预测。
2.吸引子吸引子是混沌系统的稳定状态。
在混沌系统中，无论初始状态是什么，系统总是向着某一个吸引子运动。
吸引子可以是一个点、一条曲线、一块区域，甚至可以是一些奇怪的、复杂的形态。
3.分岔分岔是指当系统某个参数变化时，系统的运动状态从单一的轨迹向多重轨迹跳变的现象。
分岔在混沌系统中非常重要，因为它导致了复杂系统的一些特征，如周期倍增。
4.周期倍增周期倍增是指当系统参数变化时，系统的周期从1倍开始，进而按照指数规律倍增的现象。
周期倍增是混沌现象的一部分，是混沌系统中时间或空间尺度上重要的规律。
二、混沌理论的应用价值混沌理论在物理、化学、生物等领域中都有广泛的应用。
在生物领域，混沌理论被应用于神经信号处理、心率、癫痫发作等方面；在物理领域，混沌理论被应用于天文学、非线性光学等方面；在经济、社会科学领域，混沌理论被应用于金融市场的波动、民意调查的预测等方面。
混沌理论还在其他领域中展示了其强大的应用价值，如气象科学、交通运输、环境科学、电力系统等。
混沌系统数学定义-概述说明以及解释
混沌系统数学定义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容:引言部分的目的是介绍混沌系统的概念和其数学定义，并提供文章的结构和目的。
混沌系统是指一类表现出极其复杂、不可预测和无序行为的动态系统。
混沌系统的研究领域涉及物理、数学、生物学等多个学科，对于理解自然界和社会现象中的复杂性现象具有重要意义。
在本文中，我们将首先概述混沌系统的概念和特征。
混沌系统具有敏感依赖于初值条件、无周期性稳定状态、确定性演化以及具有范围性的特点。
这些特征使混沌系统成为一个有趣而复杂的研究对象。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的数学定义。
混沌系统可以通过非线性动力学方程来描述，如著名的洛伦兹方程和Logistic映射等。
数学定义的建立为混沌系统的分析和模拟提供了重要的途径。
最后，我们将总结混沌系统的数学定义，并展望对混沌系统的应用和研究。
混沌系统在天气预报、信号处理、密码学等领域中有广泛的应用，并且对于深入理解自然界中的复杂现象具有重要的指导意义。
未来的研究可以进一步探索混沌系统的性质和应用，以及开发新的数学工具和方法。
通过本文的阅读，读者将能够全面了解混沌系统的概念和特征，掌握混沌系统的数学定义，并认识到混沌系统在科学和工程领域中的重要性和应用前景。
接下来，我们将详细介绍混沌系统的概念和特征。
1.2文章结构文章结构的目的是为了让读者更好地理解和掌握本文的内容。
通过合理的文章结构，可以使得文章的逻辑性更强，内容更加清晰明了。
在本文中，为了系统地介绍混沌系统的数学定义，文章结构如下：2. 正文2.1 混沌系统的概念和特征2.2 混沌系统的数学定义通过这样的结构安排，读者可以先了解混沌系统的概念和特征，为后续的数学定义打下基础。
然后，读者将会逐步深入了解混沌系统的数学定义，包括其中的数学模型、方程和陈述。
这样的结构安排将使得读者能够全面了解混沌系统的数学定义及其相关知识。
文章结构要求内容之间的连接紧密，逻辑严谨。
在介绍混沌系统的概念和特征时，可以首先从混沌系统的起源和背景入手，引出混沌系统的定义，并详细解释混沌系统的特征，例如敏感依赖于初始条件和非周期性等。
混沌系统的理论与应用
混沌系统的理论与应用混沌系统是指在确定性系统中，由于微小的初始条件差异引起系统长时间演化过程中，状态不断变化且呈现高度复杂无序的现象。
混沌现象的出现给人类带来了诸多困难，但同时也在科学研究和技术应用领域中发挥了巨大的作用。
本文将对混沌系统的理论及其应用进行探讨。
一、混沌系统的定义及基本特征混沌系统的理论是源于20世纪60年代。
混沌现象是理论物理学家对非线性动力学系统的理论研究时，所发现的一种极端复杂的动力学现象。
混沌现象被定义为，一种无规律但非随机的动力学现象，其表现在确定性混沌系统中，无论系统初值多么接近，最终演化出的状态都会极其敏感的依赖于初值。
混沌系统是指非线性动力学系统过程中出现的这种现象。
混沌系统最基本的特征是，虽然每个状态都有非常简单的生成规则，但是系统的演化过程却呈现出极其复杂的变化，使得人们即使通过各种数学方法也无法完全预估其发展规律和最终状态。
此外，混沌的系统还表现出以下的一些特点：1. 混沌系统的状态在空间和时间上都是无规律的，非随机。
2. 混沌系统的初始条件非常敏感，即“蝴蝶效应”，微小的初值差异对其演化过程的影响可以是复杂的非线性关系。
3. 混沌系统在演化过程中呈现出迅速的变化，且永远不会重复出现相同的状态。
二、混沌系统的代表模型混沌系统在实际问题中广泛应用，众多的研究和模型的探索，为混沌的理论研究提供了很多的可能性，以下是混沌系统代表性模型的介绍。
1. Logistic 映射模型Logistic 映射模型最经典的表示形式是：xn+1 = r xn (1 – xn)其中 xn 表示第 n 个时刻的系统状态，r 表示系统的“控制参数”。
当 r 在一定的范围内变化时，它的演化过程呈现出明显的周期性或混沌性。
2. Lorenz 方程模型Lorenz 方程模型是由美国气象学家 Edward Lorenz 提出的一个非线性模型，它描述了空气流动的一些基本规律。
Lorenz 方程模型的表示形式是：dx/dt = σ(y – x)dy/dt = x(ρ – z) – ydz/dt = xy –βz其中x、y、z 分别表示空气流动中温度、密度和速度的状态量，而右边的三个式子则分别描述了它们之间的相互作用。
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D log N(r) 或 log(1/ r)
DlimlogN(r) r0 log1(/ r)
一般地，我们就把这样定义的容量维叫做豪斯道夫 维数，把豪斯道夫维数是分数的物体称为分形，把此
时的D 值称为该分形的分形维数，简称分维。也有人
把该维数称为分数维。
奇怪吸引子
奇怪吸引子又叫分形吸引子，因为它们都是相空间的分形点集， 不能用传统的规则几何图形表示。一个耗散系统的相空间当时间 趋于无穷大时，如果收缩到一个非整数维的点集，这就是一个奇 怪吸引子。
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蝴蝶效应
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进会的一次 演讲中提出：一只南美洲的蝴蝶，偶尔扇动几下翅膀，在两 周以后可以引起美国德克萨斯州的一场龙卷风。
此效应说明，事物发展的结果， 对初始条件具有极为敏感的依赖 性，初始条件的极小偏差，将会 引起结果的极大差异，甚至会呈 现一种混沌状态。
dz d
bz
xy
x -对流的翻动速率 y -比例于上流与下流液体之间的温差 z-是垂直方向的温度梯度
无量纲因子
b-速度阻尼常数
r -相对瑞利数 r = R/RC。
这是一个三维系统，x、y、z为状态变量，σ、r、b为控 制参量。 Nhomakorabea伦兹方程
在r 较小的情况下，系统是稳定的，随着的r 增加，系统 趋于复杂，出现不稳定的极限环，在r =28时达到混沌 状态。所以， σ = 10 ，b = 8/3 ，r = 28 时利用 Matlab编程，得到下图：
xn1axn(1xn)
它经常被用来描述没有世代交叠的昆虫群体的繁殖 演化，称为虫口模型。a为控制参数，虫口数x为状 态变量，xn为第n代虫口数，虫口模型给出第n代虫 口与第n+1代虫口的关系，知道n代虫口就可以按 逻辑斯蒂方程计算第n+1代虫口。
混沌(授课)
身边的混沌现象（ ） 身边的混沌现象（2）
3. 当您去海边游玩的时候，您可曾想到过您是否能测出海 岸线的长度？其实，您永远也测不出它的长度，因为它是分 形的。您使用的度量尺寸却精确，那么得出的结果就越长。 4. 一个正常人的心跳是呈混沌的，越混沌的话，您的心脏 越健康。 5. 混沌理论已经被用来决定为孩子种植麻疹疫苗的最佳时 间。
混沌知识简介 混沌知识简介
1、什么是混沌？ 什么是混沌？
对初始条件的敏感性 初始条 规则之中仍存在秩序 规则之中仍存在秩序
什么是混沌？ 是混沌？
对初始条件的敏感性 初始条
-微小差异也可造成巨大变化 微小差异也可造成巨大变 -推翻物理学上小误差可忽略的观念 推翻物理学上小误差可忽略的观
什么是混沌？ 是混沌？
1979年12月，洛伦兹在华盛顿的美国科学促进 会的一次讲演中提出：一只蝴蝶在巴西扇动翅膀， 有可能会在美国的德克萨斯引起一场龙卷风。他的 演讲和结论给人们留下了极其深刻的印象。从此以 后，所谓“蝴蝶效应”之说就不胫而走，名声远扬 了。 “蝴蝶效应”之所以令人着迷、令人激动、 发人深省，不但在于其大胆的想象力和迷人的美学 色彩，更在于其深刻的科学内涵和内在的哲学魅力。 从科学的角度来看，“蝴蝶效应”反映了混沌运 动的一个重要特征：系统的长期行为对初始条件的 系统的长期行为对初始条件的 敏感依赖性。 敏感依赖性。
蝴蝶效应 蝴蝶效应
-一只蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个月后在美国德州发生一场龙卷 蝴蝶在巴西轻拍翅膀，可以导致一个 在美国德州发生一场龙卷 风？ -Edward N. Lorenz的气象预报 Lorenz的
什么是混沌？ 是混沌？
以只差0.001的初始值迭代而出現两种截然不同的结果 的初始值迭代而出現两种截然不同的结 对y=2x2-1以只差 以只差 的初始值迭代而出現两种截然不同的
混沌系统理论
混沌理论的特征
分形几何理论诞生于20世纪70年代中期，创始人是美国数学家--曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)，他1982年出 版的《大自然的分形 几何学》 (The Fractal Geometry of Nature)是这一学科经典之作。
康托尔三分集
谢尔宾斯基地毯
分 形 项 链
D即维数
D = logｋ/logλ
λ 其中：
为线度的放大倍数
ｋ为“体积”的放大倍数
由于这样定义的维数D是一个分式所得出的比值，因此人们称之为 分数维。
容量维
柯尔莫戈洛夫(Kolmogorov)曾给分维这样定义：
对于d 维空间中的一个小集合E，我们可以用一些直径r的 d 维小球去覆盖它，如果完全覆盖所需的小球数目的最小值为 N(r) , 则该子集的柯尔莫戈洛夫容量维为：
实际上，混沌学研究从另一方面增加了人 们的预见能力。
貌似无序的高级有序性
混沌现象给人们的第一印象往往是混乱 不 堪，毫无规则，但混沌不等于混乱，是一种 貌似无序的复杂有序。 混沌绝不是简单地无序，而是被无序掩盖 着的高级有序，貌似无序的复杂有序，有人 称其为混沌序。
逻辑斯蒂方程的有序性
倒分叉
周期窗口
长期行为的不可预见性
由于其内在非线性机制造成对初值的敏感 依赖性，混沌系统的长期行为是不可预测的。 任何实际系统的初始条件都不可能绝对精确 地确定，误差是不可避免的。
混沌是由确定性系统产生的，它的短期行 为是可以预测的。
只要系统处于混沌区，我们就无法对它的 长期行为作出预测，但是混沌运动并非绝对 不可预测。
lim inf fn(x)fn(y)0
则称 f ( x ) 描述的系统为混沌系统，S 为 f 的混沌集。
混沌系统理论及其应用
混沌系统理论及其应用混沌这个词汇曾经是描述一种凌乱的概念，但是在科学领域中，混沌系统是一种高度复杂和无序的动力学系统。
混沌理论已经被广泛应用于各种领域，例如经济学、气象学、工程学以及计算机科学等。
本文将介绍混沌系统的基础理论，以及其在实际应用中的价值。
混沌系统的基础理论在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子。
1963年，美国气象学家Edward Lorenz用三个非线性微分方程来描述大气环流系统，他发现这个系统可以出现极其复杂的轨迹。
在数值模拟时，由于计算机精度的问题，他意外地发现微小的初始条件误差会在后来引起系统状态的强烈变化，从而导致结果的巨大不同。
这种现象被称为混沌。
根据混沌系统的定义，混沌是指无论初始状态如何微小，随着时间的推移都会渐渐加剧变化，并最终达到一个看似无序而非重复的状态。
在混沌系统的研究中，最具有代表性的就是洛伦兹吸引子，由三个非线性微分方程描述，表达式如下：$$\begin{aligned}\frac{dx}{dt} &= \sigma(y - x) \\\frac{dy}{dt} &= x(\rho - z) - y \\\frac{dz}{dt} &= xy-\beta z\end{aligned}$$其中，$x, y, z$是三个随时间变化的状态量，$\sigma, \rho,\beta$是系统的三个物理参数。
这一方程组描述了一个对流系统的演化过程。
洛伦兹吸引子表现出来的是一个“蝴蝶形状”，这也是混沌系统自身的内在特征之一。
洛伦兹吸引子的非线性巨大特点，例如混合状态、结构相对简单、吸引性等等，使得它在混沌理论基础研究和应用方面都有很广泛的应用。
混沌系统的应用混沌系统理论的应用非常广泛，下面简单介绍一些具体的应用。
1. 加密与通信混沌系统可以用来进行加密和通信，它的特点是出现的数字序列是随机的，因此具有较高的安全性。
这种随机性是由于混沌系统对初始条件和系统参数非常敏感，如果两者发生了极小的改变，就会出现严重的状态变化，从而产生一个看似无序的结果。
动力系统理论中的混沌与分形
动力系统理论中的混沌与分形本文旨在探讨动力系统理论中的混沌与分形现象。
混沌与分形是动力系统理论中的两个重要概念，它们帮助我们理解非线性系统中的复杂行为。
通过对混沌和分形的介绍和解释，可以更好地理解这些现象对于动力系统理论的重要性。
一、混沌现象1.1 混沌的定义与特征混沌是一种看似随机、无序的、复杂的系统行为，但实际上具有确定性的特点。
混沌系统的演化过程是高度敏感的，微小的初始条件变化会导致系统行为的巨大差异。
1.2 混沌系统的示例尽管混沌系统无法通过常规的数学方法进行精确描述，但它们在自然界和科学领域中广泛存在。
例如，洛伦兹吸引子和双拱摆动等系统都展现了混沌行为。
1.3 混沌在动力系统中的应用混沌现象在动力系统控制和信息处理等领域有着重要的应用。
通过对混沌现象的研究，可以开发出一些混沌控制方法和混沌加密算法等技术。
二、分形现象2.1 分形的定义与特征分形是一种具有自相似性的几何形状。
分形对象的局部部分与整体之间存在着相似的结构，无论是放大还是缩小都能看到相似的形态。
2.2 分形的分类与例子分形可以分为确定性分形和随机分形，分形的例子包括科赫雪花曲线、谢尔宾斯基三角形和曼德尔布罗集合等。
2.3 分形在动力系统中的应用分形几何在动力系统的建模和分析中有广泛应用。
例如，在天气系统中，分形几何可以用来描述云朵的形状和天气的变化规律。
三、混沌与分形的关系混沌和分形都是非线性动力系统中的重要现象，它们之间存在着紧密的联系。
3.1 分形维度与混沌系统混沌系统的分维度是一个重要的非线性度量指标，在描述混沌系统的复杂性和自相似性方面起着关键作用。
3.2 分形分析揭示的混沌机制分形分析方法能够揭示混沌系统中的规律和结构。
通过分形分析可以得到混沌系统的分维度、分形维数等重要参数，从而更深入地理解混沌现象。
结论混沌与分形是动力系统理论中的重要概念，它们对于我们理解非线性系统中的复杂行为起到了关键作用。
混沌现象展示了非线性系统的敏感依赖性和不确定性，而分形则展示了系统的自相似性和复杂性。
混沌理论及其应用实例
3
牛顿第二定律研究自由落体:
m dv mg , dt dx v dt
xt0 , vt0
通常我们所处理的是线性系统:原因处理方法简单 (数理方法)
建立微分方程组
只要知道了物体在某一时刻的运动状态以及作用于
这个物体的外部的力，就可以准确地确定这个物体
1
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不存在能量以外的解析不变量，力学系统运动的稳定性成 了大问题。KAM不从整体的不变量行为讨论，而就给定的 具体环面的稳定性问题讨论
图像：在 1 时大多数环面微小变化，环面原有基本特
性得以保持。少量环面被极大破坏和变形。被破坏环面测 度小，但稠密地镶嵌于未被破坏的环面之间，这使整体的 解析不变量不存在
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(2) KAM理论(Kolmogorov- Anold- Moser)
1954, 前苏联数学家Kolmogorov(柯尔莫哥罗夫) 提出定理, 1963, 其学生Anold(阿诺德)给出定理的严格证明, 1973, 瑞士数学家Moser(莫塞)给出改进的证明. 不可积系统:
H H0 H1(J1, J2, θ1, θ2 )
理论解析分析: 有时+计算机分析
7
1.2 非线性系统和混沌现象
非线性广泛存在自然界和社会生活中,线性行为只是平衡态
附近的近似结果,自然界本质是非线性的.
弹性振动
1.简谐振动: 振子质量m=1,角频率 ,x为位
移, 势能 U (x) 1 2x2
2
牛顿第二定律: 线性系统
d2x m d 2t
解
x x0et , t 0,x x0 t , x
考虑实际外界因素影响: 资源不足,不同区域间作用
混沌系统在数据加密中的应用研究
混沌系统在数据加密中的应用研究随着信息技术的快速发展，数据加密成为保护信息安全的重要手段之一。
而混沌系统则在这一领域具有广泛的应用。
本文将探讨混沌系统在数据加密中的应用研究。
一、混沌系统简介混沌系统是一类具有不可预测性的动力学系统，其行为非常复杂，甚至呈现出类似随机性的特征。
混沌系统最早由美国数学家洛伦兹在20世纪60年代提出，随后得到了广泛的关注和研究。
混沌系统常见的例子有洛伦兹吸引子、蒙德里安周期方阵等。
二、混沌系统在数据加密中的应用对于加密过程中的关键数据，保证其安全性和不可预测性是非常重要的。
而混沌系统中的“无规则”、“不可重复”的特质，使得它在数据加密中的应用具有广阔的前景。
在以下几个方面，混沌系统在数据加密中有着极为重要的应用。
1. 混沌加密算法混沌序列可以用来产生高度随机的密钥，从而用于对称和非对称加密。
目前已有许多基于混沌的加密算法被提出，例如基于初始值混沌系统的加解密算法（VIC）和改进的混沌置换加密算法（TCIPA）等。
2. 混沌伪随机序列生成器伪随机序列是信息加密中重要的一环，它可以用来产生密钥、填充信息等。
混沌系统的随机、不可预测等特性能够使伪随机序列更加安全。
3. 混沌图像加密混沌系统在对图片加密方面也有广泛的应用。
通过将加密算法作用在图片像素上，来实现对图片的加密。
混沌图像加密通常包含加密过程和解密过程，其中加密过程需使用密钥和混沌系统生成的无规则的数列对图像进行处理。
4. 混沌语音加密通过在语音信号中引入混沌系统来实现语音加密。
相较于其他加密方式，混沌系统的加密方式更为随机，因此更加安全可靠。
三、混沌系统在数据加密中的挑战尽管混沌系统在数据加密中应用广泛，但其也面临着以下几个挑战。
1. 建模与分析复杂度混沌系统在进行加密过程时，需要用数学模型描述其行为规律，但由于混沌系统本身的特性，建模过程非常困难，在实际操作中可能存在误差。
2. 针对攻击手段混沌系统在加密过程中可能面临一些针对攻击的手段，例如线性攻击、根据密文分析和传统密码分析等。
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专业学术讲座报告班级：信计12-2学号：************ 姓名：**二零一五年六月二十二日目录1.混沌系统概念2.典型混沌系统介绍3.混沌金融系统的线性与非线性反馈同步4.混沌研究的发展方向及意义一、混沌系统概念混沌（chaos ）是指确定性动力学系统因对初值敏感而表现出的不可预测的、类似随机性的运动。
又称浑沌。
英语词Chaos 源于希腊语，原始 含义是宇宙初开之前的景象，基本含义主要指混乱、无序的状态。
作为科学术语，混沌一词特指一种运动形态。
动力学系统的确定性是一个数学概念，指系统在任一时刻的状态被初始状态所决定。
虽然根据运动的初始状态数据和运动规律能推算出任一未来时刻的运动状态，但由于初始数据的测定不可能完全精确，预测的结果必然出现误差，甚至不可预测。
运动的可预测性是一个物理概念。
一个运动即使是确定性的，也仍可为不可预测的，二者并不矛盾。
牛顿力学的成功，特别是它在预言海王星上的成功，在一定程度上产生误解，把确定性和可预测性等同起来，以为确定性运动一定是可预测的。
20世纪70年代后的研究表明，大量非线性系统中尽管系统是确定性的，却普遍存在着对运动状态初始值极为敏感、貌似随机的不可预测的运动状态——混沌运动。
混沌是指现实世界中存在的一种貌似无规律的复杂运动形态。
共同特征是原来遵循简单物理规律的有序运动形态，在某种条件下突然偏离预期的规律性而变成了无序的形态。
混沌可在相当广泛的一些确定性动力学系统中发生。
混沌在统计特性上类似于随机过程，被认为是确定性系统中的一种内禀随机性。
二、典型混沌系统介绍Lorenz 系统混沌的最早实例是由美国麻省理工学院的气象学家洛伦兹在1963年研究大气运动时描述的。
他提出了著名的Lorenz 方程组：。
这是一个三阶常微分方程组。
它以无限平板间流体热对流运动的简化模型为基础，由于它的变量不显含时间t ，一般称作自治方程。
式中x 表示对流强度，y 表示向上流和向下流在单位元之间的温度差，z 表示垂直方向温度分布的非线性强度，-xz 和xy 为非线性项，b 是瑞利数，它表示引起对流和湍流的驱动因素 (如贝纳对流上下板的温度差△T)和抑制对流因素 (如(Prandtl)数粘性)之比，是系统(2-1)的主要控制参数。
k v a =是普朗特数(v 和k 分别为分子粘性系数和热传导系数)，c 代表与对流纵横比有关的外形比，且a 和c 为无量纲常数。
在参数范围为1)3(--++⋅≥c a c a a b 时，Lorenz 系统均处于混沌态。
在混沌区域内选择系统参数a=10, b=28，c=8/3，取系统的初始状态为[x(0), y(0), z(0)]=[10, 10, 10]，此时，系统为一混沌系统，系统的三维吸引子如图2.1所12121213331210(),28,8/3,x x x x x x x x x x x x =-⎧⎪=--⎨⎪=-+⎩示，二维吸引子如图2.3所示，图2.2所示分别为分量x、y随时间t的变化情况。
总体上，Lorenz吸引子由左右两个环套而成，每个环绕着一个不动点，它实际上是一条双螺旋的曲线，就像以十分灵巧的方式交织起来的一对蝴蝶的翅膀。
这个吸引子中的环和螺线有无穷的深度，它们之间可以无限靠近，但永远不会相交，仅占据有限的空间，具有无穷嵌套的复杂结构。
例如，随着时间的演化，每一个环都靠得很近的无穷多层，每层上都密密麻麻的排列着无穷多个螺线，它代表系统的相点在右侧转几圈后又跳到左侧转几圈，运动轨道无法预测什么时候从这一侧过渡到另一侧，并且它所绕各自中心的方式和圈数也是个明显的随机数。
这就是混沌状态。
三、混沌金融系统的线性与非线性反馈同步自从1990年E.Ott等提出OGY混沌控制以及同年L.M.Pecora等提出完全同步以来,人们对混沌系统的认识更加深入.混沌同步用来实现两个系统的混沌态的完全重构,已经成为非线性科学理论及应用中的重要组成部分,是当前混沌理论研究和应用中的热点问题。
目前,混沌同步已经广泛应用于激光物理、通信、化学反应、生物医学等领域.经济学中的混沌现象自1985年首次被发现以来,对当今西方主流经济学派产生了巨大的冲击,因为经济系统中出现混沌现象意味着宏观经济本身具有内在的不稳定性.根据混沌经济学家的观点,金融市场是一个复杂的经济系统,金融危机是这个系统产生的一种混沌现象,显然经济混沌控制就显得尤为重要.本研究考虑一类金融系统的混沌同步问题,首先利用非线性反馈控制实现了该金融系统的自同步,其次利用线性耦合的方法探讨了该系统的耦合自同步,得到了两种使该金融系统渐进同步的控制方法.数值仿真结果表明所给方法是有效的。
3.1、一类混沌金融系统的数学模型模型建立了一个由生产子块、货币、证券子块和劳动力所组成的混沌金融系统:﹒x=z+(y-a)x,﹒y=1-by-x2,﹒z=-x-cz,其中x表示利率,y表示投资需求,z表示价格指数,a为储蓄量,b为投资成本,c为商品需求弹性.取参数a=0.9,b=0.2,c=1.2,初始条件为(2,1,2),利用Matlab软件得到系统(1)的三维相图见图1.3.2、非线性反馈实现混沌金融系统的自同步控制设驱动系统为(1),响应系统为﹒x1=z1+(y1-a)x1+u1,﹒y1=1-by1-x21+u2,﹒z1=-x1-cz1+u3,其中U= (u1,u2,u3)T是非线性反馈控制器.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,则误差系统为﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1+u1,﹒e2=-be2-e1(x1+x)+u2,﹒e3=-e1-ce2+u3,选择非线性反馈控制器如下:u1=-y1e1+k1e1,u2=x1e1+k2e2,u3=k3e3,其中ki(i=1,2,3)为反馈增益常数,此时误差系统变为﹒e1=e3+xe2-ae1+k1e1,﹒e2=-be2-e1x+k2e2,﹒e3=-e1-ce3+k3e3,构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则﹒V= ﹒e1e1+﹒e2e2+﹒e3e3=e1(e3+y1e1+xe2-ae1+u1)+e2[-be2-e1(x1+x)+u2]+e3(-e1-ce3+u3)=-ae21-be22-ce23+y1e21+e1u1-e1e2x1+u2e2+u3e3,将式第四个式代入上式可得﹒V=-(a-k1)e21-(b-k2)e22-(c-k3)e23,由于a,b,c 为正数,只要反馈增益常数k1<a,k2<b,k3<c,就有﹒V 负定,而V 正定,则根据李雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,从而在控制器的控制下,混沌驱动系统响应系统可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理1.定理1对于驱动系统(1)和响应系统(2),如果系统的非线性反馈控制器取式(4),反馈增益常数 k1<a,k2<b,k3<c,则驱动系统(1)和响应系统可以实现全局渐进同步.注:1)由于所取的控制器中含有3个参数,反馈增益的取值范围较大,从而实现了混沌系统大范围可控.2)可以通过调节反馈增益常数使系统达到同步的时间缩短,从而减少实现混沌系统同步所需的工程造价.3.3、线性耦合实现金融混沌系统的自同步控制考虑两个状态变量相互耦合的系统:﹒x=z+(y-a)x+d1(x1-x),﹒y=1-by-x2+d2(y1-y),﹒z=-x-cz+d3(z1-z),﹒x1=z1+(y1-a)x1+d1(x-x1),﹒y1=1-by1-x21+d2(y-y1),﹒z1=-x1-cz1+d3(z-z1),其中di(i=1,2,3)是耦合常数.设e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,则由式和得到误差系统为:﹒e1=e3+y1e1+xe2-ae1-2d1e1,﹒e2=-be2-e1(x1+x)-2d2e2,﹒e3=-e1-ce3-2d3e3,构造李雅普诺夫函数V=12∑3i=1e2i,则﹒⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤++⎢⎢⎢⎢⎣⎡-+⨯-=++=•••3213211113213322112,00,20,2,022),,(e e e d c d b x x y d a e e e e e e e e e V 令V 负定,则A 的一阶主子式|A1|=a+2d1-y1>0,A 的二阶主子式|A2|=(a+2d1-y1)(b+2d2)-x122>0,A 的行列式0)2(2)2)(2(321211>+⨯⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-+=d c x d b y d a A 所以当耦合常数满足,2,4,2321211c d x d a y d -<>->时,﹒V 负定.根据李雅普诺夫稳定性理论,误差系统的零解稳定,驱动系统(6)和响应系统(7)可达到全局渐进同步.综合以上讨论可得定理2 定理2 对于驱动系统(6)和响应系统(7),参数a>0,b>0,c>0,若耦合常数,2,4,2321211c d x d a y d -<>->,则耦合系统(6)和(7)可达到全局渐进同步. 注:这种线性耦合方法也可以运用于两个不同结构的混沌系统的同步控制.3.4、数值模拟为了验证所设计的混沌控制器的有效性,采用四阶龙格-库塔方法进行仿真.例1、取驱动系统(6)的初值为(1.07,1,2.08),响应系统(7)的初值为(1.76,1.74,2.19),耦合常数d1=1,d2=5,d3=-0.5,参数取a=0.9,b=0.2,c=1.2,仿真结果得误差e1,e2,e3的时序图如图3所示.由图3可知,虽然耦合系统(6)和(7)的初值不同,但该混沌系统很快实现了自同步.3.5、结论研究了一类金融混沌系统的同步问题,基于李雅普诺夫稳定性理论,利用非线性反馈控制法和线性耦合同步法实现了该系统的自同步.这两种方法易于实现,且收敛速度快,并且可以推广到其他类似系统.该系统的控制方法和同步控制以及在金融方面的应用还有待进一步研究。
四、混沌研究的发展方向及意义4.1混沌研究的发展方向：混沌运动、奇怪吸引子、通向混沌道路等概念的提出，开阔了理论和实验工作者的思路。
从一个形似蝴蝶翅膀的洛仑兹吸引子20世纪80年代开始，在等离子体放电系统、非线性电路、声学和声光耦合系统、激光器和光双稳态装置、化学振荡反应、动物心肌细胞的强迫振动、野生动物种群的数目消长、人类脑电波信号乃至社会经济活动等领域内到处发现混沌，显示出混沌运动是许多非线性系统的典型行为。
作为非线性科学主要研究领域，混沌研究的主要方向集中在如下几个方面：①时空混沌；②量子混沌；③混沌运动的进一步分类；④混沌吸引子的精细刻画；⑤混沌的同步和控制等。