三等分线段
对于尺规作图法将线段三等分的研究
对于尺规作图法将线段三等分的研究1.问题背景用尺规作图法将线段三等分的研究：尺规作图法是指只能使用圆规与无刻度直尺，并且只准许使用有限次，来解决平面几何作图问题的方法。
我们知道并已经能用尺规作图法将一条给定线段进行（n为正整数）等分。
那么如何解决以下问题呢？用尺规作图法将一条给定线段AB三等分，写出作图过程，保留作图痕迹。
看谁想出的方法更多。
2.思路分析由于尺规作图法的要求，在将线段三等分的过程中，应该尽最大可能利用特殊角度、特殊三角形、三角形全等、三角形相似、平行线、中线、垂线及其性质。
通过这些性质使得线段之间出现2倍、3倍、1/2倍、1/3倍的关系，从而推进线段AB的三等分。
3.问题的解决方法3.1利用平行线分线段成比例定理作图1.过给定线段AB的任意一端端点作射线（例如射线BO）；2.利用圆规依次在射线BO上截取三段等长线BM、MN、NL；3.连接LA 过M、N做平行于LA的直线交AB于C、D；则点C、点D即是给定线段AB的三段分点。
3.2 佘氏尺规法1.已知给定线段AB，分别以A、B为圆心，AB长度为半径作圆弧，交点分别为C、D；2.连接C、D，交AB于E点；3.分别以点A、点B、点E为圆心，AE长为半径画弧，三弧两两相交于点F、点G ；4.连接DF与DG，直线DF、直线DG分别与直线AB相交于点P和点N则P、N即为线段AB的三段分点。
3.3利用三角形重心性质作图1.已知给定直线AB，以A为圆心，半径任意做圆弧；过点A作直线，与圆弧相交于点C、D；2.连接点C、B、D，得到三角形CBD（A为CD的中点）；3.尺规作图找出线段DB的中点E，连接CE，交线段AB于F4.同样方法找出线段BF的中点G则点F、G即为线段AB的三等分点。
3.4利用特殊角度作图1.已知给定线段AB，过A点利用三角板作出射线AO与直线AB的夹角呈60度；作∠OAB的角平分线AC；2.过B 点作线段AB 的垂线交AC 于点D ，则有；3=BDAB3.作∠ADB 的角平分线，与线段AB 交于点E ，则有3=EBDB即AB=3EB，E为线段AB的三等分点。
三角形三等分点定理
引言：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，在三角形中寻找三个等分点是一个常见问题。
该定理给出了一种方法，可以用几何手段确定三角形的等分点位置。
本文将详细介绍三角形三等分点定理，包括定义、证明和应用。
概述：三角形三等分点定理是指在任意三角形ABC中，可以找到三个点D、E和F，使得线段AD、BE和CF均等分三角形ABC。
这意味着三个等分点分别位于三个边界上，并且每个等分点都将三角形划分为等面积部分。
正文内容：一、三等分点的定义和性质1.三等分点是指在三角形中将三个边界等分的点。
2.三等分点满足三等分线段的性质，即三个等分点将边界分为相等的部分。
3.三等分点与三角形的形状和大小无关，只与三角形的边界长度有关。
二、三等分点的几何构造方法1.方法一：利用三角形的中位线构造等分点。
2.方法二：利用三角形的高线构造等分点。
3.方法三：利用三角形的角平分线构造等分点。
4.方法四：利用三角形的外接圆和内切圆构造等分点。
三、三等分点的证明方法1.证明方法一：利用三角形的边界长度和线段等分的性质。
2.证明方法二：利用三角形的中垂线和角平分线的性质。
3.证明方法三：利用三角形的相似性和三等分点的定义。
4.证明方法四：利用向量和坐标几何的方法证明三等分点的存在和位置。
四、三等分点的应用1.应用一：用三等分点构造等面积分割线，将三角形分割成等面积的部分。
2.应用二：利用三等分点证明三角形的性质，如内接四边形和外接圆的关系。
3.应用三：三等分点与三角形的内心、外心和重心的关系。
4.应用四：利用三等分点构造等边三角形的方法。
五、三等分点的拓展和深入研究1.拓展一：三等分点的存在性和唯一性。
2.拓展二：三等分点的坐标表示和计算方法。
3.拓展三：三等分点与其他几何定理的关系和应用。
4.拓展四：三等分点在三角形划分和分割问题中的应用。
总结：三角形三等分点定理是一个重要的几何定理，可以用于构造等分点和证明三角形的性质。
本文介绍了三等分点的定义和性质，几何构造方法和证明方法，以及应用和拓展研究。
几何画板线段怎么实现三等分点？
⼏何画板线段怎么实现三等分点？
⼏何画板绘图的时候，想要构造三等分点，该怎么实现呢？请看下⽂详细介绍。
出⾊的教学软件⼏何画板 V5.06 中⽂绿⾊单⽂件版
类型：理科⼯具
⼤⼩：1.57MB
语⾔：简体中⽂
时间：2015-08-01
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⽅法⼀：点值法
使⽤点的值在等边三⾓形的边上绘制点，选择边右键，执⾏“在线段上绘制点”命令，分别输⼊“1/3”和“2/3”即可。
1、画等边三⾓形ABC，使⽤“点⼯具”在边BC上任意画⼀点D，执⾏“度量”——“点的值”命令，得到该点在边BC上的值。
2、选中边BC，⿏标右键，选择“在线段上绘制点”命令，在弹出的对话框输⼊“1/3”，点击绘制，得到三等分点E。
3、然后再执⾏该命令再输⼊“2/3”，点击绘制，然后点击完成，得到边BC的三等分点F，如下图所⽰。
温馨提⽰：按照以上⽅法，可以构造出其余两边的三等分点，这⾥就不再详细介绍。
⽅法⼆：使⽤缩放命令
可以标记线段⼀个端点为中⼼，选中另⼀个端点，执⾏“变换”——“缩放”命令，缩放⽐例为1:3，接着再缩放⼀次，⽐例为2:3即可。
1、打开⼏何画板，画⼀个等边三⾓形ABC，双击点B标记为缩放中⼼，选中点C，执⾏“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输⼊缩放⽐例为1：3，点击“确定”得到三等分点D。
2、接着选中点C，执⾏“变换”——“缩放”命令，在弹出的对话框输⼊缩放⽐例为2：3，点击“确定”得到三等分点E。
温馨提⽰：按照以上步骤，可以找出每个边的三等分点，从⽽进⾏研究，这⾥就不再多作介绍。
以上就是⼏何画板构造三等分点的教程，希望⼤家喜欢，请继续关注爱。
对规尺三等分线段的思考
３ 用规 尺作 Ａ ． Ｃ的 中点 Ｅ， 即对 Ａ Ｃ二 等分 。也 可对 Ａ Ｄ作 中点 日；
４ 连接 Ｄ ． Ｅ交 Ａ Ｂ于 Ｆ； ５ 用规 尺 对 Ａ ． Ｆ二 等 分 ， 即作 中点 Ｇ。则 Ｇ、 Ｆ
三等分线 段 Ａ Ｂ。 理论 依据 ： 证 明 ： Ａ Ｂ 中 、 在 ＡＣ
２１ ００年第 ｏ ２期 第２ ６卷 （ ２１ ） 总 ４期
吉林省教育学院学报
Ｊ ＯＵＲＮＡＬ ＯＦ ＥＤＵＣＡＴＩ ＯＮＡＬ ＮＳ ＴＵＴＥ Ｉ ＴＩ ＯＦ ｌ ＰＲＯＶＩ ＪＵ ＮＣＥ
Ｎｏ ０ ２ １ ． ２， ０ ０
Ｖｏ ． ６ １２
Ｔｏｔ ｌＮｎ ４ ａ ２２
、 ，
３以ＢＣ ． ， 为心， 一定长口口 ｌ＞
弧， 弧交 于 Ｄ， 连接 直线 Ｂ Ｄ；
ｌ 为半径画
Ｄ， ； Ｅ
３ 连接 直线 Ｄ ． Ｅ。在 Ｄ Ｅ上 以 Ｄ为 起 点 ， 在 Ｅ 方 向上 以一定 长为 半径截 取 Ｄ Ｆ＝Ｆ Ｇ＝Ｇ Ｈ； ４ 连接 Ｂ ． Ｈ交 Ａ Ｃ于 ， ； ５ 连 接 ，Ｇ交 Ａ 于 ． ． ， Ｂ ， ，
放缩处 理 ， 学上 ， 数 可用相 似形从 理论上 验证其 可行
性 。也 可用 此法对 线段 ｎ等分 。作法 ：
１ 已知线 段 Ａ 分 别 过 Ａ、 作 不 重 复 于 线 段 ． Ｂ，
Ａ Ｂ的两条直 线 ｌ、 并交 于 Ｃ点 ； ｉＺ ２
２ 连接 Ａ Ｂ 。用 规尺 作 Ａ Ｂ ． Ｃ，Ｃ Ｃ，Ｃ的 二 等分 点
二 、 行线 法 平
此 法可 对线段 进行 ｎ等分 ， ２ 分可 二等 分 对 等
就是 作菱形 。对 三等分 线段 。在 此 ， 出几 种方 法 ， 提
等腰三角形顶角的三等分线和底边的关系
等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，顶角的三等分线是指从顶点引出的三条线段，这三条线段将顶角平分成三个相等的角。
本文将探讨等腰三角形顶角的三等分线与底边的关系。
一、等腰三角形的定义1. 定义：等腰三角形是指两条边相等的三角形。
2. 性质：等腰三角形的底边对应的两个底角是相等的，顶角的三等分线相交于三角形的底边的中点，并且三等分线的交点到底边的距离等于底边的一半。
二、顶角的三等分线和底边的关系1. 顶角的三等分线的性质在等腰三角形ABC中，顶角A的三等分线AD、AE和AF满足以下性质：a. 三等分线AD、AE和AF相交于点O，即三等分线的交点为O。
b. 三等分线交底边BC于点D、E和F，其中D为BC的中点。
2. 三等分线的长度关系在等腰三角形中，顶角的三等分线与底边的关系如下：a. 三等分线的交点O到底边的距离等于底边的一半，即OD=OE=OF=1/2*BC。
这说明三等分线的交点O到底边的距离相等，且等于底边的一半。
3. 证明假设在等腰三角形ABC中，AD、AE和AF分别为顶角A的三等分线，交于点O，D为BC的中点。
要证明OD=OE=OF=1/2*BC。
证明如下：a. 证明OD=1/2*BC：连接OA并延长至BC的延长线上，构造三角形OAB和OCD。
由于三角形OAB和OCD中AB=CD，且∠OAB=∠OCD，∠OBA=∠ODC，因此△OAB≌△OCD。
根据△OAB≌△OCD可得OA=OC。
又因为OD=CD-DO=OA-OE=1/2*BC-OD，解得OD=1/2*BC。
同理可得OE=OF=1/2*BC。
三、结论在等腰三角形中，顶角的三等分线的交点到底边的距离等于底边的一半，并且三等分线的交点为底边的中点。
四、实际应用1. 测量与建筑领域：对于等腰三角形结构的测量和建筑设计中，需要考虑顶角的三等分线与底边的关系，以确保结构的稳定性和准确性。
2. 数学教学：在数学教学中，可以通过等腰三角形顶角的三等分线和底边的关系来引导学生理解几何图形的性质和应用。
三角形三等分角线长度定理
三角形三等分角线长度定理三角形是几何学中的重要概念之一，其特点是由三条边和三个角所组成。
在三角形中，角线是指连接三个顶点与对边中点的线段。
本文将讨论三角形的三等分角线长度定理。
三等分角线长度定理，即指在一个任意给定的三角形中，连接一个角的两边中点并延长至对边上的点，该角线与对边之间的距离等于对边长度的一半。
下面我们通过一个实例来说明这个定理。
假设我们有一个三角形ABC，其中AB = 8 cm，BC = 10 cm，AC = 6 cm。
我们需要计算连接角A的两边中点并延长至BC上的点的距离。
首先，我们需要求出BC上的中点，记为D。
根据三角形三边长度关系，我们可以使用以下公式来求得BC上的中点D的坐标：D的x坐标 = (B的x坐标 + C的x坐标) / 2D的y坐标 = (B的y坐标 + C的y坐标) / 2假设B的坐标为(Bx, By) = (0, 0)，C的坐标为(Cx, Cy) = (10, 0)。
代入上述公式，可得到D的坐标为(Dx, Dy) = (5, 0)。
接下来，我们需要计算点D与对边BC之间的距离。
根据两点间距离公式，我们可以使用以下公式来计算：距离= √[(Dx - Cx)² + (Dy - Cy)²]代入已知值，可得到距离= √[(5 - 10)² + (0 - 0)²] = √[25 + 0] =√25 = 5 cm。
根据三等分角线长度定理，我们可以得出结论：在三角形ABC 中，连接角A的两边中点并延长至BC上的点与对边之间的距离等于BC长度的一半，即5 cm。
这个例子说明了三等分角线长度定理在实际问题中的应用。
无论给定的三角形的具体形状和大小如何，只要按照规定的方法求得角线的长度，都可以得出一致的结论。
总结起来，三角形三等分角线长度定理是一个重要的几何定理，它可以帮助我们在解决三角形相关问题时更加便捷地计算角线的长度。
通过理论分析和实例证明，我们可以清晰地理解这一定理的应用方法和实际意义，进而更好地运用于实际生活中的几何问题中。
三等分线段
三等分线段方法一：过线段AB一端点做射线AO，依次截取三段等长线段AM MN NL，连接LB 过M N 做平行与LB直线交AB与 X YX Y为等分点。
方法二：将线段转成一三角形的一条中线再画做AB边的中垂线（这步不用说明吧）交AB 于M，连MC交AO于N（N即是ABC重心），AO=3NO。
方法三：有一种佘氏尺规法。
方法四：线段AB，过A点做直线与AB夹60度，做角平分线AC，角CAB为30度，过B 做垂线交AC与C，平分角ACB交AB于D，则AB=√3DB。
方法五（本人补充）：已知线段AB，以AB为对角线作出平行四边形ACBD，作AC边与BD边的中点E 与F，连接DE与CF，可三等分AB（利用相似，其实做的练习中就有这样的图形）方法六：已知线段AB，过点A与B做一组不与AB重合平行线 j 与 k ，在相似方法做线段等分k 上截取一点E，做为一倍长，在AB与E的异侧直线 j 上，用尺规作图截取2倍BE长度AF，连接FE可三等分AB。
在AB与E的异侧直线 j 上，用尺规作图截取n倍BE长度AF'，连接F'E可（n+1）等分AB。
针对三等分线段不要用这种很大众的解决方法，这个N等分都没关系的，没有针对性以分割AB三等分为列子以AB为边做一个三角形ABC取BC中点D，连接AD取AD中点O,连接CO并延长与AB相交于E取BE中点F这样E、F就是AB的三等分点这个可以被证明的，比做平行线要准的多，方法七：已知线段AB，作射线AP垂直于AB，从点B开始，以3AB长为半径画弧，交AP于点C，连接BC。
∵BC=3AB，∴可以轻易得到BC的三等分点M'，N'。
根据三角形相似原理，如果作M'M⊥AB，N'N⊥AB，那么M和N就是AB的三等分点方法七[1]方法八：1：以线段端点A为圆心，端点B为半径，作圆弧R。
2：将线段AB作二等份，求得线段AB的中点C。
3：作垂直于线段AB，且垂直于C点的直线Y；4：直线Y与圆弧R相交，得交点T；5：连接端点A，端点T，得线段AT；6：连接端点B，端点T，得线段BT；7：将线段AT作二等份，求得线段AT的中点D。
三等分线段
尺规作图三等分线段
-------宋华光三等分线段在生活要运用时，只能选取特殊长度，如3米；3厘米；1.8米等…即长度数量的数能被3除尽的，要么就是取个大概。
下面我有两种方法讲将任意一条线段平分成三段。
由此，可以得到6等分、9等分、12等分等等。
步骤：
1、作线段AB的A端（或B端）的垂线，垂足为B(或A）;
2、在垂线上任意取一点C点，以BC(或AC）为半径、B(或A）点为圆心画弧交垂线于D点；
3、延长（或不延长）AB（或BA），以CD为半径，D点（或C点）为圆心画弧交AB（或BA，或延长线）上一点E，连接DE和CE；得三角形DEC为等边三角形。
4、平移DE，线段DE交AB于A（或B）点，交垂线于G 点；平移CE交AB于A(或B）点，交垂线于F点。
得三角形AGF（BGF）为等边三角形。
作角AGF（BFG）的平分线交AB于H点，再二等分AH;线段AH中点为I点。
这样就将线段AB三等分了，即AI=IH=HB(或AI+IH+HB=AB)。
作法1：
证明：
∵三角形AGF 为等边三角形；线段GH 分别为角AGF 的平分线；直线CD 为AB 的垂线 ∴角BAG= 角AGH=角BGH=30°
AH=GH, BH=1/2GH=1/2AH
∵I 点为AH(BH)的二等分点
∴AI=HI ∴BH=HI=AI
证明：
∵三角形BGF为等边三角形；线段FH分别为角BFG 的平分线；直线CD为AB的垂线
∴角ABG= 角BFH=角AFH=30°
BH=FH , AH=1/2FH=1/2BH
∵I点为BH的二等分点
∴BI=HI
∴AH=HI=IB。