第2章-线性系统的数学模型
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第2章 自动控制系统的数学模型
二、一阶惯性环节（一阶滞后环节）
1、数学表达式 ：
2、特点 一阶惯性环节含有一个储能元件，输入 量的作用不能立即在输出端全部重现出来， 而是有一个延缓，即有惯性。 3、实例
例2-2 如图2-2所示的RC串联电路，以总电压ur 为输入，电容上电压uC为输出，试建立其微分方程。
图2-2 RC网络
解（1）确定系统的输入、输出变量，如图已知ur为输入，电 容电压uC为输出； （2）列微分方程组： 由基尔霍夫第二定律有： uR +uC =ur ① 由欧姆定律有： uR=R i ② 1 由电容充放电特性，有：uC= ∫idt ③ c （3）消去中间变量
n υ 他激直流电动
五、振荡环节（二阶滞后环节）
1、自动控制原理的研究对象是自动控制系统 的基本结构，这是本章的重点，要求通过实例掌 握自动控制系统各组成部分及其功能。 2、经典控制理论讨论的是按偏差进行控制的 反馈控制系统，应该了解其控制的目的、控制的 对象和控制的过程；熟悉对控制系统动态性能的 基本要求，即稳、快、准；为进一步掌握控制系 统的性能指标打好基础。
d n c(t ) d n 1c(t ) dc(t ) a0 a1 a n 1 a n c(t ) n n 1 dt dt dt d m r (t ) d m 1 r (t ) dr (t ) b0 b1 bm 1 bm r (t ) m m 1 dt dt dt
第2章 线性系统的数学模型
第2章 线性系统的数学模型
六、纯滞后环节（纯延迟环节）
表达式： c(t)=r(t-τ) 特点：输出比输入滞后一个时间τ。 实例：延时继电器。
2-2 传递函数
传递函数是线性定常连续系统最重要的数 学模型之一，是数学模型在复频域内的表示形 式。利用传递函数，不必求解微分方程就可以 求取初始条件为零的系统在任意形式输入信号 作用下的的输出响应，还可以研究结构和参数 的变化对控制系统性能的影响。经典控制理论 的主要研究方法——根轨迹分析法和频域分析 法都是建立在传递函数基础上的。
自动控制原理课件2
Tm
GD 2 R 375 cecm
uf Kfn
K f 反馈电压和转速之间的 比例系数
（3）消去中间变量得直流调速系统的动态微分方程
1 T d T K m kd d 2 n 2t 1 T m K kd d n tn ( 1 K K r k )C eU g
其中 Kr K1K 为s正向通道电压放大系数
R(S)
E(S)
G(S)
-
B(S)
H(S)
Y(S)
2.结构图的组成： （1）信号线：带箭头的直线，箭头表示信号传递方向。 （2）引出点（分离点）：表示信号引出或测量的位置。 （3）比较点（相加点）：对两个以上信号加减运算。 （4）方框：方框图内输入环节的传递函数。
3 .动态结构图的绘制步骤： （1）确定系统输入量与输出量。 （2）将复杂系统划分为若干个典型环节。 （3）求出各典型环节对应的传递函数。 （4）作出相应的结构图。 （5）按系统各变量的传递顺序，依次将各元件的结构图连接起来。
二、结构图的简化法则 常用的结构图变换方法可归纳为两类：一类是环节的合并，另一类是信号的分支点或相
加点的移动。 结构图的变换必须遵循的原则是：变换前后的数学关系保持不变，因而也称为结构图的
等效变换。
（一）环节的合并 法则一 环节串联，传递函数相乘。
法则二 环节并联，传递函数相加。
法则三 反馈连接的等效传递函数。
（6）延迟环节 （时滞环节、滞后环节） 特点：输出信号经过一段延迟时间τ 后，可完全复现输入信号。
y(t)/r(t)
0τ
r(t) y(t)
t
G(s) es R(s) e s Y(s)
2.4 系统动态结构图
一、概念 1.动态结构图：是描述系统各组成元件之间信号传递关系的数学图形，它 表示了系统的输入输出之间的关系。
自动控制原理课件 第二章 线性系统的数学模型
c(t ) e
dt Leabharlann t
c( s )
g ( ) r ( ) d e s ( ) d 0 0 g ( )e s r ( )e s d d 0 0
0
g ( )e
5) 闭环系统传递函数G(s)的分母并令其为0，就是系统的特征方 程。
• 涉及的是线性系统 非线性系统必须 进行线性化处理
§2-6 信号流程图
系统很复杂，为方便研究，也为了与 实际对应，通常将复杂系统分解为 若干典型环节的连接
数学模型的定义 数学模型： 描述系统变量间相互关系的动态性能的运动方程 建立数学模型的方法：
解析法: 依据系统及元件各变量之间所遵循的物理或化学规律列写出相 应的数学关系式，建立模型。 自动控制系统的组成可以是电气的，机械的，液压的，气动的等等，然 而描述这些系统的数学模型却可以是相同的。因此，通过数学模型来研 究自动控制系统，就摆脱了各种类型系统的外部关系而抓住这些系统的 共同运动规律，控制系统的数学模型是通过物理学，化学，生物学等定 律来描述的，如机械系统的牛顿定律，电气系统的克希霍夫定律等都是 用来描述系统模型的基本定律。 实验法: 人为地对系统施加某种测试信号，记录其输出响应，并用适当 的数学模型进行逼近。这种方法也称为系统辨识。 数学模型的形式 时间域： 复数域： 频率域： 微分方程 差分方程 传递函数 结构图 频率特性 状态方程
1 例1 : F ( s) ( s 1)(s 2)(s 3) c c c 1 2 3 s 1 s 2 s 3
1 1 c1 [ ( s 1)]s 1 ( s 1)(s 2)(s 3) 6 1 1 c2 [ ( s 2)]s 2 ( s 1)(s 2)(s 3) 15 1 1 c3 [ ( s 3)]s 3 ( s 1)(s 2)(s 3) 10 1 1 1 1 1 1 F ( s) 6 s 1 15 s 2 10 s 3 1 1 1 f (t ) e t e 2t e 3t 6 15 10
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【答案】C
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二、填空题
1．系统的微分方程是 输入量，该系统是______。[南京邮电大学研]
其中 c（t）为输出量，r（t）为
【答案】线性系统
【解析】由于系统的微分方程中没有交叉项，也没有高于一次的项，满足线性系统要
即
于是该系统的传递函数模型为
10．由运算放大器组成的控制系统模拟电路如图 2-7 所示，求闭环传递函数 [中科院研]
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图 2-7 解：设第一个运算放大器的输出电压为 ，第二个运算放大器的输出电压为 ，则可 以得到：
求，为线性系统。
2．函数
的拉氏变换式是______。[华南理工大学 2006 年研]
【答案】3/(s＋6)
3．积分环节的传递函数表达式为 G(s)=______。[华南理工大学 2006 年研] 【答案】
三、计算题 1．试判断下列用微分方程描述的系统是线性系统还是非线性系统？[大连理工大学研]
解：（1）线性系统； （2）非线性系统； （3）非线性系统； （4）非线性系统。
解：（1）
图 2-3
6．已知 解：
，求
[大连理工大学研]
7．某系统如图 2-4 所示，已知： 研]
，试确定
[大连理工大学
解：由
图 2-4 在零初始条件下两边同时拉普拉斯变换并整理得
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8．设定描述系统的微分方程。图 2-5 中 B 是阻尼器摩擦因数， 是弹簧的弹性系
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二、填空题
1．系统的微分方程是 输入量，该系统是______。[南京邮电大学研]
其中 c（t）为输出量，r（t）为
【答案】线性系统
【解析】由于系统的微分方程中没有交叉项，也没有高于一次的项，满足线性系统要
即
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2．函数
的拉氏变换式是______。[华南理工大学 2006 年研]
【答案】3/(s＋6)
3．积分环节的传递函数表达式为 G(s)=______。[华南理工大学 2006 年研] 【答案】
三、计算题 1．试判断下列用微分方程描述的系统是线性系统还是非线性系统？[大连理工大学研]
解：（1）线性系统； （2）非线性系统； （3）非线性系统； （4）非线性系统。
解：（1）
图 2-3
6．已知 解：
，求
[大连理工大学研]
7．某系统如图 2-4 所示，已知： 研]
，试确定
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自动控制理论_哈尔滨工业大学_2 第2章线性系统的数学模型_(2.4.1) 典型环节的传递函数PPT
0
t
积分环节在单位阶跃输入下的响应
例：积分器
i2
C
ui R
_
i1
uo
+i1 i2Fra bibliotek1 Rui
(t)
C
d dt
u0
(t )
uo
(t)
1 RC
ui (t)dt
G(s) Uo (s) 1 1 Ui (s) RC s
二、几种典型环节的数学模型
4.微分环节
c(t) d r(t)
斜率1/T
0τ
t
例： • 汽车加速、火箭升空； ——作用力和输出速度
• 加热系统； ——加热量和温度变化
• 励磁回路； ——输入电压和励磁电流
惯性大小用τ来量度。 ——τ越大，接近目标值越慢 ，惯性越大；τ越小，接近 目标值越快，惯性越小。
几乎任何物理系统都包含 大大小小的惯性。
二、几种典型环节的数学模型
滞后环节
二、几种典型环节的数学模型
1.比例环节
y(t) Ku(t)
G(s) Y(s) K U (s)
K——称为比例系数或放大系数，也称为环节的增益，有量纲。
输出量无失真、无滞后、成比例地复现输入。
• 无弹性变形的杠杆；
——作用力和输出力
• 忽略非线性和时间迟后的运算放大器；
——比例放大器的输入电压和输出电压
τ＝RC—时间常数
当 r(t) 1(t) 时， R(s) 1
s
Y(s) s 1 1 s 1 s s 1
t
y(t) e
t=0时，输出幅值为1；
t→∞时，指数衰减至0。
二、几种典型环节的数学模型
机械工程控制基础课件 第2章： 系统的数学模型
统，而闭环控制系统则是指系统中存在反馈环节的控制系统。
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
控制系统的状态空间模型
要点一
总结词
控制系统的状态空间模型
要点二
详细描述
状态空间模型是一种描述控制系统动态行为的数学模型， 它通过建立系统的状态方程和输出方程来描述系统的动态 特性。在状态空间模型中，系统的状态变量、输入变量和 输出变量都被表示为矩阵和向量的形式，从而能够方便地 描述系统的动态行为。状态空间模型具有直观、易于分析 和设计等优点，因此在控制工程中得到了广泛应用。
传递函数模型的求解
通过求解传递函数模型中的代数方程或超 越方程，得到系统在给定输入下的输出响 应。
04
控制系统的数学模型
控制系统的定义与分类
总结词
控制系统的定义与分类
详细描述
控制系统的定义是：控制系统是一种能够实现自动控制和调节的装置或系统，它能够根 据输入信号的变化，自动调节输出信号，以实现某种特定的控制目标。控制系统可以分 为开环控制系统和闭环控制系统两类。开环控制系统是指系统中没有反馈环节的控制系
状态空间模型的求解
通过数值计算方法求解状态空间模型中的微分方程或差分方程，得到 系统状态变量的时间响应。
非线性系统的传递函数模型
总结词
传递函数模型的建立、性质和求解
传递函数模型的性质
传递函数模型是非线性的，具有频率响应 特性，可以描述系统在不同频率下的行为
特性。
传递函数模型的建立
通过拉普拉斯变换将非线性系统的微分方 程或差分方程转换为传递函数的形式，从 而建立非线性系统的传递函数模型。
03
非线性系统的数学模型
非线性系统的定义与性质
总结词
非线性系统的定义、性质和特点
非线性系统的定义
自动控制原理 线性系统的数学模型传递函数
(5)传递函数分母多项式的阶次总是大于或等于分子
多项式的阶次，即n≥m。这是由于实际系统的惯性
所造成的。系数为实数。
6/47
§2.3 传递函数
(6)传递函数与微分方程有相通性。把微分方程
中的
d dt
用s代替就可以得到对应的传递函数。
(7)传递函数G(s)的拉氏反变换是脉冲响应g(t)。
(8)传递函数分母多项式称为特征多项式，记为
K1 R
14/47
§2.3 传递函数
3. 积分环节
输出量正比于输入量的积分的环节称为积分 环节，其动态特性方程：
c(t) 1
t
r(t)dt
Ti 0
其传递函数： G(s) C(s) 1 R(s) Ti s
式中Ti为积分时间常数。
15/47
§2.3 传递函数
积分环节的单位阶跃响应为： C(t) 1 t Ti
§2.3 传递函数
4. 微分环节
理想微分环节的特征输出量正比于输入量的
微分，其动态方程
c(t)
Td
dr(t) dt
其传递函数
G(s)
C(s) R(s)
Td
s
式中Td称微分时间常数
它的单位阶跃响应曲线 c(t) Td (t)
它随时间直线增长，当输入突然消失，积分停止， 输出维持不变，故积分环节具有记忆功能，如图所 示。
16/47
§2.3 传递函数
上图为运算放大器构成的积分环节，输入ui(t)，输 出u0(t)，其传递函数为
G(s) U0 (s) 1 1 Ui (s) RCs Ti s
式中Ti = RC
17/47
9/47
§2.3 传递函数
2.2.3 典型环节的传递函数
第二章控制系统数学模型
s s 后，再求 F (s) 的极限值来求得。条件是当 t 和s 0时，等式两边各
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
有极限存在。
终值定理在分析研究系统的稳态性能时(例如分析系统的稳态误差，求取系统
输出量的稳态值等)有着很多的应用。因此终值定理也是一个经常用到的运算
定理。
7.初值定理： lim f (t) lim sF (s)
18
2
例2-1：写出RLC串联电路的微分方程。
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri
1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
由②： i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
3
例2-2 设一弹簧、质量块、阻尼器组成的系统如图所示，当外力 F(t)作用于系统时，系统将产生运动。试写出外力F(t)与质量块的 位移y(t)之间的微分方程。
uR uc Us
把 uR i R
和
ic
C
duc dt
代入电路，可得到电路的
微分方程：
RC
duc dt
uc
Us
23
现在对于上面的微分方程，我们用Laplace变换求解。
首先，利用Laplace变换中的微分定理，将微分方程变换成如下形式：
RC
duc dt
uc
Us
RCsU c (s) Uc (s) Us R(s)
利用待定系数法可求得：
A 1 ARC B 0
F (s) L[ f (t)] f (t)e st dt 0
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⑶ f (t)est dt 。 0
F(s) —象函数，f(t) —原函数。
记f (t) L1[F (s)]为反拉氏变换。
14
复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f(t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f(0)
第 2 章 线性系统的数学模型
1
本章的主要内容
2.1 控制系统的微分方程-建立和求解 2.2 微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图（结构图） 2.5 信号流图-梅逊公式 补充：各种数学模型的相互转换
2
概述
概述
[数学模型]：描述控制系统输入、输出变量及内部各变量之间 动态关系的数学表达式。 [建立方法]：解析法和实验法 常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图， 频率特性以及状态空间描述等。
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f(t)dt]源自F (s) s⑷时滞定理：L[ f (t T )] e st f (t T )dt esT f (s) 0
⑸初值定理：lim f (t) lim sF (s)
。
则y可0 近f似(x为10：, x20 )
y K1x1 K2x2
式中：x x1 ，x10 x2。 x2 x20
为K与1 工xy作1 |xx点12xx1有200 , K关2 的 常xy2数|xx12。xx1200
12
线性系统微分方程的编写步骤
线性系统微分方程的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
Fk
F kx
m
m
f
x
fx
mx
图1
图2
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力分 析图。图中，m为质量，f 为粘性阻尼系数，k为弹性 系数。
6
相似系统
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m [讨论]：相似系统
建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最 重要的一步。
3
2.1 线性系统的微分方程
4
控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循 的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学 中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
[例1]：写出RLC串联电路的微分方程。
dy dx
| x x0
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。
11
非线性环节微分方程的线性化
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附
近展开。设双变量非线性方程为：y f (x1,，x2工) 作点为
注意到:例1和例2的微分方程形式是完全 一样的。
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
7
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
8
2.2 微分方程的线性化（选）
13
复习拉氏变换
复习拉氏变换 ①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：
F (s) f (t)estdt,式中s为复数。记作 F(s) L[ f (t)] 0
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： ⑴t<0时，f(t)=0； ⑵t≥0时，f(t)分段连续；
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri 1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
5
控制系统的微分方程
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
[例2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
y
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
f
(x0 )
df (x) dx
| x x0
y0
(x x0 )
y0
y0
1 df 2(x) 2! dx2
| x x0
(x
x0 )2
...
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
若 x很小，则 y
y0
dy dx
| x x0
(x x0 ) ，即y
9
非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在
经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程
应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大
的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可
在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到
t 0
s
15
复习拉氏变换
⑹终值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
⑺卷积定理：L[
t 0
f1 (t
)
f2 ( )d ]
F1(s)F2 (s)
③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数：f (t) 1(t), F(s) 1
单位脉冲函数：F
(s)
L[
(t)]
s
1
单单正位位弦斜抛函坡物数函线：f数函(t)：数 ：fs(intf)(tt),t,FF12((sts)2),Fs(s12s2)s123
等效的线性环节。
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若取某一平衡状态为工作点， 图，A(附x0,近y0有) 点为
如y0 y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段
B y f (x) A
可近似看做线性的。
0 x0 x0 x x
10
非线性环节微分方程的线性化
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，
F(s) —象函数，f(t) —原函数。
记f (t) L1[F (s)]为反拉氏变换。
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复习拉氏变换
②性质：
⑴线性性质：L[f1(t) f2 (t)] F1(s) F2 (s)
⑵微分定理：L[ f(t)] sF (s) f (0)
L[ f(t)] s2F (s) sf (0) f(0)
第 2 章 线性系统的数学模型
1
本章的主要内容
2.1 控制系统的微分方程-建立和求解 2.2 微分方程的线性化 2.3 传递函数 2.4 方框图（结构图） 2.5 信号流图-梅逊公式 补充：各种数学模型的相互转换
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概述
概述
[数学模型]：描述控制系统输入、输出变量及内部各变量之间 动态关系的数学表达式。 [建立方法]：解析法和实验法 常用的数学模型有微分方程，传递函数，结构图，信号流图， 频率特性以及状态空间描述等。
L[ f (n) (t)] sn F (s) sn1 f (0) sn2 f(0) ... f (n1) (0)
⑶积分定理：（设初值为零）
L[
f(t)dt]源自F (s) s⑷时滞定理：L[ f (t T )] e st f (t T )dt esT f (s) 0
⑸初值定理：lim f (t) lim sF (s)
。
则y可0 近f似(x为10：, x20 )
y K1x1 K2x2
式中：x x1 ，x10 x2。 x2 x20
为K与1 工xy作1 |xx点12xx1有200 , K关2 的 常xy2数|xx12。xx1200
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线性系统微分方程的编写步骤
线性系统微分方程的编写步骤： ⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。 ⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理 的方程。 ⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小 的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。 ⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部 件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关 系的微分方程。
Fk
F kx
m
m
f
x
fx
mx
图1
图2
[解]：图1和图2分别为系统 原理结构图和质量块受力分 析图。图中，m为质量，f 为粘性阻尼系数，k为弹性 系数。
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相似系统
根据牛顿定理，可列出质量块的力平衡方程如下： mx fx kx F
这也是一个两阶定常微分方程。X为输出量，F为输入量。 在国际单位制中，m,f和k的单位分别为：kg, N.s / m, N / m [讨论]：相似系统
建立控制系统的数学模型是对系统进行分析的第一步也是最 重要的一步。
3
2.1 线性系统的微分方程
4
控制系统的微分方程
微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循 的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学 中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。
[例1]：写出RLC串联电路的微分方程。
dy dx
| x x0
x
Kx
式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，
是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工 作点附近展开。
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非线性环节微分方程的线性化
对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附
近展开。设双变量非线性方程为：y f (x1,，x2工) 作点为
注意到:例1和例2的微分方程形式是完全 一样的。
可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系 统也可以有相同形式的数学模型。
7
[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。 [作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟 相对复杂的系统，实现仿真研究。
8
2.2 微分方程的线性化（选）
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复习拉氏变换
复习拉氏变换 ①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定 义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：
F (s) f (t)estdt,式中s为复数。记作 F(s) L[ f (t)] 0
一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是： ⑴t<0时，f(t)=0； ⑵t≥0时，f(t)分段连续；
ui
L
R
i
C
uo
ui 输入
uo 输出
[解]：据基尔霍夫电路定理：
L di dt
Ri 1 C
idt
ui
①
uo
1 C
idt
②
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控制系统的微分方程
由②：i C d，uo代入①得： dt
LC
d 2uo dt 2
RC
duo dt
uo
ui
这是一个线性定常二阶微分方程。
[例2] 求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输 入量为外力F，输出量为位移x。
y
则将函数在该点展开为泰勒级
数，得：y
f
(x0 )
df (x) dx
| x x0
y0
(x x0 )
y0
y0
1 df 2(x) 2! dx2
| x x0
(x
x0 )2
...
0
B y f (x) A
x0 x0 x x
若 x很小，则 y
y0
dy dx
| x x0
(x x0 ) ，即y
9
非线性环节微分方程的线性化
若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应
的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在
经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程
应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大
的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可
在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到
t 0
s
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复习拉氏变换
⑹终值定理：lim f (t) lim sF (s)
t
s0
⑺卷积定理：L[
t 0
f1 (t
)
f2 ( )d ]
F1(s)F2 (s)
③常用函数的拉氏变换：
单位阶跃函数：f (t) 1(t), F(s) 1
单位脉冲函数：F
(s)
L[
(t)]
s
1
单单正位位弦斜抛函坡物数函线：f数函(t)：数 ：fs(intf)(tt),t,FF12((sts)2),Fs(s12s2)s123
等效的线性环节。
设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)， y
若取某一平衡状态为工作点， 图，A(附x0,近y0有) 点为
如y0 y0
y0
B(x x, y y)，当 x很小时，AB段
B y f (x) A
可近似看做线性的。
0 x0 x0 x x
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非线性环节微分方程的线性化
设f(x)在 A(x0, y0 )点连续可微，