次序统计量与百分位点的区间估计
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3-次序统计量
F ( z ) F ( y )
j i 1
n k
( X (1) , X ( 2 ) ,, X ( n ) )的联合密度函数为
p( n ) ( y1 , y2 ,, yn ) n! p( y1 ) p( y2 ) p( yn ), y1 y2 yn
二、与次序统计量相关的常用统计量
样本中位数m0.5的渐近分布为
m0.5
1 ~ N x , 0 . 5 2 4 n p ( x ) 0.5
例5 设总体分布为柯西分布 ，密度函数为
1 p( x; ) , x 2 (1 ( x ) )
若X 1 , X 2 ,, X n 来自该总体的样本，求 样本中位数 的渐近分布.
1、样本均值 X 总体均值
估计
2、样本中位数 估计 总体中位数
样本均值容易受离群值 的干扰，离群值会把样 本 均值拉向自己一侧，而 样本中位数不受此害 .
若有离群值时，可用截 尾均值代替样本均值 . 何为截尾均值？ 把样本排序，并截去两 端一定比例的样本后求 得的 其余值的平均 .
m0.25 x([290.251]) x(8) 60
m0.5 x(15) 67 m0.75 x([290.751]) x(22) 73
五值 18 , 60 , ,67 , ,73 , 97
箱线图
18
60 67 73
97
1、样本中位数 设x(1) ,x(2) , , x( n) 是有序样本，则样本中 位数m0 .5为
m0 .5 x n 1 , n为奇数; ( ) 2 1 ( x n x n ), n为偶数. ( 1) 2 2 (2)
次序统计量计算次序统计量和进行排序
次序统计量计算次序统计量和进行排序次序统计量是在统计学中常用的概念，它用来描述样本中的特定数值在排序后的位置和相对大小。
在数据分析和排序算法中，次序统计量的计算和排序是十分重要的步骤。
本文将介绍次序统计量的概念、计算方法以及在排序中的应用。
一、次序统计量的概念次序统计量是指样本中第k个小的观测值，其中k可以是任意正整数（1 ≤ k ≤ n）。
当k=1时，次序统计量即为最小值；当k=n时，次序统计量即为最大值。
通过计算次序统计量，我们可以得到样本中某一特定百分位数的值，例如中位数、四分位数等。
二、次序统计量的计算方法计算次序统计量的方法有多种，下面介绍两种常见的方法。
1. 快速选择算法快速选择算法是一种高效的计算次序统计量的方法。
它基于快速排序算法的思想，在每次划分过程中只选择其中一个子序列进行递归。
通过不断地划分和比较，最终可以找到第k个小的观测值。
快速选择算法的时间复杂度为O(n)，是一种较快的计算次序统计量的方法。
2. 堆排序算法堆排序算法是另一种常用的计算次序统计量的方法。
它通过构建最小堆或最大堆的数据结构，每次取出堆顶元素并重新调整堆的结构，直到找到第k个小的观测值。
堆排序算法的时间复杂度为O(nlogn)，虽然较快速选择算法慢一些，但在实际应用中仍然具有较好的性能。
三、次序统计量在排序中的应用次序统计量在排序中有着广泛的应用。
以下是两个常见的应用场景。
1. 快速排序算法快速排序算法是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的概念进行排序。
快速排序算法通过选择一个枢轴元素，将序列分成左右两部分，并通过递归地对左右子序列进行排序，最终将整个序列有序化。
在每次排序过程中，通过求解次序统计量的值来确定枢轴元素的位置，从而实现排序。
2. 堆排序算法堆排序算法也是一种常用的排序算法，它利用次序统计量的计算方法进行排序。
通过构建最小堆或最大堆的数据结构，并依次取出堆顶元素，可以实现将序列有序化的过程。
在每次取出堆顶元素时，通过计算次序统计量的值来确定堆顶元素的位置，从而实现排序。
概率与统计中的点估计与区间估计
概率与统计中的点估计与区间估计概率与统计是一门应用广泛的学科，通过对数据的收集、整理和分析，可以得到对现实世界的认知和预测。
在概率与统计中，点估计与区间估计是两个重要的概念，它们在估计参数值和确定参数范围上起到了关键的作用。
一、点估计点估计是利用样本数据来估计总体参数值的方法。
总体是研究对象的全体，而样本是总体的部分表现。
通过对样本数据的分析，我们可以得到对总体特征的估计值。
点估计的目标是找到一个统计量，使得它的期望值等于待估参数，即使得样本平均值等于总体均值、样本方差等于总体方差。
点估计的常见方法有最大似然估计和矩估计。
最大似然估计是在给定样本下，选择参数值使得观测到的样本出现的概率最大化。
而矩估计是利用样本矩和总体矩之间的关系，通过求解方程来得到参数的估计值。
这两种方法在实际应用中具有很好的性质和效果。
二、区间估计区间估计是对总体参数的取值范围进行估计。
与点估计不同，区间估计提供了参数可能的取值范围，而不仅仅是一个估计值。
通过给出置信区间，我们可以以一定的置信水平确定参数的范围。
在区间估计中，置信水平是一个很重要的概念。
置信水平是指在重复抽样的情况下，估计参数的置信区间包含真实参数的比例。
常见的置信水平有95%和99%，其含义是在100次重复抽样中，有95次（99次）的置信区间包含真实参数值。
确定置信区间的方法有多种，其中最常见的是基于正态分布的方法。
当样本容量较大时，根据中心极限定理，可以使用正态分布近似总体分布，以样本统计量的抽样分布来确定置信区间。
此外，还有基于t分布的方法，对于小样本情况，使用t分布更准确。
三、点估计与区间估计的关系点估计与区间估计是概率与统计中密切相关的两个概念。
它们相辅相成，点估计提供了参数的单个估计值，而区间估计提供了参数的取值范围。
点估计通常是区间估计的基础，通过点估计得到的估计值可以用于构建置信区间。
比如，当我们对某总体的均值进行点估计时，可以使用样本均值作为参数的估计值，并结合样本标准差构建置信区间。
概率论与数理统计-第6章-第4讲-区间估计
5
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
02 求置信区间的步骤
例 设X1,…Xn 是取自 N (, 2 ) 的样本， 2已知,
求参数 的置信水平为 1 的置信区间.
明确问题：求什么参数的置信区间?置信水平是多少？
解 选 的点估计为 X
寻找未知参数的
取 U X N (0,1) 一个良好估计 n
u
2} 1
1
为什么 这样取？
u
u
2
2
8
02 求置信区间的步骤
从中解得
P{|
X
n
|u2}源自1P{Xn u 2
X
n
u
2}
1
于是所求 的 置信区间为
[X
n u 2 ,
X
n u
2]
也可简记为 X n u 2
从例题的过程，我们归纳出求置信区间的
一般步骤如下:
1
u
u
2
2
9
02 求置信区间的步骤
求置信区间的步骤
10
本讲内容
01 置信区间定义 02 求置信区间的步骤 03 几点说明
03 几点说明
1. 要求 θ 以很大的可能被包含在 [θˆ1, θˆ2 ]
内，P(ˆ1 ˆ2 ) 1 要尽可能大.
即要求估计尽量可靠. 2. 估计的精度要尽可能的高. 如要求区间
长度 θˆ2 θˆ1 尽可能短.
置信度与精度是一对矛盾，当样本容 量固定时，置信度越高，则精度越差.
u
u
2
2
区间的长度为 2u —— 达到最短
2n
14
03 几点说明
特别说明
即使在概率密度不对称的情形，如
次序统计量统计课件
1 i1
j ! F y F zn j
i1
f y
f
z
,
0
a yzb 其他
例 设总体Xห้องสมุดไป่ตู้密度函数
f
x
2x
0
0 x 1 其他
X 1 X 2 X 3 X 4为从X取出的容量为4的样本
的次序统计量.求X 3的密度函数g3x,分布函数G3x,
及P
X 3
1 2
.
解
X的分布函数为
0
F x x2
y
y y
z z z
每个分量落入
a, y的概率为F( y),
y, y y 的概率为f yy
y y, z 的概率为F(z) F( y y)
z, z z 的概率为f (z)z
z z, b 的概率为1 F(z z)
X i Xj
y, z,
y z
y z
的概率为gij
y,
zyz
gij y, z
z
z
y
y
当a y z b时,
gij
y,
z yz
i
1!1!
j
n!
i 1!1!n
j!F yi1
F z F y yji 1 1 F z zn j f y f zyz
当y 0, z 0时, Fy y Fy, Fz z Fz.
则
gij
y,
z
i 1! j
Fz F
n!
i
y j
1!n
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X 2
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
X 3
0 1 1 1 2 2 2 1 1 1
j ! F y F zn j
i1
f y
f
z
,
0
a yzb 其他
例 设总体Xห้องสมุดไป่ตู้密度函数
f
x
2x
0
0 x 1 其他
X 1 X 2 X 3 X 4为从X取出的容量为4的样本
的次序统计量.求X 3的密度函数g3x,分布函数G3x,
及P
X 3
1 2
.
解
X的分布函数为
0
F x x2
y
y y
z z z
每个分量落入
a, y的概率为F( y),
y, y y 的概率为f yy
y y, z 的概率为F(z) F( y y)
z, z z 的概率为f (z)z
z z, b 的概率为1 F(z z)
X i Xj
y, z,
y z
y z
的概率为gij
y,
zyz
gij y, z
z
z
y
y
当a y z b时,
gij
y,
z yz
i
1!1!
j
n!
i 1!1!n
j!F yi1
F z F y yji 1 1 F z zn j f y f zyz
当y 0, z 0时, Fy y Fy, Fz z Fz.
则
gij
y,
z
i 1! j
Fz F
n!
i
y j
1!n
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
X 2
0 0 0 0 0 0 0 1 1 1
X 3
0 1 1 1 2 2 2 1 1 1
掌握点估计和区间估计
2
二、掌握区间估计的方法
总体成数的估计区间：
（一）
区间估计的含义
区间估计就是把样本指标和抽样误差结合起来推算总体指标的可能范围，并给出总体指标落 在这个范围的概率保证程度。区间估计是抽样估计的主要方法。
区间估计的具体方法：在样本指标x（或 p ）的基础上，加减若干倍的抽样平均误差当作
置信区间，以此推断总体指标所在的可能范围，即
总体平均数的估计区间： x tx ≤ X ≤ x tx 总体成数的估计区间： p tp ≤ P ≤ p tp
3
区间估计必须同时具备3个要素：估计值、抽样极限误差和概率保证程度。抽
样误差范围决定抽样估计的准确性，概率保证程度决定抽样估计的可靠性，二者密切联系，但 同时又相互矛盾，所以，对估计的精确度和可靠性的要求应全面考虑。
在实际抽样调查中，区间估计根据给定的条件不同分为两种估计方法： ① 给定极限误差，要求对总体指标做出区间估计； ② 给定概率保证程度，要求对总体指标做出区间估计。
4
（二）
当总体服从正态分布且方差已知时，根据样本平均值求总体平均值的置信区 间
x x ≤ X ≤ x x，x
tx，x
n
x t ≤≤x t
n
n
例：某种零件的长度服从正态分布，从该批产品中随机抽取9件，测得它们的平均长度为
21.4毫米，已知总体标准差 毫米，试建立该种零件平均长度的置信区间，假定置信水平为0.95。
5
（三）
当总体服从正态分布且方差未知时，根据样本平均值求总体平均值的置信区 间6ຫໍສະໝຸດ 统计学基础统计学基础
一、掌握点估计的方法
点估计是不考虑抽样误差的参数估计，其基本特点：根据样本资料计算样本指标，再以样 本指标数值直接作为相应的总体指标估计值，即
次序统计量及其分布
y x3
1 8
0
20 y (1 y ) dy 7 20( z z )dz
3 3 4
8
1
7 4 7 5 5(1 ( ) ) 4(1 ( ) ) 0.1207 8 8
（二）多个次序统计量的联合分布
仅讨论任意二个次序统计量的情形。 定理 5-3-2 ：设总体 ξ 有密度函数 f (x) , a ≤x ≤b , （同样可设 a = - ∞, b = +∞ ) 。并且 ξ1 , ξ2 , … , ξn 是 取自这一总体的一个样本，则其任意两个次序统计 量 ξ (1) < ξ (2) 的联合分布密度函数为
pn ( x) n [1 F ( x)]
n 1
p( x)
(5-3-4)
推论2 ：最小次序统计量 x (1) 的概率密度函数为
p1 ( x) n [ F ( x)]n1 p ( x)
(5-3-5)
例 5-3-2 :设总体X 的密度函数为
p( x) 3x ,
2
0 x 1
§5.3 次序统计量及其分布
定义
定义 5-3-1: 设 X1 , X 2 , , X n 为取自总体X的样本， 将其按大小顺序排序 X (1) X (2) X ( n )
则称 X(k) 为第 k 个次序统计量( No.k Order Statistic) 特别地，称
X (1) min X i
现从该总体中抽得一个容量为 5 的样本，试计算
P( x(2)
1 ) 2
x 0; 0 x 1; x 1
解： 我们首先应求出 x (2) 的分布。由总体密度函数 不难求出总体分布函数为
0 , 3 F ( x) x , 1 ,
7.3 区间估计
对给定的 (0 1)，满足P 1 则称随机区间(， )是 置信区间，及 分别称为 置信下限和置信上限,1 称为置信水平.
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(1)
第7章
§7.3 区间估计
第2页
对给定的 (0＜＜1)，满足P{＜＜ }＝1
§7.3 区间估计
第4页
在概率密度为单峰且对称的情形，当c = d 时求得 的置信区间的长度为最短.
f (u )
0.95
ccc0Fra bibliotek95d d
u u
0.95
0
d
u
c=d
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第7章
§7.3 区间估计
第5页
当概率密度不对称的情形，如 2分布，F 分布，习惯 上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.
(1)
说明 : (1)式表示( , )包含未知参数的真值概率为 1－ , 如 0.05时，若从总体中抽得容量相同的 100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个 包含的真值，不包含 真值的区间只有5个。绝不 能理解为的真值落在( , )内的概率为1－！
显然，置信区间不唯一.
n
第6页
2 ( X ) 2 i 2 ~ 2 ( n) i 1
(n 1) S 2 2 ~ (n 1) 2
Φ(x)
1－α
Z
2
2.
P{| t | t a (n)} 1 P | U | u 1 2 2
2 P({ 2 (n) 2 (n)}) 1 1 2 2
第7章
§7.3 区间估计
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§7.3 区间估计
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对给定的 (0＜＜1)，满足P{＜＜ }＝1
§7.3 区间估计
第4页
在概率密度为单峰且对称的情形，当c = d 时求得 的置信区间的长度为最短.
f (u )
0.95
ccc0Fra bibliotek95d d
u u
0.95
0
d
u
c=d
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§7.3 区间估计
第5页
当概率密度不对称的情形，如 2分布，F 分布，习惯 上仍取对称的百分位点来计算未知参数的置信区间.
(1)
说明 : (1)式表示( , )包含未知参数的真值概率为 1－ , 如 0.05时，若从总体中抽得容量相同的 100个样本，则在确定的100个置信区间中将有95个 包含的真值，不包含 真值的区间只有5个。绝不 能理解为的真值落在( , )内的概率为1－！
显然，置信区间不唯一.
n
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2 ( X ) 2 i 2 ~ 2 ( n) i 1
(n 1) S 2 2 ~ (n 1) 2
Φ(x)
1－α
Z
2
2.
P{| t | t a (n)} 1 P | U | u 1 2 2
2 P({ 2 (n) 2 (n)}) 1 1 2 2
第7章
§7.3 区间估计
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29
(10,20)
(10,19)
(11,20)
0.90685 0.947521 0.924649 0.90686 0.936085 0.936085 0.90686 0.912877 0.936085 0.912877 0.924481 0924481 0.947761 0.901202 0.924481 0.9447761 0.901202 0.947761 0.912841 0.912841 0.938572 0.912841 0.938572 0.938572 0.901263 0.901263
表 3.3
( ) π 0.75 的次序统计量区间估计表___置信度∈ 0.90,0.95
-4-
n
(i, j)
p(Yi < π 0.75 < Y j )
n
(i, j)
p(Yi < π 0.75 < Y j )
10
(5,10)
0.923959
(15,23)
(9,15)
0.930016
26
(17,26)
0.90858
(8,14)
0.902519
(17,25)
0.903688
16
(10,16)
0.91042
(9,11)
23
(1,9)
(2,10)
(3,10)
0.923959 0.923437 0.913921
0.943911 0.930016 0.902519 0.915626 0.91042 0.909394 0.929054 0.90965 0.937502 0.937414 0.903588 0.941188 0.918315 0.940245 0.934762 0.904297 0.941475 0.924826 0.904847 0.919054 0.923628 0.910546 0.909842 0.929376 0.902339 0.947626 0.910018
0.942569 0.929244 0.901263 0.942569 0.929244
( ) 表 3.2 π 0.25 的次序统计量区间估计表___置信度∈ 0.90,0.95
n
(i, j)
p(Yi < π 0.25 < Y j )
n
(i, j)
p(Yi < π 0.25 < Y j )
10
(1,6)
1 n +1
.
可见,次序统计量 Y1 ≤ Y2 ≤ L ≤ Yn 把总体的概率密度曲线与横轴所围的面积分为
n + 1份，且每一份面积的期望值均相等。这个性质可在非参数统计中得到应用[2]。
3. 百分位点的估计
3.1 百分位点的概念及其点估计
定 义 2 设 ξ 是 连 续 型 随 机 变 量 ， 其 概 率 密 度 是 f (x) ， 若 有 实 数 π p 使 得
n
(i, j)
p(Yi < π 0.5 < Y j )
10
(2,8)
(3,9)
11
(3,9)
12
(2,9)
(3,9)
(4,10)
(4,11)
13
(3,10)
(4,11)
(4,10)
14
(3,10)
(4,11)
(5,12)
15
(4,11)
(5,12)
16
(5,12)
17
(5,12)
(6,13)
18
(4,13)
2. 次序统计量
设 ξ1,ξ2 ,L,ξn 是取自母体ξ 的一个子样。 x1, x2 ,L, xn 表示该子样的一组观测值。这
些观测值由小到大的排列用 x(1) , x(2) ,L, x(n) 表示，即 x(1) ≤ x(2) ≤ L ≤ x(n) .若其中有两个分
量 xi , x j 相等，则它们先后次序的安排是可以任意的。
=
(n + 1) p 为正整数,
则
r 可由此关系式确定。若 (n + 1) p 为非正整数，则可取 r =[(n+1)p]，这是 (n +1)p的取整值，
π p 的估计可由 Yr 与 Yr+1 的加权平均值确定，即πˆp =Yr +{(n+1)p−r}(Yr+1 −Yr) [3] .
特别当 p = 0.5 时，
0.936305
(4,10)
0.940181
(14,22)
0.938861
11
(6,11)
0.923423
(15,22)
0.905534
12
(7,12)
0.913921
25
(16,25)
0.927919
13
(16,24)
0.921646
14
(8,14)
0.943911
(15,23)
0.93822
15
11
(1,6)
12
(1,6)
13
14
(1,7)
15
(1,7)
(2,8)
(2,9)
16
(1,7)
(2,8)
(2,9)
17
(2,8)
(2,9)
18
(1,8)
(2,8)
(2,9)
19
(1,8)
(2,9)
20
(2,9)
(3,11)
21
(1,9)
(2,9)
(3,10)
(3,11)
22
(1,9)
(2,9)
(3,10)
若令 Yr = ξ(r ) , Z r = F (Yr ) 且 Y1 ≤ Y2 ≤ L ≤ Yn ， 则
E(Zr )
=
r ,r n +1
= 1,2,Ln .
推论
E[F (Yr
] − Yr−1 ) =
1 ，r n +1
=
2,L, n
.
特别
E[F (Y1)] =
1， n +1
E[1 −
F (Yn )] =
(7,15)
(7,16)
(8,17)
(8,16)
23
(7,16)
(8,17)
(8,16)
24
(7,16)
(8,17)
(9,18)
25
(8,17)
(9,18)
26
(8,18)
(8,17)
(9,18)
(9,19)
(10,19)
29)
28
(9,19)
(10,19)
(10,20)
(4,12)
(4,13)
(4,14)
30
(1,12)
(2,12)
(3,12)
(4,12)
(4,13)
0.935939 0.944332 0.936305 0.905534 0.938861 0.927919 0.921648 0.938222 0.90858 0.903688 0.934078 0.904344 0.946799 0.94299 0.926481 0.911778 0.931786 0.928823 0.915489 0.915453 0.911924 0.947686 0.901183 0.915462 0.938714 0.948849 0.949163 0.947377 0.938746 0.911892 0.940957
次序统计量与百分位点的区间估计
赵琳琳
河海大学数理系 江苏南京 （210098） E-mail ：Zhao555818@
摘要：本文给出了未知连续型总体百分位点的一种次序统计量的区间估计方法。首先介绍
次序统计量的定义及其概率密度函数和分布函数，然后介绍连续型随机变量的分布函数作为 随机变量的性质，来求得其分布函数变量取次序统计量时的期望值。发现次序统计量把总体 的概率密度曲线与横轴所围的面积分为 n+1 份，每份面积的期望值均相等。正是由于次序统 计量的这种性质，我们得出结论：可以用次序统计量来推求总体百分位点的区间估计。本文 在样本容量 10-30 的范围内，由次序统计量分别求出了 0.25、0.50、0.75 百分位点置信度 为 0.90-0.95 的置信区间，可供实际查用。另外，我们发现：当 n 充分大时，对于给定的置 信区间，利用次序统计量通过二项分布求出的置信度与通过正态分布求得的近似置信度偏差 很小。于是又得结论：当 n>20 时我们可以用正态分布来求得总体百分位点的近似置信区间。 关键词：次序统计量，百分位点，区间估计 中图分类号：查阅《中国图书馆分类法》
-3-
(7,16)
(7,15)
21
(6,15)
(7,16)
(7,15)
22
(6,15)
0.936432 0.921646 0.947521 0.947521 0.921646 0.924649
30
(9,20)
(10,20)
(11,20)
(11,22)
(11,21)
-2-
∑ p(Yi
<πP
< Yj) =
j k
−1 =i
⎜⎜⎝⎛
n k
⎟⎟⎠⎞
p
k
(1
−
p)n−k
= 1 − α , (1 ≤ i <
j ≤ n)
即得π p 的置信度为1 − α 的置信区间 (Yi ,Y j ) 。由观测值 x1, x2 ,L, xn 即可求得置信区间的
值 ( y i , y j ) ，其中 yi = x(i) 。为了计算方便起见，可先确定 r = (n + 1) p ，若 r = (n + 1) p 为 正整数，取下标对称的区间 (Yr−i ,Yr+i ) ，试算 i =1,L,min(n − r,r −1) 最后确定满足要求的区 间。若 r = (n + 1) p 为非正整数，r 分别取[(n + 1) p], [(n + 1) p] + 1即可。下面只对 n 从