章末检测卷(三)试卷及答案

章末检测卷(三)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)1．物体运动的方程为s ＝14t 4－3，则t ＝5时的瞬时速度为( ) A ．5B ．25C ．125D ．625答案 C解析 ∵v ＝s ′＝t 3，∴t ＝5时的瞬时速度为125.2．函数y ＝x 2cos x 的导数为( )A ．y ′＝2x cos x －x 2sin xB ．y ′＝2x cos x ＋x 2sin xC ．y ′＝x 2cos x －2x sin xD ．y ′＝x cos x －x 2sin x答案 A3．若f (x 0)存在且f ′(x 0)＝0，下列结论中正确的是( )A ．f (x 0)一定是极值点B ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极大值C ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0，那么f (x 0)是极小值D ．如果在x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0，那么f (x 0)是极大值答案 B解析 由题意得，若x 0附近的左侧f ′(x )>0，则x 0附近的左侧函数单调递增，同理x 0附近右侧函数单调递减，故f (x 0)为极大值．4．曲线y ＝－x 3＋3x 2在点(1,2)处的切线方程为( )A ．y ＝3x －1B ．y ＝－3x ＋5C ．y ＝3x ＋5D ．y ＝2x 答案 A5．函数f (x )＝ln x x(0<x <10)( ) A ．在(0,10)上是增函数B ．在(0,10)上是减函数C ．在(0，e)上是增函数，在(e,10)上是减函数D ．在(0，e)上是减函数，在(e,10)上是增函数答案 C解析 由f ′(x )＝1－ln x x 2，令f ′(x )>0得0<x <e ；令f ′(x )<0得e<x <10，故选C. 6．若函数y ＝a (x 3－x )的递增区间是⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞，则a 的取值范围是( ) A ．a >0B ．－1<a <0C ．a >1D ．0<a <1答案 A 解析 依题意得y ′＝a (3x 2－1)>0的解集为⎝⎛⎭⎫－∞，－33，⎝⎛⎭⎫33，＋∞，∴a >0. 7．函数y ＝12x －2sin x 的图象大致是( )答案 C解析 因为y ′＝12－2cos x ，所以令y ′＝12－2cos x >0，得cos x <14，此时原函数是增函数； 令y ′＝12－2cos x <0，得cos x >14，此时原函数是减函数，结合余弦函数图象，可得选项C 正确．8．已知曲线y ＝x 4＋ax 2＋1在点(－1，a ＋2)处切线的斜率为8，则a 等于( )A ．9B ．6C ．－9D ．－6答案 D解析 先对函数求导，利用导数的几何意义得出点(－1，a ＋2)处的切线斜率，解方程可得． y ′＝4x 3＋2ax ，由导数的几何意义知在点(－1，a ＋2)处的切线斜率k ＝y ′|x ＝－1＝－4－2a ＝8， 解得a ＝－6.9．某公司生产某种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位产品，成本增加100元，已知总营业收入R 与年产量x 的关系是R ＝R (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 400x －12x 2 (0≤x ≤400)，80 000 (x >400)，则总利润最大时，每年生产的产品数是( )A ．100B ．150C ．200D ．300 答案 D解析 由题意得，总成本函数为C ＝C (x )＝20 000＋100x ，∴总利润P (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ 300x －x 22－20 000 (0≤x ≤400)，60 000－100x (x >400)，又P ′(x )＝⎩⎪⎨⎪⎧300－x (0≤x ≤400)，－100 (x >400)， 令P ′(x )＝0，得x ＝300，易知x ＝300时，总利润P (x )最大．10．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，下列结论中错误的是( )A ．∃x 0∈R ，f (x 0)＝0B ．函数y ＝f (x )的图象是中心对称图形C ．若x 0是f (x )的极小值点，则f (x )在区间(－∞，x 0)上单调递减D ．若x 0是f (x )的极值点，则f ′(x 0)＝0答案 C解析 A 项，因为函数f (x )的值域为R ，所以一定存在x 0∈R ，使f (x 0)＝0，A 正确．B 项，假设函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为(m ，n )，按向量a ＝(－m ，－n )将函数的图象平移，则所得函数y ＝f (x ＋m )－n 是奇函数．所以f (x ＋m )＋f (－x ＋m )－2n ＝0，化简得(3m ＋a )x 2＋m 3＋am 2＋bm ＋c －n ＝0.上式对x ∈R 恒成立，故3m ＋a ＝0，得m ＝－a 3，n ＝m 3＋am 2＋bm ＋c ＝f ⎝⎛⎭⎫－a 3，所以函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 的对称中心为⎝⎛⎭⎫－a 3，f ⎝⎛⎭⎫－a 3，故y ＝f (x )的图象是中心对称图形，B 项正确．C 项，由于f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b 是二次函数，f (x )有极小值点x 0，必定有一个极大值点x 1，若x 1<x 0，则f (x )在区间(－∞，x 0)上不单调递减，C 错误．D 项，若x 0是极值点，则一定有f ′(x 0)＝0.故选C.二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)11.如图，函数y ＝f (x )的图象在点P 处的切线方程是y ＝－x ＋8，则f (5)＋f ′(5)＝________. 答案 2解析 点P 在切线上，∴f (5)＝－5＋8＝3，f ′(5)＝k ＝－1，∴f(5)＋f′(5)＝3－1＝2.12．函数f(x)＝x3－3x2＋1在x＝________处取得极小值．答案 2解析∵f′(x)＝3x2－6x＝3x(x－2)，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)，∴f(x)在x＝2处取得极小值．13．若曲线y＝xα＋1(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点，则α＝________.答案 2解析y′＝αxα－1，∴y′|x＝1＝α.曲线在点(1,2)处的切线方程为y－2＝α(x－1)，将点(0,0)代入得α＝2.14．已知f(x)＝(2x－x2)e x，给出以下四个结论：①f(x)>0的解集是{x|0<x<2}；②f(－2)是极小值，f(2)是极大值；③f(x)没有最小值，也没有最大值；④f(x)有最大值，没有最小值．其中判断正确的是________．答案①②④解析f(x)>0⇔2x－x2>0⇔0<x<2，∴①正确．由f(x)＝(2x－x2)e x，得到f′(x)＝(2－x2)e x，令f′(x)＝0，得到x1＝－2，x2＝2，∵在(－∞，－2)和(2，＋∞)上f′(x)<0，f(x)单调递减；在(－2，2)上f′(x)>0，f(x)单调递增，∴f(－2)是极小值，f(2)是极大值，故②正确．由题意知，f(2)为最大值，且无最小值，故③错误，④正确．三、解答题(本大题共6小题，共80分)15．(12分)已知函数y＝x3－3x，过点A(0,16)作曲线y＝f(x)的切线，求此切线方程．解曲线方程为y＝x3－3x，点A(0,16)不在曲线上．设切点为M(x0，y0)，则点M的坐标满足y0＝x30－3x0.因为f′(x0)＝3(x20－1)，故切线的方程为y－y0＝3(x20－1)(x－x0)．点A(0,16)在切线上，则有16－(x 30－3x 0)＝3(x 20－1)(0－x 0)．化简得x 30＝－8，解得x 0＝－2.所以，切点为M (－2，－2)，切线方程为9x －y ＋16＝0.16．(12分)设函数f (x )＝x 3－3ax 2＋3bx 的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)．(1)求a ，b 的值；(2)讨论函数f (x )的单调性．解 (1)求导得f′(x)＝3x2－6ax ＋3b.由于f(x)的图象与直线12x ＋y －1＝0相切于点(1，－11)，所以f(1)＝－11，f′(1)＝－12，即⎩⎪⎨⎪⎧ 1－3a ＋3b ＝－11，3－6a ＋3b ＝－12，解得a ＝1，b ＝－3.(2)由a ＝1，b ＝－3得f′(x)＝3x2－6ax ＋3b ＝3(x2－2x －3)＝3(x ＋1)(x －3)．令f′(x)>0，解得x<－1或x>3；又令f′(x)<0，解得－1<x<3.故当x∈(－∞，－1)和x∈(3，＋∞)时，f(x)是增函数，当x∈(－1,3)时，f(x)是减函数．17．(14分)设函数f (x )＝a 3x 3＋bx 2＋cx ＋d (a >0)，且方程f ′(x )－9x ＝0的两个根分别为1,4.若f (x )在(－∞，＋∞)内无极值点，求a 的取值范围．解 由f(x)＝a 3x3＋bx2＋cx ＋d ，得f′(x)＝ax2＋2bx ＋c. 因为f′(x)－9x ＝0，即ax2＋2bx ＋c －9x ＝0的两个根分别为1,4，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2b ＋c －9＝0，16a ＋8b ＋c －36＝0.(*) 由于a>0，所以“f(x)＝a 3x3＋bx2＋cx ＋d 在(－∞，＋∞)内无极值点”等价于“f′(x)＝ax2＋2bx ＋c≥0在(－∞，＋∞)内恒成立”．由(*)式得2b ＝9－5a ，c ＝4a.又Δ＝(2b)2－4ac ＝9(a －1)(a －9)．由⎩⎪⎨⎪⎧ a>0，Δ＝－－，得1≤a≤9，即a 的取值范围是[1,9]．18．(14分)如图，某工厂拟建一座平面图为矩形，且面积为200 m 2的三级污 水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16 m ，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)．(1)写出总造价y (元)与污水处理池长x (m)的函数关系式，并指出其定义域；(2)污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求出最低总造价．解 (1)设长为x m ，则宽为200xm. 据题意，得⎩⎪⎨⎪⎧ x≤16，200x ≤16，解得252≤x≤16， y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋2·200x ×400＋400x ×248＋16 000 ＝800x ＋259 200x ＋16 000⎝ ⎛⎭⎪⎫252≤x≤16. (2)由(1)知y′＝800－259 200x2， 令y′＝0，解得x ＝18，当x∈(0,18)时，函数y 为减函数；当x∈(18，＋∞)时，函数y 为增函数．∴在x∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤252，16上，函数y 单调递减， ∴当长为16 m ，宽为12.5 m 时，总造价y 最低为45 000元．19．(14分)已知f (x )是二次函数，不等式f (x )<0的解集是(0,5)，且f (x )在区间[－1,4]上的最大值是12.(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在自然数m ，使得方程f (x )＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根？若存在，求出所有m 的值；若不存在，请说明理由．解 (1)∵f(x)是二次函数，且f(x)<0的解集是(0,5)，∴可设f(x)＝ax(x －5)(a>0)．∴f(x)在区间[－1,4]上的最大值是f(－1)＝6a.由已知，得6a ＝12，∴a＝2，∴f(x)＝2x(x －5)＝2x2－10x(x∈R)．(2)方程f(x)＋37x＝0等价于方程2x3－10x2＋37＝0， 设h(x)＝2x3－10x2＋37，则h′(x)＝6x2－20x ＝2x(3x －10)．当x∈⎝⎛⎭⎪⎫0，103时，h′(x)<0，h(x)是减函数； 当x∈⎝ ⎛⎭⎪⎫103，＋∞时，h′(x)>0，h(x)是增函数． ∵h(3)＝1>0，h ⎝ ⎛⎭⎪⎫103＝－127<0，h(4)＝5>0， ∴方程h(x)＝0在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫3，103，⎝ ⎛⎭⎪⎫103，4内分别有唯一实数根，而在区间(0,3)，(4，＋∞)内没有实数根，∴存在唯一的自然数m ＝3，使得方程f(x)＋37x＝0在区间(m ，m ＋1)内有且只有两个不等的实数根．20．(14分)已知函数f (x )＝1－x 1＋x 2e x .(1)求f (x )的单调区间；(2)证明：当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，x 1＋x 2<0.(1)解 函数f(x)的定义域为(－∞，＋∞)．f ′(x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x 2′e x ＋1－x 1＋x 2e x＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤x 2－2x －1(1＋x 2)2＋1－x 1＋x 2e x＝－x [(x －1)2＋2](1＋x 2)2e x.当x <0时，f ′(x )>0；当x >0时，f ′(x )<0.所以f (x )的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)． (2)证明 当x <1时，由于1－x 1＋x 2>0，e x>0，故f (x )>0；同理，当x >1时，f (x )<0.当f (x 1)＝f (x 2)(x 1≠x 2)时，不妨设x 1<x 2，由(1)知，x 1∈(－∞，0)，x 2∈(0,1)．下面证明：∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )，即证1－x1＋x 2e x <1＋x 1＋x 2e －x.此不等式等价于(1－x )e x －1＋xe x <0.令g (x )＝(1－x )e x －1＋xe x ，则g ′(x )＝－x e －x (e 2x －1)．当x ∈(0,1)时，g ′(x )<0，g (x )单调递减，从而g (x )<g (0)＝0.即(1－x )e x －1＋xe x <0.所以∀x ∈(0,1)，f (x )<f (－x )．而x 2∈(0,1)，所以f (x 2)<f (－x 2)，从而f (x 1)<f (－x 2)．由于x 1，－x 2∈(－∞，0)，f (x )在(－∞，0)上单调递增，所以x 1<－x 2，即x 1＋x 2<0.。