八年级数学暑假专题辅导 培优专题
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ACBD（1）已知四边形ABCD ，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC ，求证BD 2 =AB 2+BC 2方法一：把△ABD 绕D 逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP ² ∵CP=AB,BP=BD 如图1方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC，AP=BD 如图2如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD ²=AB ²+BC ²如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE所以△DCB≌△ACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2即BD^2=AB^2＋BC^2证明:过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方解答:分析从结论想办法.结论是BD2=AB2+BC2,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,使BD为斜边, AB、BC为直角边。
暑假提优集训八下数学
暑假提优集训八下数学
摘要：
一、暑假提优集训背景
1.针对八年级下学期数学课程
2.提高学生数学水平
二、集训课程内容
1.代数部分
a.一元二次方程与因式分解
b.分式方程与最简公分母
c.二次根式与同类二次根式
2.几何部分
a.三角形全等条件
b.相似三角形判定与性质
c.圆的性质与相关定理
三、集训教学方法
1.精选例题解析
2.巩固练习与拓展提高
3.学习小组讨论与互动
四、集训效果与意义
1.巩固基础知识
2.提高解题能力
3.培养学习兴趣与信心
正文：
暑假提优集训八下数学是为了帮助学生在暑假期间进一步提高数学水平，尤其是针对八年级下学期的数学课程。
通过本次集训，学生将巩固基础知识，提高解题能力，并培养学习兴趣与信心。
集训课程内容涵盖了代数与几何两个部分。
在代数方面，我们将学习一元二次方程与因式分解、分式方程与最简公分母以及二次根式与同类二次根式等知识点。
在几何方面，我们将学习三角形全等的条件、相似三角形的判定与性质以及圆的性质与相关定理等。
为了达到良好的教学效果，集训采用精选例题解析、巩固练习与拓展提高相结合的教学方法。
学生将在老师的引导下，通过解答典型例题，理解和掌握相关知识点。
此外，还将通过练习题进行巩固，并在学习小组中进行讨论与互动，提高学习效果。
参加暑假提优集训八下数学的学生将会在轻松愉快的氛围中，全面提升自己的数学能力。
暑假数学作业6数学八年级下暑假培优专题训练
数学八年级下暑假培优专题训练专题十六、一次函数的应用【专题导航】目录【考点一一次函数中方案设计类问题】 (1)【考点二一次函数中行程问题】 (2)【考点三一次函数中的最值问题】 (5)【考点四一次函数的其他问题】 (7)【聚焦考点】①阅读，弄清问题背景和基本要求；②分析，寻找问题的数量关系，找到与其相关的知识；③建模，由分析得出的相关知识建立函数模型；④解题，求解上述函数，结合实际利用一次函数性质确定最优方案．【典例剖析1】【考点一一次函数中方案设计类问题】【典例1-1】2023年5月11日，长沙市橘子洲头举办了燃放烟花的活动，橘子洲头当天实行全天闭园，长沙市地铁二号线实行全天跳站．对此非常有兴趣的数学爱好者小李去市场上调查了解A、B两种不同型号烟花的价格，已知B型号烟花的价格比A种烟花价格每箱贵60元，用3000元购买A型号的烟花和用4800元购买B种型号的烟花的箱数相同．(1)请问A，B两种烟花每箱的价格分别是多少元？(2)小李的爸爸所在的公司即将要举办周年庆活动，计划购买A，B两种型号的烟花共100箱，要求购买A型号烟花的数量2倍不高于B型号烟花数量的3倍，爸爸问小李：怎样设计购买方案能使总费用最低？总费用最低为多少元？【典例1-2】为了能够更好地进行居家电路实验学习，某校八年级（1）班在电商平台上购买小电动机和小灯泡．已知该平台上一个小电动机与一个小灯泡的价格之和是12元，同学们决定用30元购买小灯泡，45元购买小电动机，其中购买的小灯泡数量正好是小电动机数量的2倍．(1)分别求出每个小灯泡和小电动机的价格；(2)若八年级（1）班决定购买小灯泡和小电动机共计90个，且满足小灯泡数量不超过小电动机数量的一半，请设计出更省钱的购买方案，并求出总费用的最小值．针对训练1【变式1-1】某经销商准备购入某品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅，经市场调研，购入2个电磁炉和3个平底炖锅需花费900元，购入3个电磁炉和2个平底炖锅需花费1100元．(1)求电磁炉和平底炖锅的单价．(2)“五一”期间，厂家对该品牌的智能电磁炉和配套的平底炖锅实行优惠活动．方案一：买一个电磁炉送一个平底炖锅；方案二：所有商品打八折．经销商准备购入50个智能电磁炉和()50x x >个配套的平底炖锅进行试销．①设方案一总费用为1y 元，方案二总费用为2y 元，分别求出1y ，2y 关于x 的函数解析式；②经销商选择哪种方案购买合算？③若方案一和方案二两种优惠方式可同时使用，请写出最合算的购买方式，并说明理由．【变式1-2】为纪念北京奥运会成功举办，国务院批准从2009年起，每年的8月8日为“全民健身日”．某羽毛球俱乐部为倡导人们积极参加健身运动，普及羽毛球运动，特推出如下活动方案：方案一：购买一张羽毛球健身的年卡，以后每次再收取10元；方案二：不购买羽毛球健身卡，每次收取15元．设李凯每年去俱乐部打羽毛球x 次，按照方案一所需费用为1y （元），且11y k x b =+；按照方案二所需费用为2y （元），且22y k x =，其函数图像如图所示．(1)请直接写出方案一和方案二的函数表达式，并写出b 的实际意义；(2)2023年王斌给自己制定了一个健身计划，每周去俱乐部打球2次（365天），他选择哪种方案所需费用更少？说明理由．【变式1-3】党的二十大报告中指出，推动能源清洁低碳高效利用，推进工业、建筑、交通等领域清洁低碳转型，深入推进能源革命．某市交通管理局决定购买一批电动公交车取代燃油公交车．根据调查发现．购买A 型电动公交车2辆、B 型电动公交车1辆，共需资金112万元；购买A 型电动公交车1辆、B 型电动公交车1辆，共需资金76万元．(1)求A 、B 两种型号的电动公交车的单价分别是多少万元．(2)该交通管理局计划出资1128万元，准备购买这两种电动公交车共30辆，其中A 型电动公交车的数量不多于20辆，请你设计出最省钱的购买方案【典例剖析2】【考点二一次函数中行程问题】【典例2-1】某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7：00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路（如图1）到爱国主义教育基地进行研学，上午8：00，军车在离营地60km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s（km）与所用时间t（h）的函数关系如图2所示．(1)求大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式及a的值，(2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间．【典例2-2】绿色骑行是一个能够有效改善空气质量、减少温室气体排放，尤其是碳排放量的绿色生活方式，越来越受到市民的青睐.周末，小夏、小宇两人相约同时从某地出发同向骑行，小夏骑行的速度是15km/h，小宇骑行的路程s（km）与骑行的时间t（h）之间的关系如图所示.(1)求出s与t之间的函数表达式；(2)何时小宇追上小夏？针对训练2【变式2-1】灞河元朔大桥其设计理念以“千古一舟”为题，象征“舟行古今、跨越时代”的文化内涵，融合西安市花石榴花造型，与奥体中心建筑造型遥相呼应．某天晓玲和小华在元朔大桥上散步，晓玲从大桥上的点A走向点B，同时小华从点B走向点A，晓玲、小华距A 点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系如图所示，请结合图象回答下列问题：(1)晓玲从点A走向点B用了______分钟；(2)求小华距A点的路程y（米）与行走时间x（分钟）之间的关系式；(3)求晓玲与小华相遇时距点A的路程．【变式2-2】甲、乙两车分别从相距15km的大连北站和大连广播电视中心同时匀速相向而行．甲车出发10min后，由于交通管制，停止了2min，再出发时速度比原来减少15km/h，并安全到达终点．甲、乙两车距大连北站的路程y（单位：km）与两车行驶时间x（单位：h）的图象如图所示．(1)填空：a______；(2)求乙车距大连北站的路程y与两车行驶时间x的函数解析式，并直接写出自变量x的取值范围；(3)求甲、乙两车相遇时，乙车距大连北站的路程．【变式2-3】王老师家、公园、学校依次在同一条直线上，她从家出发匀速步行到公园后，停留4min，然后匀速步行到学校．设王老师离公园的距离为y（单位：m），所用时间为x （单位：min），下图表示y与x之间函数关系的图像．根据图像解答下列问题：(1)写出题中的变量：_________（写两个）：(2)①王老师家到学校的距离为________m；②王老师从家到公园的速度为_________m/min；(3)求王老师从公园到学校时，()m y 与()min x 之间的函数关系式；(4)直接写出王老师从家出发________min 距离公园160m ．【典例剖析3】【考点三一次函数中的最值问题】【典例3-1】某中学开展了关于“构建书香校园”的读书活动，以建设书香校园、和谐校园为目标，引领广大师生“走进五千年文明，品读祖国经典文章”．学校计划采购两类图书，通过市场了解到每套A 类图书的价格是每套B 类图书价格的1.5倍，用4000元购买的B 类图书比用3000元购买的A 类图书多20套．(1)A 、B 两类图书每套分别是多少元？(2)现学校计划采购60套图书，且A 类图书的数量不低于B 类图书数量的一半，该校应该如何采购两类图书才能使得总费用最低，并求出最低费用．【典例3-2】端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售，经了解．每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1000元购进甲种粽子的个数与用1200元购进乙种粽子的个数相同．(1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元？(2)该超市计划购进这两种粽子共200个（两种都有），其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m 个，两种粽子全部售完时获得的利润为w 元．①求w 与m 的函数关系式，并求出m 的取值范围；②超市应如何进货才能获得最大利润，最大利润是多少元？【典例剖析4】【考点四一次函数的其他问题】【典例4-1】3月12日是一年一度的树枝节，以三月份植树节为契机，厦门某单位组织人员及参加军营村2023年高山云境植树节活动，计划在某区域种3000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前2天完成任务．规定在相同区域内种植绿化观赏树y 和果树x 的数量之间具有一次函数的关系，若栽种10棵果树，周边则栽种80棵绿化观赏树；若栽种20棵果树，周边则栽种110棵绿化观赏树．(1)原计划每天种多少棵树？(2)根据规划设计，在一生态园区一共种植2050棵树，试求出绿化观赏树和果树各应种多少棵．【典例4-2】如图，实验室有一个长方体水槽，其中被试验台占据的一部分长方体记为C ，B 为长方体C 的上表面，A 为水槽的底面，在实验前先将水槽内的污水放完，清洗干净后再注满水.已知放水与注水的速度相同，放水时水槽内的水量()3dm V 与放水时间x （分钟）的函数关系如图所示，点M 表示放水4分钟时，水面高度刚好到达B 面.(1)求a 的值；(2)求注水时水槽中的水深()dm h 与注水时间x （分钟）之间的函数解析式.针对训练4【变式4-1】2023年7月28日至8月8日，第31届世界大学生运动会将在成都举行．“当好东道主，热情迎嘉宾”，成都某知名小吃店计划购买A，B两种食材制作小吃．已知购买1千克A种食材和1千克B种食材共需68元，购买5千克A种食材和3千克B种食材共需280元．(1)求A，B两种食材的单价；(2)该小吃店计划购买两种食材共36千克，其中购买A种食材千克数不少于B种食材千克数的2倍，当A，B两种食材分别购买多少千克时，总费用最少？并求出最少总费用．【变式4-2】某快递公司为提高工作效率，计划购买A、B种型号的机器人来搬运货物，已知每台型机器人比每台B型机器人每天少搬运10且A型机器人每天搬运540物与B型机器人每天搬运600吨货物所需台数相同．(1)求每台A型机器人和每台B型机器人每天分别搬运货物多少吨？(2)每台A型机器人售价1.2万元，每台B型机器人售价2万元，该公司计划采购A、B两种型号的机器人共30台，必须满足每天搬运的货物不低于2820吨，购买金额不超过48万元．请根据以上要求，完成如下问题：①设购买A型机器人m台，购买总金额为w万元，请写出w与m的函数关系式；②请你求出最节省的采购方案，购买总金额最低是多少万元？为贯彻落实双减政策，丰富学生课外活动，学校决定购买一批篮球和足球，已。
八年级数学培优资料(全套)
八年级数学培优资料（全套）目录第01讲全等三角形的性质与判定6经典·考题·赏析6演练巩固·反馈提高10培优升级·奥赛检测12第02讲角平分线的性质与判定14经典·考题·赏析15培优升级·奥赛检测18第3讲轴对称及轴对称变换19经典·考题·赏析19演练巩固·反馈提高23培优升级·奥赛检测24第4讲等腰三角形27经典·考题·赏析27培优升级·奥赛检测34第五讲等边三角形36经典考题赏析36巩固练习反馈提高39第06讲实数41经典·考题·赏析41演练巩固反馈提高43培优升级奥赛检测44第7讲变量与函数45经典·考题·赏析46演练巩固·反馈提高49第8讲一次函数的图象与性质50经典·考题·赏析51演练巩固·反馈提高54培优升级·奥赛检测57第9讲一次函数与方程、不等式58经典·考题·赏析58演练巩固·反馈提高61第10讲一次函数的应用62经典·考题·赏析62演练巩固反馈提高69第11讲幂的运算72经典·考题·赏析72演练巩固反馈提高73培优升级奥赛检测74第12讲整式的乘除75经典·考题·赏析76演练巩固·反馈提高78第13讲因式分解及其应用80经典·考题·赏析80演练巩固反馈提高83培优升级奥赛检测84第14讲分式的概念•性质与运算85经典•考题•赏析86演练巩固反馈提高89培优升级奥赛检测90第15讲分式的化简求值与证明91经典•考题•赏析92演练巩固反馈提高96培优升级奥赛检测97第16讲分式方程及其应用99经典·考题·赏析99演练巩固·反馈提高102培优升级·奥赛检测104第17讲反比例函数的图象与性质106经典·考题·赏析106演练巩固·反馈提高110培优升级·奥赛检测113第18讲反比例函数的应用115经典·考题·赏析115演练巩固反馈提高119培优升级奥赛检测120第19讲勾股定理122经典·考题·赏析122演练巩固·反馈提高127培优升级•奥赛检测129第20讲平行四边形131经典•考题•赏析131演练巩固反馈提高135培优升级奥赛检测137第21讲菱形与矩形139经典·考题·赏析139演练巩固反馈提高141培优升级奥赛检测143第22讲正方形145经典•考题•赏析145演练巩固·反馈提高150培优升级·奥赛检测152第23讲梯形154经典•考题•赏析154演练巩固反馈提高. 155培优升级奥赛检测158第24讲数据的分析161经典·考题·赏析161演练巩固·反馈提高165培优升级·奥赛检测166模拟测试卷（一）169模拟测试卷(二) 172模拟测试卷（三）174A F CEDB B AC DE F第01讲 全等三角形的性质与判定考点·方法·破译1．能够完全重合的两个三角形叫全等三角形.全等三角形的形状和大小完全相同；2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等，对应角相等；②全等三角形对应高、角平分线、中线相等；③全等三角形对应周长相等，面积相等；3．全等三角形判定方法有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ，对于两个直角三角形全等的判定方法，除上述方法外，还有HL 法；4．证明两个三角形全等的关键，就是证明两个三角形满足判定方法中的三个条件，具体分析步骤是先找出两个三角形中相等的边或角，再根据选定的判定方法，确定还需要证明哪些相等的边或角，再设法对它们进行证明；5．．证明两个三角形全等，根据条件，有时能直接进行证明，有时要证的两个三角形并不全等，这时需要添加辅助线构造全等三角形，构造全等三角形常用的方法有：平移、翻折、旋转、等倍延长线中线、截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图，AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ，那么图中有全等三角形（ ） A ．5对 B ．4对 C ．3对 D ．2对【解法指导】从题设题设条件出发，首先找到比较明显的一对全等三角形，并由此推出结论作为下面有用的条件，从而推出第二对，第三对全等三角形.这种逐步推进的方法常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中 AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】 01．（天津）下列判断中错误的是（ ）A ．有两角和一边对应相等的两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等的两个三角形全等C ．有两边和其中一边上的中线对应相等的两个三角形全等D ．有一边对应相等的两个等边三角形全等 02．（丽水）已知命题：如图，点A 、D 、B 、E 在同一条直线上，且AD ＝BE ，∠A ＝∠FDE ，则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题，请添加一个适当条件使它成为真命题，并加以证明.03．(上海)已知线段AC 与BD 相交于点O , 连接AB 、DC ，E 为OB 的中点，F 为OC 的中点，连接EF （如图所示）.⑴添加条件∠A ＝∠D ，∠OEF ＝∠OFE ，求证：AB ＝DC ； ⑵分别将“∠A ＝∠D ”记为①，“∠OEF ＝∠OFE ”记为②，“AB ＝DC ”记为③，添加①、③，以②为结论构成命题1；添加条件②、③，以①为结论构成命题2.命题1是______命题，命题2是_______命题（选择“真”或“假”填入空格）.【例２】已知AB ＝DC ，AE ＝DF ，CF ＝FB . 求证：AF ＝DE .【解法指导】想证AF ＝DE ，首先要找出AF 和DE 所在的三角形.AF 在△AFB 和△AEF 中，而DE 在△CDE 和△DEF 中，因而只需证明△ABF ≌△DCE 或△AEF ≌△DFE 即可.然后再根据已知条件找出证明它们全等的条件.证明：∵FB ＝CE ∴FB ＋EF ＝CE ＋EF ，即BE ＝CF在△ABE 和△DCF 中, AB DCAE DF BE CF =⎧⎪=⎨⎪=⎩∴△ABE ≌△DCF （SSS ） ∴∠B ＝∠C在△ABF 和△DCE 中, AB DC B C BF CE =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABF ≌△DCE ∴AF ＝DE【变式题组】01．如图，AD 、BE 是锐角△ABC 的高，相交于点O ，若BO ＝AC ，BC ＝7，CD ＝2，则AO 的长为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．502.如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠BAC ＝90°，AE 是过A 点的一条直线，AE ⊥CE 于E ，BD ⊥AE于D ，DE ＝4cm ，CE ＝2cm ，则BD ＝__________. \ 03．（北京）已知：如图，在△ABC 中，∠ ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，点E 在AC 上，CE ＝BC ，过点E 作AC 的垂线，交CD 的延长线于点F . 求证：AB ＝FC .AE第1题图A BCDEBCDO第2题图A B C D O FE A C EFBD点B 顺时针方向旋转，这时AC 与DF 相交于点O .⑴当△DEF 旋转至如图②位置，点B （E ）、C 、D 在同一直线上时，∠AFD 与∠DCA 的数量关系是________________;⑵当△DEF 继续旋转至如图③位置时，⑴中的结论成立吗？请说明理由_____________.【解法指导】⑴∠AFD ＝∠DCA⑵∠AFD ＝∠DCA 理由如下：由△ABC ≌△DEF ，∴AB ＝DE ，BC ＝EF , ∠ABC ＝∠DEF , ∠BAC ＝∠EDF ∴∠ABC －∠FBC ＝∠DEF －∠CBF , ∴∠ABF ＝∠DEC在△ABF 和△DEC 中, AB DE ABF DEC BF EC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∴△ABF ≌△DEC ∠BAF ＝∠DEC ∴∠BAC －∠BAF ＝∠EDF －∠EDC , ∴∠F AC ＝∠CDF∵∠AOD ＝∠F AC ＋∠AFD ＝∠CDF ＋∠DCA∴∠AFD ＝∠DCA 【变式题组】 01．（绍兴）如图，D 、E 分别为△ABC 的AC 、BC 边的中点，将此三角形沿DE 折叠，使点C 落在AB 边上的点P ∠CDE ＝48°，则∠APD 等于（ ） A ．42° B ．48° C ．52° D ．58°02．如图，Rt △ABC 沿直角边BC 所在的直线向右平移得到△DEF ，下列结论中错误的是（ ）A ．△ABC ≌△DEFB ．∠DEF ＝90° D ．EC ＝CF03．一张长方形纸片沿对角线剪开，得到两种三角形纸片，再将这两张三角形纸片摆成如下图形式，使点B 、F 、C 、D 在同一条直线上. ⑴求证：AB ⊥ED ；⑵若PB ＝BC ，找出图中与此条件有关的一对全等三角形，并证明.EFB ACDG第2题图B （E ）OC F 图③DA【例４】（第21高，点P 在BD 的延长线，BP ＝AC ，点Q 在CE 上，CQ ＝AB. 求证：⑴ AP ＝AQ ；⑵AP ⊥AQ【解法指导】证明线段或角相等，也就是证线段或角所在的两三角形全等.经观察，证AP ＝AQ ,也就是证△APD 和△AQE ，或△APB 和△QAC 全等,由已知条件BP ＝AC ，CQ ＝AB ，应该证△APB ≌△QAC ，已具备两组边对应相等，于是再证夹角∠1＝∠2即可. 证AP ⊥AQ ，即证∠P AQ ＝90°，∠P AD ＋∠QAC ＝90°就可以.证明：⑴∵BD 、CE 分别是△ABC 的两边上的高， ∴∠BDA ＝∠CEA ＝90°, ∴∠1＋∠BAD ＝90°，∠2＋∠BAD ＝90°，∴∠1＝∠2.在△APB 和△QAC 中, 2AB QC BP CA =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠1∠ ∴△APB ≌△QAC ， ∴AP ＝AQ⑵∵△APB ≌△QAC ，∴∠P ＝∠CAQ , ∴∠P ＋∠P AD ＝90° ∵∠CAQ ＋∠P AD ＝90°，∴AP ⊥AQ 【变式题组】01．如图，已知AB ＝AE ，∠B ＝∠E ，BA ＝ED ，点F 是CD 的中点，求证：AF ⊥CD .02．（湖州市竞赛试题）如图，在一个房间内有一个梯子斜靠在墙上，梯子顶端距地面的垂直距离MA 为am ，此时梯子的倾斜角为75°，如果梯子底端不动，顶端靠在对面的墙上，此时梯子顶端距地面的垂直距离NB 为bm ，梯子倾斜角为45°，这间房子的宽度是（ ）A ．2a bm + B ．2a bm - C ．bm D ．am03．如图，已知五边形ABCDE 中，∠ ABC ＝∠AED ＝90°，AB ＝CD ＝AE ＝BC ＋DE ＝2，则五边形ABCDE 的面积为__________AECBA 75° C45° BNM第2题图第3题图D21ABC PQ E F D演练巩固·反馈提高01．（海南）已知图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ）A ．72°B ．60°C ．58°D ．50°02．如图，△ACB ≌△A /C /B /，∠ BCB /＝30°，则∠ACA /的度数是（ ）A ．20°B ．30°C ．35°D ．40° 03．（牡丹江）尺规作图作∠AOB 的平分线方法如下：以O 为圆心，任意长为半径画弧交OA 、OB于C 、D ，再分别以点C 、D 为圆心，以大于12CD 长为半径画弧，两弧交于点P ，作射线OP ，由作法得△OCP ≌△ODP 的根据是（ ） A ．SAS B ．ASA C ．AAS D ．SSS 04．（江西）如图，已知AB ＝AD ，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC ≌△ADC 的是（ ）A . CB ＝CD B .∠BAC ＝∠DAC 05将它们的一个锐角顶点放在一起，如图，当A 、B 、D 不在一条直线上时，下面的结论不正确的是（ ） A . △ABE ≌△CBD B . ∠ABE ＝∠CBD C . ∠ABC ＝∠EBD ＝45° D . AC ∥BE06．如图，△ABC 和共顶点A ，AB ＝AE ，∠1＝∠2，∠B ＝∠E . BC 交AD 于M ，DE 交AC 于N ，小华说：“一定有△ABC ≌△AED .”小明说：“△ABM ≌△AEN .”那么（ ） A . 小华、小明都对 B . 小华、小明都不对 C . 小华对、小明不对 D .小华不对、小明对07．如图，已知AC ＝EC , BC ＝CD , AB ＝ED ,如果∠BCA ＝119°，∠ACD ＝98°,那么∠ECA 的度数是___________.08．如图，△ABC ≌△ADE ，BC 延长线交DE 于F ，∠B ＝25°,∠ACB ＝105°，∠DAC ＝10°，则∠DFB 的度数为_______.09．如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°, DE ⊥AB 于D , BC ＝BD . AC ＝3，那么AE ＋DE ＝______第1题图 a αc ca50° b72°58°10．如图，BA ⊥AC , CD ∥AB . BC ＝DE ，且BC ⊥DE ，若AB ＝2, CD ＝6，则AE ＝_____.11．如图, AB ＝CD , AB ∥CD . BC ＝12cm ，同时有P 、Q 两只蚂蚁从点C 出发，沿CB 方向爬行，Pcm /s , Qcm /s . 求爬行时间t 为多少时，△APB ≌△QDC .12．如图, △ABC 中，∠BCA ＝90°，AC ＝BC ，AE 是BC 边上的中线，过C 作CF ⊥AE ，垂足为F ，过B 作BD ⊥BC 交CF 的延长线于D .⑴求证：AE ＝CD ；⑵若AC ＝12cm , 求BD 的长.13．（吉林）如图，AB ＝AC ，AD ⊥BC 于点D ，AD 等于AE ，AB 平分∠DAE 交DE 于点F , 请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明.14．如图，将等腰直角三角板ABC 的直角顶点C 放在直线l 上，从另两个顶点A 、B 分别作l 的垂线，垂足分别为D 、E . ⑴找出图中的全等三角形，并加以证明； ⑵若DE ＝a ，求梯形DABE 的面积.15．如图，AC ⊥BC , AD ⊥BD , AD ＝BC ，CE ⊥AB ，DF ⊥AB 垂足分别是E 、F .求证：CE ＝DF .16．我们知道，两边及其中一边的对角分别对应相等的两个角形不一定全等，那么在什么情况下，它们会全等？ ⑴阅读与证明：对于这两个三角形均为直角三角形，显然它们全等；对于这两个三角形均为钝角三角形，可证明它们全等（证明略）； 对于这两个三角形均为锐角三角形，它们也全等，可证明如下；已知△ABC 、△A 1B 1C 1均为锐角三角形，AB ＝A 1B 1，BC ＝B 1C 1，∠C ＝∠C 1.求证：△ABC ≌D A C .QP.BD B AC EFAE BF D CA EF C D B △A 1B 1C 1.（请你将下列证明过程补充完整）⑵归纳与叙述：由⑴可得一个正确结论，请你写出这个结论.培优升级·奥赛检测01．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，E 、F 分别是AB 、AC 上的点，且AE ＝AF ，BF 、CE 相交于点O ，连接AO 并延长交BC 于点D ，则图中全等三角形有（ ） A ．4对 B ．5对 C ．6对 D ．7对02．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，OC ＝OD ，下列结论中：①∠A ＝∠B ②DE ＝CE ，③连接DE ,则OE 平分∠AOB ，正确的是（ ） A ．①② B ．②③ C ．①③ D ．①②③03．如图，A 在DE 上，F 在AB 上，且AC ＝CE , ∠1=∠2=∠3, 则DE 的长等于（）A ．DCB . BC C . ABD .AE ＋AC04．下面有四个命题，其中真命题是（ ）A ．两个三角形有两边及一角对应相等，这两个三角形全等B ．两边和第三边上的高对应相等的两个三角形全等C . 有一角和一边对应相等的两个直角三角形全等D . 两边和第三边上的中线对应相等的两个三角形全等05．在△ABC 中，高AD 和BE 所在直线相交于H 点,且BH ＝AC ，则∠ABC ＝_______. 06．如图，EB 交AC 于点M , 交FC 于点D , AB 交FC 于点N ，∠E ＝∠F ＝90°，∠B ＝∠C , AE ＝AF . 给出下列结论：①∠1＝∠2；②BE ＝CF ; ③△ACN ≌△ABM ; ④CD ＝DB ，其中正确的结论有___________.（填序号）07．如图，AD 为在△ABC 的高，E 为AC 上一点，BE 交AD 于点F ,且有BF ＝AC ，FD ＝CD .⑴求证：BE ⊥AC ；⑵若把条件“BF ＝AC ”和结论“BE ⊥AC ”互换，这个命题成立吗？证明你的判定.08．如图，D 为在△ABC 的边BC 上一点，且CD ＝AB ，∠BDA ＝∠BAD ，AE 是△ABD 的中线.求证：AC ＝2AE .F 第6题图 21A B C E N M 321 A D E B C F A D E CO AE O BF C D 第1题图 B 第2题图 第3题图 A B CD A 1 B 1C 1D 1A B C DEAE B D C 09．如图，在凸四边形ABCD 中，E 为△ACD 内一点，满足AC ＝AD ，AB ＝AE , ∠BAE ＋∠BCE＝90°, ∠BAC ＝∠EAD .求证：∠CED ＝90°.10．（沈阳）将两个全等的直角三角形ABC 和DBE 按图①方式摆放，其中∠ACB ＝∠DEB ＝90°，∠A ＝∠D ＝30°，点E 落在AB 上，DE 所在直线交AC 所在直线于点F .⑴求证：AF ＋EF ＝DE ;⑵若将图①中△DBE 绕点B 顺时针方向旋转角α，且0°＜α＜60°，其他条件不变，请在图②中画出变换后的图形，并直接写出（1）中结论是否仍然成立；⑶若将图①中△DBE 绕点B 按顺时针方向旋转角β，且60°＜β＜180°,其他条件不变，如图③你认为（1）中结论还成立吗？若成立，写出证明过程；若不成立，请写出此时AF 、EF 与DE 之间的关系，并说明理由。
八年级数学暑假培优专题资料
八年级数学答题技巧数学试卷答得好坏，主要依靠平日的基本功。
只要“双基”扎实，临场不乱，重审题、重思考、轻定势，那么成绩不会差。
切忌慌乱，同时也不可盲目轻敌，觉得自己平时数学成绩不错，再看到头几道题简单，就欣喜若狂，导致“大意失荆州”。
不是审题有误就是数据计算错误，这也是考试发挥失常的一个重要原因，要认真对待考试，认真对待每一道题主要把好４个关：1、把好计算的准确关。
2、把好理解审题关“宁可多审三分，不抢答题一秒”。
3、把好表达规范关。
4、把好思维、书写同步关。
一、答题先易后难原则上应从前往后答题，因为在考题的设计中一般都是按照先易后难的顺序设计的。
先答简单、易做的题，有助于缓解紧张情绪，同时也避免因会做的题目没有做完而造成的失分。
如果在实际答卷中确有个别知识点遗忘可以“跳”过去，先做后面的题。
二、答卷仔细审题稳中求快最简章的题目可以看一遍，一般的题目至少要看两遍。
中考对于大多数学生来说，答题时间比较紧，尤其是最后两道题占用的时间较多，很多考生检查的时间较少。
所以得分的高低往往取决于第一次的答题上。
另外，像解方程、求函数解析式等题应先检查再向后做。
三、答数学卷要注意陷阱1、答题时需注意题中的要求。
例如、科学计数法在题中是对哪一个数据进行科学计数要求保留几位有效数字等等。
2、警惕考题中的“零”陷阱。
这类题也是考生们常做错的题，常见的有分式的分母“不为零”；一元二次方程的二项系数“不为零”（注意有没有强调是一元二次方程）；函数中有关系数“不为零”；a0=1中“a不为零”等比性质中分母之和“不为零”（注意分类讨论）等等。
3、注意两种情况的问题，例如等腰三角形、直角三角形、高在形内、形外、两三角形相似、两圆相交、相离、相切，点在射线上运动等。
四、对题目的书写要清晰做到稳中有快，准中有快，且快而不乱。
要提高答题速度，除了上述的审题能力、应答能力外，还要提高书写能力，这个能力不仅是写字快，还要写得规范，写得符合要求。
初二暑假数学培优训练3
y l B l
y B
P A x A O
备用图
x
A O
备用图
x
11. 如图，在矩形 ABCD 中，AB=3，BC=4．动点 P 从点 A 出发沿 AC 向终点 C 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BA 向点 A 运动，到达 A 点后立刻以原来的速度沿 AB 返回．点 P，Q 运动速度均为每秒 1 个单 位长度，当点 P 到达点 C 时停止运动，点 Q 也同时停止．连结 PQ，设运动时间为 t（t >0）秒． （1）当点 Q 从 B 点向 A 点运动时（未到达 A 点） ，若△APQ∽△ABC，求 t 的值； （2）伴随着 P，Q 两点的运动，线段 PQ 的垂直平分线为直线 l． ①当直线 l 经过点 A 时，射线 QP 交 AD 边于点 E，求 AE 的长； ②是否存在 t 的值，使得直线 l 经过点 B？若存在，请求出所有 t 的值；若不存在，请说明理由．
（2）求出 AB 所在直线的函数关系式； （ 3）如果小刚上坡平均速度是小亮上坡平均速度 的一半，那么两人出发后多长时间第一次相遇？
P
第8题
3 9．在平面直角坐标系中，直线 y＝－ x＋6 与 x 轴、y 轴分别交于点 B、 A，点 D、E 分别是 AO、AB 的中 4 点，连接 DE，点 P 从点 D 出发，沿 DE 方向匀速运动，速度为 1cm/s；与此同时，点 Q 从点 B 出发，沿 BA 方向匀速运动，速度为 2cm/s，当点 P 停止运动时，点 Q 也停止运动．连接 PQ，设运动时间为 t(s)(0 ＜t＜4).解答下列问题： （1）分别写出点 P 和 Q 坐标（用含 t 的代数式表示） ； （2）①当点 Q 在 BE 之间运动时，设五边形 PQBOD 的面积为 y（cm2） ， 求 y 与 t 之间的函数关系式； ②在①的情况下，是否存在某一时刻 t，使 PQ 分四边形 BODE 两部分的面积之比为 S△ PQE：S 五边 形 PQBOD＝1：29？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；
数学八年级暑假培优第01节-三角形
知识导图第一节三角形中考考点分析在教材中的地位重点、难点三角形在阶段性考试中的要求为灵活应用．其中三角形中内、外角定理常应用在角度代换中，三角形三边关系则常与不等式、最值问题结合出现在考查学生思维能力的题中，对学生能力要求比较高．三角形是最基本、最简单的多边形，三角形既是前面学过的线段、角等知识的延续，又是学习四边形、相似性、同等知识的基础．认识三角形是这一章的起始课，是学习三角形其他知识的铺垫．掌握三角形中的基本概念，能够运用三角形三边关系解决一些问题．理解三角形的高、中线、角平分线的含义，并能作出这三种重要线段．能够对内角和进行合理的解释，并且掌握外角的概念及与外角有关的两个推论．考点与实例分析讲点1 认识三角形：定义、分类、稳定性 例1 如图，回答下列问题：(1)三角形ABC 可记为 ，它的三条边分别是 ，三个顶点分别是 ，三个内角分别是 ．(2)三角形按边分类可分为 三角形和 三角形；等腰三角形可分为底与腰 的三角形和底与腰 的三角形； (3)以AB 为一边的三角形有 个．B ED CA题意分析 可通过寻找线段的方式确定三角形的个数．解答过程：解题后的思考：练1．1 一扇窗户打开后，用窗钩可将其固定，这种做法的依据是( )． A ．三角形的稳定性 B ．两点之间线段最短 C ．两点确定一条直线 D ．垂线段最短 讲点2 三角形的边：三边关系例2 以下列每组长度的三条线段为边，能组成三角形的是( )． A ．2，3，6 B ．2，4，6 C ．2，2，4 D ．6，6，6 题意分析 两点之间线段最短．解答过程： 解题后的思考：练2．1 在△ABC 中，AB ＝2cm ，AC ＝5cm ，△ABC 的周长为奇数，则BC 的长可能是( )．A ．2 cmB ．5 cmC ．6 cmD ．7 cm（2014，武昌区七校联考）练2．2 某等腰三角形的两条边长分别为3 cm 和6 cm ，则它的周长为( )．A ．9 cmB ．12 cmC ．15 cmD ．12 cm 或15 cm（2013，江岸区期中）讲点3 三角形的高、中线、角平分线例3 下列图形中，作△ABC 中AC 边上的高，正确的是( )．ACBEBCAEBCA EBCAEA B C D 题意分析 三角形的高的作法：过顶点作底边的垂线．解答过程：解颖詹的思考：练3．1 如图，已知AD ，AE 分别为Rt △ABC 的高和中线，AB ＝6 cm ，AC ＝8cm ，BC ＝10 cm ，试求： (1) AD 的长； (2)△ABE 的面积；(3)△ACE 和△ABE 的周长之差．B ED CA练3．2 一个锐角三角形残片如图所示，若不恢复这个残角，你能否作出AB 边上的高所在的直线？试说明具体作法及理由．AB讲点4 三角形的内角和：角度求解、方程思想求角度例4 △ABC 中，∠C ＝50°，∠A ＝∠B ＋10°，求∠B 的度数．（2014，硚口区期中）题意分析 通过方程思想确定三角形的各个角度．解答过程： 解题后的思考：练4．1 等腰三角形中有一个角是40°，则另外两个角的度数是( )． A ． 70°，70° B ．40°，100°C ． 70°， 40°D ． 70°， 70°或40°， 100°（2013，江岸区期中）练4．2 如图，B 处在A 处的南偏西65°方向，C 处在A 处的南偏东15°方向，C 处在B 处的北偏东85°方向，则∠ACB 的度数是( )．A ． 80°B ．75°C ．85°D ．70°（2014，硚口区期中）CBA讲点5 三角形的外角：定义、性质、外角和例 5 一副分别含有30°和45°角的两个直角三角板，拼成如图所示的图形，其中∠C ＝90°，∠B ＝45°，∠E ＝30°，则∠BFD ＝题意分析 三角形的外角等于不相邻的两个内角和． 解答过程：解题后的思考：练5．1 如图，△ABC 中，∠C ＝75°，若沿图中直线l 截去∠C ，则∠1＋∠2＝（2014，江汉区期中）21lABC练5．2 如图，已知∠ABC ＝35°，∠C ＝47°，BD ⊥AC ，AE 平分∠BAC ，求∠BFE 的度数．（2014，汉阳区期中）AC D BF E讲点6 基本图形：角平分线例6 如图，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠A ＝100°，则x ＝100x4321CAB题意分析 设未知数整体代换确定的角度． 解答过程 解题后的思考：练6．1 如图，已知∠B ，∠C 的外角平分线交于点D ，∠A ＝40°，那么∠D ＝21EBDCAF练6．2 已知△ABC ．(1)如图1，若P 点为∠ABC 和∠ACB 的角平分线的交点，试证明： ∠P ＝90°＋12∠A ； PBAC图1(2)如图2，若P 点为∠ABC 和∠ACD 的角平分线的交点，试证明： ∠P ＝12∠A ； PDACB图2(3)如图3，若P 点为外角∠CBD 和∠BCE 的角平分线的交点，试证明：∠P ＝90°－12∠A ．PEBCDA图3考点与课堂练习1．现有长分别为3 cm ，4 cm ，7 cm ，9 cm 的4根木棒，任取其中3根组成一个三角形，那么可以组成的三角形的个数是( )．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个（2012，长沙）2．如图，在折纸活动中，小明制作了一张△ABC 的纸片，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，将△ADE 沿着DE 折叠压平，使A 与A '重合，若∠A ＝75°，则∠1＋∠2＝( )． A ．150° B ．210°C ．105°D ．75°（2012，河南）21E DAABC3．如图，在△ABC 中，点P 是△ABC 的内心，则∠PBC ＋∠PCA ＋∠P AB ＝（2011，江西）PACB4．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，FD ⊥BC ，DE ⊥AB ，∠AFD ＝158°，则∠EDF 的度数等于 ．AE CBDF5．如图，AD ，AE 分别是△ABC 的中线和高，且AB ＝6 cm ，AC ＝3 cm ． (1)求△ABD 与△ACD 的周长之差；(2)若△ABC 的面积为12 cm 2，求△ABD 的面积．ACBDE6．如图，△ABC 中，D 是BC 上一点，∠1＝∠2，∠3＝∠4，∠BAC ＝ 63°，求∠DAC 的度数．43CAD 12B7．△ABC 中，∠A 是∠B 的3倍，∠A 是∠C 的6倍，求∠A ，∠B ，∠C 的度数．8．如图，在△ABC 中，∠ACB －∠B ＝90°，∠BAC 的角平分线交BC 于点E ，∠BAC 的外角∠CAD 的角平分线交BC 的延长线于F 点，试判断△AEF 的形状．ADBC E F9．如图，∠B ＝45°，∠A ＝30°，∠C ＝25°，求∠ADC 的大小．ACBD10．如图，△ABC 中，∠B <∠C ，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC 于点D ，试写出∠EAD ，∠B ，∠C 之间的等量关系，并说明理由．CBDAE11．如图，△ABC 中，∠ACB >90°，AE 平分∠BAC ，AD ⊥BC 交BC 的延长线于点D ，则∠DAE ，∠ACB ，∠B 之间存在某种等量关系，试写出这种等量关系，并说明理由．B DACE12．如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点E ，试写出∠B ，∠ACB 与∠F 之间的一个等量关系，并说明理由．H GCADBEF13．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠CAB ，∠CBA 的平分线相交于点D ，BD 的延长线交AC 于E ，求∠ADE 的度数．ABCD E14．如图，△ABC 中，∠A ＝80°，延长BC 到D 点，∠ABC 与∠ACD 的平分线交于点A 1；∠A 1BC 与∠A 1CD 的平分线相交于点A 2．依次类推，∠A 2BC 与∠A 2CD 的平分线相交于点A 3，则∠A 3的度数为多少？若再画下去，∠A n 的度数为多少？AABCD15．阅读下面的问题并解答：如图1，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的角平分线交于点O ，则 ∠BOC ＝90°＋12∠A ＝12×180°＋12∠A ． 如图2，在△ABC 中，∠ABC ，∠ACB 的三等分线分别相交于点O l ，O 2，则 ∠BO 1C ＝23×180°＋13∠A ， ∠BO 2C ＝13×180°＋23∠A ．OACBO 2O 1AB图1 图2(1)你能猜想出它的规律吗？n 等分时（内部有n －l 个点），∠BO 1C ＝ ，∠BO n －1C ＝_ ___．（用含n 的代数式表示）．(2)当n ＝4时，证明(1)中猜想的∠BO 1C 的度数成立．16．如图，已知点O 为△ABC 内任意一点，证明：(1) OA ＋OB ＋OC >12(AB ＋BC ＋AC ); OAC B(2) AB ＋AC >OB ＋OC ;(3) AB ＋AC ＋BC >OA ＋OB ＋OC ;(4)若A ，B ，C 为三个村庄，AB ＋AC ＋BC ＝10 km ，若要在△ABC 内建一个供水站O 向三个村庄按如图路线供水，问需要的水管长度是多少？课后反馈1．如图，在△ABC 中，画出∠B 的平分线，边AB 上的中线，边AC 上的高． CB A2．已知a ，b ，c 是△ABC 的三边，且a ＝4，b ＝6．若三角形的周长是小于18的偶数，(1)求c 边的长； (2)判断△ABC 的形状．3．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，∠1＝∠2，∠BAD ＝40°，求∠EDC 的度数．1402DB ACE4．如图，AD ，AF 分别是△ABC 的高和角平分线，已知∠B ＝36°，∠C ＝76°，求∠DAF 的度数．AD B F C5．如图，在△ABC 中，BD ，CD 分别是△ABC 的外角∠CBE ，∠BCF 的平分线，试证明：∠D ＝90°－ 12∠A ． CDFE B A。
八年级数学暑期培优(二)
八年级数学暑期培优（二）一、选择题：1．要使分式11x +有意义，则x 必须满足的条件是 A ．x ≠1 B ．x ≠－1 C ．x ≠0 D ．x >1 2．下列各式化简正确的是A ．13455= B ．21233= C ．1316224= D ．234323= 3．反比例函数1my x-=的图象在第一、第三象限，则m 可能取的一个值为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．34．若a 、b 为实数，且满足22a b -+-，则b －a 的值为A ．2B ．0C ．－2D ．以上都不对 5．下列说法中错误的是A ．所有的等边三角形都相似B ．所有的等腰三角形都相似C ．有一对锐角相等的两个直角三角形相似D ．全等的三角形一定相似6．若关于x 的方程1011m xx x --=--有增根，则m 的值是 A ．－1 B ．1 C ．2 D ．3 7．下列命题中，真命题是A ．四边相等的四边形是正方形B ．对角线相等的菱形是正方形C ．正方形的两条对角线相等，但不互相垂直平分D ．矩形、菱形、正方形都具有“对角线相等”的性质8．已知反比例函数2y x=-，下列结论不正确的是A ．图象经过点（－2，1）B ．图象在第二、四象限C ．当x <0时，y 随着x 的增大而增大D ．当x >－1时，y >29．某单位向一所希望小学赠送1080件文具，现用A 、B 两种不同的包装箱进行包装，已知每个B 型包装箱比A 型包装箱多装15件文具，单独使用B 型包装箱比单独使用A 型包装箱可少用12个．设A 型包装箱每个可以装x 件文具，根据题意列方程为A ．108010801215x x =+- B ．108010801215x x =-- C ．108010801215x x =-+ D ．108010801215x x =++ 10．如图，已知AD 为△ABC 的角平分线，DE 23AE EC =AB AC 231325352a b b ÷k y x =1432311x m x x -=+++211a x +=+221112a a a a a ---÷+21133x xx x =+++2321121x x x x x -⎛⎫--÷ ⎪--+⎝⎭2ky x =23AB BC =k y x=θθ把小棒依次摆放在两射线A B ，AC 之间，并使小棒两端分别落在两射线上. 活动一：如图甲所示，从点A 1开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在两端点处互相垂直，A 1A 2为第1根小棒. 数学思考：（1）小棒能无限摆下去吗？答： .（填“能”或“不能”） （2）设AA 1=A 1A 2=A 2A 3=1. ①θ= 度；②若记小棒A 2n-1A 2n 的长度为a n （n 为正整数，如A 1A 2=a 1,A 3A 4=a 2,）,求此时a 2，a 3的值，并直接写出a n （用含n 的式子表示）.图甲 图乙活动二：如图乙所示，从点A 1开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A 1A 2为第1根小棒，且A 1A 2= AA 1. 数学思考：（3）若已经向右摆放了3根小棒，则1θ= ，2θ= ，3θ= ；（用含θ的式子表示） （4）若只能．．摆放4根小棒，求θ的范围.。
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ACBD（1）已知四边形ABCD ，∠ ABC=30°∠ADC=60° AD=DC ，求证BD 2 =AB 2+BC 2方法一：把△ABD 绕D 逆时针旋转60°,∵AD=DC ∴旋转后的△DCP≌△DAB,∠BDP=60°BD=BP,∴等边三角形BDP,BP=BD.又∵∠ABD+∠CBD=30° ∴∠CBD+∠CPD=30°，∴BC⊥CP(是可以证的，∵∠BPD+∠DBC+∠DPC=直角BCP) ∴BC²+CP²=BP ² ∵CP=AB,BP=BD 如图1方法二：做BP⊥AB,且使BP=BC,连接AP,AC,PC.∵AD=DC,∠ADC=60°∴等边三角形ADC ∵BA⊥BP,∠ABC=30°∴∠PBC=60°∴等边三角形PBC ∵AC=DC,∠ACP=∠DCB,PC=BC ∴△ACP≌△DCB(SAS)∴AP=BD 又∵RT△ABP∴AB²+BP²=AP² ∵BP=BC，AP=BD 如图2如图所示，在凸四边形ABCD 中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC ，求证：BD ²=AB ²+BC ²如图：四边形ABCD中，AD=DC，∠ABC=30°，∠ADC=60°．试探索以AB、BC、BD为边，能否组成直角三角形，并说明理由．解：分析:待证明的等式说明AB,BC,BD三条线段可组成一个直角三角形.因此,应设法将它们集中到一起.从条件容易知道,三角形ADC是一个正三角形.这样,就可一将三角形BCD作旋转变换.得到以下证明方法:证明:连结AC,因为AD=DC,∠ADC=60°则△ACD是等边三角形.过B作BE⊥AB,使BE=BC,连结CE,AE则∠EBC=90°－∠ABC=90°－30°=60°∴△BCE是正三角形,又∠ACE=∠ACB＋∠BCE=∠ACB＋60°∠DCB=∠ACB＋∠ACD=∠ACB＋60°∴∠ACE=∠DCB又DC=AC,BC=CE所以△DCB≌△ACE所以AE=BD在直角三角形ABE中AE^2=AB^2＋BE^2即BD^2=AB^2＋BC^2证明:过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方过B作AB⊥BE使BE=BC则∠ABE=90°∵∠ABC=30°∴∠CBE=60°∴△BCE为正三角形∴BC=BE=CE∵∠ACE=∠ACB+60°=∠DCBAC=DC BC=CE∴△DCB≌△ACE∴BD=AE在Rt△ABE中∵AE^2=AB^2+BE^2∴BD平方=AB平方+BC平方解答:分析从结论想办法.结论是BD2=AB2+BC2,是勾股定理的表达式，因此要通过变形,构造直角三角形,使BD为斜边, AB、BC为直角边。
为此我们过点B作BE垂直AB于B,使BE=BC，点E、C在直线AB同旁，连结CE，则三角形BCE为等边三角形。
连结AE、BD，在三角形ACE和三角形BCD中，BC=CE，CD=AC，∠ACE=60度+∠ACB，∠BCD=60度+∠ACB，所以∠ACE=∠BCD 所以三角形BCD全等于三角形ACE，于是AE=BD ；在三角形ABE中，∠ABE=90度，所以，AE2=AB2+BE2,BE=BC, AE2=AB2+BC2所以，BD2=AB2+BC22.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC，连接AC、BD．在四边形A BCD的外部以BC为一边作等边三角形BCE，连接AE．（1）求证：BD=AE；（2）若AB=2，BC=3，求BD的长．(1)略；（2）BD=.【解析】试题分析：（1）由∠ADC=60°，AD=DC，易得△ADC是等边三角形，又由△BCE是等边三角形，可证得△BDC≌△EAC（SAS），即可得BD=AE；（2）由△BCE是等边三角形，∠ABC=30°，易得∠ABE=90°，然后由勾股定理求得AE的长，即可求得BD的长．试题解析：证明：∵在△ADC中，AD=DC，∠ADC=60°，∴△ADC是等边三角形，∴DC=AC，∠DCA=60°；又∵△BCE是等边三角形，∴CB=CE，∠BCE=60°，∴∠DCA+∠ACB=∠ECB+∠ACB，即∠DCB=∠ACE，在△BDC和△EAC中，，∴△BDC≌△EAC（SAS），∴BD=AE；（2）【解析】∵△BCE是等边三角形，∴BE=BC=3，∠CBE=60°．∵∠ABC=30°，∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=90°．在Rt△ABE中，AE===，∴BD=AE=．考点：全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质（3）三角形abc是等腰直角三角形，∠acb==90°，m，n为斜边ab上两点。
满足am2+bn2=mn2求∠MCN的度数．方法1：给你一个提示，M N两点分别是MN=2AM=2BN,也就是说MN=1/2AB,AM=BN =1/4AB,M N分别做AC BC的高，利用三角函数求出角BCN ACM,实际上这两个角是相等的，然后用90度减去就行了方法2证明：作PA⊥AB，且PA=BN，连接CP∵三角形ABC是等腰直角三角形，∴AC=BC，∠CAB=∠B=45º在⊿CPA和⊿CNB中，∠PAC=90º-∠CAB=45º=∠B，PA=NB，CA=CB∴⊿CPA≌⊿CNB（SAS）∴CP=CN，∠PCA=∠NCB∵∠MCN=45º∴∠ACM+∠NCB=45º则∠PCA+∠ACM=45º即∠PCM=45º=∠MCN。
又∵CM=CM∴⊿PCM≌⊿NCM（SAS）∴PM=MN∵⊿PAM是直角三角形，∴PA²+AM²=PM²即AM²+BN²=MN²如图，等腰直角△ABC的斜边AB上有两点M、N，且满足MN2=BN2+AM2，将△ABC绕着C点顺时针旋转90°后，点M、N的对应点分别为T、S．（1）请画出旋转后的图形，并证明△MCN≌△MCS；（2）求∠MCN的度数．作图-旋转变换；全等三角形的判定与性质；勾股定理的逆定理．专题：综合题．分析：（1）根据旋转角度、旋转方向、旋转点找出各点的对应点，顺次连接即可得出旋转后的图形，根据MN2=BN2+AM2，可证得MS=MN，从而利用SSS 可证得结论．（2）根据旋转角为90°，再由（1）的结论即可得出答案．解答：解：（1）画图形如右图所示：证明：由旋转的性质可得：CS=CN，AS=BN，又∵MN2=BN2+AM2，∴MN2=AS2+AM2=MS2，∴MS=MN，又∵CS=CN，CM=CM，∴△MCN≌△MCS（SSS）．（2）由（1）得：△MCN ≌△MCS ， ∴∠NCM=∠MCS=45°．点评：本题考查旋转作图及三角形全等的证明，难度较大，关键是掌握旋转前后线段的长度，角的度数均不变．（4）三角形ABC 中,D 在AC 上AB=AD=2,AC=4,BD:DC=2:3 则三角形是什么三角形设BD 的中点为E ，且BD ＝2x ，则CD ＝3x ，从而CE ＝4x ，由勾股定理得： AB 2－BE 2＝AE 2＝AC 2－CE 2 ∴22－x2＝42－(4x) 2得：x 2＝54∴BC 2＝(5x)2＝25x 2＝25×54＝20而AB 2＋AC 2＝22＋42＝20 ∴AB 2＋AC 2＝BC 2 即△ABC 是直角三角形（5）在△ABC 中，AB=10，AC=5，D 是BC 上的一点，且BD ：DC=2：3，则AD 的取值范围是 4＜AD ＜8． 考点：三角形三边关系．分析：已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出BC 的取值范围；根据BD ：DC=2：3，求出BD ，DC 的取值范围，再根据三角形三边关系求出AD 的取值范围．解答：解：由三角形三边关系定理得10-5＜BC ＜10+5，即5＜BC ＜15． ∵BD ：DC=2：3， ∴2＜BD ＜6，∴AD 的取值范围是10-6＜AD ＜10-2，即4＜AD ＜8． 故答案为4＜AD ＜8．点评：本题考查了三角形三边关系．要注意三角形形成的条件：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．已知三角形ABC,点D 在边AC 上,AD:DC=2:1,BD ⊥AB, tan ∠DBC=31,则sin ∠BAC 为 答案为22解：过D 做AB 的平行线交BC 于E ，则因为BD ⊥AB ，所以BD ⊥BC ，在Rt△BED 中，因为tan ∠ DBC=31，即DE/BD=31，设DE=k,则BD=3K,所以BE=^10k.因为DE ∥AB ，DC AD =12，所以EC BE =12，故CE=K 210,,在△DBC 中tan ∠DBC=31，即DBC DBC ∠∠cos sin =31，解得 cos ∠DBC=3倍根10/10，由余弦定理解得DC=3k 倍根2/2,所以AD=3k 2 。
所以sin ∠BAC =AD BD=22.。
如图，已知△ABC ，点D 在边AC 上，AD ：DC=2：1，BD ⊥AB ，tan ∠DBC=，则sin ∠BAC 的值是 ．首先过D 做AB 的平行线交BC 于E ，求出cos ∠DBC===，进而得出CD 2=BD 2+BC 2-2BD•BCcos ∠DBC ，求出CD 的长，进而得出sin ∠BAC 的值．【解析】过D 做AB 的平行线交BC 于E ， ∵BD ⊥AB ，∴BD ⊥DE ， 在Rt △BED 中， tan ∠DBC=， 即=，设DE=k ，则BD=3K ， 所以BE=k ．∵DE ∥AB ，=2，∴=2，故CE=k ， 在△DBC 中tan ∠DBC=，则cos∠DBC===，由余弦定理：CD2=BD2+BC2-2BD•BCcos∠DBC，CD2=9k2+（）2k2-2×3k×k×，解得：DC=，所以AD=3k．所以sin∠BAC==．故答案为：．直角三角形斜边中线定理如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半其逆命题1：如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形，且这条边为直角三角形的斜边。