二元一次方程组解法
二元一次方程组的解法
解二元一次方程组的基本方法是消元，而我们熟知的方法就是代入消元法和加减消元法，但这两种方法都比较繁琐．下面通过加减消元法的解答过程探讨更简单直接的方法．例．解方程组的解．加减消元法解答过程：······························①两式作差，得···························②··························③将③代入，得··························④所以，原方程组的解为：【解析】由方程组的解可知，，的分母均为，我们可先求二者的分母，而该值亦是②式中的系数，再由①式形式，我们可以通过把原方程组中的两个方程的，的系数写成如下形式：·····························⑤交叉相乘相减，得到二者的分母．再求的分子，即②式右边的数值，可由得到．事实上，用替换⑤中计算可得．即求的值时，用常数列相应替换的系数列．同样地，求的分子，可由得到．即求的值时，则在⑤中用常数列相应替换的系数列计算可得．通过上述推导，我们得到解二元一次方程组的简单方法：，．其中，，，．【注】作为，的分母，因此要求方程组才有解．事实上，二元一次方程组的解可看成两直线和的交点的横纵坐标，而条件“”告诉我们两直线相交，因此方程组有唯一解．而当时，则两直线平行或重合，相应地，方程组要么有无穷多解要么无解．。
掌握带有参数的二元一次方程组的解法
掌握带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组是指方程组中含有参数的二元一次方程。
解决这类方程组的关键在于求出参数的取值范围，并找到满足方程组的解。
下面将详细介绍带有参数的二元一次方程组的解法。
一、带有参数的二元一次方程组的表示形式带有参数的二元一次方程组一般可以表示为：方程组1：$a_1x + b_1y = c_1$$a_2x + b_2y = c_2$其中，$a_1, b_1, c_1, a_2, b_2, c_2$为已知系数，$x, y$为未知数。
二、参数的取值范围为了求解方程组，首先需要确定参数的取值范围。
通常可以通过观察方程来判断参数取值的范围。
例如，如果方程组中含有分母，并要求分母不等于零，那么就需要确定参数不能为使分母为零的值。
三、带有参数的二元一次方程组的解法带有参数的二元一次方程组的解法可以分为以下几种情况：情况一：参数取某个特定值当参数取某个特定值时，方程组就变成了具有确定解的普通二元一次方程组。
根据二元一次方程的解法，解出该方程组，得到解的具体数值。
情况二：参数存在范围当参数存在范围时，需要根据参数的取值范围进行分类讨论。
具体步骤如下：1. 将方程组化简为标准形式，即求出每个方程的标准形式表达式；2. 根据参数的取值范围，将方程组分为不同的情况；3. 分别针对每种情况，解决方程组，并得到解的范围或具体解。
情况三：参数无限制当参数没有明确的取值范围时，需要利用一些性质和技巧，通过代数运算推导出解的性质。
常用的技巧包括代入法、消元法、矩阵法等。
根据具体问题和方程组的特点，选择合适的方法求解。
总之，掌握带有参数的二元一次方程组的解法，首先要明确参数的取值范围，然后根据具体情况选择合适的解法进行求解。
通过逐步分析和计算，可以得出解的范围或具体解。
在实际问题中，带有参数的二元一次方程组的解法能够帮助我们解决更为复杂的数学和实际应用问题。
二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少，逐一简化的思想方法，叫做消元思想.即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数）的方程.2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来.（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤（1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；（3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值；（5）把求出的未知数的值写成的形式.6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1，a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解；（2）当时，这个方程组无解；（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解，二元一次方程组的解法，运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、（1）下列方程中是二元一次方程的有（）①②③④mn＋m=7⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2）在方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2B．－2C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件：①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件，∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2）∵方程(k2－4)x2＋(2－k)x＋(k＋1)y＋3k=0是二元一次方程，∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中，如果是它的一个解，那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中，解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解，∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2，那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答：都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.（1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值.（2）先将方程组进行化简，整理为标准的二元一次方程组的形式，再观察选择消去哪个未知数.解：（1）将①化简得：3y=4x＋5③把③代入②得：2x－(4x＋5)=1解得x=－3将x=－3代入③得：3y=4×(－3)＋5∴∴原方程组的解为.（2）原方程组整理为由③×3－④×4，得7b=14，∴b=2.将b=2代入③，得a=2.∴原方程组的解为.例5、已知方程组与方程组有相同的解，求a、b 的值.题设的已知条件是两个方程组有相同的解。
(word完整版)二元一次方程组解法详解
一、二元一次方程组解法总结1、二元一次方程组解法的基本思想二元一次方程组中有两个未知数,如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程,就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数，这种将未知数的个数由多化少,逐一简化的思想方法,叫做消元思想。
即二元一次方程组形如：ax=b（a，b为已知数)的方程。
2、代入消元法由方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法.3、用代入消元法解二元一次方程组的步骤（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的代数式表示出来。
(2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.（3)解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的解.4、加减消元法两个二元一次方程中同一个未知数的系数相反或相等时,将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法,简称加减法.5、加减消元法解二元一次方程组的一般步骤(1）把一个方程或者两个方程的两边乘以适当的数，使方程组的两个方程中一个未知数的系数互为相反数或相等；（2）把两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得到一个一元一次方程；(3）解这个一元一次方程，求得一个未知数的值;（4）把求得的未知数的值代入到原方程组中的系数比较简单的一个方程中，求出另一个未知数的值;（5)把求出的未知数的值写成的形式。
6、二元一次方程组解的情况若二元一次方程组（a1,a2，b1，b2，c1，c2均为不等于0的已知数），则（1）当时，这个方程组只有唯一解;（2）当时，这个方程组无解;（3）当时，这个方程组有无穷多个解.二、重难点知识归纳二元一次方程组的解的理解,二元一次方程组的解法,运用有关概念解决相关数学问题．三、典型例题讲解例1、(1）下列方程中是二元一次方程的有( ）①②③④mn＋m=7 ⑤x＋y=6A．1个B．2个C．3个D．4个（2)在方程(k2－4）x2＋(2－k)x＋（k＋1)y＋3k=0中，若此方程为二元一次方程，则k的值为（）A．2 B．－2 C．±2D．以上都不对分析：一个方程是否是二元一次方程，必须看它是否满足或使它满足三个条件:①含有两个未知数；②未知数项的次数为1；③整式方程．解答：（1）∵方程①③不是整式方程，∴它们不是二元一次方程．∵mn的次数为2，∴方程④不是二元一次方程．∵方程②⑤满足二元一次方程的三个条件,∴方程②⑤是二元一次方程．故此题应选择B．（2)∵方程(k2－4）x2＋(2－k）x＋（k＋1)y＋3k=0是二元一次方程,∴它应满足条件：k2－4=0且2－k≠0且k＋1≠0，解得k=±2且k≠2且k≠－1．∴k=－2．例2、在方程3x－ay=0中,如果是它的一个解,那么a的值为_____．．由于方程的解必使方程左右两边的值相等，所以只需将代入方程中,解关于a的一次方程即可．解答：∵是方程3x－ay=0的一个解,∴3×3－a·2=0，例3、甲、乙两人同时解方程组乙因抄错c，解得求a、b、c 的值．将正确的解代入方程组中可直接求出c的值，但不能求a、b的值．错误解有什么作用呢？方程组的解应满足每一个方程，因此正确解满足ax＋by=2，错误的解同样能满足方程ax＋by=2,那么就可以建立a、b的方程组，于是a、b、c的值均可求出．解答:都是方程①的解．又∵是方程②的解，∴c＋3=－2，∴c=－5．故a、b、c的值分别为例4、解下列方程组.(1）先将①化简为3y=4x＋5，再代入②即可消去y，从而求出x的值。
解二元一次方程组的格式
解二元一次方程组的格式
二元一次方程组解法：常用的方法是加减消元法，即利用等式的性质使方程组中两个方程中的某一个未知数前的系数的绝对值相等，然后把两个方程相加或相减，以消去这个未知数，使方程只含有一个未知数而得以求解。
二元一次方程组解法还有：加减消元法，在二元一次方程组中，若有同一个未知数的系数相同（或互为相反数），则可直接相减（或相加），消去一个未知数；在二元一次方程组中，若不存在情况，可选择一个适当的数去乘方程的两边，使其中一个未知数的系数相同（或互为相反数），再把方程两边分别相减（或相加），消去一个未知数，得到一元一次方程；解这个一元一次方程；将求出的一元一次方程的解代入原方程组系数比较简单的方程，求另一个未知数的值；把求得的两个未知数的值用大括号联立起来，这就是二元一次方程组的解。
分式二元一次方程组的解法
分式二元一次方程组的解法
分式二元一次方程组是指由两个分式方程组成的方程组，其中每个方程中含有两个未知数，且未知数的次数都是1。
下面是几种常见的解法：
一、代入消元法
①将一个未知数用含另一未知数的代数式表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。
②这种方法的特点是：先求出一个未知数的值，然后再求出另一个未知数的值。
二、加减消元法
①通过将两个方程相加或相减，消去其中一个未知数，从而得到一个只含有一个未知数的方程。
②这种方法的特点是：直接消去一个未知数，简化方程组的求解。
三、换元法
①通过引入一个新的未知数，将原方程组转化为一个含有三个未知数的方程组，然后再求解这个方程组。
②这种方法的特点是：将分式方程组转化为整式方程组，然后再求解。
需要注意的是，在解分式二元一次方程组时，需要先将分式方程化为整式方程，然后再进行求解。
二元一次方程组的解法3种
二元一次方程组的解法3种一、图解法图解法主要是通过绘制方程的直线图来求解方程组的解。
1.如果方程组的两个方程相交于一点，则该点就是方程组的解。
2.如果两个直线平行，则方程组无解。
3.如果两个直线重合，则方程组有无穷多解。
对于二元一次方程组，有以下三种情况的图解法：1.两直线相交于一点例如，解方程组：2x+3y=74x-y=31.1首先将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x-y-3=01.2然后绘制两个方程的直线图。
在坐标系上选取适当的尺度和范围，选择一些点，计算方程的值，然后连接这些点，画出两条直线。
1.3观察两条直线是否相交于一点。
如果相交于一点，则该点即为方程组的解。
2.两直线平行例如，解方程组：2x+3y=74x+6y=142.1将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x+6y-14=02.2绘制两个方程的直线图。
2.3观察两条直线是否平行。
如果平行，则说明方程组无解。
3.两直线重合例如，解方程组：2x+3y=74x+6y=143.1将两个方程转化成一般式：2x+3y-7=04x+6y-14=03.2绘制两个方程的直线图。
3.3观察两条直线是否重合。
如果重合，则说明方程组有无穷多解。
二、代入法代入法是通过将一个方程的解代入另一个方程，得到一个只含有一个未知数的方程，从而解出另一个未知数的值，从而求解方程组。
例如，解方程组：2x+y=54x+3y=131.选择一个方程，假设解方程为x=a。
2.将x=a代入另一个方程中，得到只含有一个未知数y的方程。
3.解出y的值。
4.将解得的y值代入已知的其中一个方程中，解出x的值。
代入法的优点是简单易懂，但在一些复杂的方程组中，会比较繁琐。
三、消元法消元法是通过构造一个等价的方程组，通过消除一个未知数，从而求解方程组。
例如，解方程组：2x+3y=74x-y=31.构造等价的方程组：2x+3y=7(1)8x-2y=12(2)2.通过线性组合将方程(2)消除一个未知数。
二元一次方程组的解法全面版
把②变形得：x
5y 11 2
代入①，不就消去 x了！
把②变形得 5y2x11
可以直接代入①呀！
小
明
小丽
5 y和 5y
互为相反数…… 小彬
按照小丽的思路，你能消去一个未知数吗？
思路
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
§4.3 二元一次方程组的解 法(二)
复习:
1、解二元一次方程组的基本思路是什么？
基本思路: 消元: 二元
一元
2、用代入法解方程的步骤是什么？
主要步骤：
1. 变
2. 代3. 解 4.写解
用一个未知数的代数式 表示另一个未知数
消去一个元 分别求出两个未知数的值
写出方程组的解
问 题 怎样解下面的二元一次方程组呢？
试一试
用加减消元法解下列方程组.(你
可以选择你喜欢的一题解答)
7x-2y=3 9x+2y=-19
6x-5y=3 6x+y=-15
例4. 解方程组:
分析：
2x 3y 12 ① 当方程组中两方程未知数系数不
3x 4y 17 ②
具备相同或互为相反数的特点时 要建立一个未知数系数的绝对值
5x-6y=9 7x-4y=-5
小结 ：
1.加减消元法解方程组基本思路是什么？
主要步骤有哪些？
基本思路: 加减消元: 二元
一元
主要步骤： 变形 加减
同一个未知数的系
数相同或互为相反数 消去一个元
求解
分别求出两个未知数的值
写解
写出方程组的解
2. 二元一次方程组解法有: 代入法、加减法
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4、写出方程组的解
随堂练习： 你解对了吗？
1、用代入消元法解下列方程组
y=2x x=4 ⑴ x+y=12 y=8 ⑵
x=y—2-5
4x+3y=65
x=5 y=15
x+y=11
3x-2y=9
⑶ x-y=7
x=9 ⑷
x=3
y=2
y=0
x+2y=3
.
能 力 检 验 解二元一次方程组
（1）
2a b 18,
.
X＋y＝22 ① 2x＋y＝40 ②
观察上面两个方程,是否为一元一次方程？ 这两个方程有什么共同特点？ 含有两个未知数，并且 未知数的项的次数都是1 ， 这样的方程叫做二元一次方程。 如何判断一个方程是二元一次方程？
判断点①:未知数几个？2个
判断点②:每个未知数最高次数是几次？1次 判断点③:等式两边都是整. 式 单项式&多项式
.
例题讲解：
像这样的方程组能用加减消元法来解吗？
{3 x+4 y=16 ① 5 x- 6 y=33 ②
消元先看相同 未知数系数的
最小公倍数
解：①×3，得 9x+12y=48 ③ ②×2, 得 10x-12y=66 ④ ③+④ , 得 19x=114
x=6
把x=6代入① ,得 3×6+4y=16
变形 后加 减消 元法
一.二元一次方程概念
1. 若 3xm15y2n 3是一个二元一次方程，则
m ０ ， n １ ，．
2.请判断下列各方程中，哪些是二元一次
方程，
(1)2x+5y=10
(2) 2x+y+z=1
(3)x2+y=20
(4)x2+2x+1=0
(5). 2 y 3 x
(7)2xy +1=3
(6)2x+10 =0
4y=-2
{1
y=- 2
.
x=6
所以，方程组的解是
1
y=-2
检测:用加减法解方程组:
2x+y＝3 ①
(1) 3x－5y＝11 ②
(2) 2x+5y＝1 ① 3x+2y＝7 ②
.
例2：用加减法解方程组 消去x应如何解？
{3x+4y=16 ① 5x-6y=33 ②
解的结果和上边的 一样吗？
解：①×3，得 ②×2, 得
把m 3 代入③，得： 7
n 12 3
n 1
7
7
7m = 3
m3 7
m的值3为 ，n的值1为
7
7
.
.
解方程组
2x -5y=7 ①
2x+3y=-1 ②
解:由 ② -①得: 8y=-8
y＝-1
把y＝-1代入①，得： x＝1
x 1
所以原方程组的解是 .
y
1
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
a
3b
2.
（2）
y
2.
1
1
2、若方程5x 2m+n + 4y 3m-2n = 9是关于x、y的
二元一次方程，求m 、n 的值.
解： 根据已知条件可
列方程组： 2m + n = 1 ① 3m – 2n = 1 ②
由①得：n = 1 –2m ③
把③代入②得： 3m – 2（1 – 2m）= 1 3m – 2 + 4m = 1
-5y= -10
y=2 把y=2代入③ ，得 x=5 ∴原方程组的解是 x=5
y=2.
把求出的解 代入原方程 组，可以知 道你解得对
不对。
练习题 1、 解方程组 ① 2x - 4y = 5
x = 3y - 1
② 3x – 6z = 4 x + 5z = 6
讨论 4x + 5y = 4 用含x 的一次式表示y：
解:由①+②得: 5x=10
x＝2 把x＝2代入①，得： y＝3
x 2
所以原方程组的解是
.
y
3
直接加减消元法
3x 5y 21 ① 2x 5y -11 ②
2x-5y=7 ① 2x+3y=-1 ②
由①+②得: 5x=10 由 ②－①得:8y＝－8
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反 或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减， 就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程， 这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
2、用含y的代数式表示x： 2x - 7y = 8
.
例1 解方程组 2y – 3x = 1 x=y-1
解： 2y – 3x = 1① x=y-1 ②
把②代入①得： 2y – 3（y – 1）= 1 2y – 3y + 3 = 1 2y – 3y = 1 - 3 -y=-2 y= 2
分析 2 y – 3（y-1）x = 1 x=y-1
9x+12y=48 10x-12y=66
④③
③+④ , 得 19x=114
把x=6代入① ,得x3=×66+4y=16
{ 所以，方程组的解是 .
4y=-2 1
y=-
x=6
2
y=- 1
2
1、若 4 x 2 y 3 x 2 y 7 2 0
求x，y的值．
2.已知
x 3
y
2
与
x y
1
用代入法解方程组
把y = 2代入②，得
x=y–1=2–1 =1
∴ x=1
y=2
.
（在实践中学习）
2x+3y=16 ①
用代入法解方程组
x+4y=13 ②
解：由② ，得 x=13 - 4y
③
把③代入② 可以吗？试
试看
把③代入① ，得 2（13 - 4y）+3y=16
26 –8y +3y =16
把y=2代入① 或②可以吗？
4 4x y= 5 用含y 的4一 次5 y式表示x： x= 4
用代入法解二元一次 方程组的一般步骤
1、将方程组里的一个方程变 形，用含有一个未知数的一次 式表示另一个未知数
2、用这个一次式代替另一个 方程中相应的未知数，得到一 个一元一次方程，求得一个未 知数的值
3、把这个未知数的值代入一 次式，求得另一个未知数的值
除数不能含有字母
什么是二元一次方程？ 含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都 是1，这样的方程叫做二元一次方程
什么是二元一次方程组？ 由两个一次方程组成并含有两个未知数的方程组 叫做二元一次方程组
什么是二元一次方程的解？ 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值， 叫做二元一次方程的解
什么是二元一次方程组的解？ 方程组里各个方程的公共. 解叫做这个方程组的解
1
都是方程
m x2ny1的解，求m，n的值．
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思考题
2x - y = 3
ax + by = 1
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3.请判断下列各方程中，哪些是二元一次 方程组，哪些不是？
｛2x+5y=10 x+z=1
｛2 y 3 x 2x+3y=5
｛2xy +1=3 x +y=20
2 m n 3 3 m n 1
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1、用含x的代数式表示y： (1)x + y = 22 (2)5x=2y (3)2x-y=5