线性规划对偶理论与灵敏度分析
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运筹学对偶理论与灵敏度分析
17
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
15
（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
（6）（互补松驰性）
若X*、Y*分别是原问题和对偶问题的可行解，则X*、Y*是最优解的充要条件是： Y*XS=0,YSX*=0 (其中XS，YS分别是原问题和对偶问题的松驰变量向量)。
证明：设原问题和对偶问题的标准型是 原问题
对偶问题
max Z CX
s.t.
AX X, Xs
Xs 0
b
CX (0) Y (0)b CX
所以 X是(0最) 优解。
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（5）（强对偶定理） 若互为对偶问 题之一有最优解，则另一问题必有最优解，且它们的 目标函数X值* 是相原等问题。的最优解，对应基阵B必存在
C CB B1A 0
即得到 Y *A， C其中
Y * CB B 1
若 Y * 是对偶问题的可行解，它使
3x5 2 x4 2x5
3
解：对偶问题为
maxW 2 y1 3y2
x2 3x5 2
x1
x2
2x5
3
化简为
x1 1 x5
x2
2
3x5
y2 3
(1)
y1 y2 4
( 2)
5
y1 y1
y2 2 y2 5
( 3) ( 4)
3y1 2 y2 9
( 5)
y1, y2 0
n
max z c j x j j 1
s.t.
n
aij x j bi ,
j1
i 1, 2,
,m
x
j
0,
j 1, 2, , n
特点：对偶变量符号不限
对偶问题:
m
minW bi yi i 1
s.t.
m
aij yi c j ,
i1
3对偶理论与灵敏度分析解析
X ≥0
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
对偶的定义 min W= Y b s.t. ATY ≥ C
Y≥0
min Z’= - CX
max W’ = -Yb
s.t. - AX ≥ - b
s.t. -ATY ≤ -C
X ≥0 对偶的定义
Y≥0
__
__
（2）弱对偶性：设 X和 分Y 别是问题（P）和（D）的
可行解，则必有
__ __
n
m
C X Y b, 即 c j x j yibi
i 1
m
aij yi
c j ( j 1,2,, n)
i1
yi无符号限制（无约束）(i 1,2,, m)
例： 原问题为
max Z 2 x1 3 x2 4 x3
2 x1 3 x2 5 x3 2
3
x1
x2
7 x3 3
x1 4 x2 6 x3 5
x1 , x2 , x3 0
对偶问题的无界性。
无界
关于无界性有如下结论：
minW 4 y1 2 y2
原问题 问题无界
对偶问题 无可 行解
（D）
y1 y1
y2 y2
2 1
y1
0,
y2
0
无可 行解
问题无界
无可 行解
推论3：在一对对偶问题（P）和（D）中，若一个可行 （如P），而另一个不可行，（如D），则该可行的问 题无界。
一、问题的提出
• 对偶是什么：对同一事物（或问题），从不同 的角度（或立场）提出对立的两种不同的表述。 • 在平面内，矩形的面积与其周长之间的关系， 有两种不同的表述方法。 （1）周长一定，面积最大的矩形是正方形。 （2）面积一定，周长最短的矩形是正方形。 • 这种表述有利于加深对事物的认识和理解。 • 线性规划问题也有对偶关系。
运筹学线性规划对偶理论和灵敏度分析
建立非对称形式线性规划问题旳对偶模型可采用下 列环节： （1）经过变换，把线性规划问题化为具有对称形式 旳原问题。 （2）根据原问题，写出对偶问题。（此时旳对偶并 非是原线性规划问题旳对偶） （3）经过变量代换等，把参数还原为最初旳形式 （必须做）。
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
例2.1.2写出下面非对称线性规划问题旳对偶。 max z = x1+2 x2 + x3 x1 + x2 － x3 ≤ 2
xj x1 x2 …
xn 原始约束 对偶：极小化 w
y1
a11 a12
…a22
… a2n ≤
b2
：
：
：
：
：
ym
am1 am2
…
amn ≤
bm
对偶约束 ≥ ≥ …
≥
原始极大化 z c1 c2 …
cn
阐明：表 2旳变量行与参数行相乘构成原始问题旳约 束条件和目旳函数；表2 旳变量列与参数列相乘构成 对偶问题旳约束条件和目旳函数。
max
z 33
=22002233 x1+4000 x1+ 44x2 + 2 2x3
x2 ≤
+3000 606000
x3 y1
22x1 + 1x2 + 2 2x3 ≤ 404000 y2 1 x1+ 33x2 + 33x3 ≤ 30300 y3 1x1+ 2 2x2 + 4 4x3 ≤ 20200 y4 x1 ≥0, x2 ≥ 0,x3 ≥0
max z = CX +0Xs st. AX + IXs = b
X , Xs≥0
其中，I 是相应于松弛变量旳单位方阵。
单纯形法计算时，总是选择 I 为初始可行基，松 弛变量作为初 始基变量旳。因为松弛变量作为基变
《运筹学》胡运权第4版线性规划的对偶理论及灵敏度分析省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
13
2
y3
2 3
题
y1符号不限, y 2 0, y3 0
非 对 偶 形 式 旳 原对 偶 问 题
例2-4 写出下列问题旳对偶问题
max z c1x1 c2 x2 c3x3
a11x a12 x a13x3 b1
s.t.
a21x1 a31x1
a22 x2 a32 x2
a23 x3 a33 x3
出让自己旳资源？
问 题 旳 导 出
例2-1
条件：出让代价应不低于用同等数量资源由自己组织生 产活动时获取旳获利。
y1,y2,y3分别代表单位时间（h）设备A、设备B和调试工 序旳出让代价。 y1,y2,y3旳取值应满足：
6y 2
y 3
2
5y 1
2y 2
y 3
1
美佳企业用6h设备B和1h调试可 生产一件家电I,获利2元
y1, y2 , y3 0
LP1和LP2两个线性规划问题，一般称LP1为原问题， LP2为前者旳对偶问题。
max Z c1x1 c2 x2 cn xn
对 偶 问 题
s.t.
a11 a21
am1
a12 a22
am2
a1n x1 b1
a2n
x2
b2
amn xn bm
规 划 问
minW b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1 a21 y2 am1 ym (, )c1
a12y1
a22 y2
am2
ym
(,
)c2
题 旳 对 偶 问
a1n y1 a2n y2 amn ym (, )cn
题
y j 0(符号不限,或 0)i 1 ~ m
运筹学：第1章 线性规划 第3节 对偶问题与灵敏度分析
s.t.
4x1 3x1
5x2 200 10x2 300
x1, x2 0
9x1 4x2 360
s.t.
34xx11
5x2 10 x
200 2 300
3x1 10x2 300
x1, x2 0
则D为
min z 360y1 200y2 300y3 300y4
9 y1 4 y2 3y3 3y4 7 s.t.4 y1 5y2 10 y3 10 y4 12
amn xn bm ym xn 0
机会成本 a1 j y1 a2 j y2 aij yi amj ym
表示减少一件产品所节省的可以增加的利润
（3）对偶松弛变量的经济解释——产品的差额成本
机会成本
利润
min w b1 y1 b2 y2 bm ym
a11 y1
st
a12
y1
a1n y1
max z CX
（P）
AX b
s
.t
.
X
0
（D）
min w Yb
s.t.
YA C Y 0
• （2）然后按照（D）、（P）式写出其对偶
例：写出下面线性规划的对偶规划模型：
max z 2x1 3x2
min w 3 y1 5y2 1y3
x1 2x2 3 y1 0
s.t.
2xx11
例如，在前面的练习中已知
max z 2.5x1 x2 的终表为
3x1 5x2 15 s.t.5x1 2x2 10
x1, x2 0
0 x3 9 2.5 x1 2
0 19 1 - 3
5
5
1
2
0
1
5
灵敏度分析与对偶理论
min f 300 y 1 400 y 2 250 y 3 1 y 1 2 y 2 50 y 1 y 2 y 3 100 y1 , y 2 , y 2 0
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
原问题：求目标函数 值最大值问题
对偶问题：求目标函数 值最小值问题
互为对偶问题
m ax z C X
m in f b Y
min f 3 x 1 9 x 2 4 x 3 x 1 2 x 2 3 x 3 180 2 x 1 3 x 2 x 3 60 5 x 1 3 x 2 240 x 1 , x 2 0 , x 3 无约束变量
max z 180 y 1 60 y 2 240 y 3
'
xB
'
0
x Bi ' x Bi ' m a x ' d ik 0 b k m in ' d ik 0 d ik d ik
例：
X5
X1
X2
X3
X4
CB 50 0
XB X1 X4
b 50 50
50 1 0
资源限制
问题2（对偶问题） 现在假设工厂准备把设 备A,B,C用于出租，确定 合理的租金？
300 400 250
设y1, y2, y3 分别为三种 设备的租金。
max z 50 x 1 100 x 2 x 1 x 2 300 2 x 1 x 2 400 x 2 250 x1 , x 2 0
j
cj CBB
1
Pj c j C B Pj
'
c j ( C B 1 ,..., C BK C K ,..., C Bm ) P j
对偶问题与灵敏分析
y1，y2，… ，ym ≥0
y1，y2，… ，ym ≥0
原问题为：
Max Z= c1x1+c2x2+…+cnxn Min (-Z）= -c1x1-c2x2-…-cnxn
a11x1 + a12x2+…+a1n xn ≤ b1 a21x1 + a22x2+…+a2n xn ≤ b2
MaxZ（X）= 2x2-5x3
y1 -x1
-x3 ≤- 2
y2 2x1 + x2+6x3 ≤ 6
y3/
x1 - x2+3x3 ≤ 0
y3// -x1 + x2-3x3 ≤ 0
x1，x2，x3≥0
其对偶问题为：
Min W(y）= -2y1+6y2
x1
-y1 +2y2 +y3/ -y3//
≥x02
y2 -y3/ +y3// ≥2
4
4 x4
6
x1 0, x2 , x3 0, x4无限制
s.t约无2变y束符1y量4方号y1≤1y≥程约01003≤束7,≥=2yyy13y22y22约40y束y3无,332变y方y符3y3量程号无31≥≥≤≤约=00限53束2制
2．1．4对偶问题的基本性质
以对称型为例
设原问题（P）为 其对偶问题（D）为
无符号约束
约束方程≥ ≤
=
原问题（ P）为
对偶规划问题（D）为：
max z c1x1 c2 x2 c3 x3 c4 x4
s.t aa2111xx11
a12 x2 a22 x2
a13 x3 a23 x3
a14 x4 a24 x4
运筹学-02对偶理论与灵敏度分析
page 9 Sep.2009
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
Yao Yuan School of Business Administration
目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
page 3 Sep.2009
min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
Yao Yuan School of Business Administration
Operations Research
原问题和对偶问题的对应关系
原问题（对偶问题） 对偶问题（原问题） 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束系数矩阵 约束条件的右端向量
A b C
min W Y T b A Y C s.t. Y 0
T T
X n1，Ym1 C1n，Amn，bm1
对偶问题 约束系数矩阵的转置 目标函数中的价值系数向量 约束条件的右端向量 Min W=YTb ATY≥CT
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目标函数
目标函数中的价值系数向量
max Z c j x j
j 1 n
约束条件的右端向量
min W bi y i
有n个 ( j 1,..., n) m a y c 约 ij i j i 1 束 m aij y i c j 条 i 1 件 m a ij y i c j i 1
0 6 1 2
5 2 1 1
15 24 5
max Z 2 x1 x2 5 x2 15 6 x 2 x 24 1 2 s.t. x1 x2 5 x1 , x2 0
min W 15 y1 24 y 2 5 y 3 6 y 2 y3 2 s.t.5 y1 2 y 2 y 3 1 y ,y ,y 0 1 2 3
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min W 24 y1 26 y 2 2 y1 3 y 2 4 s.t.3 y1 2 y 2 3 y ,y 0 1 2
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令 y1 w1, y2 w2, y3 w3 w4 经整理得 :
min g( y) 20 y1 10 y2 5y3
s.t.
3y1 4 y2 y3 4 2 y1 3y2 y3 5
y1 0, y2 0, y3 不限
max f ( x) 4x1 5x2 5x2
3x1 2 x2 2 x2 20
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
项目
I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润
21
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st. 6xx11
2x2 x2
24 5
x1 , x2 0
1. 对偶问题的提出
假定有某个公司想把美佳公司的资源买过来，
它至少应付出多大代价，才能使美住公司愿意放
变量个数—————— 约束个数
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
15y1+24y2+5y3
1. 对偶问题的提出
所以 (LP2) min 15y1 24y2 5y3
st.5
6 y2 y3 y1 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
比较LP1和LP2
(LP1) max z 2x1 x2
5x2 15
st.6xx11
2x2 x2
（出售资源后所得不应比生产产品所得少），则：
项目 I II 设备A (h) 0 5 设备B (h) 6 2 调试程序 (h) 1 1
利润 2 1
每天可用能力 15 24 5
6 y2 y3 2 5y1 2 y2 y3 1
收购美佳公司应付出 的代价为（总的收购价 越小越好）：
约束个数—————— 变量个数
约束系数行 ————— 约束系数列
3. 非对称形式的原－对偶问题关系
对偶变换的规则
原问题(max)
技术系数矩阵 A 价值系数 C 右端项 b
第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 型 第 i 行约束条件为 = 型
决策变量 xj 0 决策变量 xj 0 决策变量 xj 不限
w1, w2 , w3, w4 0
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
x j 0( j 1, , n)
对偶问题（ D）的一般形式
min b1 y1 b2 y2 bm ym
a11y1 a21y2 am1 ym c1
st.a12 y1
a22y2
am2 ym
c2
a1n y1 a2n y2 amn ym cn
y j 0(i 1, , m)
对偶问题(min)
技术系数矩阵 AT
右端项 b
价值系数 C
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 0
对偶变量 yi 不限
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 型
第 j 行约束条件为 = 型
❖ 约束条件的类型与非负条件对偶 ❖ 非标准的约束条件类型对应非正常的非负条件
练 习：
化为(max, )型标准问题
s.t.
4
x1
3x2 3x2 x1 x2 x2
10 5
x1 x2 x2 5
x1, x2 , x2 0
应用标准型对偶变换规则
min h(w) 20w1 10w2 5w3 5w4
3w1 4w2 w3 w4 4
s.t.
2w1 3w2 w3 w4 5 2w1 3w2 w3 w4 5
§2 线性规划的对偶理论与灵敏度分析
§2-1线性规划的对偶问题
对偶:在不同的领域有着不同的诠释。在词语 中，它是一种修辞方法，两个字数相等、结构 相似的语句表现相关或相反的意思。在数学上 表现为数式或图形的对称,命题或结构的对应
1. 对偶问题的提出 例1 第一章例1中美佳公司利用该公司资源生产
两种家电产品时,其线性规划问题为
原问题 maxZ=CX
AX b X0
对偶问题 minW=Y’b
A’Y C’ Y0
2. 对偶问题的一般形式
原问题（P）的一般形式
max z c1x1 c2 x2 cn xn
a11x1 a12 x2 a1n xn b1
st.
a21x1
a22
x2
a2n xn
b1
am1x1 am2 x2 amnxn b1
矩阵形式表示原－对偶问题
(P) max z CX
(D) min Y 'b
AX b
st.
X
0
互称对偶问题
A'Y C ' st.
Y 0
原问题(P)
对偶问题(D)
价格系数—————— 资源向量
资源向量—————— 价格系数
对应关系： 最大化 —————— 最小化
变量个数—————— 约束个数
24 5
x1 , x2 0
( LP 2 )
min 15 y1 24 y2 5 y3
st.5
6y y1
2 y3 2 y2
2 y3
1
y1, y2 , y3 0
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
每个线性规划问题都存在一个与其对应的对偶问题
弃生产活动，出让自己的资源。
美佳公司愿意让自己资源的条件是，出让代价
应不低于用同等数量资源由自己组织生产活动时
获取的赢利。
项目 I II 每天可用能力
设备A (h) 0 5
15
设备B (h) 6 2
24
调试程序 (h) 1 1
5
利润 2 1
1. 对偶问题的提出
用y1，y2，y3代表单位时间设备A、设备B和调试工