辽宁省沈阳市高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教B版选修44
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高二数学选修44直角坐标系ppt课件.ppt
总结归纳 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
b2+c2=5a2,BE,CF分别为边AC,AB上 的中线，建立适当的平面直角坐标系 探究BE与CF的位置关系。
C
E
A
F
B
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
y
C E
O(A)
F
Bx
例题分析 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识
中国历史上吸烟的历史和现状、所采 取的措 施以及 由此带 来的痛 苦和灾 难，可 以进一 步了解 吸烟对 人民健 康的危 害，提 高师生 的控烟 意识
P
C
B
接报中心
A
R
L
引例分析 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识
建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系: （1）若图形有对称中心，则可选对称中心为坐标原点； （2）若图形有对称轴，则可选择对称轴为坐标轴； （3）建系应使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
练一练 中国历史上吸烟的历史和现状、所采取的措施以及由此带来的痛苦和灾难，可以进一步了解吸烟对人民健康的危害，提高师生的控烟意识
高三数学精品课件： 选修4-4 坐标系与参数方程
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[主干知识·自主梳理]
小题诊断
重温教材 自查自纠
1．椭圆 C 的参数方程为
x＝5cos φ， y＝3sin φ
(φ
为参数)，过左焦
点
F1
的直线
l
与
C 相交于 18
A，B
两
点，则|AB|min＝___5_____.
由yx＝＝35scions
φ， φ
(φ 为
参数)得，2x52 ＋y92＝1，
将 ∴xy＝＝直 t1－＋2线－1t2＋3＝l t的，2－t参2(，数t 为t方1t参2程＝数代－)，入74曲，y线2＝C4x的，极整坐理标得方4程t2＋为8ρt－sin72＝θ＝0，4cos
θ.设直线 l ∴ |AB| ＝
与－曲3线2＋C 2相2 |t交1 －于t2A| ＝，B1两3 ×点，t则1＋|At2B2|＝－_4_t1_t2_1＝_4_3__1.3
－圆4心sinCθ的相坐交标于为A(1，，B－两2)点，，半若径|ArB＝|＝52，3所，以则圆实心数Ca 到的直值线为
_的_－_距_5_离或__为－__|11_＋__2．＋a|＝ 2
r2－|A2B|2＝ 2，解得 a＝－5 或 a
＝－1.故实数 a 的值为－5 或－1.
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[主干知识·自主梳理] 重温教材 自查自纠
解析：∵ρsin2α－4cos α＝0，∴ρ2sin2α＝4ρcos α， ∴曲线 C 的直角坐标方程为 y2＝4x. 由xy＝＝22tt，＋1， 消去 t，得 x＝y＋1. ∴直线 l 的普通方程为 x－y－1＝0. 点 M(1,0)在直线 l 上，
专题七第1讲选修44坐标系与参数方程课件共39张PPT
ρsin
θ＝
3 3 ρcos
θ－4 3 3＋1，
ρsin θ＝－ 33ρcos θ＋433＋1。
2．(2021·全国甲卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝2 2cos θ。
(1)将C的极坐标方程化为直角坐标方程；
(2)设点A的直角坐标为(1,0)，M为C上的动点，点P满足
解 (1)由题意知⊙C的标准方程为(x－2)2＋(y－1)2＝1，
则⊙C的参数方程为yx＝＝12＋＋scions
α， α
(α为参数)。
(2)由题意可知，切线的斜率存在，设切线方程为y－1＝k(x－4)， 即kx－y＋1－4k＝0， 所以|2k－1k＋2＋1－1 4k|＝1，解得k＝± 33，
则这两条切线方程分别为y＝ 33x－433＋1，y＝－ 33x＋433＋1， 故这两条切线的极坐标方程分别为
解 (1)解法一：曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入，得t2＋ t＝0，解得t＝0或t＝－1，根据参数的几何意义可知|AB|＝1。
解法二：直线l的普通方程为y＝ 3(x－1)，曲线C1的普通方程为x2＋y2＝1， 由yx＝ 2＋y32＝x－1，1， 得l与C1的交点坐标为(1,0)，12，－ 23，则|AB|＝1。
(t为参数)。
(1)将C1，C2的参数方程化为普通方程； (2)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设C1，C2的交点为P， 求圆心在极轴上，且经过极点和P的圆的极坐标方程。
解 (1)由C1的参数方程得，C1的普通方程为x＋y＝4(0≤x≤4)。 由C2的参数方程得x2＝t2＋t12＋2，y2＝t2＋t12－2，所以x2－y2＝4。 故C2的普通方程为x2－y2＝4。
第十二章坐标系与参数方程(选修4—4)课件
目录
第十二章 坐标系与参数方程[选修4－4] 第一节 坐标系 第二节 参数方程
数学（广东专版）
第一节 坐标系
基 础
第十二章 坐标系与参数方程[选修4－4]
知
识
要 打 牢
解 题 训
练
要
高 频
[知识能否忆起]
高
效
考
点
要
通
关
数学（广东专版）
第一节 坐标系
一、极坐标系与极坐标
基 础
如图，在平面内取一个定点O，叫做极
知 识 要 打 牢
为 y′＝2sin4x′＋π4”则此伸缩变换为________．
解
析
：
设
伸
缩
变
换
为
x′＝λx，λ>0， y′＝μy，μ>0，
代入
y′ ＝
解 题 训
高
2sin4x′＋π4，得 μy＝2sin4λx＋π4.∴y＝μ2sin4λx＋π4.
练 要 高
频
考 点 要 通 关
与 y＝sin2x＋π4对比知，μ42λ＝＝12. ， 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
高
点．
要 高
频 考
2．极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程， 效
点
要
转化时注意方程的等价性．
通
关
数学（广东专版）
第一节 坐标系
基 ３．(2012·深圳调研)在极坐标系中，点 P1，π2到曲线
础
知 识 要 打 牢
l：ρcosθ＋π4＝3 2 2上的点的最短距离为________．
解
解析：点 P1，π2的直角坐标是(0,1)，曲线 l：ρcosθ＋π4
题 训 练
第十二章 坐标系与参数方程[选修4－4] 第一节 坐标系 第二节 参数方程
数学（广东专版）
第一节 坐标系
基 础
第十二章 坐标系与参数方程[选修4－4]
知
识
要 打 牢
解 题 训
练
要
高 频
[知识能否忆起]
高
效
考
点
要
通
关
数学（广东专版）
第一节 坐标系
一、极坐标系与极坐标
基 础
如图，在平面内取一个定点O，叫做极
知 识 要 打 牢
为 y′＝2sin4x′＋π4”则此伸缩变换为________．
解
析
：
设
伸
缩
变
换
为
x′＝λx，λ>0， y′＝μy，μ>0，
代入
y′ ＝
解 题 训
高
2sin4x′＋π4，得 μy＝2sin4λx＋π4.∴y＝μ2sin4λx＋π4.
练 要 高
频
考 点 要 通 关
与 y＝sin2x＋π4对比知，μ42λ＝＝12. ， 所以所求伸缩变换为x′＝12x，
高
点．
要 高
频 考
2．极坐标方程应用时，一般化为直角坐标方程， 效
点
要
转化时注意方程的等价性．
通
关
数学（广东专版）
第一节 坐标系
基 ３．(2012·深圳调研)在极坐标系中，点 P1，π2到曲线
础
知 识 要 打 牢
l：ρcosθ＋π4＝3 2 2上的点的最短距离为________．
解
解析：点 P1，π2的直角坐标是(0,1)，曲线 l：ρcosθ＋π4
题 训 练
高考数学二轮复习第2部分专题篇素养提升文理专题7选修部分第1讲选修44坐标系与参数方程课件新人教版
34
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
典例3 (2020·南平三模)在平面直角坐标系 xOy 中，以原点
O 为极点，以 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为
ρ＝1－c2os
θ，直线
l1
的参数方程为xy＝＝ttcsions
α α
(t 为参数)，π2＜α＜π，点 A
为直线 l1 与曲线 C 在第二象限的交点，过 O 点的直线 l2 与直线 l1 互相垂 直，点 B 为直线 l2 与曲线 C 在第三象限的交点．
19
1．(2020·中原区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为 极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C1：ρ＝4sin θ，曲线 C2：ρ ＝4cos θ.
(1)求曲线 C1 与 C2 的直角坐标方程； (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝π3(ρ∈R)，设 C3 与 C1 和 C2 的交点 分别为 M，N，求|MN|.
25
典例2 (2020·河南模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C
的
参
数
方
程
为
x＝2cos α y＝ 3sin α
(α
为参数)，直线
l 的参数方程为
x＝1＋tcos α y＝tsin α
(t 为参数)．
(1)求曲线 C 和直线 l 的一般方程；
(2)已知点 P(1,0)，直线 l 和曲线 C 交于 A，B 两点，若|PA|·|PB|＝152，
14
典例1 (2020·沙坪坝区校级模拟)在平面直角坐标系 xOy 中， 以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 C1 的极坐标
方程为
ρ＝2acosθ，曲线
C2
的极坐标方程为
人教版高中数学选修4-4《坐标系与参数方程》1ppt课件
C2cosπ3＋π，2sinπ3＋π，
D2cosπ3＋32π，2sinπ3＋32π， 即 A(1， 3)，B(－ 3，1)，C(－1，－
3)，D(
3，－1)．
(2)设 P(2cos φ，3sin φ)， 令 S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2 则 S＝16cos2φ＋36sin2φ＋16＝32＋20sin2φ. 因为 0≤sin2φ≤1， 所以 S 的取值范围是[32,52]．
答案 2
[关键要点点拨]
1 ． 平 面 直 角 坐 标 系 中 任 意 一 点 P(x ， y) 在 伸 缩 变 换
x′＝λ·x，λ>0 y′＝u·y，u>0
的作用下对应到点 P′(x′，y′)．
2．极坐标系中，极坐标(ρ，θ)与(ρ，θ＋2kπ)(k∈Z)表示同一个点，
特别地，极点 O 的坐标为(0，θ)(θ∈R)．
• 即x2＋y2－2y－4x＝0.
• 答案 x2＋y2－4x－2y＝0
3
．
在
极
坐
标
系
中
，
以
a2，2π
为
圆
心
，
a 2
为
半
径
的
圆
的
方
程
为
________________．
解析 利用直角三角形的边、角关系可得圆的方程为 ρ＝asin θ.
答案 ρ＝asin θ
4．在极坐标系中，曲线 ρ＝2sin θ 与 ρcos θ＝－1(0≤θ<2π)的交点 的极坐标为________． 解析 由 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝2ρsin θ， 其普通方程为 x2＋y2＝2y， ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1， 联立xx＝ 2＋－y21＝，2y，
高中数学《 坐标系与参数方程》课件 新人教版选修4-4
四、柱坐标系与球坐 标系简介
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
内 第二讲 参数方程 容 一、曲线的参数方程
二、圆锥曲线的参数 方程
三、直线的参数方程
四、渐开线与摆线
坐 坐标系是解析几何的
标 基础，有了坐标系，
系
使几何问题代数化成 为可能，它是实现几何
的 图形与代数形式互相转
作 化的基础，使精确刻画
用
几何图形的位置和物体 运动的轨迹成为可能。
序数组 (, , z)叫做P的柱坐标，记作 P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱 坐 标 系
x
P(,,z)
z
o
y
x
Q
柱
坐
标
互 化
与 直 角
坐
标
的
空间点 P的直角坐(x标 , y,z)与柱坐(标 ,,z)
之间的变换公式为
xcos {y sin
zz
球 坐 标 系 的 概 念
坐 在不同的坐标系中， 标 同一个几何图形可 系 以有不同的表现形 的 式，这使解决问题 多 的方法有了更多的 样 选择。 性
平 教材从一个思考题出发，复
面
习了建立平面直角坐标系解
直
决实际问题的方法，并进一
角 坐
步提出思考:这种方法与用 直角坐标刻画点P的位置有 什么区别和联系?你认为哪
标
种方法更方便?为引入极坐
z rcos
曲 参数方程是曲线的另
线
一种表现形式，它弥 补了普通方程表示曲
的 线的不足，极坐标与
参 参数方程为研究较为
数 复杂的曲线提供了工 方 具。
程
参 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标
数 都是x ,某y 个变数t的函数 ，
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sin( ) 0 sin(0 )
重点 —— 过极点的直线
念 概 的 系 标 坐 柱 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,用(, ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组(, , z)(z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 (, , z)之间的一种对应关系。
用作与位地
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地位与作用
• 是解析几何与函数、 三角函数、向 量
等内容的综合应用
• 是高中数学课程选修系列
内4—4的第四个专题，包括 容“坐标系”和“参数方程”
两部分内容。
内容
• 第一讲 坐标系 • 一、平面直角坐标系 • 二、极坐标系 • 三、简单曲线的极坐标方程 • 四、柱坐标系与球坐标系简介
立了一个极坐标系。
• 设M极是平坐面标内一点，极点O与
点M的距离 OM叫做点M的
极径，记为 ；以极轴OX为
始边,射线OM为终边的角
XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 ,对 叫做
点M的极坐标，记做 ,
M
。一般地，不作特
殊说明时，我 们0认为 ，
可取任意实数。
• 建标立极坐坐极标系后，给定
和 ，就可以在平面内
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这 条曲线上，那么方程就叫这 条曲线的参数方程，联系变 数x,y 的变数t叫做参数，相对 于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系的方程叫做 普通方程
参 数 方 程 和 化普 通 方 程 的 互
• 可以通过消去参数而从参 数方程得到普通方程。
• 如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变 数与参数的关系，那么就 得到曲线的参数方程
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
找到它的极坐标 , 。
• 请注意：这里没有强调一 一对应！
,
不
, 2k k Z
惟 • 一般地，极坐标
与
表示同一个点。特别地，0,极 点 OR的
一坐标为
和直角坐标不同，
性平面内一个点的极坐标 有无数种
表示
“惟一性” • 如果规定 0 ，0 2 那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的
参
• •
求直数方程常线用的曲参线数的方参程数方程
• 圆的锥曲线的参数方程
• 渐应开线与摆线
用
圆锥曲线的参数方程
• 椭圆的参数方程 • 双曲线的参数方程 • 抛物线的参数方程
直线的参数方程
• 经过点
，倾斜
角为 的直线的参数方
程M是 x0 , y0
x
y
x0 y0
t cos t sin
参数方程曲线欣赏
内 • 第二讲 参数方程
• 一、曲线的参数方程
容 • 二、圆锥曲线的参数方程
• 三、直线的参系是解析几何的基础，有了坐标系，使 几何问题代数化成为可能，它是实现几何图 形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画 几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。
f ，,并 且0 坐标适合
方程
的点都在曲线C上f ，,那 0
么方程
叫做曲线C的极坐标方程。
程方标坐极的圆 r
• 圆心在极点的圆的极坐标方 程为
• 圆心不在极点，但经asi过n 极 点
的圆的极坐标a方程是
其中 是非零数， 是常数
直线的极坐标方程
a cos b sin c 0
•
其为 a,b, c 常数
• 摆线
• 渐开线
将一个圆轴固定在一个
渐
平面上，轴上缠线，拉
开 线
紧一个线头，让该线绕 圆轴运动且始终与圆轴 相切，那么线上一个定
点在该平面上的轨迹就
是渐开线。
直线渐在圆开上线纯滚动时，直线
上一点K的轨迹称为该圆的 渐开线，该圆称为渐开线的 基圆，直线称为渐开线的发 生线。 渐开线的形状仅取决
于基圆的大小，基圆越小， 渐开线越弯曲；基圆越大， 渐开线越平直；基圆为无穷 大时，渐开线为斜直线。
坐标系的多样性
• 在不同的坐标系中，同 一个几何图形可以有不 同的表现形式，这使解 决问题的方法有了更多 的选择。
平面直角坐标系
• 教材从一个思考题出发，复习了 建立平面直角坐标系解决实际问 题的方法，并进一步提出思考:这 种方法与用直角坐标刻画点P的位 置有什么区别和联系?你认为哪种 方法更方便?为引入极坐标系埋下 了伏笔。
程方线开渐
渐开线方程为： x=r×cosθ+θ×r×sinθ y=r×sinθ-θ×r×cosθ
式中，r为基圆半径；θ为 展角，其单位为弧度
法画线开渐
摆线
• 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基 线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。
• 当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
• 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时， 就得到内摆线或变幅内摆线。
x r sin cos {y r sin sin
z r cos
曲 线 的 参 数 方 程
• 参数方程是曲线的另一种表现形式，
• 它弥补了普通方程表示曲线的不足，
• 极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供 了工具。
参数方程的概念 • 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 都是x,某y 个变数t的函数 ，
之间建立了一种对应关系，
球 坐 标 系
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间
极坐标系），有序数组(r,, )叫做点P的球坐标， 记作P(r,, ),其中r 0,0 ,0 2
球坐标系
P(r,, )
化互的标坐角直与标坐球
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(r,, )
之间的变换公式为
zz
球 坐 标 系 的 概 念
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
伸 • 设点 Px, y 是平面直角
缩
坐标系中的任意一点，在变
变 换 的 定
换
:
x y
x, y,
0 0
Px, y
的作P用x下, y， 点 对应到
点
，称 为平面直
义
角坐标系中的坐标伸缩变换，
简称伸缩变换
极
• 在自坐平极面点O内引取一一条个射定线点OOX，，叫叫做做极极点； 轴标；再选定一个长度单位、一个角 度（系单 通位常（取通逆常时取针弧方度向））及，其这正 样方 就建向
化 互 的 标• 设坐M是角平直面内和任标意一坐点极，它
的直角坐标是 x, y ，极坐标
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x cos
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲
线C上任意一点f 的,极 坐0标中至少有一个
满足方程
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有
序数组(, , z)叫做P的柱坐标，记作P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱坐标系
P(,, z)
z
o
y
x
x
Q
化互的标坐角直与标坐柱
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(, , z)
之间的变换公式为
x cos {y sin
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时， 若两圆外切，就得到外摆线或变幅外 摆线
• 当一个圆沿着一条定直线无滑动地
摆 滚动时，圆周上一个定点P的轨迹 线 叫做平摆线，又叫旋轮线。
P A
O
B
重点 —— 过极点的直线
念 概 的 系 标 坐 柱 一般地，建立空间直角坐标系Oxyz,设P是空间 任意一点，它在Oxy平面上的射影为Q,用(, ) ( 0,0 2 )表示点Q在平面Oxy上的极坐 标，这时点P的位置可用有序数组(, , z)(z R) 表示。这样，我们建立了空间的点与有序数组 (, , z)之间的一种对应关系。
用作与位地
是“平面解析几何 初步”和 “圆锥曲 线与方程”的延续 与拓广
地位与作用
• 是解析几何与函数、 三角函数、向 量
等内容的综合应用
• 是高中数学课程选修系列
内4—4的第四个专题，包括 容“坐标系”和“参数方程”
两部分内容。
内容
• 第一讲 坐标系 • 一、平面直角坐标系 • 二、极坐标系 • 三、简单曲线的极坐标方程 • 四、柱坐标系与球坐标系简介
立了一个极坐标系。
• 设M极是平坐面标内一点，极点O与
点M的距离 OM叫做点M的
极径，记为 ；以极轴OX为
始边,射线OM为终边的角
XOM叫做点M的极角，记
为 ，有序数 ,对 叫做
点M的极坐标，记做 ,
M
。一般地，不作特
殊说明时，我 们0认为 ，
可取任意实数。
• 建标立极坐坐极标系后，给定
和 ，就可以在平面内
并且对于t的每一个允许值， 由方程组所确定的点都在这 条曲线上，那么方程就叫这 条曲线的参数方程，联系变 数x,y 的变数t叫做参数，相对 于参数方程而言，直接给出 点的坐标间关系的方程叫做 普通方程
参 数 方 程 和 化普 通 方 程 的 互
• 可以通过消去参数而从参 数方程得到普通方程。
• 如果知道变数x,y 中的一个 与参数t的关系，把它代入 普通方程，求出另一个变 数与参数的关系，那么就 得到曲线的参数方程
惟一确定点M，反过来， 平面内任意一点，也可以
找到它的极坐标 , 。
• 请注意：这里没有强调一 一对应！
,
不
, 2k k Z
惟 • 一般地，极坐标
与
表示同一个点。特别地，0,极 点 OR的
一坐标为
和直角坐标不同，
性平面内一个点的极坐标 有无数种
表示
“惟一性” • 如果规定 0 ，0 2 那么除极点外，平面内的 点可用惟一的极坐标 , 表示；同时，极坐标 , 表示的点也是惟一确定的
参
• •
求直数方程常线用的曲参线数的方参程数方程
• 圆的锥曲线的参数方程
• 渐应开线与摆线
用
圆锥曲线的参数方程
• 椭圆的参数方程 • 双曲线的参数方程 • 抛物线的参数方程
直线的参数方程
• 经过点
，倾斜
角为 的直线的参数方
程M是 x0 , y0
x
y
x0 y0
t cos t sin
参数方程曲线欣赏
内 • 第二讲 参数方程
• 一、曲线的参数方程
容 • 二、圆锥曲线的参数方程
• 三、直线的参系是解析几何的基础，有了坐标系，使 几何问题代数化成为可能，它是实现几何图 形与代数形式互相转化的基础，使精确刻画 几何图形的位置和物体运动的轨迹成为可能。
f ，,并 且0 坐标适合
方程
的点都在曲线C上f ，,那 0
么方程
叫做曲线C的极坐标方程。
程方标坐极的圆 r
• 圆心在极点的圆的极坐标方 程为
• 圆心不在极点，但经asi过n 极 点
的圆的极坐标a方程是
其中 是非零数， 是常数
直线的极坐标方程
a cos b sin c 0
•
其为 a,b, c 常数
• 摆线
• 渐开线
将一个圆轴固定在一个
渐
平面上，轴上缠线，拉
开 线
紧一个线头，让该线绕 圆轴运动且始终与圆轴 相切，那么线上一个定
点在该平面上的轨迹就
是渐开线。
直线渐在圆开上线纯滚动时，直线
上一点K的轨迹称为该圆的 渐开线，该圆称为渐开线的 基圆，直线称为渐开线的发 生线。 渐开线的形状仅取决
于基圆的大小，基圆越小， 渐开线越弯曲；基圆越大， 渐开线越平直；基圆为无穷 大时，渐开线为斜直线。
坐标系的多样性
• 在不同的坐标系中，同 一个几何图形可以有不 同的表现形式，这使解 决问题的方法有了更多 的选择。
平面直角坐标系
• 教材从一个思考题出发，复习了 建立平面直角坐标系解决实际问 题的方法，并进一步提出思考:这 种方法与用直角坐标刻画点P的位 置有什么区别和联系?你认为哪种 方法更方便?为引入极坐标系埋下 了伏笔。
程方线开渐
渐开线方程为： x=r×cosθ+θ×r×sinθ y=r×sinθ-θ×r×cosθ
式中，r为基圆半径；θ为 展角，其单位为弧度
法画线开渐
摆线
• 摆线是研究一个动圆在一条曲线（基 线）上滚动时，动圆上一点的轨迹。
• 当基线是直线时，就得到平摆线或变 幅平摆线。
• 当基线是圆且动圆在定圆内滚动时， 就得到内摆线或变幅内摆线。
x r sin cos {y r sin sin
z r cos
曲 线 的 参 数 方 程
• 参数方程是曲线的另一种表现形式，
• 它弥补了普通方程表示曲线的不足，
• 极坐标与参数方程为研究较为复杂的曲线提供 了工具。
参数方程的概念 • 一般地，在平面直角坐标系中， 如果曲线上任意一点的坐标 都是x,某y 个变数t的函数 ，
之间建立了一种对应关系，
球 坐 标 系
把上述对应关系的坐标系叫做球坐标系（或空间
极坐标系），有序数组(r,, )叫做点P的球坐标， 记作P(r,, ),其中r 0,0 ,0 2
球坐标系
P(r,, )
化互的标坐角直与标坐球
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(r,, )
之间的变换公式为
zz
球 坐 标 系 的 概 念
一般地，建立空间直角坐标系Oxyz, 设P是空间 任意一点，连接OP，记 OP＝r，OP与Oz轴正
向所夹的角为，设P在Oxy平面上的射影为Q，
Ox轴按逆时针方向旋转到OQ时所转过的最小
正角为，这样P点的位置就可以用有序数组 (r,, )表示，这样，空间点与有序数组(r,, )
伸 • 设点 Px, y 是平面直角
缩
坐标系中的任意一点，在变
变 换 的 定
换
:
x y
x, y,
0 0
Px, y
的作P用x下, y， 点 对应到
点
，称 为平面直
义
角坐标系中的坐标伸缩变换，
简称伸缩变换
极
• 在自坐平极面点O内引取一一条个射定线点OOX，，叫叫做做极极点； 轴标；再选定一个长度单位、一个角 度（系单 通位常（取通逆常时取针弧方度向））及，其这正 样方 就建向
化 互 的 标• 设坐M是角平直面内和任标意一坐点极，它
的直角坐标是 x, y ，极坐标
是 , ，可以得到它们之间 的关系：
x cos
y sin
2 x2 y2
tan
y x
x
0
曲线的极坐标方程
• 一般地，在极坐标系中，如果平面曲
线C上任意一点f 的,极 坐0标中至少有一个
满足方程
把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有
序数组(, , z)叫做P的柱坐标，记作P(, , z), 其中 0，0 2，－ z
柱坐标系
P(,, z)
z
o
y
x
x
Q
化互的标坐角直与标坐柱
空间点P的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(, , z)
之间的变换公式为
x cos {y sin
• 当基线是圆且动圆在定圆外滚动时， 若两圆外切，就得到外摆线或变幅外 摆线
• 当一个圆沿着一条定直线无滑动地
摆 滚动时，圆周上一个定点P的轨迹 线 叫做平摆线，又叫旋轮线。
P A
O
B