信息论第1-2章-1(2013

则：
x(n) A sin( 0 n )
x(n N ) A sin[ 0 (n N ) ] A sin( 0 n N0 )
若 则：
N0 2k
为整数时，
x ( n) x ( n N )
根据周期序列的定义可知，这时正弦序列为周
期序列，其周期满足
应用系统 地质勘探 生物医学 机械振动 语音 音乐 视频 上限频率 f max 500Hz 1kHz ２kHz ４kHz ２０kHz ４MHz 采样频率 f s 1-2 kHz ２-４kHz 4-10 kHz 8-16 kHz 40-96 kHz 8-10 MHz
如何从离散信号恢复出连续时间信号 （1)从频域分析：
RN (n)
1

0
1
2
3
N-1
n
RN 和 (n)、u (n)的关系为：
RN (n) u(n) u(n N )
RN ( n ) ( n m )
m 0
N 1
4. 实指数序列
x(n) a u(n)
n
anu (n)
1 a a2 a3 a4
0
1
2
3
4
n
式中， a为实数。 当|a|<1 时，序列是收敛的；
nx=[0:3]
w=linspace(-2.8*pi,2.8*pi,10000) X=x*exp(-j*nx'*w) plot(w/pi,abs(X)) xlabel('\omega/\pi') ylabel('|X(e^j^\omega)|')
DTFT的性质
1. DTFT的周期性
X (e ) x ( n)e
第1 章
离散时间信号与系统
离散时间信号和数字信号的区别。
1.1 离散时间信号
1.1.1 几种常用的典型序列
1.单位脉冲序列
1 n 0 ( n) 0 n 0
δ (n ) 1
•
0
• • • -3 -2 -1
• • • • 1 2 3 4
n
2.单位阶跃序列
1 n 0 u ( n) 0 n 0
而当|a|>1时，序列是发散的。
a为负数时，序列是摆动的。
5.正弦序列
x(n) sin( 0 n)
sin(n ω0 ) 1
0 -1
n
如果对所有n 存在一个最小的正整数N，使
下面等式成立：
x ( n) x ( n N )
则称序列x(n)为周期性序列，周期为N。
下面讨论正弦序列的周期性。设
j

jn
1 x ( n) 2



X (e )e
jn
d
DTFT存在的充分条件：
n


x(n)
显然周期序列不满足此条件。
其中：
X (e ) X (e ) e
j
j
j ( )
X (e )表示x(n)的频域特性，也称x(n）的频谱
j
X (e ) －－幅度谱

S
n

x ( n)
2
若
n
x ( n)

2
，
则x(n)为平方可和序列。
x ( n ) 若 ，
n

则x(n)为绝对可和序列。
若 x(n) Bx ， 则x(n)为有界序列。
5.实序列的偶部和奇部
xe (n) :
x 0 ( n) :
N 0 k
例2：
2
x(n) A sin(

4.25
n)
（3）当
2
0
是无理数时，则任何整数k都不
能使N为正整数，这时正弦序列不是周期序列。
例3：
1 x(n) A sin( n) 4
6.复指数序列
x(n) Ae
( a j0 ) n
Ae cos(0 n) j sin( 0 n)
N
2k
0
（ N、k必须为整数）。
2
(1）当
0
2
为整数时，k=1，正弦序
列是以
0
为周期的周期序列。
例1：
x(n) A sin( n) 4

（2）当
2
0
为有理数时，设
N 0 k
2
其中，k，N为互素的整数，则
N k kN 0 k
为最小正整数。
2
此时正弦序列为周期序列，其周期将大于：
j n j ( 2M ) n
，M为整数
X(ejω)是频率ω的周期函数， 周期是2π。
在＝0，2M点上， X (e )表示序列x(n)的低频分量，
序列x(n)的最高频分量在＝点上。
注意：此概念非常重要。
j
2. 线性
设
X (e ) DTFT x(n)
j
ˆ ( j ) X a
ˆ a (t ) x
G (jΩ) g (t)
Y (jΩ)= Xa(jΩ) y( t)=xa (t)
其中：
T G ( j ) 0 s / 2 s / 2
1 ˆ X a ( j) X a ( j) T
( S 2)
所以：
1 ˆ Y ( j) X a ( j) G ( j) X a ( j) G ( j) X a ( j) T
Y (e ) DTFT y(n)
j
则：DTFT ax(n） by(n) aX (e ) bY (e )
j j
其中a，b均为常数
3. 位移特性
设
X (e ) DTFT x(n)
j
则： DTFT x(n n 0 ) e
jn0
X (e )
j
4. 频移特性
j
（）－－相位谱
序列的DTFT直接关系到序列和 频谱的关系，因此在数字滤波器设 计中经常采用。
• 例 1 设 x(n) RN (n)， 求x(n)的DTFT。
解：
X (e )
j
n


RN ( n ) ej N Nhomakorabea j n
e
n 0 j N / 2
N 1
j n
1 e e (e e ) j N / 2 j / 2 j j / 2 1 e e (e e ) j ( N 1) / 2 sin( N / 2) e sin / 2
j N / 2
j N / 2
设N=4， 幅度随ω变化曲线如图所示。
x=[1,1,1,1]
an
复指数序列e 和复指数信号e 一样， 在信号分析中扮演着重要的角色。
jn
jt
1.1.2
序列的运算
1.序列的相加
z(n) = x(n) + y(n)
2.序列的相乘
f(n) = x(n )y(n)
3. 序列的移位
y ( n) x ( n n 0 )
4.序列的能量以及序列的绝对值序列 的能量：
x(n) x(n)
x(n) x(n)
任何序列都可以分解为：
x ( n) x e ( n) x o ( n)
其中：
1 xe (n) [ x(n) x(n)] 2
1 xo (n) [ x(n) x(n)] 2
6. 任意序列的单位脉冲序列表示
x ( n)
a

sin[

T
(t nT )]

T
(t nT )
………..采样内插公式
sin (t nT ) T
………..内插函数

T
(t nT )
1.3 离散信号的DTFT与z变换
1.3.1 离散信号的DTFT变换
离散信号的DTFT定义:
j
X (e
)
n
x ( n)e
ω称为数字角频率，它是模拟域频率对 采样频率fs的归一化。
折叠频率：采样频率的一半，即fs/2 。 当信号最高频率不超过该频率时，才 不会产生频率混叠现象，否则超过fs /2的 频谱会折叠回来形成混叠现象。
奈奎斯特频率：
能恢复出原始信号的最低采样频率。 fs 为信号最高频率的两倍。
表 1 一些典型的数字信号处理系统
由P156 4.39式可得：
T / f s
- - 离散系统频域变量；
-连续系统频域变量。
ˆ ( j) 的自变量用ω表示 通常将 X a
ˆ ( j ) ， 为X a
周期用ωs表示，则:
s sT 2f s / f s 2
注意：此概念非常重要。
ˆ ( j ) 周期为2π。 即：X a
（2)从时域分析：
ˆa (t ) g (t ) y (t ) xa (t ) x
n
x (nT ) g (t nT )
a

因为：
g (t ) F [G ( j)]
1
sin(

T t
t)

T
所以：
y (t ) xa (t )
n
x (nT )
2 s T
Ω （d）
－Ω s
s
0
Ω cΩ s
2
1 ˆ ( j) X ( j jm ) X a a s T m

ˆ ( j) 是一个以Ωs为周期的 可见，X a
连续函数。
注意：它与信号与系统描述上的符号差异。
换句话说： 采样信号的频谱是原模拟信号的频谱 以Ωs为周期，进行周期性延拓而形成的。