2011年全国硕士研究生入学统一考试数学三试题及答案

(5) 设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第二列加到第一列得矩阵 B ，再交换 B 的第二行与第三行得
⎛1 0 0⎞
⎛1 0 0⎞
单位矩阵，记
P1
=
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
，
P2
=
⎜ ⎜
0
0
1
⎟ ⎟
，则
A
=
(
)
⎜⎝ 0 0 1 ⎟⎠
⎜⎝ 0 1 0 ⎟⎠
(A) P1P2
(B) P1 −1P2
(C) P2P1
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，所以可排除 A，B
选项.
又因为 Aη2 −η3 = 0 ，所以 η2 −η3 是 Ax = 0 的解，不是 Ax = β 的解，故排除 D 选项，
2
2
因此选 C.
事实上，由于η1,η2 ,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
两个线性无关的解，即 Ax = 0 的基础解系中至少有 2 个线性无关的解，亦即 3 − r( A) ≥ 2 ，
故 r( A) ≤ 1.由于 A ≠ 0 ，所以 r( A) ≥ 1，故 r( A) = 1.这样， Ax = 0 的基础解系中正好有 2
个线性无关的解，由此知η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的一个基础解系.
数学(三)试题 第 5页 (共 4 页)
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(11)
曲线
tan
⎛ ⎜
⎝x+来自y+π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
在点
(
0,0
)
处的切线方程为
.
【答案】 y = −2x
详解：
tan⎛⎜ ⎝
x
+
y
+
π 4
⎞ ⎟ ⎠
=
e
y
的两端对
x
求导，有
sec
2
⎛ ⎜ ⎝
x
+
y
+
π 4
⎞ ⎟ ⎠
⋅(1+
y′
)
=
e
.
t →0
【答案】 e 3x (1+ 3x)
详解：因为
f
(
x)
=
x
lim x (1+ 3t ) t
t→0
=
x
lim
t→0
⎡ ⎢⎣
(
1
+
3t
)
1 3t
3t⋅ x
⎤t ⎥⎦
=
x ⋅e3x
所以有 f ′( x) = e3x (1+ 3x) .
x
(10)
设函数 z
⎛ = ⎜1+
⎝
x y
⎞ ⎟ ⎠
y
，则
dz
( 1,1)
(A)
η2
+η3 2
+
k1 (η2
− η1 )
(C)
η2
+η3 2
+
k1 (η3
−η1)
+
k2 (η2
−η1)
【答案】(C)
(B)
η2
−η3 2
+
k2 (η2
− η1 )
(D)
η2
−η3 2
+
k2 (η2
−η1)
+
k3 (η3
−η1)
详解：由于η1,η2,η3 是 Ax = β 的三个线性无关的解，所以η3 −η1,η2 −η1 是 Ax = 0 的
ln⎛⎜ ⎝
1+
1 y
⎞ ⎟ ⎠
= e y ，则
1
⎡ ⎢ ⎢
1 1+ 1
⋅
⎛ ⎜
⎝
−
1 y2
⎞ ⎟
⋅
⎠
y
−
ln
⎛ ⎜
1
+
⎝
1 y
⎞ ⎟
⎤ ⋅1⎥
⎠⎥
z
′
y
y =1
=
⎛ ⎜1+ ⎝
1 y
⎞ ⎟ ⎠
y
⋅
⎢ ⎢ ⎢
y
y2
⎥ ⎥
y=1 = −1 − 2 ln 2 .
⎥
⎢
⎥
⎢⎣
⎥⎦
则 dz (1,1) = (1+ 2 ln 2) dx − (1+ 2 ln 2) dy 或 dz = (1+ 2 ln 2)( dx − dy)
(B) I < K < J
(C) J < I < K
【答案】(B)
详解：如图所示：
因为 0 < x < π ，所以 0 < sin x < cos x < 1 < cot x 4
又因 ln x 在 x ∈ (0,1) 是单调递增函数，
π/4
(D) K < J < I
所以 ln sin x < ln cos x < ln cot x . 故选(B)
(8) 设总体 X 服从参数为 λ(λ > 0) 的泊松分布， X1, X 2 ,⋯, X n (n ≥ 2) 为来自总体的简单
∑ ∑ 随机样本，则对应的统计量T1
=
1 n
n i =1
Xi,
T2
=
1 n −1
n−1 i=1
Xi
+
1 n
Xn
(
)
(A) ET1 > ET2 , DT1 > DT2
(B) ET1 > ET2 , DT1 < DT2
(D) P2 P1 −1
【答案】(D)
⎛1 0 0⎞
详解：由于将
A
的第
2
列加到第
1
列得矩阵
B
，故
A
⎜ ⎜
1
1
0
⎟ ⎟
=
B,
⎜⎝ 0 0 1⎟⎠
数学(三)试题 第 2页 (共 4 页)
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即 AP1 = B,故A = BP1−1
⎛1 0 0⎞
由于交换
B
的第
2
行和第
3
行得单位矩阵，故
⎜ ⎜
(C) ET1 < ET2 , DT1 > DT2
(D) ET1 < ET2 , DT1 < DT2
【答案】(D)
∑ ∑ 据题意，因为 E (T1 ) =
E(1 n
n i =1
Xi)
=
1 n
n
E(
i =1
Xi) =
1 ⋅n⋅E(
n
X
)=
λ,
( ) ∑ ∑ E
T2
=
E
⎛ ⎜
⎝
1 n−1 n −1 i=1
y y = x2 −1
( ) ∫ = π 2 x 2 −1 dx 1
=
π
⋅
⎡ ⎢⎣
1 3
x
3
−
x
⎤ ⎥⎦
2 1
= 4π. 3
x
0
1
2
( ) (13) 设二次型 f x1, x2, x3 = xT Ax 的秩为 1， A 中各行元素之和为 3，则 f 在正交变换
x = Q y 下的标准形为
.
【答案】 3y12 + 0 y22 + 0 y32 详解：由 r( A) = 1知矩阵 A 有两个 0 特征值，又因为 A 中各行元素之和为 3，所以
y
y′
,将
x = 0,
y
= 0 代入上式，有
1 cos 2
π
(1+
y′ )
=
y′
4
解得 y′ ( 0,0) = −2 ,故切线方程为： y = −2x .
(12) 曲线 y = x 2 −1 ，直线 x = 2 及 x 轴所围成的平面图形绕 x 轴旋转所成的旋转体的体
积为
.
【答案】 4 π 3
∫ 详解：V = π 2 y 2dx 1
0
0
1
⎟ ⎟
B
=
E
⎜⎝ 0 1 0⎟⎠
即 P2B = E, 故 B = P2−1 = P2,
因此， A = P2−1P1−1 = P2P1−1, 故选(D)
(6) 设 A 为 4 × 3 矩阵，η1,η2 ,η3 是非齐次线性方程组 Ax = β 的 3 个线性无关的解， k1, k2 为
任意常数，则 Ax = β 的通解为( )
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2011 年全国硕士研究生入学统一考试
数学三试题
一、选择题：1～8 小题，每小题 4 分，共 32 分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选 项符合题目要求，请将所选项前的字母填在答. 题. 纸. 指定位置上.
(1) 已知当 x → 0 时， f ( x) = 3sin x − sin 3x 与 cxk 是等价无穷小，则 ( )
=
.
【答案】 (1+ 2 ln 2)( dx − dy)
( ) 详解：当 y = 1时， z = 1+ x x = e xln(1+x) ，则
z
′
x
x =1
=
(1+
x)
x
⋅
⎡ ⎢⎣
ln
(1+
x)
+
x 1+
x
⎤ ⎥⎦
x=1 = 2 ln 2 + 1