高中数学必修4 三角函数的图像与性质

三角函数的图像和性质
1．“五点法”描图
(1)y ＝sin x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,0)，)1,2
(π
，(π，0)，)
1,23(
-π，(2π，0)．
(2)y ＝cos x 的图象在[0,2π]上的五个关键点的坐标为
(0,1)，)0,2(π，(π，－1)，)0,23(π
，(2π，1)．
2．三角函数的图象和性质
(1)周期性
函数y＝A sin(ωx＋φ)和y＝A cos(ωx＋φ)的最小正周期为2π
|ω|，y＝tan(ωx＋φ)的最小正周
期为π
|ω|.
(2)奇偶性
三角函数中奇函数一般可化为y＝A sin ωx或y＝A tan ωx，而偶函数一般可化为y＝A cos ωx＋b的形式．
三种方法
求三角函数值域(最值)的方法：
(1)利用sin x、cos x的有界性；
(2)形式复杂的函数应化为y＝A sin(ωx＋φ)＋k的形式逐步分析ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域；
(3)换元法：把sin x或cos x看作一个整体，可化为求函数在区间上的值域(最值)问题．
双基自测
1．函数)3cos(π
+=x y ，x ∈R ( )．
A ．是奇函数
B ．是偶函数
C ．既不是奇函数也不是偶函数
D ．既是奇函数又是偶函数 2．函数)
4
tan(
x y -=π
的定义域为( )． A ．
}
,4
|{Z k k x x ∈-
≠π
π
B ．},4
2|{Z k k x x ∈-≠π
π
C ．},4
|{Z k k x x ∈+
≠π
π
D ．},4
2|{Z k k x x ∈+
≠π
π
3．)4sin(π
-=x y 的图象的一个对称中心是( )．
A ．(－π，0)
B ．)0,4
3(π-
C ．)0,2
3(
π
D ．)0,2
(π
4．函数f (x )＝cos )6
2(π
+
x 的最小正周期为________．
考向一 三角函数的周期
【例1】►求下列函数的周期： (1))
2
3
sin(
x y π
π
-
=；(2))6
3tan(π
-=x y
考向二 三角函数的定义域与值域
(1)求三角函数的定义域实际上是解简单的三角不等式，常借助三角函数线或三角函数图象来求解．
(2)求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型的题目：
①形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；
②形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)．
【例2】►(1)求函数y ＝lg sin 2x ＋9－x 2的定义域． (2)求函数y ＝cos 2x ＋sin x )4
|(|π
≤x 的最大值与最小值．
【训练2】 (1)求函数y ＝sin x －cos x 的定义域；
(2)
)
1cos 2lg(sin )4
tan(--
=
x x
x y π
的定义域
(3)已知)(x f 的定义域为]1,0[，求)(cos x f 的定义域.
考向三 三角函数的单调性
求形如y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的单调区间时，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，若ω为负则要先把ω化为正数． 【例3】►求下列函数的单调递增区间．
(1))23cos(x y -=π
，(2))324sin(21x y -=π，(3))3
3tan(π
-=x y .
【训练3】 函数f (x )＝sin )3
2(π
+-x 的单调减区间为______．
考向四 三角函数的对称性
正、余弦函数的图象既是中心对称图形，又是轴对称图形．正切函数的图象只是中心对称图形，应熟记它们的对称轴和对称中心，并注意数形结合思想的应用． 【例4】►(1)函数y ＝cos )3
2(π
+
x 图象的对称轴方程可能是( )．
A ．x ＝－π6
B ．x ＝－π12
C ．x ＝π6
D ．x ＝π
12
(2)若0＜α＜π2，)42sin()(απ
++=x x g 是偶函数，则α的值为________．
【训练4】 (1)函数y ＝2sin(3x ＋φ))2
|(|π
ϕ<
的一条对称轴为x ＝
π
12，则φ＝________.
(2)函数y ＝cos(3x ＋φ)的图象关于原点成中心对称图形．则φ＝________.
难点突破——利用三角函数的性质求解参数问题
含有参数的三角函数问题，一般属于逆向型思维问题，难度相对较大一些．正确利用
三角函数的性质解答此类问题，是以熟练掌握三角函数的各条性质为前提的，解答时通常将方程的思想与待定系数法相结合． 【示例】► 已知函数f (x )＝sin )3
(π
ω+
x (ω＞0)的单调递增区间为]12
,125[π
πππ+-
k k (k ∈Z )，单调递减区间为]12
7,12[π
πππ+
+k k (k ∈Z )，则ω的值为________． 练一练：
1、已知函数)3
3sin()(π
+=x x f
（1）判断函数的奇偶性；（2）判断函数的对称性．
2、设函数)0)(2sin()(<<-+=ϕπϕx x f 的图象的一条对称轴是直线8
π
=
x ，则
=ϕ______． 课后练习：
三角函数的图象与性质·练习题
一、选择题
(1)下列各命题中正确的
是 [ ]
(2)下列四个命题中，正确的
是 [ ]
A．函数y=ctgx在整个定义域内是减函数
B．y=sinx和y=cosx在第二象限都是增函数
C．函数y=cos(-x)的单调递减区间是(2kπ-π，2kπ)(k∈Z)
(3)下列命题中，不正确的
是 [ ]
D．函数y=sin|x|是周期函数
(4)下列函数中，非奇非偶的函数
是 [ ]
(5)给出下列命题：
①函数y=-1-4sinx-sin2x的最大值是2
②函数f(x)=a+bcosx(a∈R且b∈R-)的最大值是a-b
以上命题中正确命题的个数
是 [ ]
A．1
B．2
C．3
D．4
[ ] A．sinα＜cosα＜tgα
B．cosα＞tgα＞sinα
C．sinα＞tgα＞cosα
D．tgα＞sinα＞cosα
(7)设x为第二象限角，则必
有 [ ]
[ ]
二、填空题
(9)函数y=sinx+sin|x|的值域是______．
的值是______．
(11)设函数f(x)=arctgx的图象沿x轴正方向平移2个单位，所得到的图象为C，又设图象C1与C关于原点对称，那么C1所对应的函数是______．
(12)给出下列命题：
①存在实数α，使sinαcosα=1
⑤若α，β是第一象限角，α>β则tgα＞tgβ
其中正确命题的序号是______．
三、解答题
(14)已知函数y=cos2x+asinx-a2+2a+5有最大值2，试求实数a的值．
答案与提示
一、
(1)B (2)D (3)D (4)B (5)D (6)D (7)A (8)D
提示
(2)y=ctgx在(kπ，kπ+π)(k∈Z)内是单调递减函数．
y=cos(-x)=cosx在[2kπ-π，2kπ](k∈Z)上是增函数，而在[2kπ，2kπ+π]上是减函数．
(3)可画出y=sin |x|图象验证它不是周期函数或利用定义证之．
(5)①=-y(sinx+2)2+3 sinx=-1时，y max=2
②当cosx=-1时，f(x)max=a-b
∴cosα＜sinα＜tgα
二、(9)[-2，2] (10)2或3 (11)y=arctg(x+2) (12)③④提示
(11)C：y＝arctg(x-2)，C1：-y=arctg(-x-2)，∴y=arctg(x+2)
由390°＞45°，但tg390°=tg30°＜tg45°，故⑤不正确．
综上，③④正确．
三、。