分式方程四ppt课件
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2024八年级数学上册第二章分式与分式方程4分式方程第2课时解分式方程课件鲁教版五四制
A．a＝5或a＝0
B．a≠0
C．a≠5
D．a≠5且a≠0
2x a
3. 若关于x的分式方程 x 2
1
2 的解为非负数，则a
的取值范围是( C )
A．a≥1
B．a＞1
C．a≥1且a≠4
D．a＞1且a≠4
a
4.
关于x的分式方程 x 3
A．方程的解是x＝a－3
1，下列说法正确的是( B )
B．当a＞3时，方程的解是正数
(2)∵原分式方程有增根，∴x(x－1)＝0.∴x＝0或1.
又∵整式方程(a＋2)x＝3有根，∴x＝1.
∴原分式方程的增根为1.∴(a＋2)×1＝3.∴a＝1.
(3)去分母并整理得：(a＋2)x＝3.
①当a＋2＝0时，该整式方程无解，此时a＝－2.
②当a＋2≠0时，要使原分式方程无解，
则x(x－1)＝0，得x＝0或1.
是原分式方程的解，此时原分式方程无解．
2ax
例3 已知关于x的方程
a x
2
3 的根是x＝1，求a的值．
导引：根据方程的解使方程两边的值相等，可构造关于a
的分式方程，解所得分式方程即可得a的值．
2ax
2
2a
2
, 得
解：把x＝1代入方程
,
a x 3
a 1 3
1
解得a＝ 2
1
2a
2
经检验，a＝
是分式方程
的解．
2
a 1 3
1
.
∴a的值为
2
归纳
根据方程的解构造方程，
由于所构造的方程是分式方程，
因此验根的步骤不可缺少．
kx
2k－1
－
分式方程PPT课件(沪科版)
为什么解例2的过程没有验根环节？ 因为电阻一般是正数，变分式方程为 整式方程时，两边同乘以的公分母不会为 零，故不需检验，一般情况下公式变形均 不需要检验。
学以致用
1.在公式 VP12= PV21中，P2≠0， 用P1，P2，V1表示出V2
解：方程两边乘以V1V2，约去分母，得
P1V1 = P2V2
e(m＋ a) = m－a
em ＋ ea = m－a
ea ＋ a = m－em (e＋1)a = m－em ∵e≠－1， ∴e＋1≠0，
∴ a =me－＋e1m
例题解析
例.若关于x的方程
x－1 x－5
=10－m 2x 无解，求m的值.
解：方程两边乘以2(x－5) ，约去分母，得
2x－2=－m.
∵无论m为何值，方程2x－2=－m都有解，
∵R1，R2都是正数， R1＋R2≠0
1 R
=
1＋ R1
1. R2
若已知R1，R2，求R.
解：方程两边乘以RR1R2，约去分母，得
R1R2 = RR2 ＋ RR1
R1R2 = R(R1＋R2)
∵R1，R2都是正数，∴R1＋R2≠0
∴两边同除以 (R1＋R2)，得
R
=
R1R2 R1＋R2
公式变形：把要求表示的字母看成 未知数，其它字母看成已知数，按解方 程的思想来进行解答.
A．2； B．1； C．0； D．－1.
课堂小结
(1) 本节课学习了哪些主要内容？ (2) 解分式方程的一般步骤有哪些？关键是什么？
解方程的过程中要注意的问题有哪些？ (3)公式变形：把要求表示的字母看成未知数，
其它字母看成已知数，按解方程的思想来进行解答.
巩固提高
分式方程ppt课件
0时，分式方程无实根。
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
感谢观看
分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
适用于分子、分母均为二次多项式的分 式方程。
因式分解法
将分式方程的分子或分母进行因式分解，从而简化方程。 因式分解法可以方便地找到分式方程的解，特别是当分子或分母含有公因式时。
适用于分子、分母均可因式分解的分式方程。
03
分式方程应用举例
工程问题
工作总量 = 工作时间 × 工作 效率
工作时间 = 工作总量 ÷ 工作 效率
工作效率 = 工作总量 ÷ 工作 时间
举例：一项工程，甲单独做需 要20天完成，乙单独做需要30 天完成。如果两人合作，需要 多少天完成？
行程问题
速度 = 路程 ÷ 时间
举例：甲、乙两地相距360千米，一辆汽车从甲地开 往乙地，每小时行驶60千米。问这辆汽车需要多少小
方程的解。
04
对于第三个练习题，找到公共分母$x^2-1$，两边乘 以公共分母，得到整式方程$(x+1)(x-1)-4=x^2-1$， 解得$x=3$，经检验$x=3$是原方程的解。
THANKS
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分式方程ppt课件
目 录
• 分式方程基本概念 • 分式方程解法 • 分式方程应用举例 • 分式方程与实际问题结合 • 分式方程求解技巧与注意事项 • 分式方程练习题与答案解析
01
分式方程基本概念
分式方程定义
分式方程是指分母里含有未知数 的有理方程。
分式方程是方程中的一种，且分 母里含有未知数的（有理）方程
之几？
经济问题
利润 = 售价 - 进价
利润率 = 利润 ÷ 进 价 × 100%
售价 = 进价 × (1 + 利润率)
进价 = 售价 ÷ (1 + 利润率)
鲁教版五四制八年级数学上第二章2.4 分式方程(4)教学课件
变式练习2
某舰艇部队要到距住所60km某岛执行任务，由于返 回时为顺水，因此返回的速度是去时速度的1.9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/8/142021/8/14Saturday, August 14, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/8/142021/8/142021/8/148/14/2021 6:07:31 AM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/8/142021/8/142021/8/14Aug-2114-Aug-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/8/142021/8/142021/8/14Saturday, August 14, 2021
• You have to believe in yourself. That's the secret of success. 人必须相信自己，这是成功的秘诀。
•
现有方程： 480 450 x x2
请将它赋予一定的情景，使其成为一个有现 实意义的实际问题。
探宝旅行
筑梦中国 超越梦想 放飞梦想
A.课本P45，习题2·11 第1题。 B.课本P45，习题2·11 第3题。
欢迎各位专家批评指正
谢谢
l l ab ab
我部队到某桥头狙击敌人,出发时敌人离 桥头24千米,我部队离桥头30千米,我部队 急行军速度是敌人的1.5倍,结果比敌人提 前40分钟到达,求我部队的速度.
请列出方程。
解：设敌军的速度为x千米/小时，则我军的速度为1.5x千米/小时。
12.4 分式方程课件(共19张PPT)
12.4 分式方程
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
第十二章 分式和分式方程
学习目标
1.理解分式方程的意义.2.了解解分式方程的基本思路和解法.3.理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
学习重难点
理解并掌握解分式方程的基本思路和解法.
难点
重点
理解解分式方程时出现的无解情况及增根.
复习回顾
方程含有未知数的等式叫做方程.
一元一次方程只含有一个未知数(也称元)，并且未知数的次数是1.
整式方程分母不含有未知数的方程.
情景引入
小红家到学校的路程为38 km.小红从家去学校总是先乘公共汽车，下车后再步行2 km，才能到学校，路途所用时间是1 h.已知公共汽车的速度是小红步行速度的9倍，求小红步行的速度.
一起探究
知识点2 分式方程的增根
总结归纳
解分式方程的一般步骤：
分式方程
整式方程
检验
若最简公分母=0（分式方程无意义）
若最简公分母≠0（分式方程有意义）
经检验，是原分式方程的解（根）
经检验，原分式方程无解，这样的根叫做分式方程的增根
例2 解方程：
解分式方程一定要注意验根.
随堂练习
D
拓展提升
B
归纳小结
上面得到的方程与我们已学过的方程有什么不同？这两个方程有哪些共同特点？
谈一谈
像上面得到的方程那样，分母中含有未知数的方程叫做分式方程.使得分式方程等号两端相等的未知数的值叫做分式方程的解（也叫做分式方程的根）.
例题解析
例1 解方程：
思考
不是.因为当x=1时，x-1=0，即这个分式方程的分母为0，方程中的分式无意义，所以x=1不是这个分式方程的解（根）.
探究新知
知识点1 分式方程及其解的概念
《分式方程》分式PPT课件 (共18张PPT)
X(x―3)
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
X2-1=0
时,
3 x2 3、分式 2( x 3)与 x 2 3x 的最简公分母 是 2X(x―3) .
解分式方程
例1 解分式方程
x11 x1 2
分式方程
解: 方程的两边同乘以最简公分母2(x＋1), 转 ● ● ● ● ● 化 x 1 1 得 2(x＋1) · x1 2 · 2(x＋1) 整式方程 ① 化简,得整式方程 2(x－1)=x＋1
增根的定义
增根:在去分母,将分式方程转化为整 式方程的过程中出现的不适合于原方 · · · · · · 程的根. · · · 使分母值为零的根 产生的原因:分式方程两边同乘以一个 零因式后,所得的根是整式方程的根, · · · · 而不是分式方程的根. · · · ·
练 x(x 2) 解 : 方程两边同乘以最简公分母 , 一 2+ x -6=0 或x(x+1)-6=0 x 化简 , 得 . 练① ② 解得 x1= -3 , x2= 2 . ③ 检验:把x1= -3,代入最简公分母,
概 念 观察下列方程： 一元一次方程
1、2(x－1)=x＋1;
一元二次方程
x2＋x-20=0;
x+2y=1…
整式方程: 方程两边都是整式的方程.
1 x 1 1 1 1 x 1 5 x 9 x 0 ; ; 1 ; 2、 y 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1
· · · · · · · · · x(x-2)=-3(-3-2)= 15 ≠0; 把x2= 2 ,代入最简公分母,
x 1 6 0 (填空)1、解方程: x 2 2 x 2 x
7
x(x-2)= 2(2-2) =0
八年级数学下册第五章4分式方程第1课时分式方程的概念及解法作业课件北师大版.ppt
4．甲、乙工程队分别承接了160米、200米的管道铺设任务， 已知乙比甲每天多铺设5米，甲、乙完成铺设任务的时间相同， 问甲每天铺设多少米？ 设甲每天铺设x米，根据题意可列出方程：___1_x6_0_＝__x_2＋_0_05___.
5．(荆州中考)解分式方程x－1 2－3＝2－4 x时，去分母可得( B ) A．1－3(x－2)＝4 B．1－3(x－2)＝－4 C．－1－3(2－x)＝－4 D．1－3(2－x)＝4 6．(哈尔滨中考)方程21x＝x＋2 3的解为( D ) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝35 D．x＝1
(3)xx－＋23－x－3 3＝1. 解：去分母，得 x2－5x＋6－3x－9＝x2－9.解得 x＝34. 检验：当 x＝34时，(x＋3)(x－3)≠0，∴原方程的解为 x＝34
14．当 x 为何值时，分式32－－xx的值比分式x－1 2的值大 3? 解：列方程得32－ －xx－x－1 2＝3.解得 x＝1.经检验，x＝1 是原方程的根． 所以 x 的值为 1
3．(阜新中考)甲、乙两地相距 600 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘 特快列车少用 4 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 3 倍， 设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，根据题意可列方程为( C ) A.60x0＋630x0＝4 B.630x0－60x0＝4 C.60x0－630x0＝4 D.6x00－630x0＝4×2
16．先阅读下面的材料，然后解答问题：通过观察，发现方程： x＋1x＝2＋12的解为 x1＝2，x2＝12； x＋1x＝3＋13的解为 x1＝3，x2＝13； x＋1x＝4＋14的解为 x1＝4，x2＝14；…
第五章 分式与分式方程
5．4 分式方程
第1课时 分式方程的概念及解法
人教版初中八年级上册数学课件 《分式方程》分式(第4课时)
关于x的分式方程①除了含有未知数x，还含有 字母v，s，其中v，s表示常数，而②为一般的 分式方程.
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有 表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注 意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已 知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
即 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2mn ,
整理得 2(m n)x (m n)2，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得x m n ，
2
经检验，x m n 是原分式方程的解. 2
随堂练习
1.已知关于x的分式方程 ax - 2 1的解与方程 x 4 3
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k.
①原分式方程有解，则 x 3 k ，则 3 k 0 且 3 k ≠1，
解得k≠-3.
5k 5k 5k
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
课堂小结
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已 知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又 要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案.
相同.
a1 x-1
x
所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个 分式方程，
分式方程①的解应该是用含有字母s，v的式 子表示的值.
含字母的分式方程 若分式方程中除了含有表示未知数的字母外，还含有 表示已知数的字母，则该方程是含有字母的分式方程.
含字母的分式方程的解法 含字母的分式方程与一般分式方程的解法相同，需要注 意的是，要找准哪个字母表示未知数，哪个字母表示已 知数，同时还要注意题目中所给的限制条件.
即 x2 - m2 x2 - n2 2x2 - 2(m n)x 2mn ,
整理得 2(m n)x (m n)2，
因为 m ≠n，所以m+n≠0，解得x m n ，
2
经检验，x m n 是原分式方程的解. 2
随堂练习
1.已知关于x的分式方程 ax - 2 1的解与方程 x 4 3
解：方程两边同时乘以x(x-1)，得6x=x+3-k(x-1). 整理得(5+k)x=3+k.
①原分式方程有解，则 x 3 k ，则 3 k 0 且 3 k ≠1，
解得k≠-3.
5k 5k 5k
②x存在，则 3 k 有意义，即k≠-5. 5k
所以k的取值范围是k≠-3且k≠-5.
课堂小结
列分式方程解决实际问题的一般步骤 审：审清题意，找出题中的相等关系，分清题中的已 知量、未知量； 设：设出恰当的未知数，注意单位和语言的完整性； 列：根据题中的相等关系，正确列出分式方程； 解：解所列分式方程； 验：既要检验所得的解是否为所列分式方程的解，又 要检验所得的解是否符合实际问题的要求； 答：写出答案.
相同.
a1 x-1
x
所以将x=2代入含字母的分式方程，可得关于a的一个 分式方程，
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，
这一问题中有哪些等量关系？ 客车在普通公路上行驶的平均速度×客车由普通公路从甲地 到乙地的时间=600km 客车在高速公路上行驶的平均速度×客车由高速公路从甲地 到乙地的时间=480km 客车在高速公路上行驶的平均速度－客车在普通公路上行驶 的平均速度=45km/h
设客车由高速公路从甲 地到乙地所需时间为xh
对于一个现实问题
分母中含有未知数的方程叫做分式方程
同时注意每一步的实际意义。
530 x 13% x
随堂练习：
某商场有管理人员40人，销售人员80人，为了提高 服务水平和销售量，商场决定从管理人员中抽调一 部分人充实销售部分，使管理人员与销售人员的人 数比为1：4，那么应抽调的管理人员数x,满足怎样 的方程？
方程为:
40 x 1 80 x 4
课时小结
找到它的等量关系 建立分式方程
北师大版 八年级 下册（第三章）
4.分式方程
（第课时）
你能找出这一问题中 的所有等量关系吗？
有两块面积相同的小麦 试验田， 第一块使用原品种，第二块使用新 品种，分别收获小麦9000kg和 15000kg已知第一块试验田每公顷 的产量比第二块少3000kg，分别求 这两块试验田每公顷的产量。
分析: 第一块试验田每公顷的产 量+3000kg = 第二块试验田 每公顷的产量 第一块试验田的面积 = 第 二块试验田的面积 总产量 每公顷的产量 = 土地面积
设第一块试验田 每公顷的产量为 xkg
第二块试验田的 产量是 x 3000 kg
9000 15000 x x 3000 .
根据题意,可得方程
行程问题
从甲地到乙地有两条长路：一条是全长600km的普通 公路，另一条是全长480km的高速公路。某客车在高 速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快45km/h, 由高速公路从甲地到乙地所需的时间是由普通公路从 甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从 甲地到乙地所需的时间。 这一问题中有哪些等量关系？
客车由普通公路从甲地到 乙地的时间为 2 x h
根据题意可得方程
480 600 45 x 2x
。
为了帮助自然灾害的地区重建家园，某学 校号召同学们自愿捐款。已知第一次捐款 总额为4800元，第二次捐款总额为5000 元，第二次捐款人数比第一次多20人， 而且两次人均捐款额恰好相等。
如果设第一次捐款人数为x人， 那么x应满足怎样的方程？
4800 5000 x x 20
议一议
480 600 45 x 2x
这些方程有什 么共同特点？
9000 15000 x x 3000
4800 5000 x x 20
分母中含有未知数的方程叫 做分式方程。
随堂练习：
据联合国《2003年全球投资报告》指出， 中国2002年吸收外国投资额达530亿美元，居 全球第二位，比上一年增加了13%。设2001年 我国吸收外国投资额为x亿美元，请你写出x满 足的方程。你能写出几个？其中哪一个是分式 方程？